Chris Risen, Respatiwulan, Pangadi Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Proses Poisson merupakan proses menghitung {N(t);t ≥0} yang digunakan
untuk menentukan jumlah kejadian dalam selang waktu tertentu. Kedatangan pelanggan pada suatu kasir, kejadian gempa bumi pada suatu tempat tertentu, kejadian padam-nya generator listrik merupakan beberapa contoh dari proses Poisson. Dalam artikel ini, proses Poisson digunakan untuk menentukan kedatangan dari setiap variabel acak independen dan berdistribusi identik. Jumlah dari variabel-variabel acak tersebut mem-bentuk proses Poisson majemuk. Dalam artikel ini pula, dijelaskan sifat proses Poisson majemuk yaitustationary independent increments, selain itu ditentukan ekspektasi, va-riansi, fungsi pembangkit momen, dan fungsi pembangkit probabilitas, serta penerapan dari proses Poisson majemuk pada suatu contoh kasus.
Kata Kunci: proses menghitung, proses Poisson, proses Poisson majemuk.
1. Pendahuluan
Menurut Olofsson [4], Proses menghitung {N(t);t≥0}merupakan kumpulan
variabel acak yang nilainya nonnegatif, bulat, dan tidak turun. Selanjutnya,
menu-rut Tijms [6], proses Poisson merupakan suatu proses menghitung dengan tambahan
asumsi-asumsi tertentu untuk menentukan jumlah kejadian dalam selang waktu
ter-tentu. Asumsi-asumsi tambahan yang dimaksud seperti jumlah kejadian nol pada
waktu t0, intensitas jumlah kejadian tetap, terjadi satu kejadian tiap interval
wak-tu, stationary increments danindependen increments. Kedatangan pelanggan pada
suatu kasir, kejadian gempa bumi pada suatu tempat tertentu, kejadian padamnya
generator listrik merupakan beberapa contoh dari proses Poisson.
Mingola [3] dalam penelitiannya telah menurunkan ulang, menjelaskan
sifat-sifat, serta menerapkan proses Poisson dalam beberapa kasus. Kerusakan zat
radi-oaktif, masalah pengumpulan kupon, perhitungan total pembelian pelanggan, dan
kasus perambatan suara pada kawat merupakan kasus-kasus penerapan proses
Po-isson oleh Mingola [3]. Selain itu, dalam penelitian Petrov dan Alessandro [5],
disimpulkan bahwa frekuensi terjadinya sambaran petir pada data yang mereka
gu-nakan merupakan proses Poisson. Hal ini dibuktikan dari perbandingan probabilitas
data prediksi terjadinya sambaran petir yang mendekati probabilitas data asli pada
parameter yang sudah ditentukan.
Berbeda dari penelitian-penelitian sebelumnya, pada penelitian ini setiap
berdistribusi identik. Dari perbedaan tersebut, lebih lanjut diteliti proses Poisson
majemuk yang merupakan jumlahan dari variabel-variabel acak tersebut yang
ke-datangannya ditentukan proses Poisson. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan
proses Poisson majemuk, menjelaskan sifat-sifatnya, serta menerapkannya pada
su-atu contoh kasus.
2. Proses Poisson
Menurut DeJardine [1] dan Zhang et al. [7], proses menghitung {N(t);t≥0}
dikatakan sebagai proses Poisson jika memenuhi asumsi-asumsi berikut.
(1) Pada waktu t0, jumlah kejadian yang terjadi adalah nol juga (N(t0) = 0).
(2) intensitas jumlah kejadianλt tetap.
(3) Terjadi satu kejadian tiap interval waktu.
(4) Stationary increments, untukti ≤ti+tdengani= 0,1,2, ...,jumlah kejadian
N(ti+t)−N(ti) memiliki distribusi yang sama denganN((ti+t)−ti) =N(t).
Sehingga jumlah kejadian yang terjadi antara interval waktu [ti, ti+t) hanya
bergantung selama waktu t, sedangkan waktu awal ti tidak berpengaruh.
