INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH. Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh. Dr. Trisilowati, S.Si., M.

(1)

INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH

Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh

Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc Disusun Oleh:

Danang Indrajaya (146090400111008) M. Adib Jauhari Dwi Putra (146090400011001)

Zulfiana S. Akib(146090400111007)

PROGRAM PASCASARJANA ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG 2015

(2)

2

BAB I PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang

Dalam bidang matematika analisis numerik, interpolasi adalah metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu set diskret data-data yang diketahui. Atau dengan kata lain Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Di dunia nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan. Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial.

Dalam makalah ini akan dibahas tentang interpolasi polinomial Chebyshev. Polinomial Chebyshev diambil dari nama Pafnuty Chebyshev, adalah sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan secara rekursif. Polinomial Chebyshev mengambil peran penting dalam analisis numerik dan perkembangan ilmu pengetahuan modern, diantaranya adalah tentang polinomial ortogonal, aproksimasi polinomial, integrasi numerik dan metode spektral untuk persamaan diferensial parsial. Dengan mempelajari polinomial Chebyshev akan mengarah pada semua bidang dalam analisis numerik. Hal ini berarti bahwa polinomial Chebyshev memberikan pelajar kesempatan untuk mengenal luas berbagai bidang analisis numerik dan matematika.

1.2.Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, pokok permasalahan yang dibahas dalam makalah ini adalah

a. Bagaimana memperoleh polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

(3)

3

b. Bagaimana perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

1.3. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1. Mengetahui hasil polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

2. Mengetahui perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

(4)

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 1.1. Galat

Galat atau error adalah sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan ke dalam model. Ada tiga macam galat:

1. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2. Galat pembulatan (round-off error), terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai contoh, 3.1415926 dapat dibulatkan menjadi 3.14.

3. Galat pemotongan (truncation error), terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar.

1.2. Interpolasi

 Misalkan 𝑦=𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang diketahui nilanya pada (𝑁+1) buah titik berbeda 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑛 dalam selang [𝑎,𝑏]. Polinomial 𝑃𝑁(𝑥)

disebut polinom penginterpolasi berderajat 𝑁 bagi 𝑓(𝑥), jika untuk setiap 𝑘=0,1,…,𝑁 berlaku

𝑃𝑁 (𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘)=𝑦𝑖.

Selanjutnya, jika 𝑃𝑁(𝑥) digunakan untuk mengaproksimasi fungsi 𝑓(𝑥)

pada selang (𝑥0,𝑥𝑁) maka proses tersebut disebut proses interpolasi dan

nilai 𝑃𝑁(𝑥) disebut nilai interpolasi.

 Interpolasi polinomial Lagrange merupakan salah satu bentuk interpolasi yang menggunakan polinomial Lagrange sebagai polinom penginterpolasinya. Polinomial Lagrange berderajat 𝑁 memiliki bentuk umum yaitu,

𝑃_𝑁(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝐿𝑁,𝑘(𝑥) 𝑁

(5)

5

dengan 𝐿_𝑁,𝑘(𝑥) adalah koefisien polinomial Lagrange yang dinyatakan persamaan 𝐿_𝑁,𝑘(𝑥) = ∏𝑛𝑗=1(𝑥−𝑥𝑗) 𝑗≠𝑘 ∏𝑛𝑗=1(𝑥𝑘−𝑥𝑗) 𝑗≠𝑘 1.3. Polinomial Monik

Suatu polinomial dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien utamanya adalah satu. Misalkan(𝑥) adalah polinomial monik berderajat 𝑁 maka koefisien dari 𝑥𝑁_{dalam polinomial tersebut adalah satu. Bentuk umum}

polinomial monik berderajat 𝑁 dinyatakansebagaiberikut 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑁_{+ 𝑎}

(6)

6

BAB III PEMBAHASAN 3.1. Interpolasi Polinomial Chebyshev

Metode numerik selalu berhubungan dengan eror, yaitu bagaimana meminimalkan galat atau eror. Sebelumnya kita ingat bahwa ketika kita punya fungsi f(x) yang memiliki n turunan kontinu, interpolasi erornya adalah sebagai berikut ( 1) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ). ( 1)! n n n n j j f x Q x f x x n       



