1. Garis/kurve f(x) simetris terhadap x = π 2. Mempunyai satu modus, yaitu nilai terbesar untuk f(x) yang dicapai x = π yang besarnya:

(1)

STATISTIKA II SESI 6

1.3 DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal digunakan untuk mencari probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang independent dan datanya bersifat kontinyu. Suatu variabel random kontinyu X akan berdistribusi normal jika fungsi density dari X memenuhi persamaan berikut:

F(x) = ¹

𝜎√2𝜋 .

e

^-^1/2^{(𝑥−𝜇)2}

𝜎

Dimana :

𝜇 = Mean distribusi itu

𝜎 = penyimpangan distribusi standart 𝜋 = bilangan tetap = 3,14159

e = bilangan tetap 2,71828

x = Variabel kontinyu yang harganya - ~ < x < + ~

Grafik dari fungsi distribusi normal bisa disebut dengan kurve-kurve normal, yang gambar kurvenya dapat dilihat pada diagram berikut ini.

A A

𝜎 𝜎

F(x)

𝜋

x

Kurve normal mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Garis/kurve f(x) simetris terhadap x =

𝜋

2. Mempunyai satu modus, yaitu nilai terbesar untuk f(x) yang dicapai x =

𝜋

yang besarnya:

1 𝜇√2𝜋

0,3989422 𝜎

(2)

3. Jarak titik belok kurve ini (titik A) dengan sumbu simetrisnya (garis x = 𝜇 ) sama dengan 𝜎 4. Grafik mendekati sumbu datar x mulai pada x = 𝜇 + 3 𝜎 ke kanan dan x = 𝜇 - 3 𝜎 ke kiri.

5. Luas kurve normal seluruhnya yaitu luas daerah bawah kurve f(x) dan diatas sumbu x, adalah sama dengan 1.

Distribusi normal dengan rata-rata yang sama dan deviasi standart (

𝜎

) berbeda akan mengakibatkan berbedanya bentuk kurve nya, makin besar nilai

𝜎

, kurvenya makin rendah (platikurtis) dan makin kecil nilai 𝜎, kurvenya makin tinggi (leptokurtis). Gambar kurve yang demikian ini dapat dilihat pada diagram dibawah ini.

𝜎 < A

𝜎 = A X

𝜇

Sedang untuk distribusi normal dengan 𝜎 yang sama dan

𝜇

yang berbeda ,akan tampak seperti diagram berikut :

𝜎 = A 𝜎 = A

X = -1 X = 0 X = +1

Karena distribusi normal memiliki persamaan fungsi dari sebuah kurve normal yang luas daerah di bawahnya (Probabilitasny) dapat dicari dengan menggunakan integral yang cukup sulit, maka probabilitas tersebut dihitung degan menggunakan distribusi normal yang telah distandardisasikan, yaitu dengan merubah variabel X menjadi skala Z yang mempunyai nilai nol (0) pada X = 𝜇 dan skala Z mempunyai 𝜎

= 1.

Seperti telah disebutkan diatas maka untuk menghitung probabilitas dari distribusi normal (menghitung luas dari bagian-bagian kurve normal), maka haruslah terlebih dahulu merubah variabel X menjadi skala Z dengan menggunakan rumus:

(3)

Rumus 3.61 Z =^{𝑋− 𝜇}

𝜎

Dengan demikian distribusi normal standart mempunyai persamaan: (Rumus 3.62) fZ) = ¹

√2𝜋

.

e -1/2 . Z

Dimana Z adalah : - ~ < X < + ~

Suatu distribusi dari sejumlah variabel dapat dikatakan mndekati distribusi normal apabila:

1. Kira – kira 68,27% dari data observasi akan berada dalam daerah 1

𝜎

sekitar

𝜇

, jadi antara

𝜇 – 𝜎

dan

𝜇 – 𝜎

.

𝜎

sekitar

𝜇

, jadi antara

𝜇 –

2

𝜎

dan

𝜇 –

2

𝜎

.

𝜎

sekitar

𝜇

, jadi antara

𝜇 –

3

𝜎

dan

𝜇 –

3

𝜎

.

