M01494

(1)

1

BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS UNTUK MENGETIMASI PARAMETER MODEL COX-REGRESSION PADA KASUS KETAHANAN HIDUP

PASIEN PENDERITA JANTUNG KORONER

A. Dewi Lukitasari1, Adi Setiawan2, Leopoldus Ricky Sasongko3

1,2,3

Program Sudi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika,

Universitas Kristen Satya Wacana, Jl.Diponegoro No.52-60, Salatiga.

1

[email protected],2 [email protected],

3

[email protected]

ABSTRAK

Penerapan model Cox-Regression dalam konteks survival analysis dengan

pendekatan Bayesian untuk memodelkan ketahanan hidup pasien penderita jantung

koroner dibahas dalam paper ini. Data yang digunakan adalah waktu hidup pasien,

status pasien (hidup/mati) dan treatment yang dikenakan. Diambil dua treatment yang

digunakan oleh pasien penderita jantung koroner yaitu ring dan bypass. Pendekatan

yang digunakan adalah pendekatan Bayesian (Bayesian approach) untuk mencari

distribusi posterior parameter. Updating data menggunakan metode Markov Chain

Monte Carlo (MCMC) dengan algoritma Gibbs Sampling. Software winBUGS 1.4

membantu dalam mengestimasi nilai setiap parameter yaitu koefisien regresi .

Parameter yang diestimasi dari model Cox-Regression digunakan untuk menghitung

probabilitas bertahan hidup pasien penderita jantung koroner.

(2)

2 PENDAHULUAN

Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang kian pesat menuntut berbagai

aspek untuk menemukan inovasi guna mempermudah kehidupan manusia. Inovasi

teknologi yang serba canggih membawa dampak pada perubahan pola hidup

masyarakat yang cenderung serba instan. Tidak dapat dipungkiri pola hidup tersebut

membawa dampak negatif. Diantaranya muncul berbagai jenis penyakit yang

berbahaya dan mematikan, salah satunya adalah penyakit jantung koroner [1].

Menurut World Health Organization (WHO) atau Badan Kesehatan Dunia, penyakit

jantung koroner merupakan penyakit dengan urutan pertama penyebab kematian dan

tersebar di seluruh dunia. Pada tahun 2012 tercatat 7,2 juta orang di seluruh dunia

meninggal setiap tahunnya akibat penyakit ini. Banyaknya orang yang meninggal

akibat ini diperkirakan akan terus meningkat hingga 23,3 juta di tahun 2030 [2].

Karena penyakit ini sangat berbahaya maka seseorang yang terkena penyakit ini akan

melakukan investasi sebagai bentuk antisipasi apabila sewaktu-waktu penyakit ini

kambuh dan harus menjalani perawatan atau operasi. Perusahaan asuransi perlu untuk

menentukan peluang waktu hidup seseorang yang akan melakukan asuransi. Peluang

hidupnya biasa direpresentasikan dengan membuat tabel mortalitas.

Angka kematian yang tinggi akibat penyakit jantung koroner menimbulkan

perkembangan inovasi di bidang aktuaria, engineering dan biostatistik yaitu

munculnya survival analysis yang digunakan untuk memodelkan data survival [3].

Survival analysis bertujuan menduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu serta

mejelaskan pengaruh variabel independent terhadap waktu survive [4]. Teknik

analisis yang biasa digunakan antara lain parametric, semi-parametric dan

non-parametric [5]. Salah satu teknik analisis non-parametric sederhana yang digunakan untuk memodelkan data survival adalah model Cox-regression. Sedangkan untuk

permodelan data dikenal ada dua pendekatan yaitu pendekatan klasik (classical

(3)

3

memandang parameter bernilai tetap, sedangkan pada pendekatan bayesian parameter

dipandang sebagai variabel random yang memiliki distribusi (distribusi Prior).

Keunggulan pendekatan Bayesian diantaranya mampu menyelesaikan masalah yang

tidak dapat diselesaikan secara analitis dan mampu menawarkan kemungkinan yang

kaya dengan interferensia serta mengeksplor perbedaan-perbedaan interpretasi data

terhadap kriteria kinerja prior [7]. Estimasi parameter model menggunakan estimasi

Bayesian dengan metode Markov-Chain Monte-Carlo (MCMC) berdasarkan

algoritma Gibbs Sampling. Salah satu kontribusi yang dapat bermanfaat bagi

perusahaan asuransi kejiwaan untuk penyakit kritis seperti asuransi operasi dalam

membuat kalkulasi asuransi (insurance calculations) yang akan digunakan untuk

membuat perhitungan asuransi sehubungan dengan orang-orang yang dipilih untuk

cakupan asuransi.

