TITIK TETAP (FIXED POINT)PADA TRANSFORMASI M BIUS
Iden Rainal Ihsan
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara, Jln. Soekarno-Hatta No 530 Bandung
Abstrak
Transformasi M bius merupakan suatu transformasi yang didefinisikan di bidang kompleks yang diperluas ( ). Bentuk dari transformasi M bius didefinisikan dan dituliskan sebagai ( ) = dengan , , , ∈ dan Δ = − ≠ . Secara0 geometris transformasi M bius memiliki sifat yang istimewa yakni memetakan himpunan garis dan lingkaran kembali menjadi himpunan garis dan lingkaran di . Secara aljabar transformasi M bius juga memiliki sifat yang istimewa, yakni membentuk suatu grup terhadap operasi komposisi. Berdasarkan struktur aljabarnya, grup transformasi M bius dapat ditentukan klasifikasi geometrisnya. Klasifikasi tersebut dilihat dari kelas konjugasi dan juga dari banyaknya titik tetap dan klasifikasi titik tetap itu sendiri. Dalam kaitannya dengan membangun suatu transformasi M bius berdasarkan titik tetap. Pada artikel ini akan dibahas mengenai titik tetap pada transformasi M bius.
Kata Kunci :Transformasi M bius, titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Perkembangan peradaban manusia dari masa ke masa selalu mengalami
perubahan, baik itu perubahan dengan cakupan dan implikasi kecil maupun yang
besar. Perkembangan peradaban manusia tercatat oleh sejarah beralih dari hal
yang relatif sederhana ke hal yang cenderung lebih kompleks. Di pihak atau di
sisi lain, perkembangan peradaban dipandang mengalami penyederhanaan
beberapa upaya pemenuhan keperluan manusia. Di era moderen, globalisasi, dan
kemajuan pesat iptek saat ini dapat terlihat kemudahan-kemudahan yang tidak
ada di masa atau zaman dahulu. Kemajuan pesat dapat kita saksikan pada bidang
teknologi pula transportasi, baik moda transportasi maupun infrastukturnya
dapat didesain sedemikian rupa sehingga perjalanan menjadi efektif dan efisien.
Masih banyak lagi hal atau bidang yang berkembang sebagai implikasi dari
perkembangan iptek.
Matematika merupakan bidang ilmu yang cukup memiliki kontribusi dan
peran dalam kemajuan iptek atau sains dan teknologi dewasa ini. Sebagaimana
kita mengetahui bahwa matematika dapat diaplikasikan di semua bidang,
termasuk sains dan teknologi. Matematika dapat berkontribusi dan berperan
terhadap kemajuan sains dan teknologi dikarenakan matematika juga mengalami
perkembangan. Matematika mengalami perkembangan melalui pengkajian,
penelitian, dan pengembangan di beberapa sub bidang. Beberapa ahli matematika
ada yang mengkaji bidang aljabar, analisis, geometri, kombinatorika, statistika,
matematika terapan dan lain sebagainya. Ada pun ahli yang mengkaji beberapa
bidang secara terintegrasi.
Terdapat bidang yang dapat dikaji secara aljabar dan geometri, yakni
transformasi M bius. Secara geometri, transformasi tersebut dapat dilihat
sifat-sifat geometrisnya, sedangkan secara aljabar transformasi tersebut dapat dikaji
strukturnya yang merupakan grup (Ihsan[1], 2015). Menurut Ihsan[1] (2015)
dengan mengkaji kelas konjugasi dari grup transformasi M bius kita dapat
mengetahui klasifikasi geometris dari suatu transformasi M bius. Suatu
transformasi M bius dapat berupa transformasi parabolic, elliptic, hyperbolic, dan
loxodormic. Klasifikasi tersebut juga mengacu pada banyaknya beserta klasifikasi
titik tetap (fixed point) dari suatu transformasi M bius. Berdasarkan hal tersebut
2. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, terdapat rumusan
masalah pada artikel ini. Rumusan masalah pada artikel ini adalah sebagai
berikut:
1) Bagaimana pembuktian terorema-teorema terkait titik tetap pada
transformasi M bius
2) Bagaimana implikasi teorema-teorema terkait titik tetap transformasi
M bius
3. MANFAAT PENULISAN
Kajian ini dapat dipandang memiliki manfaat untuk pengembangan teori
matematika khususnya di bidang geometri aljabar (algebraic geometri).
Berdasarkan kajian dari Ihsan dan Muhammad (2015) pembahasan transformasi
M bius dapat dijadikan sarana penyampaian konsep grup. Ihsan[2] (2015)
menambahkan klasifikasi geometris dari transformasi M bius dapat pula
dijadikan sarana penyampaian konsep grup secara lebih lanjut. Berdasarkan hal
tersebut kajian ini dapat mendukung pembahasan-pembahasan sebelumnya
sedemikian hingga teori atau bahasan menjadi lebih lengkap.
4. PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dipaparkan pembahasan mengenai inti dari kajian ini
yakni mengenaifixed pointdan cross ratio pada transformasi M bius. Pada bagian
ini terlebih dahulu akan disampaikan transformasi M bius. Pembahasan
difokuskan kepada grup transformasi M bius.