(5) independent increments, jumlah kejadian yang terjadi antar interval waktu
disjoint saling independen.
MisalkanN(t) adalah variabel acak Poisson dengan parameterλt >0, sehingga
didapat P(N(t) = n) = e−λt(λt)n
n! , n = 0,1, . . .. Selanjutnya, dapat ditentukan ekspektasi dan variansi dari variabel acak Poisson N(t).
E[N(t)] =
∞ ∑
n=0
ne−λt(λt) n
n! =e
−λt ∞ ∑
n=0
n(λt)n
n! =e
−λt λt
∞ ∑
n=1
(λt)n−1
(n−1)! =e
−λt λt
∞ ∑
j=0 (λt)j
j!
,j =n−1
= e−λt
λteλt =λt.
Menggunakan cara yang sama, dapat ditentukan E[N(t)2] = (λt)2 +λt, sehingga
didapat variansi dari N(t) sebagai berikut.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Proses Poisson Majemuk. Untuk menyusun proses Poisson majemuk mem-butuhkan tiga asumsi penting sebagai berikut.
(1) Variabel acakYk adalah variabel acak independen dan berdistribusi identik,
(2) Proses {N(t);t ≥ 0} adalah proses Poisson dengan parameter yang
dinota-sikan dengan λt,
(3) Variabel acak Yk independen terhadap N(t), untuk setiap t ≥0.
Sesuai asumsi-asumsi diatas dapat disusun proses Poisson majemuk berparameterλt
yang merupakan penjumlahan variabel acak Yk yang didefinisikan sebagai berikut:
S(t) =
N(t)
∑
k=1
Yk, t ≥0.
Jika dimisalkan G(n) merupakan fungsi massa probabilitas dari Y
1 +Y2 +...+Yn
dengan G(0)(s) = 1 dan G(1)(s) = P(Y1 = s), maka G(n)(s) = P(∑nk=1Yk = s).
Selanjutnya, bisa ditentukan fungsi massa probabilitas untuk {S(t);t ≥0} sebagai
berikut
P(S(t) =s) = P(
N(t)
∑
k=1
Yk=s) = ∞ ∑
n=0
P(
N(t)
∑
k=1
Yk =s|N(t) =n)P(N(t) = n)
=
∞ ∑
n=0
P(
n ∑
k=1
Yk=s)
(λt)ne−λt n! =
∞ ∑
n=0
G(n)(s)(λt)
ne−λt
n! .
3.2. Sifat-Sifat Proses Poisson Majemuk. Berikut merupakan teorema-teorema yang menunjukkan sifat-sifat dari proses Poisson majemuk.
Teorema 3.1. Proses poisson majemuk {S(t);t≥0} merupakan proses L´evy yaitu proses yang memiliki stationary independent increments.
Bukti. Akan dibuktikan dengan kasus khusus dari sifat stationary independent in-crements untukk= 2 (Sedangkan untukk dibuktikan dengan cara yang sama). Di-buktikan bahwaP(S(t1)≤s1, S(t2)−S(t1)≤s2) = P(S(t1)≤s1)P(S(t2−t1)≤s2) untuk semua s1 > 0 dan s2 > 0 dan untuk setiap 0 < t1 < t2. Akan digunakan definisi dari proses Poisson majemuk S(t) untuk waktu t1 dan t2.
P(S(t1)≤s1, S(t2)−S(t1)≤s2) =P(
N(t1) ∑
k=1
Yk≤s1,
N(t2) ∑
k=1
Yk− N(t1)
∑
k=1
= P(
[independen dalam probabilitas bersyarat]
=
Teorema 3.2. AndaikanN(t)merupakan variabel acak proses Poisson dan {Yk|k ≥
1} merupakan variabel acak independen dan berdistribusi identik dengan ekspekta-si µ serta variansi σ2. Jika N(t) independen terhadap {Y
k|k ≥ 1} maka didapat E[∑Nk=1(t)Yk] =µE[N(t)] dan V ar(
∑N(t)
k=1 Yk) =σ2E[N(t)] +µ2V ar(N(t)).
