Hand Out Fisika II HUKUM GAUSS. Fluks Listrik Permukaan tertutup Hukum Gauss Konduktor dan Isolator

Fluks Listrik

Permukaan tertutup

Hukum Gauss

Konduktor dan Isolator

Garis gaya oleh muatan titik

-Garis gaya akibat dipol

-Fluks Listrik

„ Definisi: banyaknya garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan

„ Untuk permukaan dA yang tegak lurus dengan arah medan, jumlah garis gaya yang menembus permukaan itu adalah

„ Total garis gaya yang menembus permukaan A

EdA

d

Φ

=

dA E A EA dA E EdA d A A = = = Φ = Φ

∫

∫

∫

Fluks untuk sembarang permukaan

„

Untuk sembarang permukaan dA dengan arah

tidak tegak lurus medan

A

d

E

d

Φ

=

r

•

r

dA

∫

∫

•

=

Φ

=

Φ

S S

A

d

E

d

r

r

Fluks total untuk

permukaan S

E

Contoh soal

„ Sebuah medan listrik dinyatakan dalam persamaan .

Tentukan fluks yang menembus permukaan

a. b.

c. d.

e. f.

„ Solusi

Karena medan homogen di seluruh permukaan yang ditinjau, maka fluks dapat dituliskan dalam bentuk

j i Er = 2ˆ+ 4 ˆ i Sr =10ˆ j Sr =10 ˆ k Sr =10 ˆ Sr = −10kˆ j Sr = −10 ˆ i Sr = −10ˆ S E A d Er • r → r • r

∫

Solusi contoh soal

a. b. c. d. e. f. 0 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 ( + • = = • = Φ Er Ar i j k 0 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 ( + •− = = • = Φ Er Ar i j k 40 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 ( + • = = • = Φ Er Ar i j j 40 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 ( + •− = − = • = Φ Er Ar i j j 20 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 ( + • = = • = Φ Er Ar i j i 20 ˆ 10 ) ˆ 4 ˆ 2 ( + •− = − = • = Φ Er Ar i j i

Fluks, muatan Q, permukaan terbuka S

Fluks yang keluar dari permukaan S

∫

•

=

Φ

S

n

dS

E

r

ˆ

₁ 1 ˆ n S dS E

Permukaan tertutup, muatan Q diluar

+ 1 ˆ n dA 1 ˆ n − 2 ˆ n 2 ˆ n − 3 ˆ n 3 ˆ n −

Perhitungan fluks Q diluar permukaan

„ Perhatikan arah normal permukaan dan arah

medan listrik

„ Fluks total pada kubus mempunyai nilai:

0 0 0 0 ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ 1 1 3 3 2 2 1 1 − + − + Φ − Φ = − • + • + − • + • + − • + • = • = Φ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

S S S S S S S n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E A d E r r r r r r r r

Permukaan tertutup, Q di dalam

2 ˆ n 2 ˆ n − 1 ˆ n dA 1 ˆ n − 3 ˆ n 3 ˆ n −

Perhitungan fluks Q di dalam

„ Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan

listrik

„ Fluks total pada kubus mempunyai nilai:

) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 ≠ Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ = − • + • + − • + • + − • + • = • = Φ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

S S S S S S S n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E n dA E A d E r r r r r r r r

Hukum Gauss

„ Besar fluks atau garis gaya listrik yang keluar dari

suatu permukaan tertutup sebanding muatan yang dilingkupi oleh luasan tertutup tersebut

„ Prinsip untuk menggunakan teorema Gauss dengan

mudah

‰ Pilih permukaan yang medan listrik di permukaan tersebut

homogen

‰ Tentukan muatan yang dilingkupi permukaan tersebut ‰ Tentukan arah medan terhadap arah normal permukaan.

∫

•

=

0

ε

q

S

d

E

r

r

Permukaan Gauss Berbentuk Bola

„

Untuk muatan titik dan bola

dA E

Permukaan Gauss Berbentuk Silinder

„ Kawat dan silinder panjang tak berhingga

„ Medan homogen di seluruh permukaan selimut silnder.

