INTEGRAL NUMERIK KUADRATUR ADAPTIF DENGAN KAIDAH SIMPSON
Makalah
Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh
Dr. Nur Shofianah
Disusun oleh:
M. Adib Jauhari Dwi Putra 146090400111001 Zulfiana S. Akib 146090400111007 Danang Indrajaya 146090400111008
PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG 2015
2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI...2 BAB I PENDAHULUAN...3 1.1.Rumusan Masalah...4 1.2.Tujuan...4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA...5
Deret...5
Interpolasi...5
Integral...6
Teorema Weierstrass...11
BAB III PEMBAHASAN...15
3.1. Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson...15
3.2. Perbaikan Kaidah Simpson...17
3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson...21
3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif...23
BAB IV KESIMPULAN...30
DAFTAR PUSTAKA...31
LAMPIRAN...32
Flow Chart...32
3
BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang
Integral merupakan salah satu dari dua pokok bahasan matematika yang paling mendasar di samping turunan. Secara umum, integral dikenal sebagai anti turunan. Konsep integral digunakan dalam menghitung masalah-masalah pada bidang sains maupun teknik, misalnya dalam bidang fisika, kimia, transportasi, dan lain-lain. Tidak setiap fungsi dapat diintegralkan secara analitik. Sering kali ditemui fungsi yang sulit atau bahkan tidak dapat dicari penyelesaiannya menggunakan cara analitik. Untuk mencari nilai integral tersebut digunakan cara numerik, sehingga dapat diketahui nilai hampirannya. Berbagai metode dengan berbagai pendekatan yang berbeda telah diciptakan untuk menentukan solusi persoalan integral dengan menggunakan cara numerik.
Salah satu pendekatan numerik dalam menyelesaikan persoalan integral adalah pendekatan berdasarkan polinom interpolasi. Pada pendekatan ini, fungsi integran dihampiri dengan polinom, karena suku-suku polinom lebih mudah untuk diintegrasikan. Integran yang didekati dengan polinom interpolasi Lagrange yaitu metode Newton Cotes. Metode ini menggunakan titik-titik yang berjarak sama. Jadi untuk memperoleh nilai aproksimasi yang mendekati nilai eksak, interval dibagi menjadi sub interval yang sangat kecil. Hal ini membutuhkan waktu yang sangat lama, sehingga metode ini kurang efisien.
Untuk mengatasi masalah ini diciptakan metode yang lebih efisien yaitu kuadratur adaptif. Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang menyesuaikan panjangnya sub interval pada perilaku lokal dari integrannya (Conte dan Boor, 1992). Dalam mengevaluasi integrannya cukup dipilih sub interval yang tepat dan ukurannya tidak harus sama, sehingga dapat meminimalkan jumlah sub interval. Karena itulah metode kuadratur adaptif memerlukan waktu yang lebih cepat untuk mengevaluasi nilai integral dan memiliki nilai pendekatan yang baik terhadap nilai eksaknya. Pada makalah ini dibahas mengenai metode integrasi dengan kuadratur adapatif berdasarkan kaidah Simpson beserta contoh perhitungannya.
4
1.2.Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut.
1. Bagaimana langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur adaptif dengan kaidah Simpson?
2. Bagaimana penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan masalah integral?
1.3.Tujuan
Tujuan dalam makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Mengetahui langkah-langkah integrasi numerik pada metode kuadratur adaptif dengan kaidah Simpson.
2. Mengetahui penerapan kaidah kuadratur Adaptif dalam menyelesaikan masalah integral.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Deret Definisi 1
Misalkan * + adalah barisan, maka ∑ adalah deret tak hingga. Jumlahan parsial ke- adalah ∑ . Deret tak hingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan * + konvergen ke limit , yaitu
∑
Jika deret tidak konvergen, maka disebut sebagai deret divergen.
(Mathews dan Fink, 1999) Teorema 2 (Teorema Taylor)
Diasumsikan bahwa , - dan misalkan , -, maka untuk setiap ( ), terdapat bilangan ( ) (nilai dari bergantung pada nilai ) yang terletak antara dan sedemikian sehingga
( ) ( ) ( ) di mana ( ) ∑ ( ) ( )( ) dan ( ) ( )( ) ( ) ( )
(Mathews dan Fink, 1999) 2.2. Interpolasi
Interpolasi merupakan metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu barisan diskret data-data yang diketahui.
