Bab I (Antiturunan) | Dwipurnomoikipbu's Blog

BAB I ANTITURUNAN

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami antiturunan suatu integran (fungsi) dan sifat-sifatnya serta dapat mengaplikasikannya dalam menentukan integral tak tentu.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan

teorema dasar antiturunan yaitu

_

 

 , 1

1

n x dx x

n

n _{untuk n 1.}

2. Mahasiswa dapat menggunakan sifat-sifat kelinearan integral untuk menentukan antiturunan suatu fungsi.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan teorema dasar antiturunan yang diperumum yaitu,













 



, 1

) ( )

( ' ) (

1 c n

x x f dx x f x f

n

n _{untuk n 1}

Bab I dalam buku ini membahas tiga hal pokok yang berkaitan antiturunan suatu fungsi, yaitu: (1) turunan, (2) antiturunan, (3) sifat-sifat integral tak tentu.

1.1 Turunan

Fungsi-fungsi dalam contoh berikut ini merupakan fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dan implisit.

1. _{y x}2 _ 3_x 4

2. _{3 2}

1 3 2

2

  

x x y

3. y2cos(x5) 4. ycoshxsinhx 5. ln1 ₁

  

x x y

6.

x x y

  

1 2 1

7. y x x x

8. _x2_y2_ 25_0 9. _x2_yxy2_ 2_0 10. _x2_y2 _ 2_{x y}1_0 11. 1 cos xy 0

12. xy sinxy 10

Berdasarkan contoh di atas, tampak bahwa fungsi-fungsi pada nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi ekplisit dan fungsi-fungsi tersebut dapat eksplisit tersebut dapat dinyatakan penulisannya dalam bentuk fungsi implisit. Bagaimana bentuk fungsi implisitnya, ditinggalkan dalam pembahasan ini sebagai latihan bagi pembaca. Selanjutnya fungsi-fungsi pada contoh 7, 8, 9, 10, 11, dan 12 adalah fungsi implisit. Berbeda dengan fungsi eksplisit yang secara langsung dapat diubah menjadi fungsi impilisit, Fungsi implisit tidak semuanya dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada contoh di atas bentuk implisit dari

0 25

2

2_{y  }

x adalah _{y 25 x}2

 

 . Akan tetapi fungsi x2yxy2 20 tidak

dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Berdasarkan fakta ini dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi eksplisit dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.

Guna pengembangan dan latihan lebih lanjut, pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dengan mengelompokkannya kedalam bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya jika fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit yf(x)_{, x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut} peubah tak bebas (dependent). Fungsi yang berbentuk f(x,y)0 _{jika dapat} diubah dalam bentuk ekplisit, x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

Definisi

Jika y f(x) _{adalah suatu fungsi, maka turunan (derevative) fungsi adalah}

fungsi lain yang dinotasikan dengan dx dy

dan didefinisikan oleh

x x f x x f dx

dy

x _

   

 

) ( ) (

lim

0 , asalkan limitnya ada.

Selanjuta jika



xx



t maka xt x

Karena x 0maka t x

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain yaitu:

x x f x x f dx

dy

x _

   

 

) ( ) (

lim

0

x t

x f t f

x

t _

 



) ( ) (

lim , asalkan limitnya ada.

Fungsi yang ditulis dalam bentuk y f(x) _{turunannya dapat dinyatakan dengan}

notasi yang lain,

dx x df x f D x

f x

) ( ), ( ), (

' .

diferensial. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit.

Contoh Tentukan

dx dy

fungsi-fungsi berikut. 1. y xc

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas diperoleh

x x f x x f dx

dy

x _

   

 

) ( ) (

lim

0



 



x

c x c x x

x _

     

 lim0



  

x x x x

x _

   

 lim0

x x x

x x x x

x x x

x _{ }

   

   



lim0 .



x x x



x

x x x

x _{  }    

 

) ( ) (

lim

0



x x x



x

x x _{  }

 

 lim0

x x x

x _{ } 

 

1 lim

0

x 2

1  2.