Berdasarkan uraian di atas, pada paper ini dibahas terlebih dahulu cara

mengestimasi parameter menggunakan pendekatan klasik dengan menggunakan

model regresi Cox-Proporsional Hazard pada kasus ketahanan hidup pasien

penderita jantung koroner, kemudian dilanjutkan dengan menggunakan pendekatan

Bayesian survival analysis menggunakan Cox-regression. Tujuan dari penelitian ini untuk memperoleh model ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan

Bayesian survival analysis menggunakan Cox-regression. Dalam proses estimasi diasumsikan bahwa tidak ada kegagalan yang dapat terjadi secara bersamaan. Hal

tersebut berarti terdapat asumsi bahwa satu pasien hanya dapat mengalami satu kali

kegagalan dan satu pasien hanya dikenakan satu treatment saja. Alat bantu

perhitungan menggunakan paket program winBUGS 1.4 yang telah memuat

(4)

4 DASAR TEORI

Fungsi Survival

Fungsi survival S(t) merupakan probabilitas dari seseorang untuk bertahan

hidup setelah waktu yang ditetapkan sebut t. Fungsi survival merupakan merupakan

komplemen dari variabel random fungsi distribusi kumulatif F(t) maka ditulis

dengan cara mengintegralkan fungsi kepadatan probabilitas sehingga diperoleh

t

failure time atau waktu bertahan hidup sampai munculnya kejadian tertetu. Kejadian

yang dimaksud adalah kematian [9].

Fungsi Hazard

Fungsi Hazard 0(t) menunjukkan laju kegagalan individu untuk mampu

bertahan hidup setelah melewati waktu yang ditetapkan, t. Didefinisikan sebagai

berikut :

dengan T asumsikan kontinu sehingga memiliki fungsi kepadatan probabilitas dan

kejadian berlangsung untuk rentang waktu [t,t dt)[10]. Untuk fungsi Hazard

kumulatif yaitu

Proses Intensitas dan model regresi Cox

Data survival yang ada perlu dilakukan proses menghitung jumlah kegagalan

(5)

5

intensitas I_i(t), merepresentasikan hubungan probabilitas subjek i , i 1,2,...,n

pada interval [t,t dt). Dirumuskan :

I_i

(

t

)

dt E

(

dN

(

t

)

1 |

F_t

)

(3)

) (t

Ni menunjukkan kenaikan dari Ni untuk interval [t,t dt),Ft menunjukkan

data yang ada sebelum waktu t. Jika nilai i masuk di interval waktu maka diambil

nilai dNi(t) 1dan sebaliknya jika tidak maka diambil nilai dNi(t) 0.

Jika nilai dt 0 untuk D {N_i(t),Y_i(t),z_i(t)}, probabilitas pada proses

intensitas berubah menjadi instantaneous hazard untuk waktu t dan subjek i

ditunjukkan pada persamaan di bawah ini

Ii(t) Yi(t) 0(t)exp( 'zi) (4)

dengan D mencerminkan data, Y_i(t) adalah indikator risiko yang ditunjukkan dari

status hidup pasien terdiri dari 0 atau 1 dan z_i(t) adalah vektor covariate. Model

Cox-Regression ditunjukkan dari ₀(t)exp( 'z_i) yang menunjukan skor risiko untuk

individu ke-i . Parameter menunjukkan koefisien regresi.

Fungsi eksponensial menjamin I_i(t) bernilai positif. Probabilitas fungsi

survival dirumuskan sebagai berikut :

t

z du u z

t S

0

) exp(

0( ) ) )

exp(( )

,

( (5)

Parameter dan nilai

t

du u t

0 0

0( ) ( ) yang akan diestimasi dengan estimasi

non-parametric yang akan digunakan untuk mengestimasi model survival [11].