Dimana Q x adalah polinomial interpolasi dan _n( ) _n adalah titik diantara interval. Dari persamaan di atas terlihat bahwa titik interpolasi sangat mempengaruhi eror. Memang bukan hanya titik interpolasi yang berpengaruh, namun paling tidak untuk meminimalkan eror atau mendapatkan hasil yang optimal dalam interpolasi pemilihan titik interpolasi juga sangat penting. Salah satu solusinya adalah dengan menggunakan titik Chebyshev.

3.1.1. Polinomial Chebyshev

Polinomial Chebysev memiliki beberapa sifat berikut. a. Persamaan rekursif

Polinomial Chebyshev dapat didefinisikan sebagai relasi rekursif berikut:

0 1 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ), 2 n n n T x T x x T x xT_ x T_ x n     

Atau dapat ditulis T_n_₁( )x 2xT x_n( )T_n_₁( ),x n1

Sebagai contohnya, 2 2( ) 2 1( ) 0( ) 2 1 T x  xT x T x  x  , dan 3 3( ) 4 3 T x  x  x. b. Koefisien Utama

Persamaan rekursif polinomial Chebyshev menyatakan bahwa koefisien dari 𝑥𝑁 yang merupakan koefisien utama pada polinomial 𝑇𝑁(𝑥) adalah

2 × (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑥𝑁−1_{𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑇}

(7)

7

Oleh karena itu, koefisien dari 𝑥𝑁 dalam polinomial 𝑇_𝑁(𝑥) adalah 2𝑁−1 untuk 𝑁 ≥ 1

c. Representasi trigonometri dalam [−𝟏, 𝟏]

Untuk setiap x [ 1,1], T x_n( )cos( cosn 1x n), 0. Atau bisa ditulis sebagai

𝑇𝑁(𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)).

Bukti:

Dalam trigonometri berlaku

cos(n1)cos cos nsin sin n, cos(n1) cos cos nsin sin n. Karena itu,

cos(n1) 2cos cos ncos(n1) . Diberikan 1

cos x

_  _{, maka}_x__cos__{, dan definisikan}

1

( ) cos( cos ) cos( ) n t x  n  x  n . Sehingga 0 1 1 1 ( ) 1, ( ) , ( ) 2 ( ) ( ), 1. n n n t x t x x t _ x xt x t _ x n    _   _ _ _ 

Oleh karena itu t x_n( )T x_n( )._▄

d. Akar Polinomial di [-1,1]

Polinomial Chebyshev 𝑇𝑁(𝑥) dengan orde 𝑁 ≥ 1 memiliki 𝑁 buah akar

dalam interval [−1,1], yaitu 𝑥_𝑘 = cos (2𝑘+1

2𝑁 𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1.

Nilai tersebut dikatakan sebagai titik Chebyshev. Bukti:

(8)

8

Diketahui bahwa

𝑇_𝑁(𝑥) = cos(𝑁 arccos(𝑥)) , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1

Akar persamaan 𝑇_𝑁(𝑥) ditentukan menggunakan persamaan berikut. 𝑇_𝑁(𝑥) = 0 ⇔ 𝑁 arccos(𝑥) = arccos(0) 𝑁 arccos(𝑥) =2𝑘 + 1 2 𝜋 𝑥𝑘 = cos ( 2𝑘+1 2𝑁 𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1.

Oleh karena itu, diperoleh akar persamaan 𝑇_𝑁(𝑥) pada interval [−1,1] adalah

e. 𝑥_𝑘 = cos (2𝑘+1

2𝑁 𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 − 1

Nilai ini disebut titik Chebyshev. 3.2. Interpolasi Chebysev

Dalam kasus yang lebih umum dimana interval interpolasi untuk fungsi f(x) adalah x[a,b] pertama harus mengubah interval interpolasi ke y[-1,1] dengan

𝑥_𝑘 = (𝑏 − 𝑎 2 ) 𝑡𝑘+ 𝑎 + 𝑏 2 Dengan 𝑡_𝑘 = 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 [(2𝑁 + 1 − 2𝑘) 𝜋 2𝑁+2] , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 adalah titik

Chebyshev dari polinomial 𝑇_𝑁+1(𝑥) pada [−1,1]. Hal ini mengubah masalah interpolasi untuk f(x) di [a,b] ke f(x)=g(x(y)) pada y[-1,1].

