STATISTIK PROBABILITAS Dasar dasar proba

2

Sample space, sample points, events

 Sample space,, adalah sekumpulan semua sample points,, yang mungkin;

dimana 

 Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:={Gambar,Angka}  Contoh 2. Menggelindingkan dadu: ={1,2,3,4,5,6}

 Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0,1,2,…}

 Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): ={xx>0}

 Events A,B,C,…   adalah himpunan bagian dari sample space

 Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6}  Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0}

 Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={xx>3}

 Event yang pasti : sample space 

3

Kombinasi event

 Union (gabungan) :“A atau B” : AB={A atau

B}

 Irisan: “A dan B” : AB={A dan B}  Komplemen : “bukan A”:Ac={A}

 Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila :

AB=

 Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event

A jika

4

Probabilitas (peluang)

 Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A)

 P(A)[0,1]

 Sifat-sifat peluang

5

Conditional Probability

(Peluang bersyarat)

 Asumsikan bahwa P(B)>0

 Definisi : Conditional probability dari suatu

event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut

6

Teorema Probabilitas Total

 Bila {B_i} merupakan partisi dari sample

space 

 Lalu {AB_i} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4

7

Teorema Bayes

 Bila {B_i} merupakan partisi dari sample space 

 Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(B_i)>0 untuk semua i.

Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5

 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita

peroleh

 Ini merupakan teorema Bayes

 Peluang P(B_i) disebut peluang a priori dari event B_i

 Peluang P(B_iA) disebut peluang a posteriori dari event B_i (bila

8

Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event)

 Definisi : Event A dan B saling bebas

(independent) jika

 Dengan demikian

Variabel Random/ Acak

variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan/ variabel yang bernilai numerik yg didefinisikan dlm

suatu ruang sampel

1. Variabel Random diskrit

Variabel random yg tdk mengambil seluruh

nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg hanya memiliki nilai tertentu

2. Variabel Random kontinu

Pengertian dan Jenis-Jenis

Distribusi Teoretis

 Distribusi teoretis : suatu daftar yg

disusun berdasarkan probabilitas dr peristiwa2 bersangkutan

 Misal :

Sebuah mata uang logam dgn permukaan I = A dan permukaan II = B

Jenis-jenis distribusi teoretis

1. Distribusi teoretis diskrit

Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random diskrit dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb

Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi

probabilitas/ distribusi dr variabel random diskrit jk memenuhi syarat:

a. f(x) ≥ 0, x Є R

b. f(x) = 1

Contoh soal

 Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola

biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan

Jawab

 Jumlah titik sampel = C₃6= 20 titik sampel  Banyaknya cara mendapatkan bola kuning

adalah C_x2

 Banyaknya cara mendapatkan bola biru

adalah

 Distribusi probabilitasnya

Distribusi yg tergolong ke dlm

distribusi ini antara lain :

a.

Distribusi binomial

b.

Distribusi hipergeometrik

2. Distribusi teoretis kontinu

 Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai

variabel random kontinu dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb

 Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi

probabilitas/ distribusi probabilitas

variabel random kontinu x, jk memenuhi syarat:

a. f(x) ≥ 0, x Є R b. c.      1 )

(x dx f     b a dx x f b X a

Contoh soal :

 Suatu variabel random kontinu X yg

memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yg dinyatakan oleh :

 Tentukan nilai P(X<2)

21 ) 1

( 2 )

(x x

Distribusi yg tergolong distribusi

teoritis kontinu antara lain :

a.

Distribusi normal

b.

Distribusi

c.

Distribusi F

d.