Distribusi Prior

Distribusi prior mencerminkan kepercayaan subyektif parameter sebelum sampel

(6)

6

hazard yang belum diketahui dan c_{menujukkan derajat konfidensi [11].}

Fungsi Likelihood

Fungsi likelihood yang biasa digunakan adalah :

L(D| , 0(t))) Li(D| , 0(t)) (6)

Mengganti nilai I_i(t) dengan persamaan (4) diperoleh persamaan likelihoodsebagai

berikut:

Dalam estimasi Bayes, setelah informasi tentang sampel dan prior dapat

ditentukan maka distribusi posteriornya dicari dengan mengalikan priornya dengan

informasi sampel yang diperoleh dari likelihoodnya [7]. Dituliskan sebagai berikut:

P( , ₀(t)|D) L(D| , ₀(t)P( )P( ₀(t)). (9)

Akan difokuskan dalam mengestimasi parameter dan ₀(t). Karena model cukup kompleks distribusi posterior susah untuk dicari secara langsung maka perlu adanya

suatu pendekatan menggunakan metode simulasi dengan MCMC (Markov Chain

(7)

7

Kemudahan yang diperoleh dari penggunaan metode MCMC pada analisis

Bayesian antara lain metode MCMC dapat menyederhanakan bentuk integral yang

kompleks dengan dimensi besar menjadi bentuk integral yang sederhana dengan satu

dimensi. MCMC dapat mengestimasi densitas data dengan cara membangkitkan suatu

rantai Markov yang berurutan sebanyak N yang cukup besar sampai diperoleh

konvergen [12]. Salah satu keunggulan MCMC terletak pada performa yang tidak

terlalu sensitif pada penggunaan nilai awal.

Proses penyusunan algoritma Gibbs Sampling perlu ditentukan nilai awal dari

parameter yang akan diestimasi yaitu ₀

~

Normal

(

0 ,

2

)

dan ₀(t). Manual penyusunan algoritma Gibbs Sampling mengikuti prosedur penentuan

)) , | ) ( ( )), ( , | (

(P D ₀ t P ₀ t D dengan langkah pada persamaan (10) dan (11) yaitu

P( |D, ₀(t)) P( )P(D| , ₀(t)) (10)

dan

P( ₀(t)|D, ) P( ₀(t)). (11)

Langkah pada persamaan (10) dan (11) diulang sebanyak B yang cukup besar, dengan

B merupakan banyaknya update pada penyusunan rantai Markov hingga diperoleh

deret rantai Markov yang konvergen.

Gibbs Sampling termasuk ke dalam dua kategori algoritma utama

dalam MCMC selain algoritma Metropolis. Gibbs Sampling adalah teknik

membangkitkan variabel acak dari distribusi marginal secara tidak langsung tanpa

(8)

8 METODE PENELITIAN

Profil data

Data yang digunakan adalah data waktu bertahan hidup, status hidup pasien dan

treatment yang digunakan pasien penderita jantung koroner [4]. Data ditunjukkan pada Tabel 1. Pasien sebanyak 40 pasien dan pasien yang mengalami kegagalan

(meninggal) saat menjalani treatment sebanyak 8 pasien.

Langkah-langkah penelitian

Pengolahan data dengan menggunakan software winBUGS 1.4. Software

winBUGS 1.4 adalah paket program yang dirancang khusus untuk memfasilitasi

permodelan data Bayesian menggunakan implementasi MCMC yang bekerja dalam

sistem operasi windows. Pengolahan data survival dilakukan dengan tahapan dan

spesifikasi model meliputi pengecekan terhadap syntax model, loading data,

compiling model, inisialisasi, menentukan iterasi MCMC sebanyak 10.000 kali guna

membangkitkan Rantai-Markov. Penyusunan parameter dan nodeRing serta node

Bypass. Updating data parameter sebanyak 10.000. Dalam ploting masing-masing

node dan parameter beta nilai Markov dilakukan burn in sebanyak 5000 data, dan diambil bangkitan rantai dari data ke 5001 sampai dengan 10.000.