Teorema

Misalkan𝑓 fungsi terdefinisi dan kontinu pada [𝑎, 𝑏]dan sedemikian sehingga turunan orde ke-𝑁 + 1 dari 𝑓 kontinu di [𝑎, 𝑏]

Jika𝑃_𝑁(𝑥) adalah polinomial interpolasi Lagrange dengan titik interpolasinya merupakan titik Chebyshev dari 𝑇𝑁+1(𝑥) maka:

max

𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓(𝑥) − 𝑃𝑁(𝑥)| ≤

(𝑏 − 𝑎)𝑁+1

22𝑁+1_{(𝑁 + 1)!}_{𝜉∈[𝑎,𝑏]}max |𝑓(𝑁+1)(𝜉)|

3.2.1. Polinomial Chebyshev

Polinomial interpolasi Chebyshev dapat ditulis sebagai berikut: 𝑃𝑁(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘. 𝑇𝑘(𝑥) = 𝑐0. 𝑇0(𝑥) + 𝑐1. 𝑇1(𝑥)

𝑁

𝑘=0

(9)

9

Misalkan 𝑓(𝑥) diinterpolasi oleh polinomial 𝑃𝑁(𝑥) dengan 𝑁 + 1 titik

interpolasi Chebyshev yaitu 𝑥_𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

2𝑁 𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁, oleh karena itu

pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑃_𝑁(𝑥) . Akibatnya,

∑_𝑘=0𝑁 𝑓(𝑥_𝑘)𝑇_𝑗(𝑥_𝑘) = ∑𝑁_𝑖=0𝑐_𝑖. 𝑇_𝑖(𝑥_𝑘). 𝑇_𝑗(𝑥_𝑘) = ∑𝑁_𝑖=0𝑐_𝑖. ∑𝑁 𝑇_𝑖(𝑥_𝑘). 𝑇_𝑗(𝑥_𝑘) = 𝑖=0 ∑𝑁𝑖=0𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗. Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0 ⇒ ∑𝑁_𝑖=0𝑐_𝑖𝐾_𝑖𝛿_𝑖𝑗 = ∑𝑁_𝑖=0𝑐_𝑖(𝑁 + 1)𝛿_𝑖𝑗 = 𝑐₀(𝑁 + 1) Sehingga 𝑐₀ = 1 𝑁+1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 Untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 ⇒ ∑𝑁_𝑖=0𝑐_𝑖𝐾_𝑖𝛿_𝑖𝑗 = ∑𝑁_𝑖=0𝑐_𝑖𝑁+1 2 𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗 𝑁+1 2 Sehingga 𝑐_𝑗 = 2 𝑁+1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 Teorema:

Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃_𝑁(𝑥) untuk fungsi 𝑓(𝑥) pada [−1,1] dinyatakan sebagai

𝑓(𝑥) = 𝑃𝑁(𝑥) = ∑ 𝑐𝑗. 𝑇𝑗(𝑥) 𝑁

𝑘=0

Dengan kosfisien 𝑐_𝑗 adalah

𝑐_𝑗 = { 1 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 , 𝑗 = 0 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇_𝑗(𝑥𝑘), 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 Dimana 𝑇𝑗(𝑥𝑘) = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑗𝜋(2𝑘+1) 2𝑁+2 ) , 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 3.2.2. Sifat Ortogonal Misalkan 𝑥𝑘 = cos ( 𝑘+1 2⁄

𝑁+1 𝜋) untuk 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 maka polynomial Chebyshev

memenuhi sifat-sifat berikut:

