METODE RUNGE KUTTA JURUSAN MATEMATIKA

METODE RUNGE-KUTTA

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu: Drs. Rochmad, M.Si

Disusun oleh:

Fauziah Putri Sasmitoasih 4150408004

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

KATA PENGANTAR

Pertama-tama saya mengucapkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas berkah dan rahmat-Nya sehingga saya dapat menyusun laporan tugas metode numerik ini dengan lancar.

Tugas ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu persyaratan mata kuliah Metode Numerik yang merupakan mata kuliah yang harus ditempuh guna mendapatkan gelar kesarjanaan S1 pada Jurusan Matematika,Prodi Matematika,Fakultas MIPA,Universitas Negeri Semarang.

Tugas Metode numerik ini bertujuan untuk mempelajari tentang metdode runge-kutta beserta rumus dan aplikasi serta contohnya.

Saya menyadari bahwa laporan Tugas ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, saya mengharapkan kritik,saran maupun sumbangan pendapat yang sifatnya membangun dari para pembaca demi peningkatkan laporan ini di kemudian hari. Saya berharap semoga laporan ini dapat bermanfaat, baik bagi saya maupun para pembaca sekalian.

Semarang, Desember 2010

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Sampai sekarang pengolahan persamaan differensial dipusatkan pada penentuan penyelesaian dari persamaan differensial. Secara lebih khusus metode kita ini memberikan bentuk atau formula penyelesaian. Sebagai contoh misalnya persamaan diffrensial y+y= mempunyai bentuk penyelesaian berbentuk y=C1sinx+C2cosx .

Namun sering kali penyelesaiannya tidak segampang seperti contoh diatas. Dalam hal dimana penyelesaian dinyatakan dalam fungsi seperti ex_{,sinx , ataucosx yang} relative sederhana pun ketepatan nilai numerisnya dari y dapat menyebabkan beberapa masalah dalam perhitungan.

Dan apabila kita dapat mengingak dalam pelajaran kalkulus banyak kita temukan fungsi yang tidak mempunyai anti-turunan dank arena itu mustahil untuk menyatakan intergral tak tertentu fungsi-fungsi ini menjadi bentuk dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam konteks ini yang sama ini ada banyak persamaan differensial yang mustahil diperoleh bentuk penyelesaiannya. Dalam kasus semacam ini kita “selesaikan” persamaan differensial itu dengan menerapkan metode numeris tertentu.

Pada saat ini banyak metode numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan differensial seperti :

1. Metode Euler.

2. Metode Deret Taylor. 3. Metode Runge-kutta.

4. System persamaan Differensial orde satu dan Penerapannya.

Untuk metode euler masih dapat ditemukan kekurangannya yaitu seperti adanya kesalahan pemotongan atau kesalahan pendiskritan. Dan pada umumnya penambahan n (pengecilan jarak) mengurangi kesalahan pemotongan. Tetapi kesalahan jenis lain disebut kesalahan pembulatan cenderung menjadi lebih berarti bila h menjadi lebih kecil.

Untuk metode taylor sebenarnya tingkat ketelitiannya lebih dari metode euler namun hanya bisa sampai deret taylor orde-2.dan semakin tinggi orde_nya makin sulit perhitungannya. Oleh karena itu Metode runge-kutta yang dapat menyajikannya.

Dalam pemberian hampiran taylor kita tuliskan :

y

(

x0+h)≈ y

(

x0

)

+f

(

x0, y0

)

h+

[

fx

(

x0, y0

)

+fy

(

x0, y0

)

. f

(

x0, y0

)

]

h 2

{

fxx

(

x0, y0

)

+2fxy

(

x0, y0

)

. f

(

x0, y0

)

+fyy

(

x0, y0

)

[

f

(

x0, y0

)

]

2

+fx

(

x0, y0

)

. fy

(

x0, y0

)

+

[

fy

(

x0, y0

)

]

2

f

(

x0, y0

)

}

h 3

6 . Berdasarkan pengetahuan yang kita tentang deret taylor dari kalkulus kita tau

bahwa ketelitian dari hampiran kita membaik sesuai dengan banyaknya suku yang digunakan. Sebaliknya semakin banyak suku yang digunakan maka semakin sulit perhitungannya. Oleh sebab itu dengan adanya metode runge-kutta akan mempermudah menghitung hampiran orde banyak.

Oleh karena itu untuk mengerjakan hampiran orde banyak cenderung memilih menggunakan metode runge-kutta. Dan menghitung hampiran orde banyak dengan teliti adalah kelebihan dari metode Runge-kutta.

B. Rumusan Masalah.

Namun perhitungan runge-kutta secara manual juga sangat melelahkan sebab membutuhkan cara yang cukup banyak. Oleh sebab itu saya berinisitif untuk membuat perhitungan metode runge-kutta dalam bentuk program “turbo pascal” agar pengerjaannya lebih mudah.

Sehingga dapat ditulis masalah yang timbul adalah : 1. Perhitungan secara manual yang masih terlalu sulit.

2. Banyaknya cara yang harus ditempuh dalam menggunakan cara metode runge-kutta secara manual.

3. Kurang teliti apabila dikerjakan secara manual.

C. Pembatasan Masalah.

Dari sekian masalah yang timbul saya berinisatif untuk membuat program untuk metode runge-kutta orde-4 dengan bahasa pemograman “turbo pascal”. Saya mengambil yang orde ke-4 sebab yang perhitungannya lebih rumit bila dibandingkan dengan metode runge-kutta orde lainnya.

Selain itu saya mengambil orde 4 ini sebab agar tidak terjadi kesalahan penghitungan dan tidak terjadi kesalahan pembulatan. Sehingga hasil dalam penghitungannya akan menjadi lebih akurat.