F(x)

𝜇 - 3 𝜎 𝜇 - 2 𝜎 𝜇 - 𝜎 𝜇 𝜇 + 𝜎 𝜇 + 2 𝜎 𝜇 +3 𝜎 -3 -2 -1 0 1 2 3

68,27%

95,45%

99,73%

(4)

Dalam rumus 3.61 diatas besarnya 𝜎 sama dengan √𝑁. 𝑝. 𝑞 menunjukkan nilai skala Z dalam distribusi normal untuk harga /skala X tertentu. Kemudian, besarnya probabilitas untuk nilai Z tertentu (dari hasil perhitungan rumus 3.61) dapat dicari dengan menggunakan tabel bantuan area kurve normal standart.

F(X)

Luas Z Luas Z

0,50 0,50 X

𝜇

nilai Z -Z 0 Z+

Luas daerah area dibawah kurve normal standart = 1 Contoh :

a. Misalkan dipunyai kurve normal dengan

𝜇

= 18 dan

𝜎

= 8

Sekarang akan dicari luas kurve normal antara

𝜇

= 18 dan x = 38, atau luas daerah A P(18 ≤ x ≤ 38)

Z = ³⁸⁻¹⁸ 8 = 2.5

Luas Z yang bersesuaian dengan A

2,5 adalah = 0,4938 (lihat Tabel)

Jadi P(18 ≤ x ≤ 38) = 0,4938 18 30

b. Dicari luas daerah kurve normal antara

x

1

= 25 dan

x

2 = 40 P(25 ≤ x ≤ 40) = Luas A

Luas A = Luas Z1 atau P(18 ≤ x ≤ 40) – Luas Z2 atau

P(18 ≤ x ≤ 25) Z1

Z1

40−18

8 = 2,75 Luas Z1 = 0,4970 Z2 = ²⁵⁻¹⁸

8

=

0,87 Z2 A

Luas Z2 = 0,3078 18 30 40

Jadi Luas A atau P(25 ≤ x ≤ 40) = 0,4970 – 0,3078 = 0,1892

c. Dicari Luas Kurve normal dari x = 40 ke kanan atau P(x ≥ 40 ) atau Luas A Luas A = Luas Z1 – Luas Z2 atau P (18 ≤ x ≤ 40) Z1

Luas Z1 = 0,5 (1/2 kurve)

(5)

Z2 = ⁴⁰⁻¹⁸

8 = 2,75 Z2 A

Luas Z2 = 0,4970 18 40

Jadi Luas A = 0,5 – 0,4970 = 0,003

d. Dicari Luas kurve normal x = 15 dan 𝜇 = 30 atau P(15 ≤ x ≤ 30) atau Luas Z

Z = ¹⁵⁻³⁰

8

=

1,87

Harga Z yang negatif tidak ada tanda negatif disini Z hanya sebagai petunjuk bahwa luas daerah Z terletak

disebelah kiri harga 𝜇 . 15 30

Jadi Luas Z yang bersesuaian dengan 1,87 = 0,4693

Contoh dalam penggunaan:

1. Suatu perusahaan angkutan rata – rata akan mendapat keuntungan Rp 3.000,- per hari dengan simpangan standart Rp 300,-

Jika keuntungan ini berdistribusi normal , maka tentukan:

a. Dalam satu tahun berapa hari perusahaan dapat memperoleh keuntungan lebih dari Rp 4.000,-

b. Dalam satu tahun , berapa hari perusahaan dapat memperoleh keuntungan antara Rp 2.500,- dan Rp 4.000,-

Catatan : Hari efektif dalam satu tahun dianggap = 310 hari . Jawab:

𝜇 = Rp 3.000,- 𝜎 = Rp 300

a. P(x ≥ Rp 4.000,-) atau Luas A = luas Z1 – Z2

Luas Z1 = 0,5 Z1

Z2 = ^4000−3000

300 = 3,33

Luas Z2 = 0,4996 Z2

Luas A = 0,5 – 0,4996 = 0,0004 A

= atau 0,04% 3000 4000

Jadi dalam satu tahun perusahaan memperoleh keuntungan lebih besar dari Rp 4.000,- selama :

(6)

= 0,04% (310 hari)

= 1,29 hari atau 1 hari saja

b. P(2500 ≤ 𝑥 ≤ 4000) = Luas Z1 + Z2

Z1 = ^2500−3000

300 = -1,67

Luas Z1 = 0,4525 Z1 Z2 Luas Z2 = 0,4996

(P(2500 ≤ 𝑥 ≤ 4000) = 0,4525 + 0,4996 = 0,9521

Jadi dalam satu tahun perusahaan akan memperoleh keuntungan antara Rp 2.500,- dan Rp 4.000,-

= 0,9521 (310 hari)

