Pengaruh Perubahan
Perubahan yang mempengaruhi optimalitas
Perubahan koefisien tujuan
Perubahan dalam penggunaan sumber daya dalam kegiatan Perubahan dalam penggunaan sumber daya dalam kegiatan Penambahan kegiatan baru (penambahan variabel)
Perubahan yang mempengaruhi kelayakan
Perubahan RHS
Penambahan batasan baru
Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan
Informasi dari Tabel Optimal Simpleks
Solusi Optimal
Status Sumber Daya Shadow Price
Shadow Price Reduced Cost
Sensitivitas dari hasil solusi optimal terhadap perubahan ketersediaan sumber atau perubahan koefisien fungsi
Contoh Soal
Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang
menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan baku, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan baku per ton cat
interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah
survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga
memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat
Contoh Soal (Tabel 1)
Ton Bahan baku per Ton Cat Ketersediaan
maksimum (ton)
Eksterior Interior
A 1 2 6
A 1 2 6
Contoh Soal
X1 = cat eksterior yang harus diproduksi X2 = cat interior yang harus diproduksi
Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X1 + 2000 X2
Batasan bahan baku
Contoh Soal
Batasan permintaan harian
Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior
tinggi dari cat eksterior X2 – X1 ≤ 1
Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X2 ≤ 2
Batasan non negativitas Batasan non negativitas
Contoh Soal
max z = 3000 X1 + 2000 X2
Subject To: Subject To:
1) X1 + 2 X2 ≤ 6 2) 2 X1 + X2 ≤ 8 3) X2 – X1 ≤ 1 4) X2 ≤ 2
Contoh Soal: Bentuk Standar
max z = 3 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau
max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0
Subject To:
Variabel Slack
s1 = sisa bahan baku A s2 = sisa bahan baku B
s3 = kelebihan selisih permintaan cat interior dan cat s3 = kelebihan selisih permintaan cat interior dan cat eksterior (X2 – X1) terhadap batas maksimum selisih yang ditentukan
Tabel Optimal Simpleks
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12 2/3
x2 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
x1 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
s3 0 0 0 -1 1 1 0 3
Solusi Optimal
Variabel Keputusan
Nilai
Optimal
Keputusan
X1 3 1/3 Harus memproduksi 3 1/3 ton cat eksterior
eksterior
X2 1 1/3 Harus memproduksi 1 1/3 ton cat interior
Z 12 2/3 Keuntungan maksimum adalah $12.667
Status Sumber
Sumber Slack Status Sumber
Bahan A s1 = 0
(NBV)
Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah
dapat ditambah
Bahan B s2 = 0
(NBV)
Langka, tidak ada sisa (bahan A habis terpakai) sehingga untuk menaikkan nilai Z, bahan A dapat ditambah
kelebihan cat interior
dibandingkan cat eksterior
s3 = 3 Melimpah, selisih maksimum (X2 – X1) adalah 1, tetapi hasil optimal menunjukkan selisih kurang dari 1
batas maksimum s4 = 2/3 Melimpah, permintaan cat interior maksimum batas maksimum
permintaan cat interior
Shadow Price
Shadow Price hanya berlaku untuk sumber daya yang nilai variabel slacknya 0.