Definisi 3
Andaikan . Misalkan , bilangn real berbeda, dan bilangn real. Polinom didefisikan oleh
6
( ) ∑ ( )
dengan ( ), didefinisikan oleh
( ) ∏
ketika , dan ( ) ketika , disebut polinom interpolasi Lagrange berderajat untuk himpunan dari titik-titik *( ) +. Bilangan , disebut titik-titik interpolasi.
(Suli dan Mayers, 2003) Seringkali, bilangan real diberikan sebagai nilai dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval tertutup , - di titik-titik interpolasi yang berbeda , -, .
Definisi 4
Misalkan . Diberikan fungsi bernilai real , terdefinisi dan kontinu pada interval tertutup , -, dan titik-titik interpolasi , -, , polinom didefinisikan oleh
( ) ∑ ( ) ( )
adalah polinom interpolasi Lagrange berderajat (dengan titik interpolasi , ) untuk fungsi .
(Suli dan Mayers, 2003) 2.3. Integral
Dalam sub bab ini dijelaskan mengenai integral tak tentu, aturan pangkat yang diperumum, integral tentu, integrasi numerik, dan teorema-teorema yang berkaitan dengan integral.
2.3.1. Anti Turunan (Integral Tak Tentu) Definisi 5
Kita sebut suatu anti turunan dari pada selang jika pada yakni, jika ( ) ( ) untuk semua dalam . Jika suatu titik ujung dari ,
7
Teorema 6 (Aturan Pangkat).
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka ∫
(Purcell dan Varberg, 1990) Bukti.
Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk
∫ ( ) ( ) cukup dengan membuktikan
, ( ) - ( ). Dalam kasus ini,
0 1 ( ) Teorema 7 (Kelinearan dari ∫ )
Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan suatu konstanta maka:
(i) ∫ ( ) ∫ ( ) ;
(ii) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) ; dan (iii) ∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) .
(Purcell dan Varberg, 1990) 2.3.2. Aturan Pangkat yang Diperumum
Jika ( ) adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan adalah suatu bilangan rasional ( ), maka
*
+ atau dalam cara penulisan fungsional,
(, (
) , ( )- ( ) Dari sini kita peroleh suatu aturan penting untuk integral tak tentu
8
Teorema 8 (Aturan Pangkat yang Diperumum)
Andaikan suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan suatu bilangan rasional yang bukan , maka
∫, ( )- ( ) , ( )-
(Purcell dan Varberg, 1990) 2.3.3. Integral Tentu
Definisi 9 (Integral Tentu)
Andaikan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup , -. Jika
| | ∑ ( )
ada, kita katakan terintegralkan pada , -. Lebih lanjut ∫ ( ) , disebut integral tentu (integral Riemann) dari ke , diberikan oleh
∫ ( )
| | ∑ ( )
(Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 10 (Teorema Keterintegralan)
Jika terbatas pada , - dan kontinu pada interval tersebut kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka terintegralkan pada , -. Khususnya, jika kontinu pada seluruh selang , -, maka terintegralkan pada , -.
(Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 11 (Teorema Dasar Kalkulus I)
Andaikan kontinu (karenanya terintegralkan) pada , - dan andaikan sebarang anti turunan dari pada interval tersebut maka
∫ ( ) ( ) ( )
9
Bukti.
Andaikan adalah partisi sebarang dari , -, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑, ( ) (
Menurut Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan yang diterapkan pada pada selang , -,
( ) ( ) ( ̅ )( ) ( ̅ ) untuk suatu pilihan ̅ dalam selang terbuka ( ). Jadi,
( ) ( ) ∑ ( ̅ )
Pada ruas kiri kita mempunyai sebuah konstanta, sedangkan pada ruas kanan kita mempunyai jumlah Riemann untuk pada , -. Bilamana kedua ruas diambil limitnya untuk | | , diperoleh
( ) ( )
| | ∑ ( ̅ )
∫ ( )
Teorema 12 (Kelinearan Integral Tentu)
Andaikan bahwa dan terintegralkan pada , - dan bahwa konstanta, maka dan terintegralkan dan
(i) ∫ ( ) ∫ ( ) ,
(ii) ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) , (iii) ∫ , ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) .
