KAIDAH SIMPSON 3/8 DAN INTEGRASI NUMERIK. Kelompok 6

KAIDAH SIMPSON 3/8

DAN

INTEGRASI NUMERIK

ANGGOTA

•

Rian Triastuti

(4101410020)

•

Mardiyani

(4101410053)

•

Gias Atikasari

(4101410060)

•

Agil Dwijayanti

(4101410074)

•

Diah Aprilia

(4101410090)

•

Nur Khasanah

(4101410093)

1.

Kaidah Simpson 3/8

2.

Metode Integrasi

Numerik Untuk

h

yang

Berbeda-Beda

Seperti halnya pada kaidah simpson , hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula.

Misalkan sekarang fungsi

f(x)

kita hampiri dengan polinom interpolasi berderajat 3.

Luas daerah yang dihitung sebagai daerah hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom berderajat 3 tersebut parabola.

Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik-titik tersebut (0,

f

(0)), (

h

,

f

(

h

)), (2

h

,

f

(2

h

)), dan (3

h

,

f

(3

h

)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah

𝑝₃ 𝑥 = 𝑓 𝑥₀ + 𝑥 ℎ∆𝑓 𝑥0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 2! ℎ2 ∆2𝑓 𝑥0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3! ℎ3 ∆3𝑓 𝑥0 = 𝑓₀ + 𝑥 ℎ∆𝑓0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 2! ℎ2 ∆2𝑓0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3! ℎ3 ∆3𝑓0

Integrasi di dalam selang [0,3p₃(x)

h

] adalah:

𝐼 ≈ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑝₃ 𝑥 𝑑𝑥 3ℎ 0 3ℎ 0 ≈ [𝑓₀ + 𝑥 ℎ ∆𝑓0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 2! ℎ2 ∆2𝑓0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3! ℎ3 ∆3𝑓0] 3ℎ 0

Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah Simpson 1/3 , diperoleh:

𝐼 ≈ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 3ℎ 0 ≈ 𝑝₃ 𝑥 𝑑𝑥 3ℎ 0 ≈ [𝑓₀ + 𝑥 ℎ∆𝑓0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 2! ℎ2 ∆2𝑓0 + 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3! ℎ3 ∆3𝑓0] 3ℎ 0 ≈ 𝑓₀𝑥 + 𝑥 2 2ℎ∆𝑓0 + 1 2ℎ2 1 3𝑥3 − 𝑥2ℎ 2 ∆2𝑓0 + 1 6ℎ3 1 4𝑥4 − ℎ𝑥3 + ℎ2𝑥2 ∆3𝑓0 3ℎ 0 ≈ 3ℎ𝑓₀ + 9ℎ2 2ℎ ∆𝑓0 + 1 2ℎ2 1 327ℎ3 − 9ℎ3 2 ∆2𝑓0 + 1 6ℎ3 1 481ℎ4 − 27ℎ4 + 9ℎ4 ∆3𝑓0 ≈ 3ℎ𝑓₀ + 9ℎ 2 ∆𝑓0 + 9ℎ 2 − 9ℎ 4 ∆2𝑓0 + 27 8 ℎ − 9ℎ 2 − 3ℎ 2 ∆3𝑓0 ≈ 3ℎ𝑓₀ + 9 2ℎ∆𝑓0 + 9 4ℎ∆2𝑓0 + 3 8ℎ∆3𝑓0

≈ 3ℎ𝑓₀ + 9 2ℎ 𝑓1 − 𝑓0 + 9 4ℎ ∆𝑓1 − ∆𝑓0 + 3 8ℎ ∆2𝑓1 − ∆2𝑓0 ≈ 3ℎ𝑓₀ + 9 2ℎ 𝑓1 − 𝑓0 + 9 4ℎ 𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 + 3 8ℎ 𝑓3 − 3𝑓2 + 3𝑓1 − 𝑓0 ≈ 3ℎ𝑓₀ + 9 2ℎ𝑓1 − 9 2ℎ𝑓0 + 9 4ℎ𝑓2 − 9 2ℎ𝑓1 + 9 4ℎ𝑓0 + 3 8ℎ𝑓3 − 9 8ℎ𝑓2 + 9 8ℎ𝑓1 − 3 8ℎ𝑓0 ≈ 3ℎ𝑓₀ − 9 2ℎ𝑓0 + 9 4ℎ𝑓0 − 3 8ℎ𝑓0 + 9 2ℎ𝑓1 − 9 2ℎ𝑓1 + 9 8ℎ𝑓1 + 9 4ℎ𝑓2 − 9 8ℎ𝑓2 + 3 8ℎ𝑓3 ≈ 3ℎ − 9 2ℎ + 9 4ℎ − 3 8ℎ 𝑓0 + 9 2ℎ − 9 2ℎ + 9 8ℎ 𝑓1 + 9 4ℎ − 9 8ℎ 𝑓2 + 3 8ℎ𝑓3 ≈ 3 8ℎ𝑓0 + 9 8ℎ𝑓1 + 9 8ℎ𝑓2 + 3 8ℎ𝑓3 ≈ 3 8ℎ 𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 𝑓3 .

