1
VARIABEL RANDOM / ACAK
adl variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan/
variabel yg bernilai numerik yg didefinisikan dlm suatu ruang sampel.
pelemparan dadu sebanyak 6x maka munculnya angka 1 sebayak 0,1,2,3,4,5,6 (6x kesempatan)
1. Variabel Random Diskrit
= Variabel random yg tdk mengambil seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval / variabel yg hanya memiliki nilai tertentu.
Bilangan bulat & asli, tdk berbentuk pecahan Contoh : Jumlah anak dlm sebuah keluarga
2
Contoh :
2 buah kotak masing2 berisi 4 bola yg bertuliskan angka 1,2,3,4. dari kotak I dan II masing2 diambil sebuah
bola scr random. Tentukan nilai variabel random yg menyatakan jumlah kedua angka pd bola yg terambil!
Jawab :
Dari pengambilan bola pada kotak I dan II, diperoleh titik sampel sebanyak 16. jika Y menyatakan jumlah kedua angka pd bola yg terambil maka :
Y(1,1) = 2 Y(1,2) = 3 Y(1,3) = 4 Dst
Shg daerah hasil dari random Y adl R
y= {2,3,4,5,6,7,8}
3
2. Variabel Random Kontinu
Variabel random yg mengambil seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg dpt memiliki nilai-nilai pd suatu interval tertentu
Bilangan bulat maupun pecahan
Contoh : Usia penduduk di suatu daerah, panjang kain.
Contoh :
Pada label kawat baja, tertulis diameter 2±0,0005 mm.
tentukan nilai variabel random yg menunjukkan diameter kawat tsb!
Jawab :
Diameter kawat baja tidak boleh kurang dari 2 – 0,0005
mm = 1,9995 mm & tidak boleh lebih dari 2 + 0,0005
mm = 2,0005, shg daerah hasil variabel random X adl
Rx = {X:1,9995 ≤ x ≥ 2,0005, x bilangan real}
4Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis
Distribusi teoretis : suatu daftar yg disusun
berdasarkan probabilitas dr peristiwa2 bersangkutan.
Misal :
Sebuah mata uang logam dgn permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya
X P(X)
0 1 2 3 4
0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
Jumlah 1,00
5
Dari pelemparan tsb akan diperoleh ruang sampel dg anggota sebanyak 8 (n=8), yaitu :
S = {AAA,AAB,ABA,BAA,ABB,BBA,BAB,BBB}
Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A) maka :
1. Untuk AAA, didapat X = 3 2. Untuk AAB, didapat X = 2 3. Untuk ABA, didapat X = 2 4. Untuk BAA, didapat X = 2 5. Untuk ABB, didapat X = 1 6. Untuk BBA, didapat X = 1 7. Untuk BAB, didapat X = 1 8. Untuk BBB, didapat X = 0
Dg dmk X = {0,1,2,3}
61. Distribusi Teoretis Diskrit
Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random diskrit dgn probabilitas terjadinya
masing-masing nilai tsb
Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/
distribusi dr variabel random diskrit jk memenuhi syarat:
a. f(x) ≥ 0, x Є R b. f(x) = 1
c. P(X=x) = f(x)
7
Contoh :
Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan
distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil.
Jawab :
8
C 0,2 C 0) C
P(x
2 X Untuk
C 0,6 C 1) C
P(x
1 X Untuk
C 0,2 C 0) C
P(x
0 X Untuk
6 3 4
2 3 2 2
6 3 4
1 3 2 1
6 3 4
0 3 2 0
Distribusi Probabilitasnya :
X 0 1 2
P(X) 0,2 0,6 0,2
0,1,2 x
C , C f(x) C
x) P(X
: dengan dinyatakan
asnya probabilit
Distribusi
C adl biru bola
n mendapatka cara
Banyaknya
C adl kuning bola
n mendapatka cara
Banyaknya
sampel titik
3)! 20 (6
3!
C 6!
sampel ik
Jumlah tit
6 3 4
x 3 2 x
4 x - 3
2 x 6
3
9
a. Distribusi binomial
b. Distribusi hipergeometrik c. Distribusi Poisson
10
2. Distribusi Teoretis Kontinu
Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random kontinu dgn probabilitas terjadinya
masing-masing nilai tsb
Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/
distribusi probabilitas variabel random kontinu x, jk memenuhi syarat:
a. f(x) ≥ 0, x Є R b.
c.
