getdoc9259. 269KB Jun 04 2011 12:04:41 AM

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✭✐♥✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❞②♥❛♠✐❝s✮✱ s♦♠❡ ♥♦♥✲❡r❣♦❞✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♠❛② ❛r✐s❡ ✭s❡❡ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✷ s❡❝t✐♦♥III ✐♥ ❬✽❪✮✳ ❚❤❡ ♠♦st ❢❛♠♦✉s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐♥s✉r❡s ❡r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ t❤❡ P❈❆

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♠♦r❡♦✈❡r ♦♣t✐♠❛❧ ❢♦r t❤❡s❡ ♠♦❞❡❧s✳

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t♦ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ♠✐①✐♥❣ ✐♥ t✐♠❡✳ ■t ✇✐❧❧ t❤❡♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ r❡✈❡rs✐❜❧❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥{−1,+1}Zd

✱ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✐♥ ❛ ♥❛t✉r❛❧ ✇❛② t♦ ❛ ●✐❜❜s✐❛♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ϕ✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ✉s✉❛❧

✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦rϕ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢(A)✱ t❤✉s t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❡r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ t❤❡

❞②♥❛♠✐❝s t♦✇❛r❞s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ϕ ❤♦❧❞s ✭❚❤❡♦r❡♠ ✷✮✳ ❋♦r s♦♠❡

♣❛rt✐❝✉❧❛r P❈❆ ♦❢ t❤✐s ❝❧❛ss✱ ✇❡ ❛❧s♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t(A)✐s ✇❡❛❦❡r t❤❛♥ t❤❡ ❉♦❜r✉s❤✐♥✲❱❛s❡rs❤t❡✐♥

❡r❣♦❞✐❝✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❡r❣♦❞✐❝✐t② ❤♦❧❞s ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✳ ❖✉r r❡s✉❧t ❛r❡ t❤❡♥ t❤❡ ✜rst ♦♣t✐♠❛❧ ♦♥❡s ✐♥ t❤✐s ❝♦♥t❡①t✳ ❙❡❝t✐♦♥s ✸ ❛♥❞ ✹ ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❞❡✈♦t❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❚❤❡♦r❡♠s ❛♥❞ ✉s❡❢✉❧ ▲❡♠♠❛s✳

✷ ▼❛✐♥ r❡s✉❧ts

▲❡tP ❞❡♥♦t❡s ❛ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥SZd

✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s ❛ ▼❛r❦♦✈ ❈❤❛✐♥ ♦♥SZd

✇❤♦s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧P ✈❡r✐✜❡s ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥η ∈SZd_✱

σ= (σk)k∈Zd ∈SZ d

✱P(dσ | η ) = ⊗

k∈Zd pk(dσk |η)✱ ✇❤❡r❡ ❢♦r ❛❧❧ s✐t❡k∈

Zd_{✱ ❢♦r ❛❧❧η✱p}

❊r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ P❈❆ ✶✷✶

❝❛❧❧❡❞ ✉♣❞❛t✐♥❣ r✉❧❡✳ ❋♦r ❛♥② s✉❜s❡t ∆ ♦❢Zd_{✱ ❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s σ ❛♥❞ η ♦❢ S}Zd_{✱ t❤❡} ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥σ∆η∆c ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② σ_k ✐❢k ∈∆✱ ❡❧s❡ ηk✳ ▲❡t t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ σ_∆ ❞❡s✐❣♥(σ_k)_k∈∆

t♦♦✳ ▲❡tΛ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s✉❜s❡t ♦❢Zd ✭❞❡♥♦t❡❞ ❜②_Λ⋐Zd✮✳ ❲❡ ❝❛❧❧ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s

✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ τ ✭τ ∈SZd _♦r

τ ∈SΛc✮✱ t❤❡ ▼❛r❦♦✈ ❈❤❛✐♥ ♦♥ SΛ ✇❤♦s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥

♣r♦❜❛❜✐❧✐t②P_Λτ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿ P_Λτ(dσΛ|ηΛ) = ⊗

k∈Λ pk(dσk|ηΛτΛ

c ).■t ♠❛② ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤

t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥SZd_✿

P_Λτ(dσ |ηΛ) = ⊗

k∈Λ pk(dσk |ηΛτΛ

c )⊗

δτΛc(dσΛc)✳ ▲❡t νΛτ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② ♠❡❛s✉r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ❞②♥❛♠✐❝s

P_{Λ✳ ❋♦r}τ _{ν ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ ♦♥ S}Zd

✭❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❇♦r❡❧ σ✲✜❡❧❞ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡

♣r♦❞✉❝t t♦♣♦❧♦❣②✮✱νP r❡❢❡rs t♦νP(dσ) =R

P(dσ|η)ν(dη)✳ ❘❡❝✉rs✐✈❡❧②νP(n)= (νP(n−1)_)P✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❢✉♥❝t✐♦♥f ♦♥SZd

✱P(f)✐s t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ❜②P(f)(η) =R

f(σ)P(dσ|η)✳ ❆❧❧ t❤❡

♠❡❛s✉r❡s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r ❛r❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡s✳

P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ♥♦♥ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✿ ∀k∈Zd_{, ∀η∈S}Zd_✱

∀s∈S✱ pk(s|η)>0❀ t❤❡② ❛r❡ ❛❧s♦ ❧♦❝❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s✿ ∀k∈Zd,∃Vk ⋐Zd, pk(.|η) =pk(.|ηVk)❛♥❞

t❤❡② ❛r❡ ❛❧s♦ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t✿ ∀k∈Zd_{, ∀s∈S, ∀η∈S}Zd

, pk(s|η ) =p0(s|θ−kη )✱ ✇❤❡r❡θk0(σ)❞❡✜♥❡s t❤❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥σ♦❢S

Zd

✇✐t❤θk0(σ) = (σk−k0)k∈Zd✳

❆ttr❛❝t✐✈✐t② ♦❢ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ✐s ♠♦r❡♦✈❡r ❛ss✉♠❡❞ ❤❡r❡✿ ❖♥❡ ❝❛♥ ♦r❞❡r t✇♦ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ σ4η ✐❢∀k∈Λ, σk 6ηk✳ ❆ r❡❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥f ♦♥SΛ ✇✐❧❧ t❤❡♥ ❜❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐❢σ4η ✐♠♣❧✐❡sf(σ)6f(η)✳ ❚❤✉s t✇♦ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡sν1 ❛♥❞ ν2 s❛t✐s❢② t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♦r❞❡r✐♥❣ ν1 4 ν2 ✐❢✱ ❢♦r ❛❧❧ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s f ♦♥ SΛ✱ ν1(f) 6 ν2(f)✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥

νi(f) =Rf(σ)νi(dσ)✳ ❆s ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥✱ ❛ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s P ♦♥SΛ ✭Λ ⊂Zd✮ ✐s ❛ttr❛❝t✐✈❡ ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥f✱ P(f)✐s st✐❧❧ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣✳ ▲❡t ✉s ❞❡✜♥❡ t♦♦✱ ❢♦rs∈S, σ ∈SΛ✱ t❤❡

❢✉♥❝t✐♦♥Gk(s, σ)❜②✿

Gk(s, .) = X

s′_>s

pk(s′| .). ✭✶✮

❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ❛ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ✐s ❛ttr❛❝t✐✈❡ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ❢♦r ❛❧❧ k ✐♥ Λ✱ ❛♥❞ ❛❧❧ ✈❛❧✉❡s∈ S✱

t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥Gk(s, .)✐s ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✭✐♥σ✮✳ ❆ r❡❛❧ ✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥f ♦♥SZd

✐s s❛✐❞ ❧♦❝❛❧ ✐❢∃Λf ⋐Zd, ∀σ∈S Zd

, f(σ) =f(σΛf)✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡✱

❢♦r ❡❛❝❤f ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣❛❝tSZd

❛♥❞ ❢♦r ❛❧❧k✐♥Zd✱

∆f(k) = sup n

f(σ)−f(η)

: (σ, η)∈(S Zd

)2, σ_{k}c≡η_{k}c

o

,

❛♥❞ t❤❡ s❡♠✐✲♥♦r♠|kf |k=P

k∈Zd∆f(k)✳ ❋♦rL✐♥t❡❣❡r✱B(L)✐s t❤❡ ❜❛❧❧B(0, L)✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♥♦r♠kkk₁ =Pd_i=1|ki|✱k= (k1, k2, . . . , kd)∈Zd✳

❚❤❡♦r❡♠ ✶ ▲❡tS❜❡ ❛ t♦t❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ ✜♥✐t❡ s❡t ✇✐t❤ ♠❛①✐♠❛❧ ✭r❡s♣✳ ♠✐♥✐♠❛❧✮ ❡❧❡♠❡♥t ❞❡♥♦t❡❞

❜②+✭r❡s♣✳−✮✳ +++✭r❡s♣✳ −−−✮ ❞❡♥♦t❡s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❡q✉❛❧ t♦+✭r❡s♣✳ −✮ ✐♥ ❛❧❧ s✐t❡s✳ ▲❡tP ❜❡

❛♥ ❛ttr❛❝t✐✈❡✱ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t✱ ♥♦♥ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✱ ❧♦❝❛❧ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥ SZd_{✳ ▲❡t}

ν_B+++_(L)

✭r❡s♣✳ ν_B−−−_(L)✮ ❜❡ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ P_B+++_(L) ✭r❡s♣✳ P_B−−−_(L)✮✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s♣❛t✐❛❧ ♠✐①✐♥❣

❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ∃C >0, ∃M >0, ∃L1∈N∗,∀L∈N∗, L>L1, Z

σ0 dν+_B++_(L)− Z

✶✷✷ ❊❧❡❝tr♦♥✐❝ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ Pr♦❜❛❜✐❧✐t②

✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝sP t♦✇❛r❞s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ st❛t❡ν ✇✐t❤

❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛t❡✿ ∃λ >0✱∃n1✱∀n>n1✱∀f ❧♦❝❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ SZd :

sup

σ δσP

(n)_(f)−

ν(f)

62|kf |ke

−λn_{. ✭✷✮}

■♥ ♦r❞❡r t♦ ❜❡tt❡r ✐♥t❡r♣r❡t t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ (A) ❛♥❞ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥❝❡ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✱

✇❡ t❤❡♥ ❛♣♣❧② ✐t t♦ ❛ ✇✐❞❡ ❝❧❛ss ♦❢ r❡✈❡rs✐❜❧❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥ {−1,+1}Zd

✳ ❋✐rst✱ ❧❡t ✉s r❡❝❛❧❧ s♦♠❡ ❦♥♦✇♥ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t r❡✈❡rs✐❜❧❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ✭t❤❛t ✐s t♦ s❛② P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ✇❤♦s❡ s❡t ♦❢ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡s R ✐s ♥♦t ❡♠♣t②✮✳ ❚❤❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ q✉❛❧✐t❛t✐✈❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡✐r

❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ st❛t❡s ❛s ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s ✇❛s ✐♥✐t✐❛t❡❞ ❜② ❑♦③❧♦✈ ❛♥❞ ❱❛s✐❧②❡✈ ✭s❡❡ ❬✽✱ ✶✻❪✮✳ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ s♦♠❡ ❞②♥❛♠✐❝s✬ ♥❛t✉r❛❧❧② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧✱ ❛r❡ ✐♥❞❡❡❞ ♥❛t✉r❛❧ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❛s st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡s✳ ■♥ ❬✶✱ ✶✵❪✱ ♣r❡❝✐s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✇❡r❡ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❡ts ♦❢ st❛t✐♦♥❛r② ♠❡❛s✉r❡s✱ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡s ❛♥❞ s♦♠❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s ✭s❡❡ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✸ ✐♥ ❬✶❪✮✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✉♥❧✐❦❡ ✇❤❛t ✐s ❞♦♥❡ ✭♦r ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ❤♦❧❞✮ ❢♦r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ■♥t❡r❛❝t✐♥❣ P❛rt✐❝❧❡ ❙②st❡♠s ❧✐❦❡ ●❧❛✉❜❡r ❞②♥❛♠✐❝s ♦r ❣r❛❞✐❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥s✱ ✐t ✐s s❤♦✇♥ t❤❛t ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s ♠❛② ❜❡ ♥♦♥ st❛t✐♦♥❛r② ❢♦r P❈❆✬s ❞②♥❛♠✐❝s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♠❛♥✐❢❡st❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r❡t❡ t✐♠❡ ❝❛s❡✳