(Purcell dan Varberg, 1990) Teorema 13 (Teorema Nilai Rata-rata Integral)
Jika diasumsikan , -, maka terdapat bilangan , dengan ( ), sedemikian sehingga
10
Nilai ( ) adalah nilai rata-rata dari pada interval , -.
(Mathews dan Fink, 1999) Teorema 14 (Teorema Nilai Rata-rata Integral Berbobot)
Diasumsikan , - dan ( ) untuk , -, maka terdapat bilangan , dengan ( ), sedemikian sehingga
∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
(Mathews dan Fink, 1999) 2.3.4. Integrasi Numerik
Misalkan fungsi bernilai real, terdefinisi, dan kontinu pada interval real tertutup , -, dan andaikan kita menaksir integral
∫ ( )
Oleh karena polinom mudah diintegralkan, maka fungsi diaproksimasi oleh polinom interpolasi Lagrange berderajat . Jadi
∫ ( ) ∫ ( ) (2.2)
Untuk bilangan bulat , misalkan , , menotasikan titik-titik interpolasi. Kita akan mengasumsikan bahwa terdapat jarak yang sama, yaitu
di mana
Polinom irterpolasi Lagrange berderajat untuk fungsi adalah ( ) ∑ ( ) ( ) di mana ( ) ∏
11
Selanjutanya, masukkan ke persamaan (2.2), diperoleh ∫ ( ) ∑ ( ) ( )
(2.3)
di mana
( ) ∫ ( ) (2.4)
Kaidah kuadratur numerik (2.3) dengan bobot kuadratur (2.4) disebut rumus Newton-Cotes dengan orde (Suli dan Mayers, 2003).
Jika kita ambil , sehingga , , maka polinom interpolasi Lagrange berderajat untuk fungsi adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )- Jika ( ) diintegralkan dari ke dan mengingat (2.2) diperoleh
∫ ( ) ∫ ( ) ( ( ) ( ))
Integrasi numerik ini disebut kaidah Trapesium (Suli dan Mayers, 2003).
Jika kita ambil , sehingga , , dan fungsi diaproksimasi oleh polinom interpolasi kuadratik, maka diperoleh
∫ ( ) ∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ))
Integrasi numerik ini disebut kaidah Simpson (Suli dan Mayers, 2003). 2.4. Teorema Weierstrass
Teorema 15 (Teorema Aproksimasi Weierstrass)
Jika ( ) kontinu untuk dan maka terdapat polinom ( ) di mana
12
Bukti.
Dengan tidak mengurangi umumnya pembuktian, dimisalkan , - , - dan ( ) ( ) Sebab, jika teorema ini telah dibuktikan untuk keadaan ini, maka fungsi dengan
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
adalah kontinu jika kontinu pada , -. Di sini ( ) ( ) . Jika dapat didekati secara seragam oleh barisan suku banyak, maka demikian juga dengan , sebab suatu suku banyak yakni
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )
Selanjutnya dengan mendefinisikan ( ) bernilai nol untuk di luar selang tertutup , -, dibentuk fungsi suku banyak dalam
( ) ( ) di mana dipilih sehingga
∫ ( )
(2.5)
Selanjutnya untuk berlaku ketidaksamaan Bernoulli ( )
yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika, atau dengan mengambil turunan fungsi
( ) ( )
di mana ( ) dan ( ) untuk , sehingga diperoleh ∫( ) ∫( ) ∫ ( ) √ ∫ ( ) √ √ √ Dengan memperhatikan (2.5), diperoleh
13 ∫( ) √ Jadi √
Dengan demikian akan mengakibatkan bahwa untuk setiap berlaku
( ) √ ( ) | | (2.6) Karena barisan √ ( ) konvergen ke nol, maka barisan fungsi 〈 〉 konvergen seragam ke fungsi nol pada | |
Selanjutnya untuk dibentuk suku banyak dalam ∫ ( ) ( )
Karena ( ) untuk di , -, maka dengan mensubstitusi diperoleh
( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
yang memperlihatkan bahwa ( ) suatu suku banyak derajat dalam , yang real apabila fungsi real. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa seragam pada , -. Diberikan Karena kontinu seragam pada , -, dan ( ) untuk , - maka kontinu seragam pada . Jadi terdapat sehingga untuk | | berlaku
| ( ) ( )|
Misalkan | ( )|. Karena ( ) , mengingat (2.5) dan (2.6), maka untuk , berlaku
| ( ) ( )| | ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) | ∫| ( ) ( )| ( )
14 ∫ | ( ) ( )| ( ) ∫| ( ) ( )| ( ) ∫| ( ) ( )| ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ √ ( ) ∫ ( ) ∫ √ ( )
karena √ ( ) untuk , maka terdapat , sehingga untuk berlaku
√ ( ) Jadi untuk semua dan semua , - berlaku
| ( ) ( )| sehingga seragam pada , -.