i
y1 = 1/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan A, nilai Z akan bertambah $1/3ribu
y2 = 4/3; untuk setiap penambahan 1 ton bahan B, nilai Z akan bertambah $4/3ribu
i
Reduced Cost
Hanya berlaku untuk variabel yang bernilai 0
Pada kasus Reddy Mikks X1 dan X2 tidak nol sehingga tidak ada informasi reduced cost
Contoh Reduced Cost
max z = 8 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau
max z - 8 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 max z - 8 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0
Subject To:
Contoh Reduced Cost
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
z 1 0 2 0 4 0 0 32
s1 0 0 1,5 1 -0,5 0 0 2
x1 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4
Dari tabel optimal, X2 sebagai non basic variable, sehingga bernilai 0 (cat interior tidak diproduksi sama sekali)
Reduced cost X2 + 2 = 0 (atau reduced cost X2 = -2); setiap pemaksaan produksi 1 ton X2 akan mengurangi
x1 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4
s3 0 0 1,5 0 0,5 1 0 5
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya (RHS)
s1 = 0, bahan A bisa ditambah/dikurangi
D1 > 0 (positif) jika bahan A ditambah D1 < 0 (negatif) jika bahan A dikurangi D1 < 0 (negatif) jika bahan A dikurangi
s2 = 0, bahan B bisa ditambah/dikurangi
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Perubahan nilai bi (nilai ruas kanan) di tabel optimal akibat penambahan ketersediaan bahan A sebesar D1:
bi’ = konstanta + ki Di bi’ = konstanta + ki Di bi‘ = nilai bi yang baru
Konstanta = nilai bi yang lama (dari tabel optimal asal)
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Variabel bi ki bi’
Perubahan Ketersediaan untuk Bahan A
Variabel bi ki bi’
Z 12 2/3 1/3 12 2/3 + 1/3 D1
X2 4/3 2/3 4/3 + 2/3 D1
X1 10/3 -1/3 10/3 – 1/3 D1
S3 3 -1 3 – D1
S4 2/3 -2/3 2/3 – 2/3 D1
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan:
12 2/3 + 1/3 D1 ≥ 0 D1 ≥ -38
4/3 + 2/3 D1 ≥ 0 D1 ≥ -2
10/3 – 1/3 D1 ≥ 0 D1 ≤ 10
3 – D1 ≥ 0 D1 ≤ 3
2/3 – 2/3 D1 ≥ 0 D1 ≤ 1
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Variabel bi ki bi’
Perubahan Ketersediaan untuk Bahan B
Z 12 2/3 4/3 12 2/3 + 4/3 D2
X2 4/3 -1/3 4/3 - 1/3 D2
X1 10/3 2/3 10/3 + 2/3 D2
S3 3 1 3 + D2
S4 2/3 1/3 2/3 + 1/3 D2
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Agar solusi tetap feasible, RHS harus nonnegatif sehingga batasan perubahan ketersediaan sumber daya ditentukan:
12 2/3 + 4/3 D2 ≥ 0 D2 ≥ -19/2
4/3 – 1/3 D2 ≥ 0 D2 ≤ 4
10/3 + 2/3 D2 ≥ 0 D2 ≥ -5
3 + D2 ≥ 0 D2 ≥ -3
2/3 + 1/3 D2 ≥ 0 D2 ≥ -2
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Selisih cat eksterior dan interior
3 + D3 ≥ 0 D3 ≥ -3 RHS ≥ -2
Permintaan cat interior Permintaan cat interior
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Ketersediaan Sumber Daya
Perubahan secara simultan:
4/3 + 2/3 D1 – 1/3 D2 >= 0 4/3 + 2/3 D1 – 1/3 D2 >= 0
10/3 – 1/3 D1 + 2/3 D2 >= 0
3 – 1 D1 + 1 D2 + 1 D3 >= 0
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Berpengaruh hanya pada nilai Z, bukan pada solusi optimal Penambahan/pengurangan koefisien sebesar dj untuk tiap variabel Xj
variabel Xj
Koefisien X1
d1 > 0 (positif) besarnya koefisien bertambah d1 < 0 (negatif) besarnya koefisien berkurang
