MODUL IV ESTIMASI/PENDUGAAN (3)

MODUL IV

ESTIMASI/PENDUGAAN (3)

A. ESTIMASI RAGAM

Estimasi ragam digunakan untuk menduga ragam σ

²

dari suatu populasi normal berdasarkan ragam s

²

contoh acak berukuran n. Ragam contoh ini akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi σ

²

. Dengan demikian statistik S

²

disebut penduga bagi σ

²

. Selang kepercayaan bagi σ

²

dapat diperoleh dengan menggunakan statistik :



2

=

2

)

2

1 (



s n

Yang disebut Khi Kuadrat, yang sebaran penarikan contohnya dikenal sebagai sebaran Khi-Kuadrat , dengan v = n – 1 derajat bebas. Seperti sebelumnya v sama dengan pembagi dalam rumus s

²

. Nilai statistik khi-kuadrat dihitung dari suatu contoh acak berdasarkan rumus di atas.

Ciri – ciri Khi Kuadrat adalah

1. Nilai Khi Kuadrat tidak pernah negatif

2. Kurva khi kuadrat tidak setangkup terhadap 

²

= 0

3. Semakin besar derajat bebasnya maka nilai data akan semakin menyebar

Dari rumus di atas jelaslah bahwa 

²

tidak pernah negatif, sehingga kurva sebaran khi- kuadrat ini tidak mungkin setangkup terhadap 

²

= 0. Persamaan matematik kurva ini agak rumit, tetapi untunglah kita dapat tidak mencantumkannya di sini. Dengan mudah kita dapat memperoleh sebaran penarikan contoh bagi 

²

dengan mengambil secara berulang-ulang contoh acak berukuran n dari suatu populasi normal dan kemudian menghitung nilai 

²

untuk setiap contoh tersebut. Dengan demikian kurva 

²

dapat dihampiri dengan cara menggambarkan sebuah kurva yang mulus melalui bagian atas histogram bagi nilai-nilai 

²

tersebut.

0 

₁²_2

α/2

2

2



^2

α

/2

1- α

Mengacu pada gambar diatas maka P (  ₁ ²

_

_{ 2} <

_

² <  _ ² ₂ ) = 1 – α

Sedangkan 

²_1-α/2

dan 

² _α/2

adalah nilai-nilai sebaran khi-kuadrat dengan n-1 derajat bebad yang luas daerah di sebalah kanannya masing-masing adalah 1 – α/2 dan α/2.

dengan mensubsitusikan 

²

, kita memperoleh P (  ₁ ²

_

_{ 2} <

2

)

2

1 (

 s n 

<  _ ² ₂ ) = 1 – α

Dengan membagi setiap suku dalam ketaksamaan tersebut dengan (n-1)s

²

dan kemudian membalikkan ketaksamaan tersebut diperoleh :

2 2

)

2

1 (





S n 

< σ

²

<

2 2 1

)

2

1 (



_

 S n

Selang kepercayaan (1 – α)100% bagi σ dapat diperoleh dengan cara mengakarkan kedua ujung selang kepercayaan bagi σ

²

Contoh 11:

Data berikut ini berupa volume dalam desiliter 10 kaleng buah peach hasil produksi sebuah perusahaan tertentu 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, dan 46.0.

Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal.

Jawab.

S

²

=

) 1 (

1

2

1 2















 

 

n n

x x

n

n

i

n

i i i

= ( 10 )( 9 ) ) 2 2 . 1 ( ) 72 . 2 )(

10

( 

= 0.286

Untuk mendapatkan selang kepercayaan 95%, maka kita mengambil α = 0.05.