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 3ℎ 8

3ℎ

0

( 𝑓₀ + 3𝑓₁ + 3𝑓₂ + 𝑓₃)

Galat Kaidah simpson 3/8 adalah

𝐸 ≈ − 3

80 ℎ5𝑓0𝑖𝑣 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3ℎ

Jika kaidah 3/8 ditambah dengan galatnya:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 3ℎ 8

3ℎ

0

𝑓₀ + 3𝑓₁ + 3𝑓₂ + 𝑓₃ + 𝑂(ℎ5₎

Sedangkan kaidah simpson gabungan adalah: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑏 𝑎 3ℎ 8 (𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 2 𝑓3 + 3 𝑓4 + 3𝑓5 + 2𝑓6 + 3 𝑓7 + 3𝑓8 + 2𝑓9+ . .. + 2 𝑓_𝑛−3 + 3𝑓_𝑛−2 + 3𝑓_𝑛−1 + 𝑓_𝑛) ≈ 3ℎ 8 𝑓0 + 3 𝑓𝑖 + 2 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 𝑛−3 𝑖=3,6,9,… 𝑛−1 𝑖=1 𝑖≠3,6,9,… … … … (𝑖)

Persamaan ini (

i

) mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya:

1, 3, 3, 2, 3,3,2 3,3,2, . . . ,2,3,3,1

Namun menggunakan kaidah 3/8 simpson

Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah

𝐸

_𝑡𝑜𝑡

≈

−3ℎ_𝜀0 5 𝑛 3 𝑖=1

𝑓

𝑖𝑣

𝑡 ≈ −

3ℎ5 80

𝑓

𝑖𝑣

_𝑡

𝑛 3 𝑖=1

≈ −

3ℎ₈₀5

.

𝑛₃

. 𝑓

𝑖𝑣

𝑡

≈ −

ℎ₈₀5

.

(𝑏−𝑎)_ℎ

. 𝑓

𝑖𝑣

𝑡

≈ −

𝑏−𝑎 ℎ₈₀ 4

𝑓

𝑖𝑣

𝑡 , 𝑎 < 𝑡 < 𝑏

= 𝑂 ℎ

4

Jadi, kaidah simpson ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 3ℎ 8 (𝑓0 + 3 𝑓𝑖 + 2 𝑓𝑖 + 𝑓𝑛) + 𝑂 (ℎ4) 𝑛−3 𝑖=3,6,9,… 𝑛−1 𝑖=1 𝑖≠3,6,9,… 𝑏 𝑎

Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat 1/3.

Namun dalam praktik kaidah simpson 1/3 lebih disukai dari pada kaidah simpson 3/8 , karena

dengan tiga titik kaidah simpson 1/3 sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan empat titik

(simpson 3/8).

Tetapi, untuk

n

kelipatan 3, kita hanya dapat

menggunakan kaidah simpson 3/8 dan bukan kaidah simpson 1/3.

Hitunglah exp −𝑥₀1 2 𝑑𝑥 dengan menggunakan kaidah 3

8

dan upselang yang digunakan adalah n = 12.

Penyelesaian:

Dipunyai: exp −𝑥₀1 2 𝑑𝑥 dan n = 12. ℎ = 𝑏−𝑎

𝑛 =

1−0

12 = 0,08333

tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0,08333: r xr fr 0 0 1 1 0,08333 0,99308 2 0,16666 0,97261 3 0,24999 0,93942 4 0,33332 0,89485 5 0,41665 0,84064 6 0,49998 0,77882 7 0,58331 0,71159 8 0,66664 0,6412 9 0,74997 0,56981 10 0,8333 0,49938 11 0,91663 0,43162 12 1 0,36788

Nilai integrasi f(x) di dalam selang [0,1] adalah: 𝐼 = exp −𝑥2 𝑑𝑥 1 0 = 3ℎ 8 𝑓0 + 3 𝑓1 + 3 𝑓2 + 2 𝑓3 + 3 𝑓4 + 3 𝑓5 + 2 𝑓6 + 3 𝑓₇ + 3𝑓₈ + 2 𝑓₉ + 3𝑓₁₀ + 3𝑓₁₁ + 𝑓₁₂ = 3 8 . 0,0833 1 + 3.0,99308 + 3.0,97261 + 2.0,93942 + 3.0,89485 + 3.0,84064 + 2.0,7782 + 3.0,71159 + 3.0,6412 + 2.0,56981 + 3.0,49938 + 3.0,43162 + 1.0,36788 = 0,746389 .23,89886 = 0,746839