BAB II

ISI

A. Metode Runge-Kutta.

Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan. Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.

Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:

y

_i+1

=

y

_i

+

Φ

(

x

_i

, y

_i

, Δx

)

Δx

_(8.19)

dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada

Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:

Φ=a₁k₁+a₂k₂+. ..+a_nk_{n (8.20)}

dengan a adalah konstanta dan k adalah:

k1 = f (xi, yi) (8.21a)

k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x) (8.21b)

k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x) (8.21c)

⋮

kn = f (xi + pn – 1x, yi + qn – 1, 1 k1x + qn – 1, 2 k2x + + qn – 1, n – 1kn – 1x) (8.21d)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.

Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam

persamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat

metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.

Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.

1) Metode Runge-Kutta Order 4

Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:

y_i+1=y_i+ 1

6(k1+2k2+2k3+k4)Δx

(8.33a)

dengan:

k₁=f(x_i, y_i) _(8.33b)

k₂=f(x_i+ 1

2Δx , yi+ 1 2k1Δx)

(8.33c)

k₃=f(x_i+ 1

2Δx , yi+

1 2k2Δx)

k₄=f(x_i+Δx , y_i+k₃Δx) _(8.33e)

Contoh soal:

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

dy

dx = −2x

3_+12x2_−20x+8,5.

dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah

Δx

=

0,5.

Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.

Penyelesaian:

Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2,k3 dan k4.

k₁= −2(03)+12(02)−20(0) +8,5= 8,5 .

k₂= −2(0,253)+12(0,252)−20(0, 25) +8,5=4, 21875 . k₃= −2(0, 253)+12(0,252)−20(0, 25) +8,5=4, 21875 . k₄= −2 (0,53)+12(0,52)−20(0,5) +8,5=1,25 .

Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):

y(0,5) =1+ [1

6(8,5+2(4,21875) +2(4,21875) +1, 25]0,5=3,21875.

Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode

I X YE

EULER HEUN POLIGON RALSTON RUNGE-KUTTA

1

B. Mengerjakan Metode Runge-kutta dengan Program Turbo Pascal

Sebelum mengerjakan dengan program haruslah kita mengerti tentang tata cara pembuatannya terlebih dahulu. Sehingga yang perlu dilakukan adalah menampilkan algoritma dan flowchart atau diagaram alur terlebih dahulu.

Maka :

1. Algoritma

b. Masukkan kedalam rumus yang telah ditentukan dalam hal ini gunakan rumus metode runge-kutta orde 4.

c. Memasukkan nilai x0,xn,h,dan nilai y

d. Lalu telah diolah dalam program.

e. Cetak program.

2. Flowchart (diagram alur).

MULAI

MASUKKAN

NILAI AWAL

X,Y,H,XN

HITUNG

H = (B-X)/N CETAK

HITUNG :

k₁=f(x_i, y_i)

k₂=f(x_i+ 1

2Δx , yi+

1 2k1Δx)

(8.33c)

k₃=f(x_i+ 1

2Δx , yi+

1 2k2Δx)

(8.33d)

TENTUKAN :

Xi = x+h

Yi =y+(ki+2k2+2k3+k4)/6

CETAK

Xi,Yi

C. Menampilkan Program.

Soal :

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

dy

dx = −2x

3_+12x2_−20x+8,5.

Penyelesaian :

D. Membandingkan program dengan cara manual

Cara Manual

dy

dx = −2x

3_+12x2_−20x+8,5.

dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah

Δx

=

0,5.

Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.

Penyelesaian:

Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2,k3 dan k4.

k₁= −2(03)+12(02)−20(0) +8,5= 8,5 .

k₂= −2(0,253)+12(0,252)−20(0, 25) +8,5=4, 21875 . k₃= −2(0, 253)+12(0,252)−20(0, 25) +8,5=4, 21875 . k₄= −2 (0,53)+12(0,52)−20(0,5) +8,5=1,25 .

Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):

y(0,5) =1+ [1

6(8,5+2(4,21875) +2(4,21875) +1, 25]0,5=3,21875.

Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode

I X YE

EULER HEUN POLIGON RALSTON RUNGE-KUTTA

Sehingga dari 2 buah cara yang digunakan kesimpulannya adalah :

“Hasil perhitungannya menemukan hasil yang sama juga lebih akurat

ketika menggunakan pemograman pascal, sebab caranya lebih mudah

dan hasilnya lebih cepat didapatkan dan jelas lebih akurat,selain itu

dengan menggunakan program maka kesalahan yang ditimbulkan akan

lebih bisa diminimalisir.”

Penggunaan menggukana program computer lebih akurat dan lebih mudah penggunaannya sehingga hasil yang didapat pun lebih valid dari pada pengerjaan secara manual. Dan hasil yang didapat dari kedua cara pengerjaan itu pun sama sehingga tidak perlu khawatir dalam menggunakan program pascal dalam menghitung metode runge-kutta orde 4 dan orde lainnya.

PENUTUP

Demikianlah yang dapat saya sampaikan dalam laporan tugas metode numerik ini mengenai metode Rung-kutta. Dan apabila masih banyak kesalahan saya ucapkan banyak kata maaf serta terimakasih kepada pembaca atas waktunya membaca tulisan dari laporan saya ini dan bila masih banyak kesalahan saya haturkan banyak kata maaf.

Penyusun

DAFTAR PUSTAKA

Ladas/finzio.Santoso,Widiarti.1988.Persamaan Differensial Biasa dengan Penerapan Modern.Jakarta: Erlangga.

Irfan_Metode_numerik,pdf. www.thesatya.com