Arah medan radial searah dengan normal permukaaan selimut silinder untuk muatan positip dan berlawanan untuk muatan negatip

dA E E dA

Permukaan Gauss Berbentuk Balok

„

Plat tipis luas tak berhingga

E E

Medan homogen

pada tutup balok,

arah sama dengan

normal tutup balok

Medan akibat sebuah muatan titik

dA E 0 2 0 2 0 0 0 4 4 ε π ε π ε ε ε r q E q r E q dA E q EdA q A d E = = = = = •

∫

∫

∫

r r

Konduktor dan Isolator

„

Di dalam konduktor, muatan bebas bergerak

„

Jika diberi muatan tambahan dari luar → muncul

medan listrik → muatan bergerak menghasilkan

arus internal → terjadi distribusi ulang muatan

tambahan dari luar hingga tercapai keseimbangan

elektrostatis → medan listrik di dalam konduktor

menjadi nol → menurut hukum Gauss berarti

muatan di dalam konduktor nol,muatan tambahan

dari luar tersebar di permukaan konduktor

„

Waktu yang diperlukan untuk mencapai

keseimbangan elektrostatis pada koduktor sangat

cepat

„

Medan listrik di dalam konduktor boleh dianggap

selalu nol dan muatan dari luar selalu ada di

permukaan konduktor

„

Di dalam isolator muatan tidak bebas bergerak

„

Muatan tambahan dari luar akan terdistribusi

Bola konduktor pejal positip

„

Tinjau suatu bola konduktor pejal dengan jari-jari

R dan muatan Q

dA E

•Muatan hanya tersebar

di permukaan bola saja

•Medan listrik di dalam

Medan listrik di luar bola konduktor

„

Untuk r>R, total muatan yang dilingkupi

permukaan Gauss adalah Q

„

Hukum Gauss untuk kasus bola konduktor

pejal:

„

Dengan r>R

2 0 0 2 0 0

4

4

r

Q

E

Q

r

E

Q

dS

E

q

S

d

E

πε

ε

π

ε

ε

=

→

=

=

→

=

•

∫

∫

r

r

Bola isolator pejal

„

Isolator: muatan tersebar merata di seluruh

volum isolator

„

Di dalam bola

r r3 3 4 π r r Q R r r E Q R r S d E q S d E 3 0 3 2 3 0 3 0 4 ε π ε ε = = = = • ∫ ∫ r r r R

Bola isolator pejal (2)

„

Medan di luar

2 0 0 2 0 0 4 4 r Q E Q r E Q dS E Q S d E

πε

ε

π

ε

ε

= = = = •

∫

∫

r r R r

q=Q

Medan listrik pada bola isolator berongga

Q R R R r q ₃ 1 3 4 3 2 3 4 3 1 3 4 3 3 4

π

π

π

π

− − = R₁ R₂ r 3 1 3 0 3 1 3 4 3 2 3 4 3 1 3 4 3 3 4 0 1 Q R r E Q R R R r dS E q S d E ε π π π π ε − = − − = = •

∫

∫

r r

Bola bermuatan negatip

„ Pada prinsipnya sama dengan bola bermuatan positip

hanya arah medan listriknya masuk menuju pusat bola

E dA 2 0 0 2 0 0 4 4 180 cos r Q E Q r E Q EdS Q S d E πε ε π ε ε = = − = − = •

∫

∫

r r

Dua bola, jenis muatan beda

„

Sebuah bola tipis jari-jari a bermuatan 2Q. Di

dalam bola tipis diletakkan bola pejal konduktor

berjari-jari b dan bermuatan –3Q.