2

Hitunglah cos(𝑥) 𝑥 3 2 𝑑𝑥

dengan menggunakan kaidah 3₈ dan upaselang yang

digunakan adalah n = 7. Penyelesaian: Dipunyai: cos(𝑥) 𝑥 3 2 𝑑𝑥 dan n = 7. ℎ = 3−2 7 = 1 7 = 0,142857

tabel titik-titik di dalam selang [2,3]

dengan h = 0,142857:

r

x

_r

f

_r

0

2

-0,29426

1

2,142857

-0,36982

2

2,285714

-0,43361

3

2,428571

-0,48537

4

2,571429

-0,52496

5

2,714286

-0,5524

6

2,857143

-0,56783

7

3

-0,57157

Nilai integrasi f(x) di dalam selang [2,3] adalah: 𝐼 = cos(𝑥) 𝑥 3 2 𝑑𝑥 = 3ℎ 8 𝑓0 + 3 𝑓1 + 3 𝑓2 + 2 𝑓3 + 3 𝑓4 + 3 𝑓5 + 2 𝑓6 + 1 𝑓7 = 3 8 . 0,142857 −0,29426 + 3. −0,36982 + 3 − 0,43361 + 2. −0,48537 + 3. −0,52496 + 3. −0,5524 + 2. −0,56783 + 1. −0,57157 = 0,053571. −0,975777 = −0,52274

Algoritma Program Kaidah

Simpson 3/8

1. Masukkannilai n (jumlahupaselang) dan (x, y) dengan x sebagaititikdan y = f(x)

2. Hitung h= (x[0] - x[n-1])/n dimana x[0] merupakan titik awal, dan x[n-1] merupakan titik akhir

3. Hitung I = y[0] + y[n-1]

4. Jika r kelipatan 3, maka sigma:= sigma + 2*y[r] dan jika tidak sigma:= sigma + 3*y[r]

Diagram Alur Program Kaidah

Simpson 3/8

BahasaPemrogaman programsimpson; useswincrt; var n,m: integer;

x,y : Array[0..30] of real; I, h, z, sigma,a,b : real; r : integer;

Begin

write(' Masukkanjumlahtitik-titik data:'); readln(n);

for m:=0 to n do begin

write('Input data x[',m:2,'] y[',m:2,']= '); read(x[m],y[m]);

end;

h:= (x[0] - x[n]) / n ; z:= x[0];

I:= y[0] + y[n]; Sigma:= 0;

for r:= 1 to (n - 1) do begin

if r mod 3 = 0 then {r = 3, 6, 9, . . . , n-3} sigma:= sigma + 2*y[r];

if r mod 3 <> 0 then {r ? 3, 6, 9, . . . , n-1} sigma:= sigma + 3*y[r];

end;

I:= (I + sigma)*3*h/8;

Writeln(' MakanilaiIntegrasiNumeriknya:',I); end.

2. Metode Integrasi Numerik

Misalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a, b] tidak seragam. Beberapa titik data mempunyai jarak h₁, beberapa titik data lain h₂, sedangkan

sisanya berjarak h₃.

Integrasi numerik dalam selang [a, b] dilakukan dengan mengkombinasikan kaidah integrasi yang sudah ada, misalnya kombinasi kaidah trapesium, kaidah 1/3 simpson, dan kaidah 3/8 simpson.

Berdasarkan orde galatnya, kaidah 1/3 simpson dan 3/8 simpson lebih teliti dari pada kaidah trapesium.

Karena itu, kaidah 1/3 simpson diterapkan bila jumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap,

sedangkan kaidah 3/8 simpson diterapkan bila jumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan tiga.

Sisanya, jika jumlah upa selang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya, maka gunakan kaidah trapesium.

x y

y = f(x)

kaidah simpson 1/3 _{kaidah simpson 3/8}

trap trap

Empat buah upaselang pertama berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 1/3 (karena

jumlah upaselang genap).

Tiga buah upaselang berikutnya berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 3/8 (karena

jumlah upaselang kelipatan 3).

Dua buah upaselang berikutnya masing-masing berbeda lebarnya, maka setiap upaselang dihitung integrasinya dengan kaidah trapesium .

Terima

kasih