Grup Transformasi M bius
Transformasi M bius adalah suatu transformasi di bidang kompleks yang
diperluas( ) yang didefiniskan sebagai berikut
( ) = +
Transformasi M bius secara geometris memiliki keistimewaan yakni memetakan
himpunan lingkaran dan garis kembali menjadi lingkaran dan garis. Secara
aljabar dapat dikaji struktur aljabarnya. Himpunan semua transformasi M bius
(disimbolkan ) merupakan suatu grup terhadap operasi komposisi fungsi. Grup
transformasi M bius ( ) dapat dikaji kelas-kelas konjugasinya berdasarkan
banyak dan klasifikasi titik tetap. Ihsan[1] (2015) memaparkan bahwa apabila
suatu transformasi M bius memiliki satu titik tetap, maka transformasi M bius
tersebut diklasifikasikan sebagai transformasi parabolic. Selanjutnya apabila suatu
transformasi M bius memiliki dua titik tetap, maka transformasi M bius tersebut
dapat diklasifikasikan kedalam tranformasi elliptic atau hyperbolic atau loxodormic
tergantung seberapa besar trace matriks yang berkorespondensi dengan
transformasi M bius yang dimaksud. Suatu transformasi M bius dapat dikaitkan
dengan suatu matriks elemen dari ( ), karena grup ( ) isomorfis
dengan grup (Ihsan[1], 2015)
Titik Tetap pada Transformasi M bius
Suatu transformasi M bius memetakan bilangan kompleks ke bilangan
kompleks. Setiap transformasi M bius dapat memetakan suatu bilangan
kompleks ke bilangan kompleks yang sama. Misalkan terdapat 0 ∈ ∞
sedemikian sehingga ( ) = , maka 0 disebut sebagai titik tetap (fixed point)
dari transformasi M bius .
Misalkan ( ) = = sedemikian sehingga didapat persamaan +
( − ) − = 0. Persamaan yang didapat adalah merupakan persaman kuadrat
sedemikian sehingga persamaan tersebut paling banyak memiliki dua jawaban
atau solusi. Dengan demikian suatu transformasi M bius apabila bukan
merupakan pemetaan identitas, maka paling banyak memiliki dua titik tetap
Terdapat teorema mengenai titik tetap pada transformasi M bius yakni
Teorema 1.Suatu transformasiM bius dapat ditentukan secara tunggal (unik) oleh
pemetaan yang dilakukan terhadap tiga titik berlainan di ∞.
Bukti. Misalkan , , ∈ , kemudian terdapat transformasi M bius
dengan ( ) = , ( ) = , dan ( ) = . Kemudian dimisalkan pula terdapat
transformasi M bius dengan ( ) = , ( ) = dan ( ) = . Karena
merupakan grup, maka setiap transformasi M bius memiliki invers yang juga
merupakan transformasi M bius, sedemikian hingga terdapat transformasi − 1.
Kemudian hasil operasi dari − 1 juga merupakan suatu transformasi M bius.
Dengan demikian didapat − 1 ( ) = , − 1 ( ) = dan − 1 ( ) = .
Berdasarkan hal tersebut transformasi M bius − 1 memiliki tiga titik tetap.
Sehingga transformasi M bius − 1 merupakan transformasi identitas, jadi
haruslah = . Dengan demikian suatu transformasi transformasi M bius dapat
ditentukan secara tunggal berdasarkan pemetaan tiga titik yang berbeda
Implikasi Titik Tetap pada Transformasi M bius
Berdasarkan pembuktian yang telah dipaparkan, suatu transformasi M bius
dapat diketahui apabila kita mengetahui hasil pemetaan tiga titik berbeda di ∞.
Kita dapat membangun suatu transformasi yang bukan merupakan transformasi
identitas cukup dengan mendapatkan informasi mengenai hasil pemetaan tiga
titik berbeda di ∞. Menurut Ihsan[1] (2015) titik tetap sangat penting dalam
menentukan klasifikasi geometris dari transformasi M bius dengan
mengguankan konsepcross ratio.
5. SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil kajian dapat disimpulkan titik tetap berkontribusi dalam
pembahasan transformasi M bius. Dengan diketahuinya hasil pemetaan tiga titik
yang berbeda di ∞. Kita dapat mengonstruksi pemetaan atau transformasi
M bius secara unik apabila kita mengetahui hasil pemetaan tiga titik yang
Untuk dapat dihasilkan kajian yang dapat berkontribusi lebih banyak,
disarankan untuk melengkapi kajian mengenai transformasi M bius lebih
khususnya mengenai sifat-sifat khususnya. Dapat dikaji secara lebih lanjut
mengenai kelas konjugasi dari transformasi M bius,cross ratio pada transformasi
M bius dan masih banyak lagi.
Kemudian dipandang perlu juga untuk mengkaji dan meneliti kontribusi dari
transformasi M bius terhadap perkembangan sains dan teknologi. Dapat dikaji
misalnya aplikasi transformasi M bius di bidang teknologi dan bidang terapan
yang lainnya. Bisa juga dikaji relevansi penyampaian konsep dan kajian
transformasi M bius sebagai sarana menyampaikan atau mengajarkan konsep
dan esensi dari materi matematika di jenjang formal.
DAFTAR PUSTAKA
Budhi, W.S. (2003). Langkah Awala Menuju ke Olimpiade Matematika, Jakarta : Ricardo.
Ihsan, I.R. (2015).Klasifikasi Geometris dari Transformasi M bius. Tesis ITB Bandung : Tidak diterbitkan
Ihsan, I.R. (2015). Pembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi M bius, Suatu Sarana Penyampaian Konsep Grup. Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY 2015 pada tangal 14 November 2015.
Ihsan, I.R. dan Muhammad, G.M. (2015). Pembelajaran Sistem Transformasi M bius ( ) Sebagai Sarana Menyampaikan Konsep Grup. Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Pendidikan Matematika NMC V Uninus pada tanggal 30 September 2015.
Needham, T. (1997).Visual Complex Analysis,Oxford : Oxford University Press.
Olsen, J. (2010). The Geometry of M bius Transformations, Rochester : University of Rochester.
