1
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Probabilitas Probabilitas
Diskret
Konsep Dasar
Probabilitas Normal Teori
Keputusan
3
SEJARAH TEORI PROBABILITAS
Inspirasi Teori Probabilitas
Teori probabilitas berawal dari meja judi.
Matematikawan dan fisikawan Italia yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576) senang bermain judi.
Judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun memacunya untuk mempelajari teori probabilitas.
Dari judi tersebut, Cardano membuat buku Liber de
Ludo Aleae (Book on Games of Changes) yang
banyak membahas konsep dasar dari probabilitas
dan berisi tentang masalah perjudian.
Inspirasi Teori Probabilitas
Pada tahun 1654, seorang bandar judi bernama Chevalier de Mere kalah dalam berjudi. Dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistem perjudiannya.
Pascal menemukan sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian.
Pascal mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665) dan membentuk asal kejadian dari konsep peluang.
Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal- soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:
Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6.
Ketika dadu dilempar sebanyak 8 kali, berapa peluang seseorang gagal mendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali.
Inspirasi Teori Peluang
Pada tahun 1709 Jaques Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi yang terdiri 4 bagian, yaitu:
Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano
Menjelaskan permutasi dan kombinasi
Menjelaskan distribusi binomial dan multinomial
Teori peluang
7
TEORI PROBABILITAS
8
Definisi:
Probabilitas adalah peluang suatu kejadian Manfaat:
Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi yang tidak sempurna.
Contoh:
• Berapa peluang harga saham akan turun atau akan naik.
• Berapa peluang kesuksesan produk yang diluncurkan perusahaan.
• Negara mana yang akan menjuarai Piala Dunia.
PENDAHULUAN
9
Probabilitas:
Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase (misal: 0 – 100%).
Percobaan:
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
Hasil (outcome):
Suatu hasil dari sebuah percobaan. Peristiwa (event):
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.
PENDAHULUAN
10
PENGERTIAN PROBABILITAS
Contoh:
Percobaan/
Kegiatan
Pertandingan final Piala Dunia sepak bola Jerman vs Argentina.
Hasil Jerman menang
Argentina menang Peristiwa Jerman menang
PENDEKATAN PROBABILITAS
Pendekatan Klasik
• Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.
Pendekatan Relatif
• Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi.
Pendekatan Subjektif
• Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan.
CONTOH PENDEKATAN KLASIK
Probabilitas = Jumlah kemungkinan hasil suatu peristiwa Jumlah total kemungkinan hasil
Percobaan Hasil Probabilitas
Kegiatan melempar uang
1. Muncul gambar 2. Muncul angka
2 ½
Kegiatan
perdagangan saham
1. Saham turun 2. Saham naik
2 ½
Mahasiswa belajar 1. Lulus memuaskan
2. Lulus sangat memuaskan 3. Lulus cum laude
3 1/3
13
CONTOH PENDEKATAN RELATIF
Probabilitas = Jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa Jumlah total percobaan
Contoh:
Dalam 12 bulan, 10 bulan terjadi inflasi dan 2 bulan deflasi. Maka probabilitas inflasi = 10/12=0,83 dan probabilitas deflasi = 2/12=0,17
14
CONTOH PENDEKATAN SUBJEKTIF
Contoh:
• Menurut pakar ekonomi, Indonesia akan mengalami pertumbuhan ekonomi yang tinggi
• Menurut pakar perbankan syariah, jumlah nasabah bank syariah akan meningkat
Semua contoh tersebut hanya berdasarkan penilaian pribadi dan mungkin tidak banyak informasi sebagai dasar pertimbangan
15
DISTRIBUSI NORMAL
PELEMPARAN DUA DADU: 6 KALI PELEMPARAN
PELEMPARAN DUA DADU: 60 KALI PELEMPARAN
PELEMPARAN DUA DADU: 6000 KALI PELEMPARAN
19
Complement of an Event
(Kejadian Saling Melengkapi)
Hukum Dasar:
P(A) + P(A
c) = 1
Contoh: Hidup dan mati. Naik dan turun
P(A) P(A
c)
20
Hukum Penjumlahan
(Kejadian Saling Beririsan)
Rumus:
P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)
P(A) P(B)
21
Hukum Penjumlahan
(Kejadian Saling Lepas)
Rumus:
P(A atau B) = P(A) + P(B)
P(A) P(B)
22
Probabilitas Bersyarat
Simbol probabilitas bersyarat: P(A│B)
Cara baca:
Probabilitas munculnya kejadian A jika terjadi
kejadian B
23
Contoh Kasus Probabilitas Bersyarat
(Calon Pegawai Bank Syariah Madani)
P(P dan L) = 288/1200 = Probabilitas Pria dan Lulus
P(L│P) = 288/960 = Probabilitas Pria yang Lulus
P(W dan L) = 36/1200 = Probabilitas Wanita dan Lulus
P(L│W) = 36/240 = Probabilitas Wanita yang Lulus
Pria (P) Wanita (W) Total
Lulus (L) 288 36 324
Tidak Lulus (T) 672 204 876
Total 960 240 1200
24
Contoh Kasus Probabilitas Bersyarat
P(P dan L) = 288/1200 = Probabilitas Pria dan Lulus
P(L│P) = 288/960 = Probabilitas Pria yang Lulus
P(W dan L) = 36/1200 = Probabilitas Wanita dan Lulus
P(L│W) = 36/240 = Probabilitas Wanita yang Lulus
Pria (P) Wanita (W) Total
Lulus (L) 0.24 0.09 0.27
Tidak Lulus (T) 0.56 0.17 0.73
Total 0.80 0.20 1.0
25
Diagram Pohon
Pria
Wanita
P(W) = 240/1200
= 0.20
P(P) = 960/1200
= 0.80
Lulus
Tidak Lulus
Lulus
Tidak Lulus Calon
Pegawai
P(L │ P) = 288/960
= 0.30
P(T│P) = 672/960
= 0.70
P(PL) = P(L│P)x P(P)
= 0.24
P(PT) = P(T│P)x P(P)
= 0.56
P(L │ W) = 36/240
= 0.15
P(T│W) = 204/240
= 0.85
P(WL) = P(L│W)x P(W)
= 0.03
P(WT) = P(T│W)x P(W)
= 0.17
TEOREMA BAYES
Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada.
