BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini, yang akan dipergunakan pada bab pembahasan.

2.1 Optimasi

Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Salah satu bentuk umum masalah optimasi adalah untuk menentukan bersyarat x = (x1, x2, … , xn) sehingga mencapai tujuannya untuk memaksimumkan/ meminimumkan f(x) dengan kendala gn (x) ≥ 0 dan untuk x ≥ 0 . dengan f(x) dan gn(x) adalah fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan.

Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk masalah optimasi yaitu optimasi bersyarat dan optimasi tak bersyarat.

2.1.1 Optimasi Tak Bersyarat

Optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki syarat atau tidak memiliki batasan- batasan , sehingga untuk x = (x_1, x_2, … , x_n) mempunyai fungsi tujuan adalah memaksimumkan/ meminimumkan f(x) .

Syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu penyelesaian x = x^* merupakan penyelesian optimal saat f(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah pada x = x^* , untuk j = 1,2, … , n. Dimana f(x) dengan kondisi ini juga mencukupi, sehingga mencari solusi untuk x^* tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem n persamaan yang diperoleh dengan n turunan parsial sama dengan nol.

2.1.2 Optimasi Bersyarat

Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan - batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan.

Maksimumkan / Minimumkan z = f(x), x = {x₁, x₂, …, x_n}

Dengan kendala g₁(x) (≤, =, ≥) = b1

g₂(x) (≤, =, ≥) = b2

…

g_m(x) (≤, =, ≥) = bm

Disini jika terjadi bahwa m > n maka tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi untuk dapat menyelesaikannya maka m ≤ n (jumlah kendala lebih kecil daripada variabel).

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi adalah metode pengali Lagrange, karena metode Lagrange tersebut prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai :

L(x, λ) = f(x) +

m

i 1

λigi (x)

Teorema :

Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(x) dengan kendala gj (x) = 0, untuk j = 1, 2, … , m agar mempunyai minimum relatif pada titik x^* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L(x, λ) = ( x₁,x₂,…,xn, ₁, ₂,..., _m ) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

(Luknanto, 2000: 12)

Teorema:

Syarat harus bagi sebuah fungsi f(x) agar mempunyai minimum(atau maximum) relatif pada titik x^* adalah jika fungsi kuadrat Q, yang didefinisikan sebagai

n

i n

j

j i j i

dx x dx x Q L

1 1

2

Dievaluasi pada x = x^* harus definit positif (atau negatif) untuk semua nilai dx yang memenuhi semua kendala.

(Luknanto, 2000: 13)

Syarat perlu agar

n

i n

j

j i j i

dx x dx x Q L

1 1

2

menjadi definit positif( atau negatif) untuk setiap variasi nilai dx adalah setiap akar dari polynomial zi, yang didapat dari determinan persamaan dibawah ini harus positif (atau negatif).

(L11- z) L12 L13 … L1n g11 g12 … gm1

L21 (L22-z) L23 … L2n g12 g22 … g2n

… …

Ln1 Ln2 Ln3 … (Lnn-z) gm1 gm2 … gmn

g11 g12 g13 … g1n 0 0 … 0 g21 g22 g23 … g2n 0 0 … 0

… …

gm1 gm2 gm3 … gmn 0 0 … 0

= 0

Dengan L11 = dan gij =

(Luknanto, 2000 : 13)

Arti dari pengali Lagrange secara fisik yang menarik dimisalkan terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: maksimumkan/

minimumkan f(x) dengan kendala g(x) = b Fungsi Lagrangenya adalah

L (x, λ) = f (x) + λ(b-g (x)) Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah

= 0

Maka persamaan diatas menghasilkan :

b – g(x) = 0 atau b = g(x) didapat;

Atau

Atau

Atau

df dg

menghasilkan yang final yaitu df =λdb karena b = g(x) atau df = λ^*db

Dapat diambil suatu kesimpulan bahwa dari persamaan diatas pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan f, berbanding lurus dengan perubahan Kendala b dengan faktor sebesar pengali Lagrange λ.

2.2 Metode Pengali Lagrange

Sejauh ini proses optimasi dilakukan tanpa menggunakan kendala, padahal seringkali persoalan optimasi dihadapkan pada kendala - kendala tertentu. Sebagai contoh persoalan dasar dalam teori konsumen adalah bagaimana menentukan tingkat konsumsi yang memberikan kepuasan optimal dengan tingkat pendapatan tertentu.

Multiplier Langrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini untuk program-program non-linear. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange (1736-1813). Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program non-linear.

Metode pengali Lagrange merupakan sebuah tehnik dalam menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaan. Inti dari metode pengali Lagrange adalah mengubah persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala. Fungsi yang terbentuk dari tranformasi tersebut dinamakan fungsi Lagrange.

misalkan permasalahan yang dihadapi adalah

Maksimumkan (Minimumkan) z = f(x), x = {x₁, x₂, …, x_n} Dengan kendala g1(x) (≤, =, ≥) = b1

g₂(x(≤, =, ≥)) = b₂ …

g_m(x) (≤, =, ≥) = bm

Fungsi baru Lagrange yang telah dimodifikasi menjadi L(x, λ) = f(x) +

m

i 1

λigi (x)

2.3 Matrik Hessian

Matrik adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bilangan – bilangan tersebut dinamakan entri dalam matrik atau disebut juga elemen (unsur).

Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan f(x) fungsi dengan n variabel yang memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu, matrik Hessian f(x) ditulis H adalah :

…

…

… … … …

H =

Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turunan kedua fungsi lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan matriks Hessian misalkan f(x) = F(x1, …, x_n) adalah fungsi bernilai real dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalnya x₀ adalah titik stasioner dari F dan didefinisikan H = H(x₀) dengan persamaan H_ij = F_{xi, yj} (x₀). H (x₀) adalah Hessian dari F pada x_0.

Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut :

1. x0. Adalah suatu minimum relatif dari F jika jika H(x0.) definit positif 2. x0. Adalah suatu maksimum relatif dari F jika H(x0.) definit negatif 3. x0. Adalah suatu titik pelana dari F jika H(x0.) indefinite

(Leon,1998 : 313)

Contoh : 1

Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai berikut :

+ + +

Solusi :

Titik ekstrim harus memenuhi syarat : +4

+8

Persamaan diatas dipenuhi oleh titik – titik (0, 0), (0, -8/3), (-4/3, 0), dan (-4/3, -8/3) Untuk mengetahui titik maksimum dan minimum maka digunakannya matrik Hessian untuk menyelidikinya. Derivasi kedua dari f adalah :

, , dan Jadi matrik Hessian menjadi

6x1 + 4 0

0 6x2 + 8

sehingga H1 = [6x1 + 4] dan 6x₁ + 4 0

0 6x2 + 8 H2 =

Tabel 2.1. Nilai matrik Hessian untuk masing – masing titik ekstrim.

( x1 ,x2) Matrik H H1 H2 Sifat H Sifat ( x1 ,x2) f(x₁, x₂)

(0, 0)

4 0 0 8

+4 +32 Definit

positif Minimum 6

(0, -8/3) 4 0 0 - 8

+4 -32 Tak tentu Titik belok 418 / 27

(-4/3, 0) -4 0 0 8

- 4 - 32 Tak tentu Titik belok 194/ 27

(-4/3, -8/3) -4 0 0 -8

- 4 + 32 Definit

nefgatif Maksimum 50/ 3

Grafik f(x) disajikan dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan dalam gambar dibawah ini :

Maksimum (-4/3, -8/3)

0 -1

-2

7,5 10 12,5 15 Titik

belok (0, -8/3)

0 Minimum

(0,0)

-0,5

-1 (-)

X2

X1

(-)

Gambar. 2.1. Grafik dari + + +

2.4 Matrik Definit Positif

Bentuk kuadrat pada ( x1, x2, … xn ) adalah ekspresi yang dapat kita tulis sebagai

X1

X2

Xn

[ x1, x2, … xn ] A

Dengan A merupakan matrik simetrik n x n . Jadi misalkan

X1

X2

Xn

X =

maka bentuk ini dapat ditulis sebagai X ^t AX

contoh : 2

Misalkan sebuah matrik simetrik berikut : 2 -1 0

-1 2 -1 0 -1 2 A =

Untuk mengkaji apakah matriks A bersifat definite positif, maka;

2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2

X1

X2

X3

X ^t AX = [x1 x2 x3 ]

X ^t AX = [x1 x2 x3 ]

2x1 –x2

-x1 + 2x2 –x3

-x2 + 2x3

Sehingga hasilnya adalah

X ^t AX = x1(2x1-x2) + x2(-x1 + 2x2 – x3) + x3(-x2 +2x3) X ^t AX = 2 - x1x2 - x1x2 + - x2x3 - x2x3 +

X ^t AX = 2 - 2x1x2 + - 2x2x3 +

X ^t AX = + ( 2x1x2 + ) + ( -2x2x3 + ) + X ^t AX = + ( )² + ( - )² +

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena memenuhi:

+ ( )² + ( - )² + > 0 kecuali jika x1 = x2 = x3 = 0 Sebaliknya matrik A dan bentuk kuadrat X ^t AX disebut :

1. Definit negatif jika X ^t AX < 0, untuk semua x 0 2. Semidefinit positif jika X ^t AX ≥ 0, untuk semua x 3. Semidefinit negatif jika X ^t AX ≤ 0, untuk semua x 4. Indefinit bila tidak termasuk golongan diatas

Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk – bentuk definit positif dan negatif yaitu :

1. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit positif

Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk X ^t AX sebagai definit positif adalah

> 0, h11 > 0, h11 h12

h21 h22

h11 h12 h13

h21 h22 h23

h31 h32 h33

> 0, … , A > 0

Jika n minor dari A adalah positif, maka X ^t AX adalah definit positif dan X ^t AX hanya definit positif, jika minor – minor ini positif.

2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit negatif

Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk X ^t AX sebagai definit negatif atau setaranya untuk X ^t (-A)X sebagai definite positif adalah

> 0, h11 h12 h21 h22

h11 h12 h13

h21 h22 h23

h31 h32 h33

A > 0

h11 < 0, < 0, … , (-1)ⁿ

Dimana a_ij adalah elemen – elemen dari A (bukan –A).