❆ss✉♠❡ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✹ t❤❛tS ={−1,+1}✳ ❲❡ ❝❛❧❧ ❝❧❛ssC0t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥ {−1,+1}Zd _{✇❤♦s❡ ✉♣❞❛t✐♥❣ r✉❧❡}

(pk)k∈Zd ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ∀k∈Zd✱ ∀η∈SZd

✱∀s∈S

pk(s|η) =

1 2

1 +stanh(β X

k′_∈Zd

K(k′−k)ηk′)

, ✭✸✮

✇❤❡r❡β ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ r❡❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞K : Zd_{→R✐s ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ s✐t❡s} ✇❤✐❝❤ ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ❤❛s ✜♥✐t❡ r❛♥❣❡ R >0 ✭✐✳❡✳ ❢♦r ❛❧❧k ♦❢Zd _{s✉❝❤ t❤❛t kkk}

1 > Rt❤❡♥

K(k) = 0✮✳ ❘❡♠❛r❦ t❤❛tβ = 0✐s t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝❛s❡ ✭s✐t❡s ❞♦♥✬t ✐♥t❡r❛❝t✮✱ ❛♥❞ t❤❛t ✇❤❡♥ β ✐♥❝r❡❛s❡s✱ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❜❡❝♦♠❡s ❧❡ss ❛♥❞ ❧❡ss r❛♥❞♦♠✳ ❙♦ β ♠❛② ❜❡ t❤♦✉❣❤t ❛s ❛ ❦✐♥❞

♦❢ ✐♥✈❡rs❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❙❡❡ s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✶✳✶ ✐♥ ❬✶✵❪ ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ss

C0 ❛♠♦♥❣ r❡✈❡rs✐❜❧❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥ {−1,+1}Z

d

✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡✐r ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ C0 ❛r❡ ❧♦❝❛❧✱ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t✱ ♥♦♥ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✳ ■t ✐s ❦♥♦✇♥ ✭s❡❡ ❬✽✱ ✶❪✮ t❤❛t ❛♥② P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝sP ✐♥C0❛❞♠✐ts ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♠✉❧t✐❜♦❞② ♣♦t❡♥t✐❛❧ϕ✿

ϕUk(σUk) = −log cosh

βP

jK(k−j)σj

✇❤❡r❡Uk ={j:K(k−j)6= 0}

ϕΛ(σΛ) = 0 ♦t❤❡r✇✐s❡.

✭✹✮

▼♦r❡♦✈❡r Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✸ ✐♥ ❬✶❪ st❛t❡❞ t❤❡ ♣r❡❝✐s❡ r❡❧❛t✐♦♥s R = S ∩ G(ϕ) ❛♥❞ Rs = Ss✱ ✇❤❡r❡ S ✭r❡s♣✳ R✮ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ s❡t ♦❢ P✲st❛t✐♦♥❛r② ✭r❡s♣✳ P✲r❡✈❡rs✐❜❧❡✮ ♠❡❛s✉r❡s✱ Ss ❛♥❞ Rs t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡✲tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♠❡❛s✉r❡s✬ ♣❛rts✱ ❛♥❞G(ϕ)t❤❡ s❡t ♦❢ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s

♦♥SZd

❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ϕ✳

❖♥❡ ❛❧s♦ ❝❤❡❝❦s t❤❛t s✉❝❤ ❛ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s P ✐s ❛ttr❛❝t✐✈❡✱ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ K(.) ✐s

♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✭s❡❡ Pr♦♣❡rt② ✹✳✶✳✷ ✐♥ ❬✶✵❪✮✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ ❧❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛tK✐s ♥♦♥ ♥❡❣❛t✐✈❡✳

▼✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❛ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ϕ❞❡✜♥❡ ❞✐✛❡r❡♥t r❡❣✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♣❤❛s❡

❊r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ P❈❆ ✶✷✸

t❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❍❡r❡✱ ✇❡ ❝❛❧❧ ✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ϕ✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ∃C >0, ∃M >0, ∀L>2,

Z

σ0µ(dσB(L)|σB(L)c = +1)−

Z

σ0µ(dσB(L)|σB(L)c =−1)6Ce−M L (WM)

✇❤❡r❡µ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ϕ✳ ❋♦r ❢❡rr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♣♦t❡♥t✐❛❧s✱ ✐t ✐s ✐♥❞❡❡❞

t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠ ♦❢ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ▲❡tP ❜❡ ❛♥ ❛ttr❛❝t✐✈❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥{−1,+1}Zd

♦❢ t❤❡ ❝❧❛ssC0❞❡✜♥❡❞ ❜② ✭✸✮✱ ❧❡t ϕ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧❧② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✹✮✱ ❛♥❞ G(ϕ) t❤❡ s❡t ♦❢ ●✐❜❜s

♠❡❛s✉r❡s ✇✳r✳t ϕ✳

• ■❢ t❤❡r❡ ✐s ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✭✐✳❡✳ #G(ϕ)>1✮ t❤❡♥ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s P ✐s ♥♦♥✲❡r❣♦❞✐❝✳ • ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✭✐✳❡✳ G(ϕ) ={µ}✮ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝sP ✐s ❡r❣♦❞✐❝

t♦✇❛r❞s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡µ✳

▼♦r❡♦✈❡r ✐❢ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ϕs❛t✐s✜❡s t❤❡ ✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ (WM)✱ t❤❡♥

t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t♦✇❛r❞s µ❤♦❧❞s ✇✐t❤ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛t❡✳

■♥ ❬✶❪✱ ✇❡ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ t❤❛t✱ ❢♦r ♥❡❛r❡st ♥❡✐❣❤❜♦✉r ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥K✱ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❤♦❧❞s

❢♦rβ ❧❛r❣❡✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❤❡♥d= 2✱ ❧❡t PJ ❜❡ t❤❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡ ❝❧❛ssC0 ♦❜t❛✐♥❡❞ t❛❦✐♥❣✿ K(±e1) =K(±e2) =J >0, K(k) = 0♦t❤❡r✇✐s❡✱ ✇❤❡r❡(e1, e2)✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢R2❛♥❞J ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧❧② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧ϕJ ✭❝❢✳ ✭✹✮ ✮ ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦✉r✲❜♦❞② ♣♦t❡♥t✐❛❧✿ ϕJ,Vk(σVk) = −log cosh(βJ