Bukti. Andaikan N(t) merupakan proses Poisson dan Yk merupakan variabel acak
independen dan berdistribusi identik dengan k= 1,2, ..., sehingga
dengan
hingga variansi dari proses Poisson majemuk dapat ditentukan sebagai berikut.
V ar(
Bukti. Misalkan N(t) merupakan proses Poisson dengan parameterλt, sehingga da-pat dihitung fungsi pembangkit momen dari variabel acak proses Poisson majemuk
Teorema 3.4. AndaikanN(t)dengant≥0merupakan variabel acak yang berdistri-busi Poisson dengan parameterλt > 0serta Yk merupakan variabel acak independen
dan berdistribusi logarithmic untuk k= 0,1, ..., n. Didapat fungsi pembangkit
proba-bilitas dariS(t) =∑Nk=1(t)Yksama dengan fungsi pembangkit probabilitas dari variabel
acak yang berdistribusi N B(r, p).
Bukti. Dihitung fungsi pembangkit probabilitas GS(z) dari S(t), yang merupakan
kombinasi dari fungsi pembangkit probabilitas N(t) dan Yk (GN dan GYk).
Digu-nakan GN(z) = e(λt(z −1))
denganz ∈C dan GY1(z) = ln(1 −pz)
ln(1−p) dengan |z|<
1
p.
GS(z) = E[zS] = ∞ ∑
s=1
P(S =s)zs =
∞ ∑
s=1
∞ ∑
n=1
P(S =s |N =n)P(N =n)zs
=
∞ ∑
n=1
P(N =n)
∞ ∑
s=1
P(S =s|N =n)zs
=
∞ ∑
n=1
P(N =n)
∞ ∑
s=1
P(Y1+. . .+Yn=s)zs
=
∞ ∑
n=1
P(N =n)(GY1(z)) n
=GN(GY1(z)).
Berdasarkan GN(z) dan GY1(z) yang diperoleh sebelumnya, didapat
GS(z) = GN(GY1(z)) =e
(λt(ln(1−pz)
ln(1−p)
−1))
=e(−r(ln(1−pz)−ln(1−p)))
= ( ln(1−p) ln(1−pz))
r, |z|< 1
p dan λt=−rln(1−p).
Fungsi pembangkit probabilitas GS(z) sama dengan fungsi pembangkit probabilitas
dari variabel acak yang berdistribusi negative binomial.
3.3. Contoh Kasus. Pada contoh kasus dari Ma [2] ditentukan fungsi massa pro-babilitas P[S(t) = s] untuk s = 0,1,2,3,4 dengan S(t) = ∑Nk=1(t)Yk merupakan
penjumlahan klaim dari proses Poisson majemuk. Terdapat sejumlah klaim yang
dibayarkan oleh suatu perusahaan asuransi pada periode waktu tertentu yang
meng-ikuti distribusi Poisson dengan parameter λt. Klaim dapat bernilai 1 dengan
pro-babilitas 0.6 atau 2 dengan propro-babilitas 0.4.
Berikut merupakan fungsi massa probabilitas dari N(t), P(N(t) = n) =
λtne(−λt)
sukses saat Yk = 2 dengan probabilitas p = 0.4 dan gagal saat Yk = 1 dengan
pro-babilitas 1−p= 0.6. Akibatnya, P(Yk = y) merupakan fungsi massa probabilitas
dari distribusi Binomial dengan parameter y danp. Berikut ditunjukkanP(Yk=y)
untuk m percobaan, dengan m= 1,2,3,4.
