PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER

1

PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER

Dita Ardini^1*, Rustam Efendi², Bustami²

1Mahasiswa Program S1 Matematika

2Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia

*ditaardini_24@yahoo.co.id ABSTRACT

This article discusses two ratio estimators for the population mean in stratified adaptive cluster random sampling, the ratio estimator for the population mean and ratio estimator for the population mean, both proposed by Nipaporn Chutiman published in Thailand Statistician Journal [1]. All estimators are biased estimators. Then the mean square errors are determined for each estimator. Futhermore, the mean square error of each estimator will be compared to obtain an efficient ratio estimator. An numerical example is given at the end of the discussion.

Keywords: ratio estimator, stratified adaptive cluster random sampling, biased, mean square error.

ABSTRAK

Pada artikel ini dibahas dua penaksir pada sampling acak berstrata adaptif cluster, yaitu penaksir rasio untuk rata-rata populasi dan penaksir rasio untuk rata-rata populasi yang diajukan oleh Nipaporn Chutiman pada jurnal Thailand Statistician [1]. Kedua penaksir ini adalah penaksir bias. Kemudian ditentukan mean square error dari masing-masing penaksir. Selanjutnya, mean square error dari kedua penaksir tersebut akan dibandingkan untuk mendapatkan penaksir rasio yang efisien. Contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan.

Kata Kunci: penaksir rasio, sampling acak berstrata adaptif cluster, bias, mean square error.

1. PENDAHULUAN

Metode sampling merupakan suatu cara pengumpulan data dimana hanya sebagian dari elemen populasinya saja yang diteliti. Hasil dari analisa data yang telah diolah disimpan dalam statistik sampel dan digunakan untuk menaksir parameter dari populasi. Nilai rata-rata dalam sampel digunakan untuk menaksir nilai rata-rata dalam populasi. Dalam artikel ini diteliti populasi Y dibantu dengan informasi yang

2

terkandung dalam variabel tambahan yaitu populasi X, sehingga digunakan penaksir rasio dengan mengambil hubungan antara variabel y dan variabel tambahan x. Penaksir rasio merupakan suatu metode yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian suatu penaksir.

Penaksir rasio yang dibahas pada artikel ini adalah penaksir yang bias, dimana penaksir yang efisien untuk penaksir bias adalah penaksir yang memiliki mean square error (MSE) terkecil. Semakin kecil MSE yang diperoleh, maka semakin efisien penaksir yang diperoleh [2]. Untuk mendapatkan penaksir rasio yang efisien adalah dengan membandingkan MSE dari masing-masing penaksir.

Artikel ini mengkaji ulang jurnal Thailand Statistician yang berjudul “A Ratio Estimator in Stratified Adaptive Cluster Sampling” oleh Nipaporn Chutiman [1], dengan memakai contoh yang lain.

2. SAMPLING ACAK SEDERHANA

Metode untuk mengambil n sampel dari N populasi dimana setiap elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih sebagai anggota sampel adalah suatu metode sampling acak sederhana. Probabilitas terpilihnya unit sampel n dari N unit populasi pada pengambilan pertama adalah n N, probabilitas pada pengambilan kedua adalah n 1 N 1 , sampai probabilitas pada pengambilan ke-n yaitu 1 N n 1 . Lalu, probabilitas seluruh n unit yang terpilih pada n pengambilan adalah 1 C_n^N . Rata-rata sampel y adalah

n

i

yi

y n

1

1 . Untuk penarikan sampel sederhana, variansi dan kovariansi rata-rata sampel secara berturut-turut adalah

n f y S

Var 1

2

N

i

i

i Y x X

N y nN

n x N

y Cov

1 1

, 1 ,

dengan f n N , 1

1 2 2

N Y y S

N

i

i , N menyatakan banyaknya populasi, n menyatakan banyaknya sampel, y_i menyatakan banyaknya sampel y pada unit ke-i, x_i menyatakan banyaknya sampel x pada unit ke-i, Y menyatakan rata-rata populasi Y, dan X menyatakan rata-rata populasi X.

3. SAMPLING ACAK BERSTRATA

Pada sampling acak berstrata, populasi berukuran N distratifikasi menjadi beberapa strata, kemudian sampel diambil secara acak dari setiap strata. Pada sampling ini, proporsi jumlah sampel antar strata adalah sama dengan proporsi jumlah elemen antar

3

strata. Populasi dibuat menjadi beberapa stratum yaitu N₁, N₂, ..., N_h stratum. Ukuran populasi pada stratum ke-h adalah N dengan _h h 1, 2, 3, 4, ..., l.

Penaksir untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata y_st adalah

l

h h h l

h

h h

st y

N y N y

1 1

dengan _h N_h N, dan _h

n

i hi

h y n

y

h

1

.

Untuk pengambilan sampel pada sampling acak berstrata, variansi dan kovariansi dari y berturut-turut adalah: _st

h h l

h h

h h h

st n

S N

n y N

Var

2

1

2 ,

X x Y y E

X x Y y

E _{h h}

l

h h st

st

1

2 .

4. SAMPLING ACAK CLUSTER

Sampling acak cluster merupakan pengambilan sampel dimana setiap sampling unit terdiri dari kumpulan atau kelompok elemen-elemen populasi. Pada sampling ini, populasi terdiri dari beberapa cluster, dimana setiap cluster berisi K unit yang bersifat heterogen, sedangkan antar cluster bersifat homogen. Kemudian dari beberapa cluster tersebut diambillah sampel dengan menggunakan sampling acak sederhana.

Misalkan populasi terdiri dari beberapa K cluster dari M unit populasi, maka pengambilan k sampel dari populasi cluster dapat digambarkan dengan menggunakan metode sampling acak sederhana. Penaksir untuk rata-rata populasi pada sampling acak cluster yaitu

k

i i

k y

y k

1 . .

1 ,

dengan y_k. merupakan penaksir yang bias untuk Y .

5. SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER

Pada sampling acak berstrata adaptif cluster, populasi dibagi menjadi L strata. Untuk setiap strata bersifat homogen, sedangkan untuk antar strata bersifat heterogen. Stratum- stratum yang telah terbentuk kemudian dianggap menjadi cluster. Selanjutnya diambil sampel dari setiap stratum dengan menggunakan sampling acak sederhana tanpa pengembalian. Ketika unit terambil menjadi anggota sampel, maka semua unit yang berada pada cluster tempat unit tersebut berasal yang belum menjadi anggota sampel selanjutnya diambil menjadi anggota sampel [5].

4

Populasi yang bersifat heterogen dibagi menjadi L strata, dimana stratum h terdiri dari N_h unit yang bersifat homogen, dan total jumlah unit dalam populasi dinotasikan dengan N . Unit uhi pada populasi yang menyatakan unit ke- i pada stratum

h berhubungan dengan variabel yang diteliti yhi. Penaksir rata-rata populasinya adalah

L

h

n

i hi h h sac

h

n w N y N

1 1

1 ,

dengan w_hi y_hi m_hi .

Untuk pengambilan sampel pada sampling acak berstrata adaptif cluster, variansi dan kovariansi dari y_sac berturut-turut adalah:

L

h h

wh h h h h

sac n

n S N N N

y N Var

1

2 2

2

L

h h

L

h

h xhi h yhi

h h h h h sac

sac N

W w W w n n

N N N

x N y Cov

1

1 2

2

1

, 1 ,

dengan 1

1 2

h L

h

h hi

wh w W N

S .

6. PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA

Penaksir rasio untuk rata-rata y_R pada sampling acak berstrata untuk Y rata-rata populasi adalah

X R x X

y y

st st

R ˆ

dengan Rˆ y_st x_st merupakan penaksir untuk rasio R Y X,

L

h

h h

st N N y

y

1

menyatakan rata-rata sampel pada stratum h berkarakter Y,

L

h

h h

st N N x

x

1

menyatakan rata-rata sampel pada stratum h dari variabel tambahan berkarakter X, dan

L

h

h hX N N X

1

1 menyatakan rata-rata populasi berkarakter X.

Bias dan MSE penaksir rasio y adalah _R

xyh xh L

h

h h L

h

h h

R S S

N R N N

N y X

B ²

1 2 2

1 2

1 2

L

h

xh xyh

yh h h

R S RS R S

N y N

MSE

1

2 2 2

2 2

2

5

Penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan oleh Kadilar dan Cingi [4] adalah

^{yRp yR}, dengan 0 1, nilai dapat diperoleh dengan meminimumkan MSE dari penaksir rasio y_Rp dan y_Rp adalah penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan.

Bias dan MSE dari penaksir rasio y_Rp adalah

xyh xh

L

h

h h

Rp RS S

N N Y X

y

B ²

1 2

1 2

1

L

h

xh xyh

yh h h

Rp S RS R S Y

N y N

MSE

1

2 2 2

2 2

2 2

1 2

*

Nilai yang diperoleh dengan meminimumkan MSE yaitu

L

h

xh xyh

yh h Rp h

Y S

R RS N S

y N MSE

1

2 2

2 2

2 2

0 1

2 2

2

dari persamaan ini diperoleh

L

h

xh xyh

yh h

h S RS R S

N Y N

Y

1

2 2 2

2 2 2

2

2

.

7. PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER

Metode penaksir rasio merupakan salah satu dari cara penaksir untuk membuat perkiraan yang baik dari data. Metode ini digunakan dengan tujuan untuk memperoleh peningkatan ketelitian dengan mengambil manfaat hubungan antara variabel y dan variabel tambahan x.

Penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster adalah

X R x X

y y _{st sac}

sac st

sac st sac

R _

_ _

_ ˆ dengan

L

h

yh h

sac

st N N w

y

1

_ menyatakan rata-rata sampel untuk pengambilan sampel secara acak berstrata adaptif cluster berkarakter Y, _h

n

i yhi

yh w n

w

h

1

, n_h menyatakan banyaknya sampel pada stratum h, wyhi yhi mhi menyatakan jumlah variabel yang menjadi perhatian pada jaringan dalam unit i dari sampel awal pada stratum h.

L

h

xh h sac

st N N w

x

1

_ menyatakan rata-rata sampel untuk pengambilan sampel secara acak

6

berstrata adaptif cluster berkarakter X, _h

n

i xhi

xh w n

w

h

1

, w_xhi x_hi m_hi menyatakan jumlah variabel yang menjadi perhatian pada jaringan dalam unit i dari sampel awal pada stratum h, m_hi menyatakan banyaknya unit pada jaringan, Rˆ_{st_sac} menyatakan penaksir untuk rasio R_{st _sac} Y X, X rata-rata dari populasi X , dan

sac st sac st sac

st y x

Rˆ _{_ _ _} menyatakan rasio dari rata-rata sampel untuk sampling acak berstrata adaptif cluster.

Bias dan MSE dari penaksir y_{R_sac} adalah

L

h

sac xyh L

h

h h sac

xh h h sac

st S

N S N

N R N y X

B

1

_ 1

2 2 2

2 _ 2 _

1

sac xyh sac

xh sac

yh L

h

h h sac

R S R S RS

N y N

MSE ² _{_} ^{2 2} _{_ _}

1 2 2

_ 2

(1)

dengan 1

1 2 2

_ h

N

i

h xhi sac

xh w X N

S

h

, 1

1 2 2

_ h

N

i

h yhi sac

yh w Y N

S

h

, dan

1

1 2

_ h

N

i

h yhi h xhi sac

xyh w X w Y N

S

h

.

Bentuk dari penaksir rasio untuk rata-rata populasi Y yang diajukan oleh Nipaporn Chutiman [1] adalah

y^Rp_{_}^{sac *}y^R_{_}^sac

, dengan 0 1, y_{Rp_sac} adalah penaksir rasio yang diajukan oleh Nipaporn Chutiman untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster, dan nilai dapat diperoleh dengan meminimumkan MSE dari penaksir rasio y_{Rp_sac}.

Bias dan MSE dari penaksir y_{Rp_sac} adalah

sac xyh sac

xh L

h

h h sac

Rp RS S

N N Y X

y

B ²_{_} ^* _{_}

1 2 2

* _

1 1

2 2 _

2 _ 2 2

_ 1

2 2 2

*

_ S R S 2RS Y 1

N y N

MSE _{yh sac xh sac xyh sac}

L

h

h h sac

Rp (2)

Nilai dapat diperoleh dengan meminimumkan MSE dari penaksir rasio y_{Rp_sac}, dengan turunan MSE terhadap adalah nol. Maka

2 2 _

2 _ 2 2

_ 1

2 2

*

* _ 2 S R S 2RS 2Y 1

N y N

MSE _{yh sac xh sac xyh sac}

L

h

h h sac

Rp

_ 0

* MSE yRp sac .

sac xyh sac

xh sac

yh L

h

h

h S R S RS

N Y N

Y

_ 2

_ 2 2

_ 1

2 2 2

2

*

2

7

8. PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN

Penaksir yang efisien ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari masing-masing penaksir. Perbandingan antara persamaan (1) dan persamaan (2) sebagai berikut.