P

j∈Ukσj) ✇❤❡r❡ Uk={k−e1, k+e1, k−e2, k+e2}✳

❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ✇❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ ❤❡r❡ t❤❛t ❢♦rβ ❧❛r❣❡✱ t❤❡ P❈❆PJ ✐s ♥♦♥✲❡r❣♦❞✐❝ s✐♥❝❡ ✐t ❤❛s ❛t ❧❡❛st t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡sν− ❛♥❞ν+✳

▲❡t ✉s ♥♦✇ ❞✐s❝✉ss ❤♦✇ ❧❛r❣❡ ✐s t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❤❡r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ (WM)❤♦❧❞s✳ ❖♥❡ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡s

❲❡❛❦ ▼✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ✐s ✈❛❧✐❞ ✉♣ t♦ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ t❤❛t ✐s✱ ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✳ ■♥ t❤❛t s❡♥s❡✱ ♦✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧t ✇♦✉❧❞ ❣✐✈❡ ❡r❣♦❞✐❝✐t② ✇✐t❤ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛t❡ ♦♥ ❛ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r r❡❣✐♦♥ ❛s t❤❡ r❡❣✐♦♥ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❉♦❜r✉s❤✐♥✲❱❛s❡rs❤t❡✐♥ ❝r✐t❡✲ r✐♦♥ ❤♦❧❞s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❧❡t ✉s ♠❡♥t✐♦♥ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❬✺❪✱ ✇❤❡r❡✱ ✉s✐♥❣ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s✱ ✐t ✐s ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥d= 2✱ ❢♦r ❛ ❢❡rr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♥❡❛r❡st ♥❡✐❣❤❜♦✉r ■s✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤♦✉t ❡①✲

tr❡♠❛❧ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞✱ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ✐s ✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❛s s♦♦♥ ❛s ✐t ✐s ✉♥✐q✉❡ ✭✐✳❡✳

∀β, β < βc✮✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ♣r❡❝✐s❡ t❤✐s ❛ss❡rt✐♦♥✱ ❧❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝sPJ✳ ❆ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥

❛r❣✉♠❡♥t r❡❧❛t❡s t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ϕJ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦PJ ✇✐t❤ t❤❡ ✉s✉❛❧ ■s✐♥❣ ❢❡rr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♣❛✐r ♣♦✲ t❡♥t✐❛❧ ✇✐t❤ ✐♥t❡♥s✐t② ❝♦❡✣❝✐❡♥tJ ✭s❡❡ ❬✶✻❪✮✳ ❉✉❡ t♦ ❍✐❣✉❝❤✐✬s r❡s✉❧t✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡ ●✐❜❜s

st❛t❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤✐s ♣♦t❡♥t✐❛❧ ϕJ ✐s ✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛♣♣❡♥s ❢♦r β ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡ βc✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ■s✐♥❣ ❝r✐t✐❝❛❧

✐♥✈❡rs❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡βc=log(1+

√

2)

2J ✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t t❤❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝sPJ ✐s ❡r❣♦❞✐❝ ✇✐t❤ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛t❡ ❢♦rβ < βc❛♥❞ ♥♦♥✲❡r❣♦❞✐❝ ❢♦rβ > βc✳ ❚❛❦✐♥❣J = 1✱βc≃0.441❀ s✐♥❝❡ ❉♦❜r✉s❤✐♥✲❱❛s❡rs❤t❡✐♥ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❛♣♣❧✐❡s ♦♥❧② ❢♦r β < 1₂❆r❣t❤(1

2)≃0.275 ✭❝❢✳ ♣❛rt ✻✳✶✳✷ ✐♥ ❬✶✵❪✮✱ ♦✉rs ✐s ❜❡tt❡r✳

✸ Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✶

❊r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ P❈❆ ✶✷✺

❯s✐♥❣ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♦❢ P_B+++_(L)⊛P_B+++_(L) t❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐s ♥♦♥ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❛ss✉♠♣✲

t✐♦♥ ✭✷✮ t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ❜② 2|kf0 |ke−λn ✭∀n>n1✮✳ ❈❤♦♦s❡ ♥♦✇

n=L✳ ❘❡✇r✐t❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❛sQl+++,+++(ω2

0(n)−ω10(n))✇❤❡r❡

l

Q+++,+++(. ) =P⊛P_B+++_(L) .|(ω1, ω2)(0) = (+++,+++)

.

❯s✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✺✱ ✇❡ ❜♦✉♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡ ✇✐t❤ κ′Ql+++,+++(ω2

0(n)6=ω01(n))✳ ❆❝✲ ❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ❘❡♠❛r❦ ✹✱ ♥♦t❡ t❤❛t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦

l

Q+++,+++(.)✱ω02(n)6=ω01(n)✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ❡①✐sts ❛ ♣r❡✈✐♦✉s t✐♠❡n′ ✭0< n′< n✮ ❛♥❞ ❛ s✐t❡k ✐♥ B(L)c∩ {0}(n

′

)

s✉❝❤ t❤❛tω2

k(n′) =ω1k(n′)= +6 ++✳ ❇② t❛❦✐♥❣ n=L✱ ✇❡ ❤❛✈❡ {0} (n′)

⊂ B(L)❀

s♦ ✐s t❤✐s ❡✈❡♥t ❡♠♣t②✱ ✇❤✐❝❤ ❡♥s✉r❡sQl+++,+++_(ω2

0(n)6=ω01(n)) = 0✳ ❚❤✉s ✐s(A)♣r♦✈❡❞✳ ✷ Pr♦♦❢✳ ✭(A)✐♠♣❧✐❡s ✭✷✮ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✮

❚❤❡ ♠♦st ❞❡❧✐❝❛t❡ ♣❛rt ✐s t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛t❡ ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t♦✇❛r❞s ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❖✉r ♣r♦♦❢ ✐s ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ▼❛rt✐♥❡❧❧✐ ❛♥❞ ❖❧✐✈✐❡r✐ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❡r❣♦❞✐❝✐t② ❢♦r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ●❧❛✉❜❡r ❞②♥❛♠✐❝s ♦♥{−1,+1}Zd_{✭s❡❡ ❬✶✹❪✮✳ ❋♦r ❛♥② t✐♠❡}

n∈N✱ ❧❡t ✉s ❞❡✜♥❡ ❛ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr♦❧s t❤❡ ❡r❣♦❞✐❝✐t②✿