) 1 (

3 x y

 

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas diperoleh

x x f x x f dx

dy

x _

   

 

) ( ) (

lim

0

x diperoleh

x diperoleh



x x x



x

x x

x o

x _{1 2( 1 2}

) 2 1 ( ) (

2 1 lim

     

     

 

x x

x

x _{1 2( ) 1 2}

2 lim

0 _{   }

 

 

x 2 1 2

2   

x 2 1

1   

5. _ylnx

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas diperoleh

x x f x x f dx

dy

x _

   

 

) ( ) (

lim

0





x x x x

x _

   

 

ln ln

lim

0

x x

x x

x _

  

 

ln lim

0

x x

x

x _

  

 

1 ln lim

0

x

x _x

x  

 _

 



 

 

1

0ln 1

lim

x x x

x _x

x 1

0 1

lim ln

 

 

 

 

   



 



 

 

x

e 1

ln



x 1 

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differentiable (dapat diturunkan).

Dalam hal yang lebih umum, dengan menggunakan definisi turunan fungsi,

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 6

jika _{y x}n _{maka turunannya adalah nx}n1

dx dy

: Bukti selengkapnya sebagai berikut:

x turunan fungsi dapat ditentukan beberapa sifat berikut:

5.

dx dv dx du v u dx

d

   ) (

6.

dx dv dx du v u dx

d

   ) (

7.

dx dw dx dv dx du w v u dx

d

   

 )

(

8.

dx du c cu dx

d

 ) (

9.

dx dv u dx du v dx du v dx dv u uv dx

d

  

 ) (

10.

dx dw vw dx dv uw dx dw uv uvw dx

d

 

 ) (

11.

2

v dx dv u dx du v

v u dx

d 

      

12. x x

dx d

cos ) (sin 

13. x x

dx d

sin )

(cos 

14. x x

dx

d _{(tan )sec}2

15. x x

dx

d _{(cot ) csc}2

16. x x x

dx d

tan sec ) (sec 

17. x x x

dx d

cot csc )

(csc 

18. _ex _ex dx

d

 ) (

19. a a a

dx

d ₍ x_) x_ln

20.

x x dx

d 1

) (ln 

21.



x



_{x a} dx

d a

ln 1

log 

Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit yf(x)_{. Jika suatu fungsi ditulis dalam bentuk implisit} f(x,y)0 maka turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial, yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing bagian fungsi tersebut sehingga diperoleh df(x,y)d(0) _{dan sifat-sifat yang berlaku pada turunan berlaku pada} diferensial dalam fungsi implisit.

Jika uu(x),v v(x),ww(x) _{yang masing-masing dapat} terdiferen-sialkan dan c bilangan real maka:

1. d(c)0 2. d(x)dx

3. d₍cxn₎ cnxn1dx 

4. d₍un₎ nun1du



5. d(uv)dudv 6. d(u v)du dv

7. d(uvw)dudvdw 8. d(cu)cdu

9. d(uv)uduvduvduudv 10. d(uvw)uvdwuwdvvwdu

11. _v2

dv u du v v u

d  

    

12. d(sin x)cosx dx 13. d(cosx)  sinxdx 14. d_(tanx_{) sec}2 xdx



15. d x 2 xdx csc )

(cot 

16. d(secx)secxtanx dx 17. d(cscx) cscxcotx dx 18. d ex exdx



) (

19. d ax ax adx ln )

( 

20.

x dx x

21. d



a x



_xdx_a ln

log 

Berdasarkan sifat di atas dapat ditentukan turunan fungsi implisit. Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut ini:

Tentukan dx dy

fungsi impilisit berikut ini: 1. _x2 _y2 _ 25_0

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: )

0 ( ) 25 ( ) ( )

(_x2 _{d y}2 _{d d}

d   

0 2

2  

 xdx ydy

0  



dx dy y x

y x dx dy

  

2. _x2_yxy2_ 2_0

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: )

0 ( ) 2 ( ) ( )

( 2 2

d d

xy d y x

d   

0 0 ) 2

( ) 2

( 2 _{  } 2 _{ }

 x dy xydx xydy y dx

0 ) 2 ( ) 2

( 2 2

 

 

 xy y dx x xy dy

0 ) 2 ( )

2

( 2 2

 

  

 xy y dx x xy dy

Sehingga diperoleh

xy x

y xy dx

dy

2 2

2 2 

  