Distribusi t

DISTRIBUSI BINOMIAL

 Suatu distribusi teoretis yg

menggunakan variabel random diskrit yg tdr dr dua kejadian yg berkomplementer spt sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dsb

 Pengambilan sampel dilakukan dgn

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua

peristiwa spt ya-tidak, sukses-gagal

2. Probabilitas satu peristiwa adl tetap, tidak

berubah utk setiap percobaan

3. Percobaannya bersifat independent artinya

peristiwa dr suatu percobaan tdk

mempengaruhi/ dipengaruhi peristiwa dlm percobaan lainnya

4. Jml/ banyaknya percobaan yg mrp

 Probabilitas suatu peristiwa dpt dihitung dgn

mengalikan kombinasi susunan dgn probabilitas salah satu susunan

 Keterangan :

x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan

p = probabilitas peristiwa sukses

q = 1- p = probabilitas peristiwa gagal

x n x

n

x

p

q

C

p

n

x

b

x

X

Contoh soal

 Sebuah dadu dilemparkan ke atas

sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut:

a. Mata dadu 5 muncul 1 kali

b. Mata dadu genap muncul 2 kali

c. Mata dadu 1 atau 4 muncul sebanyak

Jawab

 P= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; x = 1 (muncul 1

kali)

P (X=1) =

= 4 .(1/6).(5/6)3 = 0.386

P = 3/6; q = ½; n =4; x =2 P(x=2) =

Probabilitas binomial kumulatif

 Probabilitas dr peristiwa binomial lebih

dr satu sukses

Contoh soal

 Sebanyak 5 mahasiswa akan

mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas

kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas :

a. Paling banyak 2 org lulus

b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3

Jawab

a) n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; x = 0,1,dan 2

P(x <2 )= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; x = 2 dan 3

P(2<x<3) = P(x=2) + P(x=3)

c) n = 5; p = 0.7; q=0.3; x = 4 dan 5

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

 Menggunakan variabel diskrit dgn 2 kejadian

yg berkomplementer

 Pengambilan sampel dilakukan tanpa

pengembalian

 Keterangan :

N = ukuran populasi n = ukuran sampel

k = banyaknya unsur yg sama pd populasi x = banyaknya peristiwa sukses

Contoh soal

 Sebuah kotak berisi 50 bola, 5

diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua

diantaranya pecah?

 Distribusi hipergeometrik dpt

diperluas. Jk dr populasi yg berukuran N terdpt unsur yg sama yi k1,

k2,…dan dlm sampel berukuran n

terdpt unsur yg sama x1, x2,... Dgn k1+k2+…= N dan x1+x2+…=n,

distribusi hipergeometrik dirumuskan :

N n k x k x

C

C

C

x

x

X

P

2 2 1 1

,...)

,

DISTRIBUSI POISSON

 Distribusi nilai-nilai bagi suatu

variabel random X yi banyaknya hasil percobaan yg tjd dlm suatu interval wkt tertentu/ di suatu daerah

Ciri-ciri

 Banyaknya hsl percobaan yg tjd dlm suatu

interval wkt/ suatu daerah tertentu tdk tgt pd banyaknya hsl percobaan yg tjd pd interval wkt/ daerah lain yg terpisah

 Probabilitas tjdnya hsl percobaan slm suatu

interval wkt yg singkat/ dlm suatu daerah kecil, sebanding dgn panjang interval wkt/ besarnya daerah tsb dan tdk bergantung pd banyaknya hsl percobaan yg tjd di luar

interval wkt/ daerah tsb

 Probabilitas lebih dr satu hsl percobaan yg tjd

Distribusi Poisson byk digunakan dlm hal:

 Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa

mnrt satuan wkt, ruang, luas, panjang tertentu spt menghitung probabilitas dr :

1. Banyaknya telepon per menit/ banyaknya

mobil yg lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan

2. Banyaknya bakteri dlm 1 tetes/ 1 L air

3. Banyaknya kesalahan ketik per halaman

4. Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama seminggu

 Menghitung distribusi probabilitas binomial

Rumus probabilitas poisson suatu peristiwa

!

)

(

x

x

X

P

x





Contoh soal

 Sebuah toko alat-alat listrik

mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika

permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson, berapa

probabilitas untuk penjualan berikut?

a. 0 lampu TL

37

 Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan

akan menghasilkan head (H) atau tail (T)

 Sample space:

 Misalnya peubah acak X merupakan jumlah

total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :