BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI. digunakan dalam pengujian program perbandingan solusi numerik persamaan integral

BAB 4

IMPLEMENTASI DAN EVALUASI

Pada bab ini disajikan hasil pengujian program beserta spesifikasi sistem yang digunakan dalam pengujian program perbandingan solusi numerik persamaan integral Volterra nonlinier dengan metode Volterra-Runge-Kutta dan metode iterasi.

4.1 Spesifikasi Sistem

Sistem – sistem pendukung yang dibutuhkan untuk menjalankan aplikasi yang telah dibuat ini terbagi menjadi dua kelompok besar yaitu kelompok perangkat keras dan kelompok perangkat lunak. Kedua kelompok tersebut akan dijabarkan di bawah ini.

4.1.1 Spesifikasi Kebutuhan Perangkat Keras

Spesifikasi dari perangkat keras yang dipakai dalam mengoperasikan program aplikasi adalah sebagai berikut:

• Processor : Pentium 4 (2 GB)

• Memory : 256 MB

• Harddisk : 20 GB

• VGA Card : 64 MB Standard VGA

• Monitor : SVGA 15”

• Mouse dan Keyboard

54 4.1.2 Spesifikasi Kebutuhan Perangkat Lunak

Di samping kebutuhan perangkat keras yang tersebut di atas, dibutuhkan juga perangkat lunak dengan spesifikasi sebagai berikut:

• Operating System : WindowsXP

• Compiler Software : Borland Delphi 6.0

4.2 Tampilan Layar

Gambar 4.1 Tampilan Layar Menu Utama

Pada saat menjalankan volterra.exe, maka akan ditampilkan menu utama seperti gambar di atas. Pada saat permulaan dijalankan, menu output belum dapat dipilih karena belum ada persamaan yang di-input.

55

Gambar 4.2 Tampilan Layar Menu Utama saat menu output dipilih

Setelah user memasukkan persamaan dengan terlebih dahulu mengakses menu input, maka tampilan menu utama akan berubah seperti gambar di atas.

Gambar 4.3 Tampilan Layar Menu Utama saat menu keterangan dipilih

56

Gambar 4.4 Tampilan Layar Input Persamaan

Pada saat menu input dipilih, maka akan ditampilkan seperti gambar di atas. Pada gambar di atas digunakan contoh persamaan

∫

⁻

−

− + + −

+

=

x

t y

x e dt

t x x

xe x x y

0

) ( 1 2 2

) cos(

1

) 1 ( )

1 ( ) 1

(

57

.

Gambar 4.5 Tampilan layar solusi dengan metode VRK

Apabila pada menu utama dipilih menu “Output”, kemudian submenu

“Metode VRK”, maka tampilan layarnya akan seperti gambar di atas dengan contoh input dan hasil kalkulasi seperti pada gambar. Apabila dipilih submenu

“Metode Iterasi”, maka tampilannya adalah seperti gambar di bawah ini.

58

Gambar 4.6 Tampilan layar solusi dengan metode iterasi

Apabila dipilih submenu “Perbandingan”, maka tampilannya sama seperti pada Gambar 4.6, namun yang berbeda adalah hasil output-nya (Gambar 4.7).

59

Gambar 4.7 Tampilan layar perbandingan metode VRK dan metode iterasi

Kedua gambar berikut memberikan tampilan layar saat submenu “Aturan Penulisan Rumus” dan submenu “About” dari menu “Keterangan” dipilih.

Gambar 4.8 Tampilan layar aturan penulisan rumus

60

Gambar 4.9 Tampilan layar about

4.3 Hasil evaluasi

Proses perbandingan metode yang dilakukan penulis adalah berdasarkan lamanya waktu perhitungan fungsi saat nilai N tertentu dan perbedaan hasilnya dengan nilai eksaknya. Persamaan integral yang digunakan dalam membandingkan kedua metode tersebut adalah:

∫

⁻

−

− + + −

+

=

x

t y

x e dt

t x x

xe x x y

0

) ( 1 2 2

) cos(

1

) 1 ( )

1 ( ) 1

( , x∈[0,1]

Sedangkan nilai fungsi yang akan dibandingkan adalah nilai fungsi pada titik x=1 dengan ε = 0,00000001 (10^-8). Nilai ε tersebut dipilih secara sembarang.

Contoh fungsi di atas memenuhi syarat-syarat yang telah ditentukan pada bab sebelumnya, yaitu:

61

- x

xe x x

g ^x −

+ +

= ^{1−cos( )} ₂ ) 1 ( ) 1

( adalah fungsi yang terdefinisi pada [0,1].

- Kernel ₂ ^{1 ()}

) 1 )) ( (

; ,

( e ^yt

t t x

y t x

K ⁻

= + juga fungsi yang kontinu dan terdefinisi pada interval [0,1]

Tabel 4.1 Hasil perhitungan fungsi pada titik x = 1 dengan metode VRK

N h = Δx Y(x) Waktu

100 0.01 0.48960201179042 219 ms 200 0.005 0.49197626370589 469 ms 300 0.003333333 0.49276747931452 688 ms 400 0.0025 0.49316304691073 938 ms 500 0.002 0.49340037429610 1 dtk 172 ms 600 0.001666667 0.49355858699375 1 dtk 406 ms 700 0.001428571 0.49367159331832 1 dtk 640 ms 800 0.00125 0.49375634655195 1 dtk 875 ms 900 0.001111111 0.49382226483523 2 dtk 109 ms 1,000 0.001 0.49387499889401 2 dtk 344 ms 5,000 0.0002 0.49425466910031 11 dtk 672 ms 10,000 0.0001 0.49430212600797 23 dtk 375 ms

62 Tabel 4.2 Hasil perhitungan fungsi pada titik x = 1 dengan metode iterasi

N h = Δx Y(x) Waktu

100 0.01 -0.07602926073818 282 ms 200 0.005 -0.07603503276122 609 ms 300 0.003333333 -0.07603610487003 1 dtk 79 ms 400 0.0025 -0.07603647718566 1 dtk 500 ms 500 0.002 -0.07603664971129 2 dtk 140 ms 600 0.001666667 -0.07603674349509 2 dtk 781 ms 700 0.001428571 -0.07603680007097 3 dtk 531 ms 800 0.00125 -0.07603683680374 4 dtk 344 ms 900 0.001111111 -0.07603686199429 5 dtk 344 ms 1,000 0.001 -0.07603688001671 6 dtk 125 ms

5,000 0.0002 -0.07603696306753 1 mnt 52 dtk 938 ms 10,000 0.0001 -0.07603695613017 7 mnt 9 dtk 78 ms

Tabel 4.3 Perbedaan waktu proses pada titik x=1 dengan metode iterasi dan metode VRK

N h = Δx Metode VRK Metode Iterasi Selisih Waktu

100 0.01 219 ms 282 ms 63 ms

200 0.005 469 ms 609 ms 140 ms

300 0.003333333 688 ms 1 dtk 79 ms 391 ms

400 0.0025 938 ms 1 dtk 500 ms 562 ms

500 0.002 1 dtk 172 ms 2 dtk 140 ms 968 ms 600 0.001666667 1 dtk 406 ms 2 dtk 781 ms 1 dtk 375 ms 700 0.001428571 1 dtk 640 ms 3 dtk 531 ms 1 dtk 141 ms 800 0.00125 1 dtk 875 ms 4 dtk 344 ms 2 dtk 469 ms 900 0.001111111 2 dtk 109 ms 5 dtk 344 ms 3 dtk 235 ms 1,000 0.001 2 dtk 344 ms 6 dtk 125 ms 3 dtk 781 ms

5,000 0.0002 11 dtk 672 ms 1 mnt 52 dtk 938 ms 1 mnt 41 dtk 266 ms 10,000 0.0001 23 dtk 375 ms 7 mnt 9 dtk 78 ms 6 mnt 45 dtk 703 ms

Dari tabel 4.3 di atas terlihat bahwa semakin besar nilai N, maka perbedaan waktu proses juga semakin besar. Perbedaan waktu yang cukup besar

63 terjadi saat N ≥ 5.000. Sedangkan, saat N ≤ 1.000 tidak menunjukkan perbedaan waktu yang cukup besar, namun hanya berbeda beberapa detik saja.

Apabila diperhatikan kembali algoritma pada bab sebelumnya, maka dapat dilihat bahwa secara garis besar nilai yang dihitung sekurang-kurangnya sekali setiap perulangan pada metode iterasi lebih sedikit dibandingkan pada metode VRK, yaitu pada metode iterasi adalah nilai U dan Yr+1(p), dan pada metode VRK adalah nilai L1, L2, L3, Yi+1. Perbedaannya adalah nilai L1, L2, L3, Yi+1 pada metode VRK dihitung hanya sekali setiap perulangan, sedangkan pada metode iterasi nilai U dihitung hanya sekali saja dan nilai Yr+1(p) dapat lebih dari satu kali. Perhitungan nilai Yr+1(p) inilah yang menyebabkan metode iterasi menjadi lebih lambat dibandingkan metode VRK. Banyaknya perulangan perhitungan nilai Yr+1(p) tergantung pada nilai ε dan nilai fungsinya itu sendiri

Nilai eksak dari persamaan di atas pada titik x = 1 adalah y(1) = 0,5 (Mihaila, B., Shaw, R.E. , 2002, p8). Dengan demikian, nilai error untuk masing-masing metode ditunjukkan pada tabel-tabel berikut.

64 Tabel 4.4 Error absolut pada titik x = 1 dengan metode VRK

N h = Δx Y(1) Error = | Y-y |

100 0.01 0.48960201179042 0.01039798820959 200 0.005 0.49197626370589 0.00802373629411 300 0.003333333 0.49276747931452 0.00723252068548 400 0.0025 0.49316304691073 0.00683695308927 500 0.002 0.49340037429610 0.00659962570390 600 0.001666667 0.49355858699375 0.00644141300625 700 0.001428571 0.49367159331832 0.00632840668168 800 0.00125 0.49375634655195 0.00624365344805 900 0.001111111 0.49382226483523 0.00617773516477 1,000 0.001 0.49387499889401 0.00612500110599 5,000 0.0002 0.49425466910031 0.00574533089969 10,000 0.0001 0.49430212600797 0.00569787399203

Tabel 4.5 Error absolut pada titik x = 1 dengan metode iterasi

N h = Δx Y(1) Error = | Y-y |

100 0.01 -0.07602926073818 0.57602926073818 200 0.005 -0.07603503276122 0.57603503276122 300 0.003333333 -0.07603610487003 0.57603610487003 400 0.0025 -0.07603647718566 0.57603647718566 500 0.002 -0.07603664971129 0.57603664971129 600 0.001666667 -0.07603674349509 0.57603674349509 700 0.001428571 -0.07603680007097 0.57603680007098 800 0.00125 -0.07603683680374 0.57603683680374 900 0.001111111 -0.07603686199429 0.57603686199429 1,000 0.001 -0.07603688001671 0.57603688001671 5,000 0.0002 -0.07603696306753 0.57603696306753 10,000 0.0001 -0.07603695613017 0.57603695613017

Terlihat pada kedua tabel di atas bahwa nilai error absolut pada metode iterasi lebih besar dibandingkan nilai error pada metode VRK. Hal ini disebabkan karena metode iterasi berdasarkan pada aturan trapesium, sedangkan metode Volterra-Runge-Kutta berdasarkan pada aturan Simpson. Berdasarkan pendapat Wahyudin (1986, p5.26), pada umumnya aturan Simpson lebih teliti

65 daripada aturan trapesium. Selain itu, metode Volterra-Runge-Kutta yang digunakan adalah metode Volterra-Runge-Kutta orde 3, sedangkan semakin tinggi ordenya maka hasilnya semakin teliti.