PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
DESI NATALIA SARAGI
120803021
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN
MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
DESI NATALIA SARAGI
120803021
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik Kategori : Skripsi
Nama : Desi Natalia Saragi Nomor Induk Mahasiswa : 120803021
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Partano Siagian, M.Sc Drs. Agus Salim Harahap, M.Si
NIP. 195112271980031001 NIP. 195408281981031004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2016
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dengan limpahan berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan Differensial Stokastik.
Terima kasih juga penulis sampaikan kepada pihak-pihak yang turut mendukung dalam penyelesaian skripsi ini:
1. Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M. Si selaku pembimbing 1 dan Bapak Drs. Partano Siagian, M. Sc selaku pembimbing 2 yang telah membimbing penulis selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M. IT dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M. Si selaku dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.
4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA-USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA-USU.
5. Kedua orang tua penulis Bapak R. P. Saragi dan Ibu R Sitinjak serta kedua adik penulis Theresia dan Erick atas semua motivasi, nasehat, semangat dan bantuannya kepada penulis.
6. Teman-teman grup “Sama Wisuda” yaitu Mega, Sahata, Agustina, Goklim, Oka, Willy, Daniel, Purnomo, Artha, Ayen, Fransiskus dan Yosephin atas motivasi dan bantuannya kepada penulis.
7. Kakanda Endang Tampubolon, S.Si dan Helena Nababan yang telah membantu menyempurnakan skripsi ini.
8. Teman-teman mahasiswa matematika USU stambuk 2012 dan teman-teman lainnya yang membantu penulis dalam menyempurnakan tulisan ini.
PENENTUAN PORTOFOLIO INVESTASI OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
STOKASTIK
ABSTRAK
Dalam berinvestasi, investor dapat memilih menginvestasikan kekayaannya pada berbagai aset keuangan baik pada investasi aset berisiko maupun tidak berisiko. Umumnya aset-aset keuangan tersebut dibentuk dalam suatu portofolio. Teori portofolio membahas bagaimana cara membentuk portofolio yang optimal. Dalam menentukan portofolio investasi optimal terlebih dahulu dimodelkan persamaan portofolio investasi yang berbentuk Persamaan Diferensial Stokastik (PDS). Model ini diselesaikan dengan lemma Ito kemudian dilakukan teori kontrol optimal dengan pendekatan fungsi utilitas untuk menentukan besar proporsi portofolio di kedua jenis aset investasi. Pada tulisan ini dilakukan simulasi untuk melihat portofolio yang dibentuk benar merupakan portofolio optimal.
DETERMINATION OF OPTIMAL INVESTMENT PORTOFOLIO USING STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION
ABSTRACT
In investing, the investors choose to invest their wealth in various financial assets both on the risky assets either on the risk-free assets. Generally, those financial assets are formed into a portfolio. Portfolio theory discuss how to establish an optimal portfolio. In determining the optimal investment, at first the investation which had Stochastic Differential Equations (SDE) will be modeled. The model is
solved by Ito‟s lemma then by using optimal control theory with utility function
approached to determine the proportion of the portfolio on the both of investment assets. This paper conduct a simulation to see the portfolio formed are correctly the optimal portfolio.
DAFTAR ISI
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Kontribusi Penelitian 3
1.6 Tinjauan Pustaka 3
1.7 Metodologi Penelitian 5
Bab 2 Tinjauan Pustaka 6
2.6 Pendiferensial Integral 11
2.7 Persamaan Diferensial Linier
2.7.1 Permulaan Persamaan Diferensial 2.7.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu 2.7.3 Persamaan Diferensial Linier Orde-n
12 12 13 13
2.8 Probabilitas 14
2.9 Sifat-sifat Probabilitas 15
2.10 Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas 2.10.1 Variabel Acak
2.10.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu
15 15 17
2.11 Distribusi Normal 18
2.12 Model Stokastik 2.12.1 Proses Stokastik 2.12.2 Data Deret Waktu 2.12.3 Sifat Markov
18 18 19 21 2.13 Proses Wiener (Gerak Brown Baku)
2.13.1 Sejarah Gerak Brown 2.13.2 Symmetric Random Walk
2.13.3 Scaled Symmetric Random Walk
2.14 Persamaan Diferensial Stokastik 25
2.15 Lemma Ito 26
2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik 28 2.17 Teori Kontrol Optimal
2.18 Simulasi
30 33
Bab 3 Portofolio Optimal 35
3.1 Model Optimasi Portofolio Investasi 35
3.2 Proporsi Portofolio Optimal 40
3.3 Solusi Model Portofolio Optimal 44
Bab 4 Simulasi 47
4.1 Hasil Simulasi
4.2 Suku Bunga Bank (a) Berubah-Ubah
4.3 Rate of Return (RoR) Saham (b) Berubah-Ubah 4.4 Volatilitas Harga Saham (β) Berubah-Ubah
47
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar Judul Halaman