3. y x x x

Jawab

Untuk menentukan dx dy

dari fungsi di atas, terlebih dahulu fungsinya diubah menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:

x x x

y

x x x

y 

 2

x x x y4 _ 2( )



 

x x y8 _ 3 2 

0

7

8_{ }

 y x

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: )

0 ( ) ( )

(_y8 _{d x}7 _d

d  

0 7

8 7 _ 6 _

 y dy x dx

dx x dy y7 ₇ 6

8 



Sehingga 7 6

8 7

y x dx dy



4. x2y2 _4xy_12y

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: )

12 ( ) 4 ( )

(_x2_y2 _{d xy d y}

d  

0 12 ) 4 4

( ) 2 2

( 2 2

 

 



 x ydy xy dx xdy ydx dy

0 ) 12 4 2

( ) 4 2

( 2 2

 

 



 xy y dx x y x dy

dy x

y x dx

y

xy 4 ) (2 4 12)

2

( 2 _{ } 2 _{ }



Sehingga diperoleh

12 4 2

4 2

2 2

 

 



x y x

y xy dx

dy

Soal-soal

Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan turunan      

dx dy

fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan aturan yang sudah dijelaskan sebelumnya.

1) 

     

2 sin2 x

y

2) _y



_{sinx cosx}



3 



3)

2

3 ₁

2 1

   

 

  

x y

4)





3

2 2 ₄

2 

5) _y



_x2 _4x6



2

6) _y3_1x3

7) y x2  7x

8) _y



_{3x 2}



10



_{5x2  x1}



12

9) _y



_x2 _1



4 _x3 _1 10) _x3 _3_x2_y 8_xy2_2_y3 _0 11) xy2y1

12) _xyy3 _2

13) _x3_y 4_xy3_3_0 14) _yx3₃x

15) yx3ln(x2 1)

16) arctan( 25)

e x y

17) yarccos(ex 5x)

18) yexarcsin(ax2 b)

19) yarcsec(apxq  esinx)

1.2 Antiturunan

Antiturunan merupakan balikan (invers) dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya memerlukan pemahaman kembali tentang turunan suatu fungsi. Menurut definisi turunan fungsi, jika y x maka

x dx

dy 2

1

 _.

Dengan cara yang sama, diperoleh 1. Jika y x 3 maka

x dx

dy 2

1

 _.

2. Jika y x 3maka

x dx

dy 2

1

 _.

3. Jika y x 100maka

x dx

dy 2

1  _.

4. Jika

7 1



 x

y maka

x dx

dy 2

1

 _{, dan seterusnya.}

Dengan kata lain, jika y xc,creal maka

x dx

dy 2

1

 _.

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan antiturunan

fungsi dinyatakan dengan bentuk x c c real x

Ax   

    

, 2

1

Hal ini berarti

bahwa fungsi y xc,creal _{mempunyai turunan}

x dx

dy 2

1

 _.

atau antiturunan dari       

x x

f

2 1 )

( adalah F(x) xc,creal. Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut terintegralkan (integrable).

Dalam hal yang lebih umum, bentuk x c c real x

Ax   

    

, 2

1

dinyatakan dengan

_

_   

   

c x dx x 2

2

. Jadi, misal yf(x) _dan

antiturunannya F(x)c maka

_

f(x)dxF(x)c,creal _{dan disebut} integral tak tentu.

Bentuk

_

f(x)dxF(x)c,creal _, f(x) _{disebut integran dan} F(x)c disebut anti turunan.

Teorema 1.

Jika n sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:





 

 c n

x dx x

n n

1

1

.

Akibatnya jika n = -1 maka

_

_xn_dx

_

_x1_dx

= dx x c

x  



1 ln

Bukti

Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk



f(x)dxF(x)c,cR



F(x) c



f(x)

D_x  

Dalam kasus di atas

n n n

x n x x

n c n

x

D 

  

 

      

 

 



) 1 ( 1 1 1

1

1.3 Sifat-sifat Integral Tak Tentu Teorema 2

Misal f(x) _dan g(x) _{fungsi-fungsi yang integrable dan c sebarang konstanta} maka:

1.