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Perubahan koefisien X1 Z = (3 + d1) X1 + 2 X2
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
z 1 0 0 1/3 - 1/3 d1 4/3 + 2/3 d1 0 0 12 2/3 + 10/3 d1
x2 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
x1 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
s3 0 0 0 -1 1 1 0 3
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Agar tidak mempengaruhi optimalitas dari masalahnya, karena kasusnya maksimasi, nilai (baris z) pada tabel
optimal harus nonnegatif (kalau kasusnya minimasi, nilai optimal harus nonnegatif (kalau kasusnya minimasi, nilai (baris z) pada tabel optimal harus nonpositif)
1/3 – 1/3 d1 ≥ 0 d1 ≤ 1
4/3 + 2/3 d1 ≥ 0 d1 ≥ -2
12 2/3 + 10/3 d1 ≥ 0 d1 ≥ -3 4/5
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Perubahan koefisien X2 Z = 3 X1 + (2 + d2) X2
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
z 1 0 0 1/3 + 2/3 d2 4/3 - 1/3 d2 0 0 12 2/3 + 4/3 d2
1/3 + 2/3 d2 ≥ 0 d2 ≥ -1/2
4/3 – 1/3 d2 ≥ 0 d2 ≤ 4
z 1 0 0 1/3 + 2/3 d2 4/3 - 1/3 d2 0 0 12 2/3 + 4/3 d2
x2 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
x1 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
s3 0 0 0 -1 1 1 0 3
s4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
Analisa Sensitivitas dari Solusi Optimal:
Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Perubahan secara simultan:
1/3 – 1/3 d1 + 2/3 d2 >= 0 1/3 – 1/3 d1 + 2/3 d2 >= 0
Solusi Optimal
Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1) X1 + 2 X2 ≤ 6
2) 2 X1 + X2 ≤ 8 2) 2 X1 + X2 ≤ 8
Dengan substitusi/eliminasi, dapat diperoleh titik perpotongannya:
X1 = 10/3 X2 = 4/3
Z = 3000 X1 + 2000 X2 = 12667 Kesimpulan:
Status Sumber Daya
Titik Optimal pada perpotongan batasan 1 dan batasan 2
Batasan 1 ketersediaan bahan mentah A langka (habis terpakai)
terpakai)
Batasan 2 ketersediaan bahan mentah B langka (habis terpakai)
Batasan 3 selisih cat interior dan cat eksterior melimpah (masih ada sisa jatah)
Batasan 4 permintaan cat interior melimpah (masih ada sisa jatah)
Perubahan koefisien fungsi tujuan
Rotasi garis yang mewakili Z dan melewati titik optimal menunjukkan pengaruh
menunjukkan pengaruh kenaikan/penurunan
koefisien fungsi tujuan
mempengaruhi besarnya nilai optimum.
Searah jarum jam: kenaikan koefisien X1/penurunan koefisien X2
Perubahan koefisien fungsi tujuan
Kelayakan tidak akan berubah dan optimal akan tetap di titik C selama rotasi dilakukan
Searah jarum jam sampai menghimpit garis BC Searah jarum jam sampai menghimpit garis BC
Berlawanan arah jarum jam sampai menghimpit garis CD
Bila garis Z menghimpit garis BC atau CD, akan terjadi optimum alternatif
Perubahan koefisien fungsi tujuan
Perubahan Ce saja
Z = (3 + d1) X1 + 2 X2
1/2 ≤ Ce/2 ≤ 2/1 1 ≤ Ce ≤ 4 -2 ≤ d1 ≤ 1
1/2 ≤ Ce/2 ≤ 2/1 1 ≤ Ce ≤ 4 -2 ≤ d1 ≤ 1
Perubahan Ci saja
Z = 3 X1 + (2 + d2) X2
Perubahan RHS
Pergeseran garis pembatas 1 sampai pada titik B
(penurunan RHS) atau titik (penurunan RHS) atau titik K (kenaikan RHS)
Substitusi titik B (4,0) ke
batasan 1 4
Substitusi titik K (3,2) ke
batasan 1 7
batasan 1 7
Perubahan RHS
Pada titik B X1 = 4
Pada titik K X1 = 4
Y1 = (13-12)/(7-4) = 1/3ribu dollar per ton bahan A
Perubahan RHS
Pergeseran garis pembatas 2 sampai pada titik D