Medan listrik untuk daerah

r<a ditentukan dengan

cara yang sama dengan

contoh mencari medan

pada bola pejal

a b

2 2 0 0 4 4 180 cos r Q E Q r E Q EdS q S d E πε ε π ε ε = → = − = → = •

∫

∫

r r

Medan untuk r>a

•Dibuat permukaan Gauss berbentuk bola

dengan jari-jari r>a

•Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss:

q=2Q+(-3Q)=-Q

Medan listrik akibat kawat lurus

„ Permukaan Gauss berbentuk silinder

„ Untuk muatan positip arah medan listrik radial keluar

dari pusat silinder

„ Untuk muatan negatip arah medan listrik radial masuk

menuju pusat silinder

dA E

Medan akibat kawat tak berhingga

rl E EdS EdS EdS S d E S d E S d E S d E tutup ung se tutup tutup ung se tutup π 2 90 cos 0 cos 90 cos _lub lub = + + = • + • + • = •

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

r r r r r r r r

Fluks medan listrik yang menembus permukaan silinder

Jika panjang kawat L, muatan total Q, maka muatan yang dilingkupi oleh silinder:

l l

L Q

Hukum Gauss untuk kawat sangat panjang

„ Penentuan medan listrik

rL Q E l L Q rl E q S d E 0 0 0 2 2

λ

πε

ε

π

ε

= = = = •

∫

r r

Contoh soal untuk kawat panjang (1)

„ Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada

titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan rapat muatan λ=10 mC/m seperti pada gambar.

„ Solusi :

π

π

π

π

λ

0

,

025

4

1

,

0

)

2

,

0

(

2

10

.

10

2

3

=

=

=

=

−

r

E

•A •B N/C

Contoh soal untuk kawat panjang (2)

„ Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada

titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan rapat muatan λ=-10 mC/m seperti pada gambar.

„ Solusi :

λ

10

.

10

3

0

,

1

0

,

025

=

=

=

=

−

E

•A •B N/C

Medan listrik karena dua kawat sejajar

„ Dua buah kawat pajang tak berhingga diberi muatan

masing-masing dengan rapat muatan λ dan -2 λ. Jarak kedua kawat a. Tentukan medan listrik pada titik P yang berjarak b dari kawat -2Q.

λ λ

E

E

E

r

_total

=

r

₋₂

+

r

λ -2λ b a _P E_-2λ E_λ ) ( 2 2 ) ( 2 2 0 0 2 b a b E E E_total + − = − = ₋ πε λ πε λ λ λ

Medan listrik akibat silinder

„

Misalkan silinder konduktor berjari-jari R ,

panjangnya L, dan bermuatan Q.

„

Permukaan Gauss berbentuk silinder dengan

jari-jari r dan panjang L seperti kawat panjang

tak berhingga

„

Untuk muatan positip, medan listrik berarah

radial meninggalkan sumbu pusat silinder

„

Untuk muatan negatip, medan listrik berarah

Permukaan Gauss pada silinder

„ Muatan positip E dA

∫

∫

∫

= = = • 0 0 0 0 cos ε ε ε q dA E q EdA q A d Er r

Permukaan Gauss pada silinder

„ Muatan negatif E dA

∫

∫

∫

= − = = • 0 0 0 0 cos ε ε ε q dA E q EdA q A d Er r

Medan listrik pada silinder konduktor pejal

„

Di dalam konduktor

‰ Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss =0 karena pada konduktor muatan hanya tersebar di permukaan konduktor saja. Dengan demikian, medan listrik di dalam konduktor E=0

Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

„ Di luar konduktor

Medan akibat silinder konduktor

„ Medan listrik di luar silinder konduktor

Lr Q E Q rL E Q dA E q A d E 0 0 0 0 2 2

πε

ε

π

ε

ε

= = = = •

∫

∫

r r

Medan listrik pada silinder isolator pejal

„

Di dalam isolator

‰ Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss

r L

r2 ₌ 2

Silinder isolator pejal

„ Medan listrik di dalam isolator (r<R)

Q

L

R

r

E

Q

R

r

rL

E

Q

R

r

dA

E

q

A

d

E

2 2 0 2 2 0 2 0

2

2

πε

ε

π

ε

ε

=

=

=

=

•

∫

∫

r

r

Silinder isolator pejal (2)

„ Medan di luar silinder (r>R)

