Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum I

Integral Lipat Polar

Deret Taylor dan Maclurin

Yunita S. Anwar

Universitas Mataram

Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum Jenis I

Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah polar dengan

R=_{(r, θ)_|α_≤θ_≤β,g1(θ)≤r ≤g2(θ)}

maka

R R

Integral Lipat Polar untuk Daerah Umum Jenis II

Misalkan f adalah fungsi kontinu pada daerah polar dengan

R =_{(r, θ)_|a_≤r _≤b,g1(r)≤θ≤g2(r)}

maka

R R

f(x,y)dA=RbRg₂(r)

Contoh 1

Tentukan integral lipat-dua

R R

R4dA denganR adalah daerah

kuadran I dari mawar berdaun tiga

Contoh 1

Tentukan integral lipat-dua

R R

R4dA denganR adalah daerah

kuadran I dari mawar berdaun tiga

Contoh 1

Tentukan integral lipat-dua

R R

R4dA denganR adalah daerah

kuadran I dari mawar berdaun tiga

r = sin 3θ

Contoh 2

HitungR R

RydAdenganR adalah

daerah di kuadran I diluar

lingkaranr = 2 dan didalam

Contoh 1

Tentukan integral lipat-dua

R R

R4dA denganR adalah daerah

kuadran I dari mawar berdaun tiga

r = sin 3θ

Contoh 2

HitungR R

RydAdenganR adalah

daerah di kuadran I diluar

lingkaranr = 2 dan didalam

Contoh 1

Tentukan integral lipat-dua

R R

R4dA denganR adalah daerah

kuadran I dari mawar berdaun tiga

r = sin 3θ

Contoh 2

HitungR R

RydAdenganR adalah

daerah di kuadran I diluar

lingkaranr = 2 dan didalam

Tugas Kelompok

Kelompok Arli

Hitunglah integral R R

R 1

(1+x2_+y2₎3/2dAdengan R adalah daerah

kuadran I yang dilingkupi oleh lingkaran x2+y2 = 16

Kelompok Bagus Arya

Hitunglah integral R R

Re−x

2_−y2

dA denganR adalah daerah yang

dibatasi oleh setengah lingkaran x=p4₋y2 dan sumbu-y

Kelompok Salman

Hitunglah integral R R_Rx2+y2dA dengan R daerah yang dibatasi oleh

Kelompok A. Muzani

Hitunglah integral R1

0

R√1₋x2

0 ex

2_+y2

dydx dengan mengkonversi ke

koordinat polar

Kelompok K. Selamet

Hitunglah integral R₋a_aR

√

a2_−y2

0 (x2+y2)3/2dxdy dengan mengkonversi

ke koordinat polar.

Kelompok Aulya

Hitunglah integral R₀2R

√

4−y2

−√4−y2x

2_−y2_{dxdy dengan mengkonversi ke}

Kelompok Sore

Kelompok SYAMSURI

Hitunglah integral R R

R 1

(1+x2_+y2₎3/2dAdengan R adalah daerah

kuadran I yang dilingkupi oleh lingkaran x2+y2 = 16

Kelompok KHAIRIL BASRI

Hitunglah integral R R

Re−x

2_−y2

dA denganR adalah daerah yang

dibatasi oleh setengah lingkaran x=p4₋y2 dan sumbu-y

Kelompok YUDI ERWIN

Hitunglah integral R R_Rx2+y2dA dengan R daerah yang dibatasi oleh

Kelompok M. ISNAINI

Hitunglah integral R1

0

R√1₋x2

0 ex

2_+y2

dydx dengan mengkonversi ke

koordinat polar

Kelompok L. MAHARDIKA SUKRON H

Hitunglah integral R₋a_aR

√

a2_−y2

0 (x2+y2)3/2dxdy dengan mengkonversi

ke koordinat polar.