(10)

10 ∑ 𝑇_𝑖(𝑥_𝑘)𝑇_𝑗(𝑥_𝑘) =𝑁 + 1 2 𝑁 𝑘=0 , 𝑖 = 𝑗 ≠ 0 2) ∑𝑁𝑘=0𝑇0(𝑥𝑘)𝑇0(𝑥𝑘) = 𝑁 + 1

Sifat ortogonal tersebut juga dapat dinyatakan dalam persamaan:

∑ 𝑇_𝑖(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇_𝑗(𝑥𝑘) = 𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 Dengan: 𝛿𝑖𝑗 = { 0, 𝑖 = 𝑗 1, 𝑖 = 𝑗 𝐾_𝑖 =𝑁 + 1 2 , 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑁 𝐾₀ = 𝑁 + 1

Berdasarkan sifat otogonal polinomial Chebyshev diperoleh polinomial pendekatan untuk aproksimasi Chebyshev seperti yang dinyatakan dalam teorema: Teorema

Polinomial pendekatan Chebyshev 𝑃_𝑁(𝑥) berderajat ≤ 𝑁 untuk 𝑓(𝑥) pada selang [−1,1] dinyatakan sebagai berikut:

𝑓(𝑥) ≈ 𝑃_𝑁(𝑥) = ∑ 𝐶_𝑗𝑇_𝑗(𝑥)

𝑁 𝑗=0

Dengan koefisien {𝑐𝑗} dinyatakan pada persamaaan:

𝑐_𝑗 = { 1 𝑛 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘), 𝑗 = 0 𝑁 𝑘=0 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 Untuk 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝑘+1 2𝑁 𝜋) dan 𝑘 = 0,1, … 𝑁 Bukti:

(11)

11

Diketahui bahwa 𝑃𝑁(𝑥) = ∑𝑁𝑗=0𝑐𝑗𝑇𝑗(𝑥). Karena 𝑃𝑁(𝑥) menginterpolasi 𝑓(𝑥)

pada (𝑁 + 1) titik Chebyshev, yaitu 𝑥𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝑘+1

2𝑁 𝜋) , 𝑘 = 0,1, … , 𝑁 diperoleh

pada titik tersebut berlaku 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑃𝑁(𝑥𝑘). Oleh karena itu:

∑ 𝑓(𝑥_𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = ∑ 𝑐𝑖∑ 𝑇𝑖 𝑁 𝑘=0 𝑁 𝑖=0 𝑁 𝑘=0 (𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) = ∑ 𝑐_𝑖𝐾_𝑖𝛿_𝑖𝑗 𝑁 𝑖=0 Untuk 𝑖 = 𝑗 = 0, maka: ∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑐𝑖(𝑁 + 1)𝛿𝑖𝑗 = 𝑐0(𝑁 + 1) 𝑁 𝑖=0 𝑁 𝑖=0

Oleh karena itu, diperoleh:

∑ 𝑓(𝑥_𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇₀(𝑥𝑘) = 𝑐0(𝑁 + 1) ⇒ 𝑐0 = 1 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇₀(𝑥𝑘) = 1 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0

Sementara itu untuk 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … , 𝑁 maka

∑ 𝑐𝑖𝐾𝑖𝛿𝑖𝑗 = ∑ 𝑐𝑖 (𝑁 + 1) 2 𝛿𝑖𝑗 = 𝑐𝑗 (𝑁 + 1) 2 𝑁 𝑖=0 𝑁 𝑖=0

Oleh karena itu diperoleh:

∑ 𝑓(𝑥_𝑘)𝑇_𝑗(𝑥_𝑘) = 𝑐_𝑗(𝑁 + 1) 2 𝑁 𝑘=0 ⟹ 𝑐_𝑗 = 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0

Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh koefisien polinomial pendekatan seperti pada: 𝑐𝑗 = { 1 𝑛 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘), 𝑗 = 0 𝑁 𝑘=0 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘)𝑇𝑗(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑁

(12)

12

BAB IV

APLIKASI INTERPOLASI POLINOMIAL CHEBYSHEV

Bandingkan polinomial pendekatan berderajat 3 (N=3) untuk 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 pada selang [−1,1] yang dibentuk dari:

1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥_𝑘 = −1 +2𝑘

3 ,

𝑘 = 0,1,2,3.

2. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥_𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (7−2𝑘

8 𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

3. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1

8 𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3.

Penyelesaian

1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam 𝑥_𝑘 = −1 +2𝑘

3 , 𝑘 = 0,1,2,3. 𝑥₀ = −1 ⇒ 𝑓(𝑥₀) = 𝑒−1 _{= 0,36787944} 𝑥₁ = −1 3 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑒 −1 3 = 0,71653131 𝑥₂ = 1 3 ⇒ 𝑓(𝑥2) = 𝑒 1 3 = 1,39561243 𝑥₃ = 1 ⇒ 𝑓(𝑥₃) = 𝑒1 _{= 2,71828183} 3 2 3 0 3 2 0 2 1 0 1 0( ) . . 0,0625 0,0625x 0,5625x 0,5625x x x x x x x x x x x x x x L            3 2 3 1 3 2 1 2 0 1 0 1( ) . . 0,5625 1,6875x 0,5625x 1,6875x x x x x x x x x x x x x x L            3 2 3 2 3 1 2 1 0 2 0 2( ) . . 0,5625 1,6875x 0,5625x 1,6875x x x x x x x x x x x x x x L           

(13)

13 3 2 2 3 2 1 3 1 0 3 0 3( ) . . 0,0625 0,0625x 0,5625x 0,5625x x x x x x x x x x x x x x L           

Maka interpolasi polinomial Lagrange order 3 sebagai berikut

) ( ). ( ) ( 3 0 3 i i i x f x L x P



  = ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ₀ ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ 0 x f x L x f x L x f x L x f x L    = ( 2 3 5625 , 0 5625 , 0 0625 , 0 0625 , 0  x x  x  ) 0,36787944 + ( 2 3 6875 , 1 5625 , 0 6875 , 1 5625 , 0  x x  x ) 0,71653131 + ( 2 3 6875 , 1 5625 , 0 6875 , 1 5625 , 0  x x  x ) 1,39561243 + ( 2 3 5625 , 0 5625 , 0 0625 , 0 0625 , 0  x x  x  ) 2,71828183 Sehingga diperoleh 𝑃₃_𝐴(𝑥) = 0,99519577 + 0,99904923𝑥 + 0,54788486𝑥2_{+ 0,17615196𝑥}3

2. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥_𝑘 = 𝑐𝑜𝑠 (7−2𝑘 8 𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3. 𝑥₀ = 𝑐𝑜𝑠7 8𝜋 = cos 157,5 𝑜_{= −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥} 0) = 𝑒−0,92387953 = 0,39697597 𝑥₁ = 𝑐𝑜𝑠5 8𝜋 = cos 112,5 𝑜_{= −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥} 1) = 𝑒−0,38268343 = 0,68202877 𝑥₂ = 𝑐𝑜𝑠3 8𝜋 = cos 67,5 𝑜 _{= 0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥} 2) = 𝑒 0,38268343 = 1,46621380 𝑥₃ = 𝑐𝑜𝑠1 8𝜋 = cos 22,5 𝑜 _{= 0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥} 3) = 𝑒 0,92387953 = 2,51904417

(14)

14 3 1 2 0 0 1 0 2 0 3 2 3 0 ( ) . . ( ) 0,10355339 0,11208538 0, 70710678 0, 76536686 x x x x x x L x x x x x x x L x x x x             0 2 3 1 1 0 1 2 1 3 2 3 1 ( ) . . ( ) 0, 60355339 1,57716102 0, 70710678 1,84775906 x x x x x x L x x x x x x x L x x x x            0 1 3 2 2 0 2 1 2 3 2 3 2 ( ) . . ( ) 0, 60355339 1,57716102 0, 70710678 1,84775906 x x x x x x L x x x x x x x L x x x x            0 1 2 3 3 0 3 1 3 2 2 3 3 ( ) . . ( ) 0,10355339 0,11208538 0, 70710678 0, 76536686 x x x x x x L x x x x x x x L x x x x            