Tabel 1. Data waktu bertahan hidup pasien penderita jantung koroner

No Waktu

(bulan) Status Treatment No

Waktu

(bulan) Status Treatment

1 26 0 Ring 21 32 0 Bypass

2 26 0 Ring 22 33 0 Bypass

3 38 0 Ring 23 42 0 Bypass

4 51 0 Ring 24 42 0 Bypass

5 52 0 Ring 25 56 0 Bypass

6 56 0 Ring 26 56 0 Bypass

7 57 0 Ring 27 60 1 Bypass

8 61 1 Ring 28 65 0 Bypass

9 62 0 Ring 29 78 0 Bypass

10 62 0 Ring 30 87 0 Bypass

11 66 0 Ring 31 87 0 Bypass

(9)

9

13 71 0 Ring 33 102 0 Bypass

14 75 0 Ring 34 116 0 Bypass

15 83 0 Ring 35 116 1 Bypass

16 106 0 Ring 36 146 1 Bypass

17 123 0 Ring 37 161 0 Bypass

18 128 0 Ring 38 173 1 Bypass

19 156 0 Ring 39 178 1 Bypass

20 183 0 Ring 40 182 1 Bypass

ANALISIS HASIL

Proses analisis dilakukan pada data survival yang terdiri dari n 40 dan

8

T , dengan n menyatakan total pasien dan T menunjukkan pasien yang mengalami

kegagalan dalam proses treatment. Digunakan dan diselidiki terlebih dahulu dengan

pendektan klasik yaitu Regresi Cox-Proporsional Hazard dengan load packages

survival yang ada pada software R i386 3.0.1. Waktu hidup dan status sebagai variabel yang dependent terhadap treatment. Hal tersebut berarti treatment sebagai

variabel independent dan probabilitas survival tergantung pada jenis treatment yang

digunakan. Diperoleh gambaran hasil yang dinyatakan pada Tabel 2.

Tabel 2. Hasil estimasi node Ring dengan metode klasik non-parametrik

Node Waktu Survival Standard Error

Batas minimum

Batas Maksimum

Ring [1] 61 0.923 0.0739 0.798 1

Ring [2] 71 0.821 0.1169 0.621 1

Tabel 3. Hasil estimasi node Bypass dengan metode klasik non- parametric

Node Waktu Survival Standard Error

Bypass[1] 60 0.929 0.0688 0.8030 1

Bypass[2] 116 0.796 0.1362 0.5691 1

Bypass[3] 146 0.637 0.1793 0.3667 1

(10)

10

Bypass[5] 178 0.212 0.1833 0.0391 1

Bypass[6] 182 0.000 - - -

Tabel 4. Hasil estimasi parameter Beta dengan metode klasik

Node Survival Estimasi Titik

Beta 0.408 -0.6851 0.0778 0.9053

Tabel 4. menunjukkan nilai estimasi titik yang sekaligus menunjukkan nilai

koefisien regresi yakni sebesar -0.6851. Tingkat signifikansi alfa sebesar 0.5%.

Estimasi interval diambil dengan mengambil exponensial dari minus lower.95 dan

minus upper.95. Batas bawah dan batas atas diperoleh (0.0778, 0.9053) dengan

probabilitas 0.408 yang sudah signifikan karena nilai probabilitasnya lebih besar dari

0.05. Dengan estimasi non parametrik gambaran nilai probabilitas pasien bertahan

hidup untuk masing-masing treatment yang dikenakan terdapat pada Tabel 2 dan

Tabel 3. Ditunjukkan bahwa nilai probabilitas tertinggi ada dalam kelompok bypass

dengan nilai probabilitas sebesar 0.929 hanya selisih cukup kecil yaitu 0.005

signifikan dengan pasien dengan ring yang memiliki probabilitas tertinggi 0.923.

Gambaran grafik estimasi mean dari fungsi survival ditunjukan pada

Gambar 1. Pada Gambar 1. Sumbu horizontal menunjukkan waktu bertahan hidup

pasien penderita jantung koroner dalam satuan bulan , sedangkan sumbu vertical

menunjukkan presentase subjek yang masih bertahan hidup. Garis putus-putus pada

Gambar 1. menunjukkan garis survival untuk treatment Ring dan Bypass. Grafik

memiliki kecenderungan mengalami penurunan secara bertahap, tidak dapat

dipungkiri probabilitas pasien untuk bertahan hidup juga semakin kecil. Pada Gambar

1. Terlihat bahwa probabilitas bertahan hidup penderita dengan treatment ring jauh

lebih besar karena penurunan probabilitas tidak sesignifikan jika dengan

menggunakan bypass

(11)

11

Gambar 1. Estimasi mean fungsi survival untuk treatment Ring dan Bypass

Hasil nilai estimasi dan karakteristik untuk masing-masing parameter

ditunjukkan pada Tabel 5, Tabel 6, dan Tabel 7.

Tabel 5. Hasil estimasi Bayesian node Ring

(12)

12

Tabel 6. Hasil estimasi Bayesian node Bypass

Node Mean Standard Deviasi

MC error ( 10 ) 4

2,5%

Median

Batas maksimum

97,5%

Bypass[1] 0.9532 0.04703 4.48 0.826 0.9679 0.9988

Bypass[2] 0.9067 0.06644 6.53 0.7398 0.9224 0.9887

Bypass[3] 0.855 0.08318 8.23 0.6548 0.8702 0.9701

Bypass[4] 0.7701 0.1131 10.3 0.5051 0.7862 0.9398

Bypass[5] 0.6615 0.1402 12.73 0.357 0.6743 0.8932

Bypass[6] 0.5194 0.1651 14.42 0.189 0.5257 0.8192

Bypass[7] 0.3739 0.1697 14.65 0.07959 0.366 0.7175

Bypass[8] 0.2289 0.1565 12.8 0.01491 0.2018 0.5872

Tabel 7. Hasil estimasi Bayesian parameter Beta

Node Mean Standard Deviasi

MC error ( 10 ) 4

Batas Minimum

2,5%

Median

97,5% Beta -0.8789 0.9409 0.01502 -2.919 -0.8126 0.7644

Mean dan Median dalam Tabel 5 dan Tabel 6 menunjukkan nilai estimasi

titik. Rata-rata dari parameter dalam Tabel 5 dan Tabel 6 merepresentasikan estimasi

nilai rata-rata posterior untuk pasien yang menggunakan treatment ring dan bypass

yang sekaligus mencerminkan peluang pasien untuk bertahan hidup jika

menggunakan treatment tersebut. Nilai mean yang tertinggi untuk pasien dengan treatment ring adalah 0.9771 sedangkan dengan bypass 0.953 menunjukkan peluang

bertahan hidup seseorang bertahan dengan menggunakan treatment ring akan

menghasilkan nilai peluang bertahan hidup lebih besar dibandingkan dengan

menggunakan bypass yakni sebesar 0.9771. Nilai error dalam penyusunan MCMC

dengan algoritma Gibbs Sampling ditunjukkan dari MC error, diperoleh nilai error

yang kecil karena mendekati 0. Estimator interval untuk parameter ditunjukkan dari

interval konfidensi yakni batas minimum dan maksimum dengan pengambilan nilai

(13)

13

parameter terletak dalam batas interval konfidensi pada posisi antara 2,50% dan

97,50% dan nilainya signifikan yang tidak melewati nilai nol. Adanya interval

konfidensi tersebut menjamin pencakupan dari parameter yang diselidiki. Nilai

rata-rata posterior yaitu standar error sekaligus menunjukkan koefisien regresi,

diperoleh ditunjukkan pada Tabel 7 sebesar -0.8789.

Gambar 2. Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel Ring[1], Bypass[1],

dan beta

Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel ditujukkan dalam Gambar 2. Rantai Markov yang terbentuk ditunjukkan dari garis hitam untuk

MCMC-Ring[1], MCMC-Bypass[1] dan MCMC-Beta. Plot dari time series

menunjukkan gambaran rantai Markov yang dibangkitkan. Updating rantai Markov

sebanyak 10.000 iterasi. Plot Gambar 2. menunjukkan nilai MCMC selalu positif,

hasil plot nampak rapat dan dapat merespon keseluruhan variabel berarti didapati

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.7

De nsita s Ke rne l-Ring[1]

N = 5000 Bandw idth = 0.00302

Ri

ng

1

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.6

De nsita s Ke rne l-Bypa ss[1]

N = 5000 Bandw idth = 0.006248

By

pa

ss

1

0 1000 2000 3000 4000 5000

(14)

14

model telah konvergen. Nilai estimasi densitas posterior dapat dilihat dari plot

dnsitas kernel. Estimasi densitas kernel memberikan plot yang bagus karena

dihasilkan densitas yang cenderung halus. Plot dari parameter beta menunjukkan

bahwa distribusi gambar yang dihasilkan berdistribusi normal. Gambaran MCMC

mengindikasikan bahwa nilai yang ditunjukkan berasal dari sebaran posterior yang

dibentuk oleh rantai Markov.