ρ(n) =IPω10(n)6=ω20(n) (ω

1

, ω2)(0) = (−−−,+++). ✭✽✮

■❢ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❜♦✉♥❞ (A)✱ t❤❛♥❦s t♦ ❢♦rt❤❝♦♠✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✽✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ t❤❛t limn→∞ρ(n) = 0✳ ❘❡♣♦rt✐♥❣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥(A)✐♥ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✵✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ ❢♦rt❤❝♦♠✐♥❣

▲❡♠♠❛ ✶✶ t♦ ❞❡❞✉❝❡ t❤❛t(ρ(n))n∈N∗ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦0❢❛st❡r t❤❛♥ 1

nd✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✉s✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✾✮

❛♥❞ ▲❡♠♠❛ ✶✷✱ ✇❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ρ(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ 0 ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❢❛st❀ t❤✉s✱ t❤❛♥❦s t♦

▲❡♠♠❛ ✼✱ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❤♦❧❞s✳ ✷

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ ❧❡♠♠❛s✿ ❋✐rst r❡♠❛r❦ t❤❡ ❡❛s② ❢❛❝t✿

▲❡♠♠❛ ✺ ▲❡t(Ω,A_,P)❜❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② s♣❛❝❡✱ ❛♥❞_Z❛ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ✈❛❧✉❡s ✐♥ ❛ ✜♥✐t❡

s❡t {z1 < . . . < zm} ♦❢ R✱ s✉❝❤ t❤❛tP(Z>0) = 1✳ ❚❤❡♥✱ ✐❢ κ= max{_z1_i, zi>0,16i6m} ❛♥❞ κ′ = max{zi,1 6 i 6 m} ✭✇❤✐❝❤ ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ Z ✉♥❞❡r P✮ ✇❡ ❤❛✈❡✿

P(Z 6= 0)6κ R

ZdP ❛♥❞R

ZdP 6κ′P(Z6= 0)✳

❯s✐♥❣ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣✱ t❤❡ t✇♦ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲❡♠♠❛s ❛r❡ ❡❛s✐❧② ♣r♦✈❡❞✳ ▲❡♠♠❛ ✻ ∀σ, η∈SZ

d

, σ4η✱IPω10(n)6=ω20(n) (ω

1_{, ω}2_{)(0) = (σ, η)6ρ(n)✳}

∀Λ⋐Zd✱∀n∈N✱∀ξ∈SZ d

✱

P_Λ−−− ω(n)∈.ω(0) =ξΛ(−−−)Λc4P ω(n)∈.

ω(0) =ξ ₄

P_Λ+++ ω(n)∈.ω(0) =ξΛ(+++)Λc✳ ρ(n)6P_Λ−−−⊛P_Λ+++(ω₀1(n)=6 ω₀2(n)|(ω1, ω2)(0) = (−−−,+++))✳

▲❡♠♠❛ ✼ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡(ρ(n))n∈N∗ ✐s ❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ❛♥❞∀f✱∀σ, η✱

P(f(ω(n))|ω(0) =σ)−P(f(ω(n))|ω(0) =η)

6 2 |kf |kρ(n).

❚❤✉s✱ ✐❢limn→∞ρ(n) = 0✱ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝sP ✐s ❡r❣♦❞✐❝✱ ❛♥❞supσ

P(f(ω(n))|ω(0) =σ)−ν(f)

62 |kf |k ρ(n)✱ ✇❤❡r❡ν ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ st❛t✐♦♥❛r② ♠❡❛s✉r❡✳

❊r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ P❈❆ ✶✷✾

✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡s t❤❡ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✐♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✶✮✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐s tr❡❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✳ ❙♦ t❤❡ r❡❝✉rs✐✈❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✶✵✮ ✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡❞✳ ✷

❲❡ ♥♦✇ st❛t❡ s♦♠❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❛❧②t✐❝ ❧❡♠♠❛s❀ ❢♦r ♣r♦♦❢s s❡❡ ❬✶✵✱ ✶✹❪✳

▲❡♠♠❛ ✶✶ ■❢limn→∞ρ(n) = 0❛♥❞ ✐❢∃ ( ˜C, M)∈(R+∗)2, ∃L1∈N∗,∀L∈N∗, L>L1,∀n∈N∗

ρ(2n)62(2L+ 1)dρ(n)2+ 2 ˜Ce−M L

t❤❡♥limn→∞ndρ(n) = 0✳

▲❡♠♠❛ ✶✷ ■❢ limn→∞ndρ(n) = 0✱ ❛♥❞ ✐❢ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭✾✮ ❤♦❧❞s t❤❡♥✱ ❢♦r ❛❧❧ n1 s✉❝❤ t❤❛t

(2d_{C)ˆ n}d

1ρ(n1)<1✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿

∀n>n1, ρ(n)6e−λn ✇❤❡r❡λ=−_2n1₁log(2d_Cnˆ d

1ρ(n1))>0✳

✹ Pr♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✷

❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ P❈❆ ✐♥ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡✱ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♠❡❛s✉r❡s ❛r❡ ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❦♥♦✇♥❀ ❜✉t ❢♦r t❤❡ ❝❧❛ssC0❤❡r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤❡♠ ✭❝❢✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶ ✐♥ ❬✶❪✮✳ ❚❤❡ ✉♥✐q✉❡ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝sPτ

Λ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②

ντΛ(σ) =

1 Wτ

Λ Y

k∈Λ

cosh



β X

j∈Zd

K(k−j)˜σj 

eβσk P

j∈ΛcK(k−j)τj_, ✭✶✼✮

✇❤❡r❡ σ˜=σΛτΛc✱ ❛♥❞ Wτ

Λ ✐s t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ❢❛❝t♦r✳ ❙✉❝❤ ♠❡❛s✉r❡ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s µτ_Λ(σ) = 1

Zτ

Λ❡①♣(−

P

A⊂Zd_,A∩Λ6=∅ϕA(σΛτΛc)) ❝♦♥tr❛r② t♦ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ❢♦r ●❧❛✉❜❡r ❞②♥❛♠✐❝s ✇❤❡♥ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❜❛❧❛♥❝❡ ❤♦❧❞s✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ t❤❡② ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ ❛s r❡❧❛t✐♦♥ ✭✶✽✮ ❛tt❡♠♣ts✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦t ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ ❛❧❧ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✭✶✽✮✱ ✭✶✾✮✳ ■♥t❡r❡st❡❞ r❡❛❞❡r ♠❛② r❡❢❡r r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t♦ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹✳✶✳✽ ❛♥❞ Pr♦♣❡rt② ✹✳✶✳✶✷ ✐♥ ❬✶✵❪✳