Misalkan:

,

2 _{_}

2 _ 2 2

_ 1

2 2

v RS

S R N S

N

sac xyh sac

xh sac

yh L

h

h h

maka

2 2 _

_ MSE y v * 1 Y * 1

y

MSE _{Rp sac R sac} . (3)

Dari persamaan (3) terdapat 2 kemungkinan yaitu

1. MSEy_{Rp_sac}<MSEy_{R_sac} jika v *² 1 Y * 1² 0 2. MSEy_{Rp_sac}>MSEy_{R_sac} jika v *² 1 Y * 1² 0

9. CONTOH

Pada pembahasan contoh, digunakan data produksi jagung di Indonesia dengan informasi tambahan yaitu luas lahan panen di tiap-tiap provinsi di Indonesia dari Badan Pusat Statistik pada tahun 2012 [3]. Data hasil produksi jagung disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1 : Hasil perhitungan Jumlah Produksi Jagung didasarkan Luas Lahan Panen di Indonesia pada Tahun 2012 dengan menggunakan Microsoft Excel.

1 2 3

18 11 4

3 3 2

2.853.226 1.083.775 20.594

14.935.776 4.398.980 52.266

158.512,5556 98.525 5.148,5

829.765,3333 399.907,2727 13.066,5

306.849,7836 104.734,3048 4.219,024413 1.588.592,549 448.720,0754 10.782,31532 4,86629 10¹¹ 44.411.371.984 42.035.523

0,944444444 0,909090909 0,75

90.846.963.828 ^{1,5444 1011 5,148 1011} 4.043.614.502 6.874.142.666 22.913.787.668 19.166.379.429 32.582.841.313 ^{1,08609 1011}

h

N

h

n

h

X

h

Y

h

X

h

Y

h

S

xh

S

yh

S

xyh h 2

_ sac

Syh 2

_ sac

Sxh sac

Sxyh_{_}

8

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh pada Tabel 1 ke persamaan (1) dan (2), maka diperoleh

Tabel 2 : MSE masing-masing penaksir.

No Penaksir MSE

1 0,564438329

2 _1,264438483

Dari Tabel 2 diperoleh bahwa

sac Rp sac

R MSE y

y

MSE _{_ _} jika * 1,264438483 atau * 0,564438329. 10. KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster y_{R_sac} lebih efisien dari penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster yang diajukan

sac

yRp_{_} .

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chutiman, N. 2010. A New Rasio Estimator in Stratified Adaptive Cluster Sampling. Thailand Statistican. 8(2): 223-233.

[2] Cochran, W. G. 1977. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terjemahan Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R Osman. Universitas Indonesia, Jakarta.

[3] http://www.bps.go.id/tnmn_pgn. Diunggah pada 05 Desember 2013.

[4] Kardilar, C. dan Cingi, H. 2003. Ratio estimators in Stratified Random Sampling.

Biometric Journal. 45: 218-225.

[5] Thompson, S.K. 2002. Sampling. New York: Wiley.

sac

y

R_{_}

sac

yRp_{_}

9 LAMPIRAN

Tabel Luas Lahan Panen-Produksi Tanaman Jagung Seluruh Provinsi di Indonesia pada Tahun 2012.

No Provinsi Luas Lahan Panen (Ha) Produksi (Ton)

1 Aceh 43675.00 167285.00

2 Sumatra Utara 243098.00 1347124.00

3 Sumatra Barat 75657.00 495497.00

4 Riau 13284.00 31433.00

5 Jambi 6587.00 25571.00

6 Sumatera Selatan 28617.00 112917.00

7 Bengkulu 22653.00 103771.00

8 Lampung 360264.00 1760275.00

9 Bangka Belitung 268.00 967.00

10 Kepulauan Riau 390.00 849.00

11 DKI Jakarta 3.00 6.00

12 Jawa Barat 148601.00 1028653.00

13 Jawa Tengah 553372.00 3041630.00

14 DI Yogyakarta 73766.00 336608.00

15 Jawa Timur 1232523.00 6295301.00

16 Banten 3074.00 9819.00

17 Bali 21008.00 61873.00

18 Nusa Tenggara Barat 117030.00 642674.00

19 Nusa Tenggara Timur 245323.00 629386.00

20 Kalimantan Barat 44642.00 170123.00

21 Kalimantan Tengah 2752.00 7947.00

22 Kalimantan Selatan 21723.00 112066.00

23 Kalimantan Timur 4104.00 9940.00

24 Sulawesi Utara 120272.00 440308.00

25 Sulawesi Tengah 37418.00 141649.00

26 Sulawesi Selatan 325329.00 1515329.00

27 Sulawesi Tenggara 30884.00 78447.00

28 Gorontalo 135543.00 644754.00

29 Sulawesi Barat 25141.00 122554.00

30 Maluku 4768.00 18281.00

31 Maluku Utara 11074.00 25543.00

32 Papua Barat 1199.00 2049.00

33 Papua 3553.00 6393.00

Sumber: http://www.bps.go.id/tnmn_pgn