Maka interpolasi polinomial Lagrange orde 3 dengan titik interpolasi Chebyshev sebagai berikut ) ( ). ( ) ( 3 0 3 i i i x f x L x P



  = ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ₀ ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ 0 x f x L x f x L x f x L x f x L    = ( 2 3 76536686 , 0 70710678 , 0 11208538 , 0 10355339 , 0  x x  x  ) 0,39697597 + ( 2 3 84775906 , 1 70710678 , 0 57716102 , 1 60355339 , 0  x x  x ) 0,68202877 + ( 2 3 84775906 , 1 70710678 , 0 57716102 , 1 60355339 , 0  x x  x ) 1,46621380 + ( 2 3 76536686 , 0 70710678 , 0 11208538 , 0 10355339 , 0  x x  x  ) 2,51904417 Sehingga diperoleh 𝑃₃_𝐵(𝑥) = 0,99461532 + 0,99893323𝑥 + 0,54290072𝑥2 _{+ 0,17517569𝑥}3

(15)

15

3. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev 𝑥𝑘 =

𝑐𝑜𝑠 (2𝑘+1 8 𝜋) , 𝑘 = 0,1,2,3. 𝑥₀ = 𝑐𝑜𝑠1 8𝜋 = cos 22,5 𝑜 _{= 0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥} 0) = 𝑒 0,92387953 = 2,51904417 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠 3 8𝜋 = cos 67,5 𝑜 _{= 0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥} 1) = 𝑒 0,38268343 = 1,46621380 𝑥₂ = 𝑐𝑜𝑠5 8𝜋 = cos 112,5 𝑜_{= −0,38268343 ⇒ 𝑓(𝑥} 2) = 𝑒−0,38268343 = 0,68202877 𝑥3 = 𝑐𝑜𝑠 7 8𝜋 = cos 157,5 𝑜_{= −0,92387953 ⇒ 𝑓(𝑥} 3) = 𝑒−0,92387953 = 0,39697597

Dengan memanfaatkan teorema aproksimasi Chebyshev, diperoleh 𝑐₀ = 1 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) = 1 4 𝑁 𝑘=0 ∑ 𝑒𝑥𝑘 ₌ 3 𝑘=0 1 4(5,06426271) = 1,26606568 𝑐₁ = 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇₁(𝑥𝑘) =1 2∑ 𝑒 𝑥𝑘_{. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋}2𝑘 + 1 8 ) 3 𝑘=0 = 1 2(𝑒 𝑥0_{. 𝑐𝑜𝑠 (}1 8𝜋) + 𝑒 𝑥1_{. 𝑐𝑜𝑠 (}3 8𝜋) + 𝑒 𝑥2_{. 𝑐𝑜𝑠 (}5 8𝜋) + 𝑒 𝑥3_{. 𝑐𝑜𝑠 (}7 8𝜋)) = 1,13031500 𝑐2 = 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇2(𝑥𝑘) =1 2∑ 𝑒 𝑥𝑘_{. 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋}2𝑘 + 1 8 ) 3 𝑘=0

(16)

16 =1 2(𝑒 𝑥0_{. 𝑐𝑜𝑠 (}1 4𝜋) + 𝑒 𝑥1_{. 𝑐𝑜𝑠 (}3 4𝜋) + 𝑒 𝑥2_{. 𝑐𝑜𝑠 (}5 4𝜋) + 𝑒 𝑥3_{. 𝑐𝑜𝑠 (}7 4𝜋)) = 0,27145036 𝑐₃ = 2 𝑁 + 1∑ 𝑓(𝑥𝑘) 𝑁 𝑘=0 𝑇₃(𝑥_𝑘) =1 2∑ 𝑒 𝑥𝑘_{. 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋}2𝑘 + 1 8 ) 3 𝑘=0 =1 2(𝑒 𝑥0_{. 𝑐𝑜𝑠 (}3 8𝜋) + 𝑒 𝑥1_{. 𝑐𝑜𝑠 (}9 8𝜋) + 𝑒 𝑥2_{. 𝑐𝑜𝑠 (}15 8 𝜋) + 𝑒 𝑥3_{. 𝑐𝑜𝑠 (}21 8 𝜋)) = 0,04379392