Untuk m = 1
P(Yk = 1) =C01(0.4)0(0.6)1 = 0.6 P(Yk= 2) =C11(0.4)1(0.6)0 = 0.4
Untuk m = 2
P(Yk = 2) =C02(0.4)0(0.6)2 = 0.36 P(Yk = 4) =C22(0.4)2(0.6)0 = 0.16
P(Yk = 3) =C12(0.4)1(0.6)1 = 0.48
Untuk m = 3
P(Yk = 3) =C03(0.4)0(0.6)3 = 0.216 P(Yk = 5) =C23(0.4)2(0.6)1 = 0.288
P(Yk = 4) =C13(0.4)1(0.6)2 = 0.432 P(Yk = 6) =C33(0.4)3(0.6)0 = 0.064
Untuk m = 4
P(Yk = 4) =C04(0.4)0(0.6)4 = 0.1296 P(Yk= 7) =C34(0.4)3(0.6)1 = 0.1536
P(Yk = 5) =C14(0.4)1(0.6)3 = 0.3456 P(Yk= 8) =C44(0.4)4(0.6)0 = 0.0256
P(Yk = 6) =C24(0.4)2(0.6)2 = 0.3456
Ditentukan fungsi massa probabilitas P[S(t) = s] berdasar matriks berikut.
Baris untuk klaim Yk = 0,1,2,3,4 dan kolom untuk m percobaan, dengan m =
0,1,2,3,4.
A=
1 0 0 0 0
0 0.6 0 0 0
0 0.4 0.36 0 0
0 0 0.48 0.216 0
0 0 0.16 0.432 0.1296
Setiap kolom dikalikan dengan fungsi massa probabilitasP(N(t) =n) dengan
n = 0,1,2,3,4. Selanjutnya, kolom-kolom dari setiap baris tersebut dijumlahkan
untuk mendapatkan fungsi massa probabilitas P[S(t) = s], dengan s= 0,1,2,3,4.
P(S(t) = 0) =e−λt
,P(S(t) = 1) = 0.6λte−λt
,P(S(t) = 2) = 0.4λte−λt
+0.36(λt)2e−λt 2
P(S(t) = 3) = 0.48(λt)2e−λt
2 + 0.216
(λt)3e−λt 6 ,
P(S(t) = 4) = 0.16(λt)2e−λt
2 + 0.432
(λt)3e−λt
6 + 0.1296
(λt4)e−λt 24 .
dibayarkan oleh suatu perusahaan asuransi sebesar s dengan rincian probabilitas
seperti diatas.
4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
(1) Proses Poisson majemuk dengan perameterλtmerupakan penjumlahan
vari-abel acak independen dan berdistribusi identikYk yang didefinisikan sebagai
berikut.
S(t) =
N(t)
∑
k=1
Yk, t ≥0,
denganN(t) mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λt.
(2) (a) Proses Poisson majemuk merupakan proses yang memiliki stationary
independent increments.
(b) Ekspektasi dan variansi proses Poisson majemuk secara berurutan yaitu
µE[N(t)] dan σ2E[N(t)] +µ2V ar(N(t)).
(c) Fungsi pembangkit momen proses Poisson majemuk yaitu MS(t) =
eλt(MY1−1)
.
(d) Fungsi pembangkit probabilitas proses Poisson majemuk sama dengan
fungsi pembangkit probabilitas variabel acak yang berdisrtibusi
bino-mial negatif.
Pustaka
[1] DeJardine, Z.V.C.,Poisson Processes and Applications in Hockey, lakehead University, Canada, 2013.
[2] Ma, D., [Compound Poisson Distribution-Discrete Example], 2010.
[3] Mingola, P., A Study of Poisson and Related Processes with Applications, University of Ten-nessee, Knoxville, 2013.
[4] Olofsson, P.,Counting Process, Trinity University, Sweden.
[5] Petrov, N.I., D’Alessandro F., Verification of lightning strike incidence as a Poisson process, Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics,Vol.64(2002), 1645-1650.
[6] Tijms, H.C.,A First Course in Stochastic Models, John Wiley Sons Ltd., Chichester, 2003. [7] Zhang, H., Liu, Y., Li,B.,Notes on discrete compound Poisson model with applications to risk