= 295,151 hari atau 295 hari

3.7 PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

Antara Distribusi Binomial dan Distribusi Normal terdapat hubungan yang tertentu. Oleh karena itu para ahli statistik sependapat bahwa jika untuk peristiwa yang mengikuti distribusi binomial berlaku N cukup besar dan P tidak terlalu/tidak sangat mendekati nol atau satu,maka distribusi Binomial dapat didekati oleh distribusi normal dengan rata-rata 𝜇 = NP dan simpangan standart 𝜎 √𝑁. 𝑃. 𝑄

Agar daftar distribusi normal standart dapat dipakai , maka digunakan rumus:

X

^{𝑥−𝑁.𝑃}

√𝑁.𝑃.𝑄

Karena disini kita telah merubah variabel random diskrit dari distribusi binomial menjadi variabel random kontinyu dalam distribusi normal maka nilai x harus diadakan penyesuaian dengan jalan menambah atau mengurangi nilai x dengan 0,5

Contoh:

1. Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 20 kali.

Berapakah probabilitasnya dari lemparan itu akan tampak mata genap sebanyak 5 kali . Penyelesaian:

Menggunakan rumus distribusi binomial :

(7)

P (mata genap) = ½ P (mata ganjil) = q = ½ N = 20

X = 10

P(xn) = ( n ) p ^x . q ^n-x

x

P(5;20) = ( 20 )

½

⁵

½

¹⁵

5

= ( 15504) (0,3125) ( 0,00003051756)

= 0,1478

Dengan menggunakan rumus distribusi binomial diperoleh probabilitas sebesar 0,1478. Sekarang kita coba soal diatas kita selesaikan dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal dengan mengikuti aturan-aturan yang ada.

𝜇 = n.p = (20) ( ½ ) = 10

𝜎 = √𝑛. 𝑝. 𝑞 = √(20) (¹₂) (¹

2) = 2,24

Untuk distribusi binomial berlaku P(x = 5) , sedang untuk pendekatan distribusi normal berlaku P(4 ½ ≤ x

≤ 5 ½ )

P(4 ½ ≤ x ≤ 5 ½ ) = Luas A Z

Z1 = ^4.5−10

2,24 = -2,46

Luas Z1 = 0,4931 A

Z2 = ^5.5−10

2,24 = -2,01 4 ½ 5 ½ 10

Luas Z2 = 0,4778

Dengan demikian P(x = 5) = 0,4931 – 0,4778 = 0,0153

Dari dua cara tersebut diatas, ternyata memberikan hasil yang relatif sama, jadi pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal dapat digunakan dengan mengikuti aturan-aturan yang berlaku .

2. Barang-barang hasil produksi suatu mesin diketahui 50% diantaranya rusak. Jika mesin tersebut setiap hari menghasilkan 110 unit barang, tentukan:

(8)

a. Rata – rata jumlah hasil produksi yang rusak dalam satu hari dan tentukan juga standart deviasinya.

b. Probabilitas didapat hasil yang baik dalam satu hari tidak kurang dari 80 unit.

Penyelesaian:

Andaikata x = banyaknya barang yang rusak

P(rusak) = 50% = 0.5 P(baik) = q = 0.5 n = 110 unit a. 𝜇 = P.n = (0,5) (110) = 55

𝜎 = √𝑛. 𝑝. 𝑞

𝜎 = √(110). (0,5). (0,5) = 5,243 unit

Jadi rata-rata barang yang rusak = 55 unit dengan deviasi standar sebesar 5.3 unit.

b. Yang baik tidak kurang dari 80 unit, berarti yang rusak tidak lebih dari 30 unit.

Untuk x diskrit berlaku 0 ≤ x ≤ 30, tetapi untuk x yang kontinyu bagi distribusi normal, maka berlaku:

-0,5 ≤ x ≤ 30,5 sehingga probabilitas yang rusak tidak lebih dari 30 adalah P (-0,5 ≤ x ≤ 30,5) = Luas Z1 – Luas Z2

Z1 = ^−0,5−55

5.3 = -10,47

Luas Z1 = 0,5 (karena nilai Z1 lebih besar dari pada 3,99) Z2 = ^30,5−50

5,3 = -3,68 Luas Z2 = 0,4993 Luas Z1 - Luas Z2

= 0,5 – 0,4993

= 0,0007

Jadi kemungkinan terdapat tidak lebih dari 30 yang rusak atau tidak kurang dari 80unit yang baik adalah

= 0,0007

(9)