Sehingga interpolasi polinomial Chebyshev orde 3 dengan titik interpolasi Chebyshev sebagai berikut

𝑃₃(𝑥) = ∑ 𝑐_𝑘. 𝑇_𝑘(𝑥) = 𝑐₀. 𝑇₀(𝑥) + 𝑐₁. 𝑇₁(𝑥) 3 𝑘=0 + 𝑐₂. 𝑇₂(𝑥) + 𝑐₃. 𝑇₃(𝑥) = (1,26606568)(1) + (1,13031500)(𝑥) + (0,27145036)(2𝑥2 − 1) + (0,04379392)(4𝑥3− 3𝑥) Jadi, 𝑃3𝐶(𝑥) = 0,99461532 + 0,99893324𝑥 + 0,54290072𝑥 2_{+ 0,17517568𝑥}3

(17)

17

BAB V KESIMPULAN

1. Berdasarkan hasil tersebut, polinomial pendekatan 𝑃₃_𝐵(𝑥) = 𝑃₃_𝐶(𝑥), maka polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev adalah tunggal dan dapat diperoleh melalui polinomial Lagrange atau polinomial Chebyshev.

2. Perbandingan galat interpolasi dengan titik berjarak seragam (a) dan titik Chebyshev (b)

(a). Galat interpolasi dengan titik berjarak seragam Dengan nilai error |𝑒𝑥_{− 𝑃(𝑥)| ≤ 0,01}

(b). Galat interpolasi dengan titik Chebyshev Dengan nilai error |𝑒𝑥− 𝑃(𝑥)| ≤ 0,0067

-1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 X f( X ) P n(x) f(x) Titik Seragam -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 X E (X ) galat interpolasi

(18)

18 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 X f( X ) P_n(x) f(x) Titik Seragam -1 -0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8x 10 -3 X E (X ) galat interpolasi

(19)

19

DAFTAR PUSTAKA

Levy, Doron. 2010. Introduction to Numerical Analysis. Maryland: University of Maryland.

Mathews, John H. dan Kurtis D. Fink. 2004. Numerical Methods Using MATLAB (4th ed.). USA: Pearson Prentice Hall.

(20)

20

DAFTAR LAMPIRAN

a. Titik Interpolasi Seragam

clc;clear;close; n=4;a=-1;b=1; for k=1:n x(k)=-1.+2/3*(k-1); y(k)=exp(x(k)) ; end for i=1:n pp=poly(x((1:n)~=i)); pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end Pn=y*pvals; xi=[a:0.01:b]; yi=polyval(Pn,xi); 27

(21)

21 for i=1:length(xi) zi(i)=exp(xi(i)); end hi=abs(zi-yi); Hii=max(hi) subplot(1,2,1); plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid; legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest'); subplot(1,2,2); plot(xi,hi,'r','linewidth',2); grid; legend('galat interpolasi');

b. Titik Interpolasi Chebyshev

clc;clear;close; n=4;a=-1;b=1; for k=1:n A=cos((pi*(n+1-k-0.5))/n); x(k)=(b-a)*A/2+(a+b)/2; y(k)=exp(x(k)) ; end for i=1:n pp=poly(x((1:n)~=i)); pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end Pn=y*pvals; xi=[a:0.01:b]; yi=polyval(Pn,xi); for i=1:length(xi) zi(i)=exp(xi(i)); end hi=abs(zi-yi); Hii=max(hi) subplot(1,2,1); plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',2); grid; legend('P_n(x)','f(x)','Titik Seragam','Location','NorthWest'); subplot(1,2,2); plot(xi,hi,'r','linewidth',2); grid; legend('galat interpolasi');