2.5 Maksimum dan Minimum

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal (maksimum relatif) dimana x = a bila f(a) lebih besar dari sembarang nilai f(x) lainnya dari x sekitar a, dan dikatakan mempunyai minimum lokal (minimum relatif) pada x = a bila f(a) lebih kecil dari sembarang nilai f(x) lain untuk x sekitar a. Maksimum dan minimum local suatu fungsi adalah maksimum dan minimum absolut dari suatu fungsi mempunyai jarak yang lebih besar lagi dan terletak pada titik yang paling tinggi atau paling rendah dari jarak tersebut, melebihi maksimum atau minimum lokal. Jadi f(x) mempunyai nilai maksimum absolute pada nilai x = a1 dengan batas b apabila nilai f(x) pada x = a1 mempunyai nilai paling tinggi , f(a1) > f(x), sedangkan f(x) mempunyai nilai maksimum lokal pada batas b , apabila f(x) pada x =a2. Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum kurvanya berbentuk cembung keatas dan fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk cembung kebawah.

f(x)

x = b f(b)

f(c)

Minimum lokal

Minimum lokal Maksimum

lokal

Maksimum lokal

Gambar. 2.2. Grafik 1

Sebaliknya, titik kritis x dan f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan kedua dari f di x :

1. Jika turunan kedua bernilai positif, x adalah minimum 2. Jika turunan kedua bernilai negatif, x adalah maksimum

3. Jika turunan kedua bernilai nol, x mungkin maksimum, minimum, ataupun tidak kedua- duanya.

Menurunkan fungsi dan mencari titik – titik kritis merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari nilai minimum dan maksimum, yang dapat digunakan untuk optimasi. Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik, jika diketahui minimum dan maksimum dari fungsi yang diturunkan tersebut sebuah grafik dapat digunakan untuk mengamati meningkat atau menurun dari titik – titik kritis. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisa titik – titik kritis dengan menggunakan matrik Hessian dari turunan parsial kedua fungsi dititik kritis. Apabila f(x) = 0 atau f¹(a) tidak tertentu jika a = 0, maka a merupakan titik kritis yaitu maksimum atau minimum.

Contoh : 3

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi f(x) = pada (-∞,∞) Penyelesaian :

Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) = 0 maka

0 f’(x) = ( x + 1)(x – 3) =0 sehingga nilai x = -1 dan x = 3 maka titik kritis f (x) adalah -1 dan 3. Maka turunan kedua dari f(x) adalah f”(x) = 2x – 2 sehingga nilai untuk mengujinya maka bahwa (x + 1)(x - 3) > 0 pada (-∞, -1) dan (3, ∞) maka menurut uji dari turunan pertama dapat disimpulkan bahwa merupakan nilai minimum dan untuk merupakan nilai minimum grafiknya diperlihatkan oleh gambar dibawah ini.

-1 1 1

-1

0 2

2

3

-2 4

-2 -3 -4 -5 3

Minimum maksimum

x y

Gambar 2.3. Grafik nilai maksimum dan minimum

2.6 Fungsi Utilitas Marginal

Fungsi utilitas merupakan fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.

Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Adapun persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolic, dengan kurva berbentuk parabola terbuka kebawah. Utilitas marginal (marginal utility, MU) merupakan utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivative pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal : MU = U’ = dU / dQ

(Dumairy, 1996 : 226 )

U = f(Q) U

MU

0 Q

Gambar 2.4. Grafik bentuk kurva utilitas

Karena fungsi utilitas total yang non liner pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marginalnya akan berbentuk fungsi liner. Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.

Contoh : 4

U = f(Q) = 90Q – 5Q² MU = U’ = 90 – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0

Sehingga nilai Q = 9

Maka, U_maksimum = 90(9) – 5(9)²

= 810 – 405 = 405

Diperlihatkan oleh gambar dibawah ini :

MU = 90 -10Q

9 18

0 90 405

U = 90Q – 5Q²

Q U, MU

Gambar 2.5. Grafik kurva fungsi U = f(Q) = 90Q – 5Q² dan MU = U’ = 90 – 10Q

2.7 Produk Marginal

Produk marginal ( marjinal product, MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan, maka produk marginal :

MP = P’ = dp/ dx

Karena fungsi produk total yang non liner pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat. Kurva produk marginal (MP) selalu mencapai nilai ektrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total ( P) berada pada posisi titik beloknya. Produk total mencapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol. Produk total menurun bersamaan dengan produk marginal menjadi negatif. Produk marjinal negatif menunjukkan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total.

(Dumairy, 1996: 227)

Contoh 5.

Produksi total P = f(x) = 9x² – x³ produk marjinalnya adalah MP = P’ = 18x – 3x²

Sehingga Pmaksimum pada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108

P berada dititik belok dan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3

Diperlihatkan oleh gambar dibawah ini :

x

6

P,MP

108

54

27

3

0

P=f(X)

MP = g(x) Gambar. 2.6. Kurva fungsi P = f(x) = 9x² – x³ dan MP = P’ = 18x – 3x²