_

cf(x)dxc

_

f(x)dx

2.

_

 f(x)g(x)dx

_

f(x)dx

_

g(x)dx_, 3.

_

f(x) g(x)dx

_

f(x)dx

_

g(x)dx_,

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

1. D_x



c

_

f(x)dx



cD_x



_

f(x)dx



` cf(x)

2. D_x



_

f(x)dx

_

g(x)dx



D_x



_

f(x)dx



D_x



_

g(x)dx



)

( ) (x g x

f 



3. D_x



_

f(x)dx

_

g(x)dx



D_x



_

f(x)dx



 D_x



_

g(x)dx



)

( ) (x g x

f 



Ketiga sifat yang telah dibuktikan di atas dinamakan sifat kelinearan integral tidak tentu. Guna memudahkan menentukan integral suatu fungsi, berikut ini diberikan beberapa rumus dasar integral tidak tentu.

1. , 1

1

1

  

 





c nbilangan rasionaldann n

u du u

n n

Akibatnya untuk n = -1 diperoleh

_



_

 

_

_du _u _c u

du u du

un 1 1 _ln

2.









, 1

1 ) ( )

( ' ) (

1

  

 





c jika n

n x u dx x u x u

n n

3.

_

dx  f x c x

f x f

) ( ln )

( ) ( '

4.

_

eudueu c

5.

_

 c

u a du

au u

ln

6.

_

u dvuv

_

vdu 7.

_

sinu du  cosuc 8.

_

cosu dusinuc 9.

_

sec2udu tanuc 10.

_

csc2u du cotuc 11.

_

secutanu du secuc 12.

_

cscucotu du  cscuc

13.

_

tanu dulnsecu c lncosu c 14.

_

cotu du lnsinu c lnsinu c 15.

_

secu du lnsecutanu c

16.

_

cscu du lncscu cotu c

17.

_

 

     

 a c a real

u u

a du

, arcsin

2 2

18.

_

_

 

     

 

 a c a real

u a

a u

du u

a du

, arctan

1

2 2 2

2

19.

_

 

  

 u a c a real

a u a u

a du

, ln

2 1

2

2

20.

_

 

  

 u a c a real

a u a a u

du

, ln

2 1

2

2

21.



    

 a u u u c a real u

du

,

ln 2 2

22.

_

    

40.

_

_  _ 

_

 _{u du} n

n n

u u du

u n n

n sin 1 cos 1 _sin 2

sin

41. tan tan , 1

1 1

tan 1 _ 2 _





_



 _u  _{udu jikan}

n du

u n n

n

42. cot cot , 1

1 1

cot 1 _ 2 _





_



 _u  _{udu jikan}

n du

u n n

n

43. sec , 1

1 2 tan

sec 1 1

sec 2 2 _

   



_



  _{u du jikan}

n n u u n

du

u n n

n

44. csc , 1

1 2 cot

csc 1 1

csc 2 2 _

   





_



  _{u du jikan}

n n u u n

du

u n n

n _,

45. u udu n m

m n

n m

n

u u

du u

u m n m n m

n _

   





_



_{sin cos} sin 1 cos 1 1 _sin 2 _{cos ,}

46.

_

usinu dusinu ucosuc 47.

_

ucosudu cosuusinuc

48.

_

_un_{sinu duu}n_cosun

_

_un1_cosudu

49.

_

_un _{cosu du u}n_sinun

_

_un1_sinudu

50.

_

ud



u



 _sin2uc 2

1 sin

sin

51.

_

u d



u



 _cos2uc 2

1 cos

cos

52.

_

ud



u



 _tan2uc 2

1 tan tan

53.

_

ud



u



 _cot2uc 2

1 cot cot

54.

_

ud



u



 _sec2uc 2

1 sec sec

55.

_

u d



u



 _csc2uc 2

1 csc csc

56.

_

u a duu u a a lnu u a c,denganareal 2

2

2 2 2

2 2 2

2

57.



      c denganareal

u a u a a a u du u

a u

, ln

2 2 2

2 2

2

58.



    

a du u u a c dengana real u

du

,

ln 2 2

59.

_

 

94.

_

coshu du sinhuc 95.

_

tanhu dulncoshu c 96.