15
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson
Kuadratur adaptif merupakan skema integrasi yang menyesuaikan panjang sub interval pada perilaku lokal integrannya. Dalam pembahasan makalah ini integrasi kuadratur adaptif berdasar pada kaidah Simpson. Kaidah Simpson pada sub interval , - dirumuskan sebagai berikut.
( ) ( ( ) ( ) ( )) (3.1) di mana ( ) adalah pusat dari , - dan ( ). Kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.1) ditentukan dengan persamaan berikut ini
( ) ∫ ( ) ( ( ) ( ) ( )) (3.2)
Oleh karena ( ), maka dan . Selanjutnya, ( ), ( ), ( ) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor di sekitar , sehingga diperoleh
2 3 ' '' ''' 4 4 2! 3! 4! k k k k k k k k k x a x a f x f a x a f a f a f a x a f a (3.3)
2 3 ' '' ''' 4 4 2! 3! 4! k k k k k k k h h f c f a h f a hf a f a f a h f a (3.4) (3.5)
2 3 ' '' ''' 4 4 4 8 2 2 2! 3! 16 . 4! k k k k k k k h h f b f a h f a hf a f a f a h f a 16
Persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2), sehingga diperoleh 2 3 2 1 4 (4) 2 3 4 (4) 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) "( ) '"( ) 2! 3! ( , ) ( ) ( ) 4! 4 ( ) '( ) "( ) "'( ) ( ) 3 2! 3! 4! 4 8 ( ) 2 '( ) "( ) "' 3 2! 3! k k k k a h k k k k k a k k k k k k k k k k x a x a f a x a f a f a f a E h f dx x a f a h h h h f a hf a f a f a f a h h h f a hf a f a f
4 (4) 16 ( ) ( ) 4! k k h a f a 2 3 1 4 5 (4) 4 2 3 (4) (2 ) (2 ) ( 2 ) ( ) '( ) "( ) 2 6 ( , ) ( ) 0 (2 ) (2 ) "'( ) ( ) 24 120 20 6 ( ) 6 '( ) 4 "( ) 2 "'( ) ( ) 3 24 k k k k k k k k k k k k k h h a h f a f a f a E h f a f a h h f a f a h h f a hf a h f a h f a f a 3 4 5 2 (4) 1 3 4 5 2 (4) 4 2 32 ( , ) 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( ) 3 3 120 4 2 20 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( ) 3 3 72 k k k k k k k k k k h h h E h f hf a h f a f a f a f a h h h hf a h f a f a f a f a 5 5 (4) (4) 1 32 20 ( , ) ( ) ( ) 120 k 72 k h h E h f f a f a 5 (4) 1 5 1 8 5 ( , ) ( ) 30 18 (4)( ) , 90 k E h f h f a f d h (3.6)untuk , -. Jadi dapat disimpulkan, jika , -, maka terdapat , - sedemikian sehingga
∫ ( ) ( ) ( )( )
(3.7)
17
3.2. Perbaikan Kaidah Simpson
Untuk menggunakan kaidah Simpson gabungan yang menggunakan empat sub interval pada interval , -, dapat dilakukan dengan membagi interval tersebut menjadi dua sub interval yang sama yaitu , - dan , - dan mengaplikasikannya ke dalam persamaan (3.1). Akibatnya ukuran langkah pada kaidah Simpson gabungan adalah , sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ))
(3.8)
di mana , , , adalah titik tengah dari , -, dan adalah titik tengah dari , -. Persamaan untuk menghitung nilai kesalahan pemenggalan pada persamaan (3.8) adalah sebagai berikut
( ) ∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
(3.9)
Oleh karena ( ), maka , , , dan . Selanjutnya, ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ) masing-masing diekspansikan ke dalam deret Taylor di sekitar . Sebelumnya telah diperoleh ekspansi deret Taylor untuk ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), dan ( ) ( ) yaitu seperti pada persamaan (3.3), (3.4), dan (3.5). Sehingga ekspansi deret Taylor untuk ( ) dan ( ) adalah
18 ( ) ( ) . / ( ) . / ( ) . / ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . / ( ) . / ( ) . / ( )( )
Ekspansi deret Taylor ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.9). Dengan cara yang sama seperti (3.6) sehingga diperoleh kesalahan pemenggalan
1 1 1 2 2 2 2( , ) ( ) ( ( ) 4 ( ) ( )) ( ( ) 4 ( ) ( )) 6 6 k k a h k k k k k k a h h E h f f x dx f a f c f b f a f c f b
1 1 1 2 2 2 2 3 2 4 5 (4) (2 ) (2 ) 2 ( ) '( ) "( ) 2 6 ( , ) ( ) 0 ( ) 6 (2 ) (2 ) "'( ) ( ) 24 120 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 6 3 6 k k k k k k k k k k k k k k h h a h f a f a f a h E h f a f a f a h h f a f a h h h h h f c f b f a f c f b 3 4 2 2 5 (4) 2 3 4 (4) 4 2 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) 3 3 ( , ) ( ) 6 32 ( ) 120 1 1 1 2 1 2 2 2 ( ) '( ) "( ) "'( ) ( ) 3 2 2! 3! 4! k k k k k k k k k k k h h hf a h f a f a f a h E h f f a h f a h h h h f a hf a f a f a f a 19 2 3 (4) (4) 2 3 (4) (4) 2 3 4 (4) ( ) '( ) "( ) "'( ) ( ) 6 2! 3! 4! ( ) '( ) "( ) "'( ) ( ) 6 2! 3! 4! 3 3 3 2 3 2 2 2 ( ) '( ) "( ) "'( ) ( 3 2 2! 3! 4! k k k k k k k k k k k k k k h h h h f a hf a f a f a f a h h h h f a hf a f a f a f a h h h h f a hf a f a f a f ak)
3 4 5 2 (4) 2 3 4 5 2 (4) 4 2 32 ( , ) 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( ) 3 3 120 4 2 77 2 ( ) 2 '( ) "( ) "'( ) ( ) 3 3 288 k k k k k k k k k k h h h E h f hf a h f a f a f a f a h h h hf a h f a f a f a f a ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )untuk , -. Sehingga dapat disimpulkan bahwa, jika , -, maka terdapat , - sedemikian sehingga
∫ ( ) ( ) ( )
( )( )
(3.10) Jika diasumsikan bahwa ( )( ) ( )( ), maka sisi sebelah kanan pada persamaan (3.7) dan (3.10) digunakan untuk memperoleh hubungan sebagai berikut ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
20 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( )) (3.11)
Selanjutnya persamaan (3.11) disubstitusikan ke persamaan (3.10) untuk memperoleh taksiran kesalahan dan hasilnya.
∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) | ∫ ( ) ( ) ( )| | ( ) ( ) ( )|
(Mathews dan Fink, 1999) Berdasarkan pada hasil di atas, apabila diasumsikan bahwa toleransi kesalahan integral adalah pada interval , -. Jika
| ( ) ( ) ( )| (3.12) maka dapat dikatakan bahwa
| ∫ ( ) ( ) ( )|
Sehingga aproksimasi integral kuadratur adapatif berdasarkan kaidah Simpson gabungan (3.8) pada interval , - adalah
21
∫ ( ) ( ) ( )
dengan batas kesalahan (error) . Nilai aproksimasi akan mendekati nilai eksak jika sangat kecil.
3.3. Algoritma Integral Kuadratur Adaptif dengan Kaidah Simpson
Langkah-langkah perhitungan integral numerik dengan metode kuadratur adaptif yang diterapkan pada kaidah Simpson adalah sebagai yang pertama, diketahui *, - +, di mana adalah toleransi untuk kuadratur numerik pada , -. Interval diperhalus atau dibagi menjadi dua sub interval, yaitu , - dan , -. Jika uji ketelitian pada (3.12) dipenuhi, maka persamaan kuadratur (3.8) diterapkan pada , - dan dilakukan proses perhitungan. Jika uji pada (3.12) gagal, maka interval , - menjadi dua sub interval yaitu , - dan , - dengan toleransi masing-masing dan . Sehingga diperoleh dua interval dengan toleransi yang berhubungan untuk pengujian selanjutnya, *, - + dan *, - +, di mana . Jika kuadratur adaptif harus dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diperhalus dan diuji, masing-masing dengan toleransi yang berhubungan.
Langkah kedua yaitu, perhatikan *, - +. Perhalus interval , - menjadi , - dan , -. Jika , - dan , - memenuhi uji ketelitian (3.12) dengan toleransi maka persamaan kuadratur (3.8) diterapkan pada , - dan ketelitian telah dicapai pada interval ini. Jika tidak memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi , maka masing-masing interval , - dan , - harus diperhalus dan diuji pada langkah ketiga dengan mereduksi toleransi menjadi . Selanjutnya perhatikan interval *, - +. Perhalus interval , - menjadi , - dan , -. Jika , - dan , - memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi maka persamaan kuadratur (3.8) diterapkan pada , - dan ketelitian telah dicapai pada interval ini. Jika tidak memenuhi uji ketelitian pada (3.12) dengan toleransi , maka masing-masing interval , - dan , - harus diperhalus dan diuji pada
22
langkah ketiga dengan mereduksi toleransi menjadi . Oleh karena itu, pada langkah kedua diperoleh tiga atau empat interval, yang kita beri label kembali dengan teratur. Tiga interval yang dihasilkan tersebut adalah {*, - + *, - + *, - +}, di mana . Pada kasus dengan empat interval, kita akan memperoleh {*, - + *, - + *, - + *, - +}, di mana
. Jika kuadratur adaptif dilanjutkan, interval yang lebih kecil harus diuji, masing-masing dengan toleransinya yang berhubungan.
Untuk secara ringkasnya, diberikan algoritma sebagai berikut: 1. Mulai {[ ] },
2. Perhalus menjadi sub interval [ ] dan [ ], 3. Uji ketelitian
| ( ) ( ) ( )|
i. Jika dipenuhi, ( ) ( ) diterima dan dilakukan perhitungan berikutnya,
ii. Jika gagal, [ ] dibagi menjadi dua sub interval yaitu [ ] dan [ ], sehingga {[ ] } dan {[ ] } di mana dan
,
4. Lakukan langkah 2-3 pada masing-masing {[ ] } dan {[ ] },
5. Ulangi sampai tidak ada interval yang gagal dalam uji ketelitian, 6. Aproksimasi nilai integralnya adalah
∑ ( ( ) ( ))
23
3.4. Penyelesaian Masalah Integral dengan Metode Kuadratur Adaptif Contoh 1
Dengan menggunakan kuadratur adaptif, carilah aproksimasi terhadap integral ∫ √
tepat sampai suatu kesalahan .
Jawab
Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah ∫ √ |
Selanjutnya, digunakan kudratur adaptif untuk mendekati integral tersebut. Pertama, kita terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval , -, diperoleh
( ) ( )( ( ) ( ( )) ( ))
(√ √ √ )
Interval , - dibagi menjadi dua sub interval untuk diterapkan pada (3.8) yaitu 0 1 dan 0 1.
( ) ( ) ( )( ( ) ( ( )) ( ))
( )( ( ) ( ( )) ( ))
(√ √ √ ) (√ √ √ )
24
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi .
| ( ) ( ) ( )|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval , - dibagi lagi menjadi dua interval, diperoleh 0 1 dan 0 1. Kemudian terapkan interval 0 1 terlebih dahulu pada persamaan (3.1) dan (3.8), diperoleh
( ) . /( ( ) ( ( )) ( ))
(√ √ √ )
Interval 0 1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8) yaitu 0 1 dan 0 1.
( ) ( ) . /( ( ) ( ( )) ( ))
. /( ( ) ( ( )) ( ))
(√ √ √ ) (√ √ √ )
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi ( ) .
| ( ) ( ) ( )|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka . / . / diterima dan dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh
25
( ) . /( ( ) ( ( )) ( ))
(√ √ √ )
Interval 0 1 dibagi menjadi dua sub interval untuk menerapkannya pada (3.8) yaitu 0 1 dan 0 1.
( ) ( ) . /( ( ) ( ( )) ( ))
. /( ( ) ( ( )) ( ))
(√ √ √ ) (√ √ √ )
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi ( ) .
| ( ) ( ) ( )|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0 1 dibagi lagi menjadi dua interval, diperoleh 0 1 dan 0 1. Dengan cara yang sama dan menerapkan (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh
( ) . /( ( ) ( ( )) ( )) dan
26
. /( ( ) ( ( )) ( ))
Selanjutnya diuji ketelitiannya dengan toleransi ( ) .
| ( ) ( ) ( )|
Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka . / . / diterima dan dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh
( ) . /( ( ) ( ( )) ( )) dan
( ) ( ) . /( ( ) ( ( )) ( ))
. /( ( ) ( ( )) ( ))
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi ( ) .
| ( ) ( ) ( )|
Oleh karena uji ketelitiannya gagal, maka interval 0 1 dibagi lagi menjadi dua interval, diperoleh 0 1 dan 0 1. Kemudian terapkan rumus (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1, diperoleh
27 dan ( ) ( ) . /( ( ) ( ( )) ( )) . /( ( ) ( ( )) ( ))
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi ( ) .
| ( ) ( ) ( )| Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka . / . / diterima dan dilakukan proses perhitungan selanjutnya. Dengan cara yang sama dan menerapkan (3.1) dan (3.8) pada interval 0 1 diperoleh
( ) . /( ( ) ( ( )) ( )) dan ( ) ( ) . /( ( ) ( ( )) ( )) . /( ( ) ( ( )) ( ))
Selanjutnya uji ketelitiannya dengan toleransi ( ) .
| ( ) ( ) ( )| Oleh karena uji ketelitian dipenuhi, maka . / . / diterima. Jadi diperoleh
28 ∫ √ ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ∫ √
Karena nilai integral secara analitik diperoleh , maka | |
Jadi aproksimasi terhadap memenuhi kriteria toleransi yang diinginkan.
Contoh 2
Tentukan nilai integral dari
∫
Jawab:
Jika diselesaikan secara analitik, nilai integral tersebut adalah ∫ ∫ | | ( )
29
Jika menggunakan pendekatan numerik dengan metode kuadratur adaptif, diperoleh hasil seperti pada tabel berikut ini.
Tabel 3.1
Toleransi awal Galat
92,0528505515 2,0528505515
89,4025127793 0,5974872207
89,7602698329 0,2397301671
89,7602706225 0,2397293775
89,7602710715 0,2397289285
Dari kasus diatas diperoleh bahwa hasil integrasi dengan kaidah kuadratur adaptif menunjukkan hasil pendekatan yang baik, karena integral dievaluasi dengan menyesuaikan perilaku lokal integrannya. Semakin krcil nilai toleransi awalnya maka nilai galatnya semakin kecil, sehingga nilai aproksimasinya semakin baik, hanya saja diperlukan iterasi yang lebih banyak lagi.
30
BAB IV KESIMPULAN
Berdasarkan pada hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya dapat diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu
1. Metode kuadratur adaptif merupakan skema integrasi numerik yang perhitungannya menyesuaikan pada perilaku lokal dari integrannya. Sehingga panjang sub interval pada metode kuadratur adaptif tidak selalu sama tergantung pada integrannya.
2. Ketepatan metode ini bergantung pada nilai toleransi awal, semakin kecil nilai toleransi awal, nilai aproksimasi mendekati nilai eksak, artinya semakin baik nilai aproksimasinya
3. Metode kuadratur adaptif dengan kaidah simpson merupakan metode yang sangat baik untuk mengaproksimasi nilai integral.
31
DAFTAR PUSTAKA
Conte, S.D. dan Boor, C.D. 1992. Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu
Pendekatan Algoritma. Erlangga. Jakarta.
Levy, D. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Department of Mathematics and Center Scientific Computation and Mathematical Modelling (CSCMM) University of Maryland. United States.
Mathews, J.H. dan K.D. Fink. 1999. Numerical Method Using Matlab, Third
Edition. Prentice Hall. United States.
Munir, R. 2010. Metode Numerik. Informatika. Bandung.
Purcell, E.D. dan D. Varberg. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid I (Terjemahan, B. Kartasasmita). Erlangga. Jakarta.
Soemantri, R. 2000. Analisis Real I. Pusat Penerbitan Universitas Terbuka. Jakarta.
Suli, E. dan D. Mayers. 2003. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. Cambridge.
32
LAMPIRAN Flow Chart
Mulai
*,𝑎 𝑏 - 𝜀 +
Bagi 2 sub interval [𝑎 𝑏 ]
dan [𝑎 𝑏 ], 𝜀 𝜀 𝐼 ∑ (𝑆(𝑎𝑘 𝑏𝑘 ) 𝑆(𝑎𝑘 𝑏𝑘 )) 𝑁 𝑘 SELESAI |𝑆(𝑎 𝑏 ) 𝑆(𝑎 𝑏 ) 𝑆(𝑎 𝑏 )| 𝜀 NO YES
33
Source Code Program (MATLAB)
function [I,err,iflg]=adpsim(a,b,tol,fun)
% implementasi adaptif kuadratur Simpson % Masukkan integrand,fun.
% a,b :Batas integrasi,tol:toleransi eror absolute % errest: estimasi error
% iflg: Modus pengembalian , memberikan jumlah subinterval di mana
% jumlah maksimum ( levmax = 10 ) dari terbagi dua diperlukan dan
% nilai diterima secara default. Semakin besar iflg, kepercayaan semakin
% berkurang
% harus memiliki nilai yang dihitung, y. % nofun: jumlah fungsi yang dievaluasi % inisialisasi I=0;iflg=0;jflg=0;err=0;levmax=20; fsave=zeros(levmax,3);xsave=zeros(levmax,3);simp=zeros( levmax); a=input('a='); b=input('b=');
tol=input('toleransi awal=');
%fun=@(x)sqrt(x); %integrand fun=@(x)(sin(x))^2; %integrand tol2=tol+10*eps; tol1=tol2*15/(b-a); x=a:(b-a)/4:b; for j=1:5 f(j)=feval(fun,x(j)); end level=1;
%level=0 berarti seluruh interval tertutup , maka selesai
while level>0
for k=1:3
34 xsave(level,k)=x(k+2); end h=(x(5)-x(1))/4; simp(level)=(h/3)*(f(3)+4*f(4)+f(5)); if jflg<=0 s1=2*(h/3)*(f(1)+4*f(3)+f(5)); end sl=(h/3)*(f(1)+4*f(2)+f(3)); s2=sl+simp(level); d=abs(s1-s2); if d<=tol1*4*h level=level-1; jflg=0; I=I+s2; err=err+d/15; if level<=0
fprintf('nilai integral= %.10f \n',I) return end for j=1:3 jj=2*j-1; f(jj)=fsave(level,j); x(jj)=xsave(level,j); end else level=level+1; s1=sl; if level <= levmax jflg=1; f(5)=f(3);f(3)=f(2);
35 x(5)=x(3);x(3)=x(2); else iflg=iflg+1; level=level-1; jflg=0; I=I+s2; err=err+d/15; end end for k=1:2 kk=2*k; x(kk)=.5*(x(kk+1)+x(kk-1)); f(kk)=feval(fun,x(kk)); end end