Rumus:
) Y A ( P ).
Y ( P )
X A ( P ).
X ( P
) X A ( P ).
X ( ) P
A X (
P
TEOREMA BAYES
Supermarket PALU GADA memasok barang dari PT X sebanyak 65%, sisanya oleh PT Y. Setiap
pengiriman selalu ada yang jelek. Untuk PT X,
barang jelek yang dikirim sekitar 2%. Sedangkan PT Y persentase barang jeleknya adalah 5%. Jika tim
QC melakukan inspeksi barang jelek, berapa kemungkinan barang jelek tersebut:
Dihasilkan oleh PT X
Dihasilkan oleh PT Y
TEOREMA BAYES
X
Y
P(Y) = 0.35 P(X) = 0.65
Baik
Jelek
Baik
Jelek Pemasok
P(B Ι X) = 0.98
P(J Ι X) = 0.02
P(XB) = P(B Ι X)x P(X)
= 0.6370
P(XJ) = P(J Ι X)x P(X)
= 0.0130
P(B Ι Y) = 0.95
P(J Ι Y) = 0.05
P(YB) = P(B Ι Y)x P(Y)
= 0.3325
P(YJ) = P(J Ι Y)x P(Y)
= 0.0175
TEOREMA BAYES
Jika Anda adalah tim Quality Control (QC). Berapa probabilitas barang dari pemasok X jika barang
tersebut jelek?
Yang ditanya adalah P(X Ι J) = ?
Penyelesaian:
4262 ,
) 0 05 , 0 )(
35 , 0 ( ) 02 , 0 )(
65 , 0 (
) 02 , 0 )(
65 , 0 ) (
J X ( P
) Y J ( P ).
Y ( P )
X J ( P ).
X ( P
) X J ( P ).
X ( ) P
J X ( P
Penyelesaian Tabel
1 2 3 4 5
Pemasok Probabilitas Barang Rusak
Perkalian
X 0.65 0.02 0.0130 0.42622
Y 0.35 0.05 0.0175
Total 1 0.0305
0.013/0.0305
FAKTORIAL, PERMUTASI, KOMBINASI
Faktorial = n!
Permutasi nPr = n!/ (n-r)!
Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!
• Faktorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok).
• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek).
• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.
Aplikasi Faktorial
Berapa cara yang mungkin apabila kita mengurutkan 3 bank
Jawab: 3! = 3 x 2 x 1
Berapa cara yang mungkin apabila kita menyusun 5 perusahaan
Jawab: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Aplikasi Permutasi
Ada berapa kemungkinan pasangan capres-cawapres jika terdiri dari 3 tokoh sebagai berikut: Jokowi, JK, Prabowo.
n = 3 dan r = 2
nPr = n!/(n-r)! = 3!/(3-2)! = 6
Permutasi memperhatikan urutan.
Misal: Jokowi – JK dengan JK – Jokowi adalah pasangan yang berbeda.
N : banyaknya objek
R : jumlah yang harus dipilih
Kombinasi
Berikut ini ada 8 tim di Piala Dunia 2014 yang berhasil masuk perempat final: Jerman,
Argentina, Brazil, Belanda, Belgia, Prancis, Kolombia, dan Costarica. Berapa kombinasi final yang akan terjadi:
n = 8 dan r = 2
nCr = n!/r!(n-r)! = 8!/2!(8-2)! = 28
Catatan: dalam kombinasi Jerman – Argentina
dan Argentina – Jerman dianggap sama
EXPECTED VALUE
Expected Value
Jumlah Kerusakan Peluang Kerusakan P(x)
0 0,10
1 0,20
2 0,30
3 0,25
4 0,15
1,00
E(x) = (0)(0,10) + (1)(0,20) + (2)(0,30) + (3)(0,25)+ (4)(0,15)
= 2,15
Kerusakan rata-rata adalah 2,15
Ragam dan Simpangan Baku
xi P(xi) xi - E(x) [xi - E(x)]2 [xi - E(x)]2 x P(xi)
0 0.1
-2.15 4.6225 0.46225
1 0.2
-1.15 1.3225 0.2645
2 0.3
-0.15 0.0225 0.00675
3 0.25
0.85 0.7225 0.180625
4 0.15
1.85 3.4225 0.513375
σ2=1.4275
LATIHAN