▲❡tΛ,Λ′ _{t✇♦ ✜♥✐t❡ s✉❜s❡ts ♦❢}Zd s✉❝❤ t❤❛t_Λ⊂Λ′ ❛♥❞∂iΛ∩∂iΛ′=∅✱ ✇❤❡r❡∂iΛ,{k∈Λ :

Uk∩Λc6=∅}✳ ▲❡tτ′ ❜❡ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢Λ❛♥❞µτ

′

Λ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ●✐❜❜s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ϕ ♦♥ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ Λ ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ τ′✳ ❲❡

t❤❡♥ st❛t❡✿

ν_Λτ′(dσΛ|σΛ′_\Λ) =µ

σΛ′ \ΛτΛ′c

Λ (dσΛ). ✭✶✽✮

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ϕ✐s ♥♦t r❡❛❧❧② ❛ ❢❡rr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐♥ t❤❡ ✉s✉❛❧ s❡♥s❡✳ ❍♦✇❡✈❡r ✇❡

❝❛♥ ❝❤❡❝❦ t❤❛t ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s ✈❡r✐❢② ❛ ❦✐♥❞ ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r✿

τ1 4 τ2 ⇒ µΛτ1 4µτΛ2 ✭s❡❡ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹✳✶✳✾ ✐♥ ❬✶✵❪✮✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s ♦♥ S Zd

♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s µ+ = limΛրZdµ(+)Λ c

Λ ❛♥❞ µ− = limΛրZdµ(−)Λ c

Λ ❛r❡ ❡①tr❡♠❛❧ st❛t❡s ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ st♦❝❤❛st✐❝ ♦r❞❡r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s❡tG(ϕ)✳ ❘❡❝❛❧❧ µ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡ ♦♥SZd

✐s ✐♥G(ϕ)✐❢✱ ♣❡r

❞❡✜♥✐t✐♦♥❡♠✱ ❢♦r ❛♥② ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡Λ⊂Zd✱ ❛ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♠❡❛s✉r❡ _µ(dσΛ|σΛc)

✐sµσΛc

Λ (dσΛ)✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❧❡t ✉s st❛t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✿

▲❡♠♠❛ ✶✸ ■❢ t❤❡ ❲❡❛❦ ▼✐①✐♥❣ ❈♦♥❞✐t✐♦♥ (WM)❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ϕ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡

✶✸✵ ❊❧❡❝tr♦♥✐❝ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ Pr♦❜❛❜✐❧✐t②

Pr♦♦❢✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ✜♥✐t❡ r❛♥❣❡R✱ ❧❡tL > R✳ ■t ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ s❤♦✇

R

σ0dν_B+_(L)−R σ0 dν_B−_(L)

6R

σ0 dµ+_B(L−R)−R σ0 dµ−_B(L−R)

✳ ▲❡t ✉s ✜rst ❝❤❡❝❦ R

σ0 dν_B+(L)6 R

σ0dµ+_B(L−R)✳ ▲❡tf0❜❡ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥SZ

d

❜②f0(σ) =σ0✳ ◆♦t❡ R

σ0dν_B+(L)=ν +

B(L)(ν +

B(L)(f0 |σB(L)\B(L−R)))✳ ❯s✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥ ✭✶✽✮ ✇✐t❤Λ′ =B(L)❛♥❞

Λ = B(L−R)✱ ✇❡ t❤❡♥ ❣❡t ν_B+_(L)(f0) = ν_B+_(L)(µ

σB(L)\B(L−R)(+1)B(L)c

B(L−R) (f0))✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t② ✐♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ●✐❜❜s ♠❡❛✲ s✉r❡s✱ ✇❡ ✜♥❞ µσB(L)\B(L−R)(+1)B(L)c

B(L−R) (f0) 6 µ

(+1)B(L−R)c

B(L−R) (f0)✳ ❙♦ ❞❡s✐r❡❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❤♦❧❞s✳

ν_B−_(L)(f0)>µ−_B(L−R)(f0)❝❛♥ ❜❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s❧② ❝❤❡❝❦❡❞✳ ✷ ▲❡♠♠❛ ✶✹ ❋♦r ❛ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝s P ♦❢ ❝❧❛ssC0 ✇✐t❤ K(.)♥♦♥ ♥❡❣❛t✐✈❡✱ t❤❡ ❡①tr❡♠❛❧ st❛t✐♦♥✲ ❛r② ♠❡❛s✉r❡s ν−−−_{, ν}+++ _{❝♦✐♥❝✐❞❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ✇✐t❤ ❡①tr❡♠❛❧ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s µ}− _{❛♥❞ µ}+ _{♦❢ G(ϕ)} ✭♣♦ss✐❜❧② t❤❡s❡ ❢♦✉r ♠❡❛s✉r❡s ❝♦✐♥❝✐❞❡✮✳

Pr♦♦❢✳ ▲❡tΛ, Λ′ ❜❡ t✇♦ ✜♥✐t❡ s✉❜s❡ts ♦❢Zd _{s✉❝❤ t❤❛tΛ⊂Λ}′_{✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r ❛❧❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s}

σΛ′_\Λ∈SΛ ′

\Λ_{✱ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡s ✇✐t❤ ❡①tr❡♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛r❡ s✉❝❤} t❤❛t✿

ν_Λ+′ (.)Λ|σΛ′_\Λ4ν_Λ+(.) ; ν_Λ−′ (.)Λ|σΛ′_\Λ<ν_Λ−(.) ✭✶✾✮

✭s❡❡ Pr♦♣❡rt② ✹✳✶✳✶✷ ✐♥ ❬✶✵❪ ❢♦r ❛ ♣r❡❝✐s❡ ♣r♦♦❢✮✳ ❯s✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥ ✭✶✽✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡❞✉❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ ✜♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡ ❛♥❞ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ♠❡❛s✉r❡✱ ✇✐t❤ ❡①tr❡♠❛❧ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ µ+_Λ 4ν_Λ+ ❛♥❞µ−_Λ <ν_Λ−✳ ❚❛❦✐♥❣ ♥♦✇ t❤❡ ❧✐♠✐t ✐♥