Gambar 3. Gambaran running quantiles dan autokorelasi

Ring[1]

Gambar 3. menunjukkan plot dari running quantiles yang merepresentasikan

gambaran mengenai nilai dari gambaran kinerja dari sampel yang bagus karena

ditunjukkan dari posisi plot garis berada di tengah dari batas atas dan bawah. Pada

gambaran running quantiles sumbu horizontal menunjukkan bangkitan rantai

Markov, sedangkan sumbu vertikal menunjukkan nilai estimasi titik nya. Nilai

autokorelasi untuk tiap node dan parameter ditunjukkan pula pada Gambar 3. Nilai

autokorelasi menunjukkan bahwa data yang dibangkitkan memenuhi sifar rantai

0 10 20 30

Se rie s Ring1[5001:10000]

0 10 20 30

Se rie s Bypa ss1[5001:10000]

(15)

15

Markov. Untuk menggambar nilai autokorelasi digunakan fungsi acf pada R i386

3.0.1.

Berdasarkan analisis yang dilakukan diperoleh estimasi parameter beta dari

model Cox-Regresion untuk pasien penderita jantung koroner dengan estimasi

Bayesian menggunakan dua treatment yakni ring dan bypass sebesar -0.8789

sehingga model Cox-Regression dari fungsi survival ₀(t)exp( 0.8789zi)) dan

) -0.8789 exp(

) 7 1.82476473 exp(

) ;

(t z z

S .

Kesimpulan

Dalam paper ini diperoleh parameter dari model Cox-Regression untuk data

ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan Bayesian survival analysis.

Penelitian ini dapat dikembangkan untuk analisis survival model Weibul dengan

metode Bayesian.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Departemen Kesehatan Republik Indonesia.2007.Profil Kesehatan Indonesia 2005. Jakarta

[2] World Health Organization. 2014. The top 10 causes of death. Swiss: WHO. diakses pada Senin 15 September 2014 pukul 9.41. http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs310/en/

[3] Reskianti,Kiki, Nuriti Sunusi dan Nasrah Sirajang.2014.Estimasi Bayesian pada Analisis Data Ketahanan Hidup Berdistribusi Eksponensial melalui Pendekatan SELF. Studi Kasus: Analisis Ketahanan Hidup Flourophores.Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.UNHAS:Makassar.

(16)

16

[5] Perra, Silvia.2013. Objective Bayesian Variable Selection for Censored Data. Universitas Cagliari: Italia.

[6] Subanar,Prof.,Ph.D.2013.Statistika Matematika.Graha Ilmu: Yogyakarta

[7] Candra Siska, Ade. 2011. Inferensi Statistik Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat. Universitas Diponegoro: Semarang.

http://eprints.undip.ac.id/29153/1/ade_candra.pdf

[8] Rahayu, Ninuk, Adi Setiawan, Tundjung Mahatma.2013. Analisis Regresi Cox Proporsional Hazards pada Ketahanan Hidup Pasien Diabetes Mellitus. Program Studi Matematika. Fakultas Sains dan Matematika. UKSW : Salatiga.

[9] Hidayah, Eny. 1994. Analisis Ketahanan Hidup dengan Metode Gehan Mantel-Haenszel dan Tarone-Ware untuk 2 Sampel Sampai K Sampel. Universitas Diponegoro : Semarang.

[10] Mustafa, Ayman dan Anis Ben Ghorbal.2011. Using WinBUGS to Cox Model with Changing from the Ba seline Hazard Function. Fakultas Matematika. Universitas Islam Al-Imam Muhammad Ibn Saud : Saudi Arabia.

[11] Andrew E Long. 1999. Leuk: survival analysis using Cox regression. Diakses

pada Selasa 16 September 2014 pukul 20.12 .

http://users.aims.ac.za/~mackay/BUGS/Manual05/Examples1/node29.html

[12] Hidayah,Entin. Model Disagregasi Data Hujan Temporal dengan Pendekatan Bayesian sebagai Input Permodelan Banjir.ITS:Surabaya.

[13] London,Dick FSA. 1997.Survival Model and Their Estimation. ACTEX Publication : USA.