Kelompok SOPIAN SAURI

Hitunglah integral R₀2R

√

4−y2

−√4−y2x

2_−y2_{dxdy dengan mengkonversi ke}

Kelompok RAHMAN HIDAYAT

Hitunglah integral R₀2R √

2x−x2

0

p

x2+y2dydx dengan mengkonversi ke

koordinat polar

Kelompok HARMAEN ASFARI

Hitunglah integral R R

Rrdrdθ denganR adalah daerah di dalam simpul

yang lebih besar dari limason r= 2₋4 sinθ

Kelompok HAFIZ MINANJAR

Hitunglah integral R R

Rrdrdθ denganR adalah daerah di dalam

kardioid r = 6₋6 sinθ

Kelompok HIRMAYADI

Hitunglah integral R R_Rrdrdθ denganR adalah daerah satu daun dari

Deret Pangkat

Deret pangkat adalah deret yang berbentuk

P_∞

n=0cnxn=c0+c1x+c2x2+c3x3+· · ·

dengan x adalah suatu variabel dancn adalah konstanta-konstanta

Deret Pangkat

Deret pangkat adalah deret yang berbentuk

P_∞

n=0cnxn=c0+c1x+c2x2+c3x3+· · ·

dengan x adalah suatu variabel dancn adalah konstanta-konstanta

yang disebut koefisien dari deret

Deret Pangkat berpusat di a

Deret pangkat yang berpusat di aadalah deret yang berbentuk

P_∞

Deret Pangkat

Deret pangkat adalah deret yang berbentuk

P_∞

n=0cnxn=c0+c1x+c2x2+c3x3+· · ·

dengan x adalah suatu variabel dancn adalah konstanta-konstanta

yang disebut koefisien dari deret

Deret Pangkat berpusat di a

Deret pangkat yang berpusat di aadalah deret yang berbentuk

P_∞

n=0cn(x−a)n=c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+c3(x−a)3+· · ·

Contoh

Untuk cn= 1 untuk semua n, deret pangkat menjadi deret geometri:

P_∞

Penyajian Fungsi sebagai Deret Pangkat

Misalkan f(x) =₁₋1_x, maka f(x)dapat dinyatakan sebagai

1

1−x = 1 +x+x2+x3+· · ·=

P∞

n=0xn

Penyajian Fungsi sebagai Deret Pangkat

Fungsi f(x) = _1+x1 2 dapat dinyatakan sebagai deret pangkat

Contoh 2

Fungsi f(x) = _x+21 dapat dinyatakan sebagai deret pangkat

Contoh 2

Fungsi f(x) = _x+21 dapat dinyatakan sebagai deret pangkat

Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat

Penurunan Deret Pangkat

Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat

Penurunan Deret Pangkat

d

Pengintegralan Deret Pangkat

Deret Taylor

Misalkanf sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu

deret pangkat:

f(x) =c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+c3(x−a)3+· · ·

Deret Taylor

Misalkanf sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu

deret pangkat:

f(x) =c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+c3(x−a)3+· · ·

f(a) =c0

f′_{(x) =c}

1+ 2c2(x−a) + 3c3(x−a)2+ 4c4(x−a)3+· · ·

f′_{(a) =c}

Deret Taylor

Misalkanf sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu

deret pangkat:

f(x) =c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+c3(x−a)3+· · ·

f(a) =c0

f′_{(x) =c}

1+ 2c2(x−a) + 3c3(x−a)2+ 4c4(x−a)3+· · ·

f′_{(a) =c}

1

f”(x) = 2c2+ 2·3c3(x−a) + 3·4c4(x−a)2+· · ·

Deret Taylor

Misalkanf sebarang fungsi yang dapat dinyatakan sebagai suatu

deret pangkat:

f(x) =c0+c1(x−a) +c2(x−a)2+c3(x−a)3+· · ·

f(a) =c0

f′_{(x) =c}

1+ 2c2(x−a) + 3c3(x−a)2+ 4c4(x−a)3+· · ·

f′_{(a) =c}

1

f”(x) = 2c2+ 2·3c3(x−a) + 3·4c4(x−a)2+· · ·

f”(a) = 2c2

f(n)(a) = 2_·3_·4_{· · ·}ncn=n!cn sehinggacn= f

(n)_(a)

Deret Taylor

disebut deret Taylor dari fungsi f di a

Deret Maclaurin

Pada deret Taylor jika a= 0 diperolehderet Maclaurin

Contoh

T

entukan deret Maclaurin untuk fungsi f(x) =ex

T