Selanjutnya dengan menggunakan Tabel A.6 dengan v = 9 derajat bebas, kita memperoleh 

₀²_.025

= 19.023 dan 

₀²_.975

= 2.700. Dengan mensubsitusikannya ke dalam rumus

2 2

)

2

1 (





S n

< σ

²

<

2 2 1

)

2

1 (



_

 S n

023 . 19

) 286 . 0 )(

9

( < σ

²

<

700 . 2

) 286 . 0 )(

9 (

0.135 < σ

²

< 0.953

B. ESTIMASI RASIO DUA RAGAM

Apabila terdapat dua populasi yang berbeda, maka dalam populasi tersebut terdapat 2 ragam yang berbeda pula. Nilai dugaan titik bagi rasio dua Ragam populasi 

₁²

/ 

₂²

diberikan oleh rasio ragam contohnya masing – masing s

₁²

/ s

₂²

. Jadi statistik s

₁²

/ s

₂²

merupakan penduga bagi 

₁²

/ 

₂²

. Bagi 

₁²

dan 

₂²

keduanya merupakan ragam populasi normal, maka kita dapat membuat Selang kepercayaan bagi 

₁²

/ 

₂²

dengan menggunakan statistik

F =

₂

2 2 1

2 1 2 2

s s





Yang sebaran penarikan contohnya disebut sebaran/distribusi F. Secara teoritik kita dapat mendefinisikan statistik F sebagai rasio dua peubah khi-kuadrat bebas, yang masing- masing dibagi oleh derajt bebasnya. Dengan demikian f adalah sebuah nilai bagi peubah acak F,

Maka:

F =

2

2 2 1

2 1 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 2 2

1 2 1

/ / /

/

s s s

s v v













 

Karena 

₁²

adalah suatu nilai yang berasal dari sebaran khi-kuadrat dengan v = n

₁

– 1 derajat bebas dan 

₂²

adalah suatu nilai yang berasal dari sebaran khi-kuadrat dengan v

= n

₂

-1 derajat bebas, maka f adalah sebuah nilai bagi sebaran F dengan v

₁

dan v

₂

derajat bebas.

Untuk mendapatkan nilai f, pertama-tama ambil sebuah contoh acak berukuran n

₁

dari sebuah populasi normal yang mempunyai ragam 

²1

dan hitunglah s

²₁

/ 

²1

. Selanjutnya ambil contoh acak berukuran n

₂

dari populasi kedua yang mempunyai ragam 

²2

dan hitunglah s

²₂

/ 

²2

. Rasio kedua besaran tersebut menghasilkan sebuah nilai f. Sebaran semua kemungkinan nilai f dengan s

²1

/ 

²1

sebagai pembilang dan s

²1

/ 

²2

sebagai penyebut disebut sebaran F dengan v

₁

dan v

₂

derajat bebas. Besarnya derajat bebas pembilang selalu yang disebutkan pertama baru diikuti derajat bebas penyebutnya. Jadi kurva F bergantung tidak hanya pada parameter v

₁

dan v

₂

, tetapi juga urutannya.

Besarnya derajat bebas pembilang selalu disebutkan pertama baru diikuti derajat bebas

penyebutnya.

Bila s

²₁

dan s

²₂

adalah ragam dua contoh acak bebas berukuran n

₁

dan n

₂

yang ditarik dari populasi normal dengan ragam 

²1

dan 

²2

. maka :

ƒ =

2 2 2 1

2 1 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1

/ /

s s s

s







 

merupakan nilai bagi peubah acak F yang mempunyai sebaran F dengan v

₁

= n

₁

– 1 dan v

₂

= n

₂

– 1 derajat bebas

Dengan menuliskan fα (v

_1,

v

₂

) untuk f

_α

dengan v

₁

dan v

₂

derajat bebas maka F

_{1 – α}

(v

_1,

v

₂

) =

) (

1

2 , 1v v f_

Jadi nilai f dengan 6 dan 10 derajat bebas yang disebelah kanannyaterdapat daerah seluas 0.95 adalah

246 . 06 0 . 4

1 ) 6 , 10 ( ) 1 10 , 6 (

05 . 0 95

.

0   

f f

Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi 

²1

/ 

²2

P [ ƒ

_1-α/2

(v

₁

, v

₂

) < F < ƒ

_α/2

(v

₁

, v

₂

) ] = 1 - α

Sedangkan dalam hal ini [ ƒ

1-α/2

(v

1

, v

2

) dan ƒ

α/2

(v

1

, v

2

) ] adalah nilai-nilai sebaran F dengan v

₁

dan v

₂

derajat bebas yang masing-masing di sebelah kanannya terdapat daerah seluas 1 – α/2 dan α/2. Dengan mensubsitusikan F kita memperoleh

P [ ƒ

_1-α/2

(v

₁

, v

₂

) <

₂

2 2 1

2 1 2 2

s s



 < ƒ

_α/2

(v

₁

, v

₂

) ] = 1 - α

Dengan menggandakan setiap suku dalam ketaksamaan tersebut dengan S

²2

/ S

²1

dan kemudian membalikkan suku-sukunya, kita memperoleh

Selang kepercayaan bagi 

₁²

/ 

₂²

. adalah ) ) (

( 1

1 , 2 2 2

2 2 1 2 2 2 1 2 , 1 2 2 2 2

1 f v v

s s v

v s f

s













Dengan v

₁

= n

₁

– 1 dan v

₂

= n

₂

-1

Contoh

Suatu tes penempatan untuk matematika diberikan pada 25 siswa laki – laki dan 16 siswa perempuan. Siswa laki – laki mencapai nilai rata – rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan siswa perempuan mencapai nilai rata – rata 78 dengan simpangan baku 7.

Buat selang kepercayaan 98% bagi 

₁²

/ 

₂²

dan 

₁



₂

, bila 

₁²

dan 

₂²

masing – masing

adalah ragam populasi semua nilai siswa laki – laki dan perempuan yang mungkin

mengambil tes tersebut. Asumsikan bahwa populasinya menyebar normal.

Jawab.

Diketahui : n

₁

= 25 n

₂

= 16 S

₁

= 8 s

₂

= 7

Untuk selang kepercayaan 98%, maka α = 0.02 F

_0.01

(24,15) = 3.29 dan F

_0.01

(15,24) = 2.89 Ditanya : 

₁



₂

?

Jawab :

) ) (

( 1

1 , 2 2 2

2 2 1 2 2 2 1 2 , 1 2 2

2 2

1 f v v

s s v

v s f

s













 ^{2 . 89} 

49 64 29

. 3

1 49 64

2 2 2 1 





 









0.397 <

2 2 2 1



 < 3.775

Dengan mengakarkan kedua ujung selang tersebut kita dapatkan 0.630 <

2 1



 < 1.943

Latihan Soal

1. Suatu contoh acak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai kadar nikotin rata – rata 3.6 miligram dan simpangan baku 0.9 miligram. Buat selang kepercayaan 99% bagi σ kadar nikotin yang sebenarnya rokok merk tersebut, bila diasumsikan sebaran kadar nikotin itu normal

2. Dari suatu contoh acak 12 mahasiswa penghuni sebuah asrama diperoleh rata – rata pengeluaran mingguan untuk jajansebesar $8.00 dengan simpangan baku $1.75. Buat selang kepercayaan 90% bagi σ pengeluaran mingguan untuk jajan yang dikeluarkan oleh penghuni asrama tersebut, bila diasumsikan pengeluaran tersebut menyebar normal

3. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaan film Masa putar (menit )

Perusahaan I Perusahaan II

103 94 110 87 98

97 82 123 92 175 88 118

Buatlah selang kepercayaan 90% bagi σ

₁²

/ σ

₂²

.

4. Dua contoh acak nerukuran n

1

= 9 dan n

2

=16 yang ditarik dari dua populasi normal , menghasilkan x

₁

= 64, x

₂

=59, s

1

=6 dan s

2

=5. Buatlah selang kepercayaan 95%

bagi σ

₁

/σ

₂