(penurunan RHS) atau titik (penurunan RHS) atau titik J (kenaikan RHS)
Substitusi titik D (2,2) ke
batasan 2 6
Substitusi titik J (6,0) ke
batasan 2 12 3
2
2
batasan 2 12
Perubahan RHS
Pada titik D X1 = 2
Pada titik J X1 = 6
Y2 = (18-10)/(12-6) = 4/3ribu dollar per ton bahan B
Konsep Dualitas
Setiap permasalahan LP mempunyai hubungan dengan permasalahan LP lain
Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP primal
Bentuk Standar
Masalah Primal Masalah Dual
Bentuk Standar
Masalah Primal Masalah Dual
Aturan-aturan (Hillier & Lieberman)
Koefisien fungsi tujuan dari permasalahan primal adalah ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan dualnya Ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan primal Ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan primal merupakan koefisien fungsi tujuan pada permasalahan
dualnya
Koefisien variabel kendala fungsional pada permasalahan primal menjadi koefisien pada kendala fungsional pada permasalahan dualnya
Aturan-aturan (Taha)
Masalah dual diperoleh secara simetris dari
masalah primal
Variabel Primal
x1 x2 … xj … xn Z Sisi kanan dari
batasan dual c1 c2 … cj … cn bi
Koefisien sisi kiri dari batasan dual
Masalah dual diperoleh secara simetris dari
masalah primal
Variabel Dual
y1 y2 … yi … ym W Sisi kanan dari
batasan primal b1 b2 … bi … bm cj
Koefisien sisi kiri dari batasan primal
Hubungan Primal-Dual
Tujuan Primal Standar
Dual
Tujuan Batasan Variabel Maksimisasi Minimisasi ≥ Tidak dibatasi
Contoh:
Primal
Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3
x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10
x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10
2 x1 - x2 + 3 x3 = 8
Contoh:
Primal Standar
Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3
x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10 x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10
2 x1 - x2 + 3 x3 = 8
Contoh:
Dual
Min W = 10 y1 + 8 y2
y1 + 2 y2 ≥ 5
y1 + 2 y2 ≥ 5
2 y1 - y2 ≥ 12
y1 + 3 y2 ≥ 4
y1 + 0 y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0)
Pemecahan Masalah Dual
Nilai tujuan dalam satu pasangan masalah primal dan
dual harus memenuhi hubungan berikut
1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang 1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang
layak
(nilai tujuan dalam masalah maksimisasi)
≤ (nilai tujuan dalam masalah minimisasi) 2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah
(nilai tujuan dalam = (nilai tujuan dalam (nilai tujuan dalam
masalah maksimisasi)
Contoh
Primal (min) Dual (max)
Pemecahan Layak Pemecahan Layak
Pemecahan Layak x1 = 3
x2 = 0
Nilai tujuan z = 15
Pemecahan Layak y1 = 3
y2 = 1
Nilai tujuan w = 14
Contoh
Primal (min) Dual (max)
Pemecahan Tak Layak Pemecahan Tak Layak
Pemecahan Tak Layak x1 = 3
x2 = 1
Nilai tujuan z = 17
Pemecahan Tak Layak y1 = 4
y2 = 1
Nilai tujuan w = 17
Contoh
Primal Dual
Pemecahan Optimal Pemecahan Optimal
Pemecahan Optimal x1 = 3
x2 = 0
Nilai tujuan z = 15
Pemecahan Optimal y1 = 5
y2 = 0
Nilai tujuan w = 15
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Max Z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3
ST ST
x1 + 2 x2 + x3 <= 10
2 x1 – x2 + 3 x3 = 8
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Bentuk standar