✈♦❧✉♠❡✱ ✇❡ ✜♥❞✿ µ+4ν+ ❛♥❞µ−<ν−✳

❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ν_Λ+ ✐sP_Λ+✲r❡✈❡rs✐❜❧❡✱ s♦ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❧✐♠✐t✱ν+ ✐sP✲r❡✈❡rs✐❜❧❡✳ ❆♥❛❧♦❣♦✉s❧②✱ ν−✐sP✲r❡✈❡rs✐❜❧❡✳ ❋r♦♠R=S ∩ G(ϕ)✱ ✇❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ν−❛♥❞ν+❛r❡ ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s✱ s♦ t❤❛♥❦s

t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t µ− ❛♥❞ µ+ ❛r❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♦r❞❡r✐♥❣ ❡①tr❡♠❛❧ st❛t❡s ❢♦r ●✐❜❜s ♠❡❛s✉r❡s✱ ✇❡

❞❡❞✉❝❡✿ ν+4µ+ ❛♥❞µ−4ν−✳ ❚❤✉s t❤❡ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s✳ ✷

❍❡r❡ ✐s t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✿

Pr♦♦❢✳ ❲❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✱ s✐♥❝❡µ− ❛♥❞ µ+ ❛r❡ ❡①tr❡♠❛❧ st❛t❡s ❢♦rG(ϕ)✱ ✇❡

❤❛✈❡ t❤❛t µ− 6=µ+✳ ❙♦✱ ✉s✐♥❣ ▲❡♠♠❛ ✶✹✱ t❤❡ t✇♦ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ✭❛❧s♦ st❛t✐♦♥❛r②✮ ♠❡❛s✉r❡s ν−

❛♥❞ν+ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t✳ ❚❤❡♥✱ ❞②♥❛♠✐❝sP ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ❡r❣♦❞✐❝✳

❲❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥✱ t❤❡♥ G(ϕ) ={µ} ✇❤❡r❡µ=µ−=µ+ ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ●✐❜❜s

st❛t❡✳ ❚❤❛♥❦s t♦ ▲❡♠♠❛ ✶✹✱ ✐t ❤♦❧❞s ν− = µ− = µ+ = ν+✳ ❚❤❡ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸ st❛t❡s t❤❡

✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡P✲st❛t✐♦♥❛r② ♠❡❛s✉r❡ ❛♥❞ t❤❡ ❡r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ t❤❡ P❈❆ ❞②♥❛♠✐❝sP✳

❋✐♥❛❧❧②✱ ✐❢ ✇❡❛❦ ♠✐①✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ (WM) ✐s ❛ss✉♠❡❞✱ t❤❡♥ ▲❡♠♠❛ ✶✸ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✐♥❡q✉❛❧✲

✐t② (A)❤♦❧❞s✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ ✉s✐♥❣ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ✷

❆❝❦♥♦✇❧❡❞❣♠❡♥ts

✿

❚❤✐s ✇♦r❦ ✐s ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❛✉t❤♦r✬s P❤❉ ❚❤❡s✐s✱ r❡❛❧✐③❡❞ ❛t t❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐té ▲✐❧❧❡ ✶ ❛♥❞ P♦❧✐t❡❝♥✐❝♦ ♦❢ ▼✐❧❛♥✳ P✳✲❨✳ ▲♦✉✐s ✇❛r♠❧② t❤❛♥❦s ❤✐s P❤❉ ❛❞✈✐s❡rs✱ P✳ ❉❛✐ Pr❛ ❛♥❞ ❙✳ ❘÷❧❧②✱ ❢♦r s✉♣❡r✈✐s✐♥❣ ❤✐s ✇♦r❦✱ ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❡♥❝♦✉r❛❣❡♠❡♥ts t❤❡② ♣r♦✈✐❞❡❞✳ ❆♥ ❛♥♦♥②♠♦✉s r❡❢❡r❡❡ ✐s ❛❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡❞ ❢♦r ❝❛r❡❢✉❧❧② r❡❛❞✐♥❣ t❤❡ ✜rst ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r✳

❊r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ P❈❆ ✶✸✶

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❬✶❪ P✳ ❉❛✐ Pr❛✱ P✳✲❨✳ ▲♦✉✐s✱ ❛♥❞ ❙✳ ❘÷❧❧②✳ ❙t❛t✐♦♥❛r② ♠❡❛s✉r❡s ❛♥❞ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ❝❡❧❧✉❧❛r ❛✉t♦♠❛t❛✳ ❊❙❆■▼ ✿ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✻✿✽✾✕✶✵✹✱ ✷✵✵✷✳

❬✷❪ ❍✳ ❞❡ ❏♦♥❣ ❛♥❞ ❈✳ ▼❛❡s✳ ❊①t❡♥❞❡❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ❝r✐t❡r✐❛ ❢♦r ❡r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ♣❛rt✐❝❧❡ s②st❡♠s✳ ■♥t❡r♥❛t✳ ❏✳ ▼♦❞❡r♥ P❤②s✳ ❈✱ ✼✭✶✮✿✶✕✶✽✱ ✶✾✾✻✳

❬✸❪ ▼✳ ❉②❡r✱ ❆✳ ❙✐♥❝❧❛✐r✱ ❊✳ ❱✐❣♦❞❛✱ ❛♥❞ ❉✳ ❲❡✐t③✳ ▼✐①✐♥❣ ✐♥ t✐♠❡ ❛♥❞ s♣❛❝❡ ❢♦r ❧❛tt✐❝❡ s♣✐♥ s②st❡♠s✿ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t♦r✐❛❧ ✈✐❡✇✳ ❘❛♥❞♦♠ ❙tr✉❝t✉r❡s ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ✷✹✭✹✮✿✹✻✶✕✹✼✾✱ ✷✵✵✹✳ ❬✹❪ P✳ ❆✳ ❋❡rr❛r✐✳ ❊r❣♦❞✐❝✐t② ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ❝❡❧❧✉❧❛r ❛✉t♦♠❛t❛✳ ❘❡✈✳ ▼❛t✳ ❆♣❧✳✱

✶✷✭✷✮✿✾✸✕✶✵✷✱ ✶✾✾✶✳

❬✺❪ ❨✳ ❍✐❣✉❝❤✐✳ ❈♦❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ (∗)✲❝❧✉st❡rs✳ ■■✳ ■s✐♥❣ ♣❡r❝♦❧❛t✐♦♥ ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳

Pr♦❜❛❜✳ ❚❤❡♦r② ❘❡❧❛t❡❞ ❋✐❡❧❞s✱ ✾✼✭✶✲✷✮✿✶✕✸✸✱ ✶✾✾✸✳

❬✻❪ ❘✳ ❍♦❧❧❡②✳ P♦ss✐❜❧❡ r❛t❡s ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥ ✜♥✐t❡ r❛♥❣❡✱ ❛ttr❛❝t✐✈❡ s♣✐♥ s②st❡♠s✳ ■♥ P❛rt✐❝❧❡ s②st❡♠s✱ r❛♥❞♦♠ ♠❡❞✐❛ ❛♥❞ ❧❛r❣❡ ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ✭❇r✉♥s✇✐❝❦✱ ▼❛✐♥❡✱ ✶✾✽✹✮✱ ♣❛❣❡s ✷✶✺✕✷✸✹✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ Pr♦✈✐❞❡♥❝❡✱ ❘■✱ ✶✾✽✺✳

❬✼❪ ■✳ ❆✳ ■❣♥❛t②✉❦ ❛♥❞ ❱✳ ❆✳ ▼❛❧②s❤❡✈✳ ❈❧✉st❡r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r ❧♦❝❛❧❧② ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥s✳ ❱❡st♥✐❦ ▼♦s❦♦✈✳ ❯♥✐✈✳ ❙❡r✳ ■ ▼❛t✳ ▼❡❦❤✳✱ ✺✿✸✕✼✱ ✶✵✸✱ ✶✾✽✽✳

❬✽❪ ❖✳ ❑♦③❧♦✈ ❛♥❞ ◆✳ ❱❛s✐❧②❡✈✳ ❘❡✈❡rs✐❜❧❡ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥s ✇✐t❤ ❧♦❝❛❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✳ ■♥ ▼✉❧t✐✲ ❝♦♠♣♦♥❡♥t r❛♥❞♦♠ s②st❡♠s✱ ♣❛❣❡s ✹✺✶✕✹✻✾✳ ❉❡❦❦❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✶✾✽✵✳

❬✾❪ ❏✳ ▲✳ ▲❡❜♦✇✐t③✱ ❈✳ ▼❛❡s✱ ❛♥❞ ❊✳ ❘✳ ❙♣❡❡r✳ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ❝❡❧❧✉❧❛r ❛✉t♦♠❛t❛✳ ❏✳ ❙t❛t✐st✳ P❤②s✳✱ ✺✾✭✶✲✷✮✿✶✶✼✕✶✼✵✱ ✶✾✾✵✳

❬✶✵❪ P✳✲❨✳ ▲♦✉✐s✳ ❆✉t♦♠❛t❡s ❈❡❧❧✉❧❛✐r❡s Pr♦❜❛❜✐❧✐st❡s ✿ ♠❡s✉r❡s st❛t✐♦♥♥❛✐r❡s✱ ♠❡s✉r❡s ❞❡ ●✐❜❜s ❛ss♦❝✐é❡s ❡t ❡r❣♦❞✐❝✐té✳ P❤❉ t❤❡s✐s✱ ❯♥✐✈❡rs✐té ❞❡ ▲✐❧❧❡ ✶ ❛♥❞ P♦❧✐t❡❝♥✐❝♦ ❞✐ ▼✐❧❛♥♦✱ s❡♣t❡♠❜❡r ✷✵✵✷✳ ❆✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛t ❯❘▲✿ ❤tt♣✿✴✴t❡❧✳❝❝s❞✳❝♥rs✳❢r✴❞♦❝✉♠❡♥ts✴❛r❝❤✐✈❡s✵✴ ✵✵✴✵✵✴✷✷✴✹✺✴✐♥❞❡①❴❢r✳❤t♠❧✳

❬✶✶❪ P✳✲❨✳ ▲♦✉✐s✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❢♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ❝❡❧❧✉❧❛r ❛✉t♦♠❛t❛✳ Pr❡♣r✐♥t ✷✵✵✹✴✵✹ P♦ts❞❛♠ ❯♥✐✈❡rs✐tät✱ ✷✵✵✹✳

❬✶✷❪ ❈✳ ▼❛❡s ❛♥❞ ❙✳ ❇✳ ❙❤❧♦s♠❛♥✳ ❊r❣♦❞✐❝✐t② ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ❝❡❧❧✉❧❛r ❛✉t♦♠❛t❛✿ ❛ ❝♦♥str✉❝t✐✈❡ ❝r✐t❡r✐♦♥✳ ❈♦♠♠✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✳✱ ✶✸✺✭✷✮✿✷✸✸✕✷✺✶✱ ✶✾✾✶✳

❬✶✸❪ ❱✳ ❆✳ ▼❛❧②s❤❡✈ ❛♥❞ ❘✳ ❆✳ ▼✐♥❧♦s✳ ●✐❜❜s r❛♥❞♦♠ ✜❡❧❞s✳ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs ●r♦✉♣✱ ❉♦r❞r❡❝❤t✱ ✶✾✾✶✳

❬✶✹❪ ❋✳ ▼❛rt✐♥❡❧❧✐ ❛♥❞ ❊✳ ❖❧✐✈✐❡r✐✳ ❆♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♦❢ ●❧❛✉❜❡r ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ t❤❡ ♦♥❡ ♣❤❛s❡ r❡❣✐♦♥✳ ■✳ ❚❤❡ ❛ttr❛❝t✐✈❡ ❝❛s❡✳ ❈♦♠♠✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✳✱ ✶✻✶✭✸✮✿✹✹✼✕✹✽✻✱ ✶✾✾✹✳

❬✶✺❪ ▲✳ ◆✳ ❱❛s❡rs❤t❡✐♥✳ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦❝❡ss❡s ♦✈❡r ❞❡♥✉♠❡r❛❜❧❡ ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ s♣❛❝❡s ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❧❛r❣❡ s②st❡♠ ♦❢ ❛✉t♦♠❛t❛✳ Pr♦❜❧❡♠② P❡r❡❞❛↔✐ ■♥❢♦r♠❛❝✐✐✱ ✺✭✸✮✿✻✹✕✼✷✱ ✶✾✻✾✳