_

cothu du lnsinhu c

97.

_

du  u c

u arctansinh cosh

112.

au 2 arcsin

127.

_

_

139. _c

Contoh

Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral yang sesuai. 1.

_



x2 x



dx

Jawab





_

_

2 2 1 3

2 1 3

1

c x c

x   



2 1 2 3

2 1 3 1

c c x

x   



c x

x  

 3 2

2 1 3 1

2.

_

_

dx x

dx x





2

1

Jawab





_dx

x x x dx x

dx x





1  2 1

2 4 2







 

 dx

x dx

x x dx

x

x4 2 2 1



_



_





 x7/2dx ₂ x3/2dx x 1/2dx

c x x

x  

  

  

 9/2 5/2 2 1/2 5

2 2 9

2

c x x

x   

 9/2 5/2 2 1/2 5

4 9

2

3.

dx x x x



3

2

) 1 (

Jawab

dx x x dx x x dx

x x







 



3 3

2 3

3

2







 

 x8/3dx ₂ x5/3dx x2/3dx

c x x

x   

 11/3 8/3 5/3 5 3 4

3 11

3

Teorema 3



sinx dx cosxc



cosxdxsinxc Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa Dx( cosx)sinx dan Dx(sinx)cosx.

Teorema 4

Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan rasional yang bukan -1, maka:









c c R

n x f dx x f x f

n n

   





, 1 ) ( )

( ' ) (

1

Perhatikan contoh berikut 1.

_

3x 4x2  11dx

Jawab

Karena Dx(4x 11) 8x dx

2 _{ }

, sehingga berdasarkan teorema di atas

 





x x  dx 4x 11 8x dx 8

3 11 4

3 2 2

c x

 



2 / 3

) 11 4

( 8

3 2 3/2

c

x  

 (4 2 11)3/2 4

1

2.



_ dy

y y

5 2

3

2

Jawab

Karena Dy(2y 5) 4ydy

2



 _{, maka}



y



ydy dy

y y

3 5 2 5

2

3 ₂1

2

2





  





_ 

 y 4ydy

4 3 ) 5 2

( 2 1/2



_ 

 (2y 5) .4ydy 4

3 2 1/2

c y

 



2 / 1

) 5 2 ( . 4

3 2 1/2

c y  

 2 5

2

3.

_

3sin(6x2)dx

Jawab

Misal U 6x2  dU 6dx atau

2 dU

dx _{, sehingga}





 

2 sin )

2 6 sin(

3 x dx U dU



 sinUdu 2

1

c U  

 ( cos ) 2

1

c x  

 cos(6 2) 2

1

4.

_

sinx 1cosxdx

Jawab

Misal A 1cosx  A2 1cosx dx

x dA ( sin )

2   _{, sehingga:} dA A A dx x

x 1 cos ( 2 )

sin  

_









 ₂ A2dA

c A  

 3

3 2

c

A 

 

 (1 cos )3 3

2

1.4 Soal-soal

Gunakan metode yang sesuai untuk menentukan integral fungsi di bawah ini. 1.

_

(x 2 3)3 2dx

2.

_

_(x3 ₁₎4_3x2dx

3.

_

₍₅x2₁₎₍₅x3₃x ₈₎6dx 4.

_

(5x2 1) 5x33x 8dx

5.

_

_   

  

 

 x x dx

x x

1 2

1 2

2 2

6. dx

x x x

x

5 2

3 )

5 2

( 3

2 2

/ 3 4

3

 

 



7.

_

 

dx x

x x

1 1

4 2

4

8.

_

dx

x

3 cos

1

2

9.

_

_sin3





x2 ₁



4



_cos





x2 ₁



4





x2 ₁



3dx

10. Andaikan _{u sin}





_x2 _1



4



_Tentukan

_

_sin2_udu

11.

_

6sin3x 2dx

12.

_



    

dx x 6 sin3

13.

_

(x2cos2xxsin2x)dx 14.

_

2sin2 2xdx

15.

_

sec xtanxdx 3

1 2

16.

_

_2sinx_cos2 xdx

17.

_





dx x x

x

44 2

11 2

2

18.

_

cos 4xdx 3

1 2

19.

_

2x 4x2  5dx