1 dx
f(x)
b
a
dx f(x) b)
X P(a
11
Contoh :
Suatu variabel random kontinu X yg memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yg dinyatakan oleh :
Tentukan nilai P(X<2) 21
x) f(x) 2(1
21 ) 5
2 21 (
1
21 ) 1
( 2
2) X
P(1 2)
P(X
: Jawab
2
1 2
2
1
x x
x dx
12
Distribusi yg tergolong distribusi teoritis kontinu antara lain :
a. Distribusi normal b. Distribusi
c. Distribusi F d. Distribusi t
χ
213
NILAI HARAPAN/ RATA-RATA HITUNG DISTRIBUSI TEORETIS
Nilai rata-rata hitung tertimbang jangka panjang dr distribusi teoretis, disimbulkan E(X)
Misalkan X adl suatu variabel random dgn distribusi probabilitas f(x) atau P(X=x) mk nilai harapannya : 1. Utk distribusi probabilitas diskrit
2. Utk distribusi probabilitas kontinu
x . f(x) atau E(X) (x . P(x)) E(X)
x . f(x) dx E(X)
14
Latihan 1 :
Seorang salesman menjual dinner set baru untuk PT Danish Rafi. Biasanya salesman itu menjual dinner set pada hari Senin. Ia kemudian membuat suatu distribusi probabilitas untuk jumlah dinner set yg diharapkan
pada suatu hari Senin tertentu.
Berapa jumlah dinner set yg diharapkan oleh salesman?
Jumlah dinner set terjual (x) Probabilitas P(x)
0 0,05
1 0,25
2 0,30
3 0,20
4 0,15
5 0,05
15
Latihan 2 :
Misalkan variabel random X memiliki distribusi probabilitas sbg berikut:
Tentukan Var (x) dan simpangan bakunya
Var(x) σ
P(x) μ) .
σ (x (X)
Var
atau (E(X))
) σ E(X
(X) Var
2 2
2 2
2
X 0 1 2 3
f(x) 1/27 6/27 12/27 8/27
16
DISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu distribusi teoretis yg menggunakan variabel random diskrit yg t.d. dua kejadian yg berkomplementer spt :
sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dsb
Pengambilan sampel dilakukan dg pengembalian.
Ciri-ciri :
1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa spt ya-tidak, sukses-gagal
2. Probabilitas satu peristiwa adl tetap, tidak berubah utk setiap percobaan
3. Percobaannya bersifat independent artinya peristiwa dr suatu percobaan tdk mempengaruhi/ dipengaruhi peristiwa dlm percobaan lainnya
17
A. RUMUS BINOMIAL SUATU PERISTIWA
Probabilitas suatu peristiwa dpt dihitung dgn mengalikan kombinasi susunan dgn probabilitas salah satu susunan
Keterangan :
x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan
p = probabilitas peristiwa sukses
q = 1- p = probabilitas peristiwa gagal
Latihan 3 :
Dlm sebuah kotak terdapat 10 bola putih & 20 bola merah. Berapakah probabilitasnya bahwa dlm 6
pengambilan tdpt 2 bola putih? Dg catatan bola selalu dikembalikan ke dlm kotak sblm bola berikutnya diambil.
x n x
n
x
.p .q C
n)
P(x;
18
B. PROBABILITAS BINOMIAL KUMULATIF
Probabilitas dr peristiwa binomial lebih dr satu sukses
n) P(x
...
2) P(x
1) P(x
0) P(X
x) P(X
q .p C
PBK
n
0 x
x n x n
0 x
n x
19
Latihan 4 :
Sebanyak 5 mhs akan mengikuti ujian sarjana &
diperkirakan probabilitas kelulusan adl 0,7. Hitunglah probabilitas :
a. Paling banyak 2 orang lulus
b. Yg akan lulus antara 2 – 3 orang c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus
20
Rata-rata, Varians, Simpangan Baku Distribusi Binomial
σ n . p . q
baku simpangan
q . p . n )
(σ varians
p . n )
(μ rata
rata
2
21
Latihan 5 :
Suatu distribusi binomial memiliki n = 6, p = ¼, q = ¾.
Tentukan nilai rata2, varians dan simpangan bakunya!
Jawab :
22
Menggunakan variabel diskrit dgn 2 kejadian yg berkomplementer
Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian
Keterangan :
N = ukuran populasi n = ukuran sampel
k = banyaknya unsur yg sama pd populasi x = banyaknya peristiwa sukses
N n
k N
x n k
x
C C k) C
n, N, h(x;
x) P(X
23
Latihan 6 :
Dlm kotak terdapat 10 bola putih & 20 bola merah. Kalau 6 bola diambil sekaligus dari kotak itu, berapakah
probabilitasnya bahwa akan terdapat 2 bola putih ? Jawaban :
24
Distribusi hipergeometrik dpt diperluas.
Jk dr populasi yg berukuran N terdpt unsur yg sama yi k1, k2,…dan dlm sampel berukuran n terdpt unsur yg sama x1, x2,... Dgn k1+k2+…= N dan x1+x2+…= n, distribusi hipergeometrik dirumuskan :
N n
k x k
x 2
1
C
C ,...) C
x , x P(X
2 2 1
1
25
Latihan 7 :
Dari penelitian golongan darah mhs, diketahui bahwa dari 10 mhs terdapat 2 mhs bergolongan darah A, 5 mhs bergolongan darah B dan 3 mhs bergolongan darah O. apabila diambil 5 mhs, berapa probabilitas seorang mhs memiliki golongan darah A, 2 mhs
memiliki golongan darah B dan 2 mhs memiliki golongan darah O?
Jawab :
26