Max Z - 5 x1 - 12 x2 - 4 x3 + MR1 = 0
ST
x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10
2 x1 – x2 + 3 x3 + R1 = 8
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Solusi optimal: X1 = 5 1/5
X2 = 2 2/5 X2 = 2 2/5 X3 = 0
S1 = 0 R1 = 0
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Bentuk siap simpleks primal
5 12 4 0 -M Z
x1 x2 x3 s1 R1 bi
Formulasi masalah Dual
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Masalah Dual:
Min W = 10 y1 + 8 y2
ST
y1 + 2 y2 >= 5
2 y1 – y2 >= 12
y1 + 3 y2 >= 4
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Masalah Dual Standar:
Min W = 10 y1 + 8 y2’ – 8 y2” +
M(R1 + R2 + R3) M(R1 + R2 + R3)
ST
y1 + 2y2’ – 2y2” – s1 + R1 = 5
2y1 – y2’ + y2” - s2 + R2 = 12
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
Solusi Optimal:
Y1 = 5 4/5 Y1 = 5 4/5 Y2’ = 0
Y2” = 2/5
Y2 = Y2’ – Y2” = -2/5 S1 = 0
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
1. Nilai Woptimal dual = nilai Zoptimal primal
2. Koefisien fungsi objektif optimal variabel basis yang
muncul pada tabel awal masalah primal = selisih (ruas muncul pada tabel awal masalah primal = selisih (ruas kiri – ruas kanan) dari batasan masalah dual yang
bersesuaian dengan variabel basis pada tabel awal primal
Sehingga hasil penyelesaian dari masalah dual di atas bisa disimpulkan hanya berdasarkan penyelesaian dari
Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS z 1 -2M-5 M-12 -3M-4 0 0 -8M
s1 0 1 2 1 1 0 10 10
R1 0 2 -1 3 0 1 8 2 2/3
Dasar z x1 x2 x3 s1 R1 RHS
z 1 0 0 3/5 5 4/5 -2/5 + M 54 4/5
x2 0 0 1 -1/5 2/5 -1/5 2 2/5
Rasio
x2 0 0 1 -1/5 2/5 -1/5 2 2/5
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
1. Wmin = Zmax = 54 4/5
2. Keputusan Optimal Dual:
Variabel basis pada tabel awal
primal
Nilai (baris z) di tabel optimal primal untuk variabel basis tersebut
Selisih ruas kiri dan ruas kanan pembatas dual yang
berkaitan dengan variabel tersebut
S1 5 4/5 Y1 – 0
R1 -2/5 + M Y2 – (-M) = Y2 + M
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
3. Nilai Zoptimal Primal = Nilai Woptimal Dual
4. Koefisien fungsi objektif optimal variabel basis yang
muncul pada tabel awal masalah dual = selisih (ruas kiri muncul pada tabel awal masalah dual = selisih (ruas kiri – ruas kanan) dari batasan masalah primal yang
bersesuaian dengan variabel basis pada tabel awal dual
Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS
W 1 4M - 10 4M - 8 -4M + 8 -M -M -M 0 0 0 21M
R1 0 1 2 -2 -1 0 0 1 0 0 5 2,5
R2 0 2 -1 1 0 -1 0 0 1 0 12 -12
R3 0 1 3 -3 0 0 -1 0 0 1 4 1,333333333
Dasar W y1 y2' y2" s1 s2 s3 R1 R2 R3 RHS
W 1 0 0 0 -5 1/5 -2 2/5 0 26/5 - M 12/5 - M -M 54 4/5
s3 0 0 0 0 -1 2/5 1/5 1 1 2/5 -1/5 -1 3/5
y2" 0 0 -1 1 2/5 -1/5 0 -2/5 1/5 0 2/5
y1 0 1 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 2/5 0 5 4/5
Rasio
Dualnya Dual
Max Z = 5 X1 + 12 X2 + 4 X3 ST
X1 + 2 X2 + X3 <= 10 2X1 – X2 + 3 X3 <= 8
-2 X1 + X2 – 3 X3 <= -8 - X1 <= 0
Hubungan Tabel Simpleks Primal dan Dual
3. Zmax = Wmin = 54 4/5
4. Keputusan Optimal Primal:
Variabel basis pada tabel awal
dual
Nilai (baris z) di tabel optimal dual untuk variabel basis tersebut
Selisih ruas kiri dan ruas kanan pembatas primal yang
berkaitan dengan variabel tersebut
R1 26/5 – M X1 – M
R2 12/5 - M X2 – M
R3 -M X3 – M