Q

E

Q

rL

E

Q

dA

E

q

A

d

E

0 0 0

2

πε

ε

π

ε

ε

=

=

=

=

•

∫

∫

r

r

Silinder Isolator Berongga

„

Jari-jari dalam silinder a, jari-jari luar b, muatan Q,

dan panjang silinder L

Silinder isolator berongga (2)

„ Untuk r>b, semua muatan terlingkupi oleh permukaan

Gauss ( q=Q), sehingga medan di luar silinder adalah:

„ Untuk a<r<b, dibuat permukaan Gauss berbentuk

silinder dengan jari-jari a<r<b dan panjang L

‰ Muatan yang dilingkupi

Q a b a r L a L r L a L b Q V q _{silinder Gauss} ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 − − = − − = = π π π π ρ

Lr

Q

E

0

2

πε

=

Bola isolator berongga

Lr a b Q a r E a b Q a r rL E a b Q a r dA E q A d E ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 − − = − − = − − = = •

∫

∫

πε ε π ε ε r r

Dua silinder dengan muatan berbeda

„ Silinder pejal isolator berjari-jari a, panjang c, dan

bermuatan 3Q berada dalam suatu silinder berongga yang jari-jari dalamnya b, jari-jari luarnya d,

panjangnya c, dan bermuatan –Q.

„ Di dalam isolator (r<a)

Q a r Q c a c r q 3 ₂ 3 2 2 2 = = π π 0 2 2 0 2 0 2 2 2 3 3 2 3 ) / ( ε π ε π ε a c Qr E a Qr rc E Q a r S d E • = → = → =

∫

r r

0 0 0 2 2 2 2 2 ε π ε π ε rc Q E Q rc E Q S d E • = → = → =

∫

r r

Di antara isolator dan konduktor (a<r<b)

Di dalam konduktor (b<r<d): E=0 Di luar kondukto (r>d) 0 0 0 2 3 3 2 3 ε π ε π ε rc Q E Q rc E Q S d E • = → = → =

∫

r r

Medan listrik Akibat Plat Tipis Positip

„ Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas σ

E

S

S

A

Q

q

=

=

σ

A S

Perhitungan medan listrik akibat plat tipis (1)

0 0 2 2 ε σ ε σ ε = = = •

∫

E S S E q A d Er r ES ES ES S d E S d E S d E S d

E _{tutup se ung tutup}

2 0 lub = + + = • + • + • = •

∫

∫

∫

∫

r r r r r r r r

Medan listrik Akibat Plat Tipis Negatip

„ Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas -σ

E

S

S

A

Q

q

=

−

=

−

σ

A S

Perhitungan medan listrik akibat plat tipis(2)

0 0 0 2 ) 2 ( ε σ ε σ ε = − = − = •

∫

E S S E q A d Er r ES ES ES S d E S d E S d E S d

E _{tutup se ung tutup}

2 0 lub − = − + − = • + • + • = •

∫

∫

∫

∫

r r r r r r r r

Medan listrik akibat dua plat tipis

„ Dua plat tipis luas tak berhingga masing-masing

mempunyai rapat muatan σ dan - σ. Medan listrik di sekitar plat tersebut dapat dianalisis seperti gambar di bawah ini 0 2ε σ σ σ = E− = E σ _-σ E₁ E_{2 E3} ) ( ) ˆ ( 0 ) ( ) ˆ ( 0 2 1 = + = = + − = − − i E i E E i E i E E σ σ σ σ ε σ r r r

Medan akibat 3 plat tipis

„ Tiga buah plat tipis masing-masing bermuatan σ, -σ,

dan 2σ. Medan di sekitar plat bisa dicari dengan cara berikut σ - σ 2 σ x=2 x=4 x=7 σ σ σ

E

E

2

E

E

r

_total

=

r

+

r

₋

+

r

Medan listrik akibat 3 plat tipis (2)

i i i i i E i E i E x E ˆ 2 ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 2 ( 0 0 0 0 2 ε σ ε σ ε σ ε σ σ σ σ = + + − = + + − = < ₋ r i i i i i E i E i E x E ˆ 2 4 ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 4 2 ( 0 0 0 0 2 ε σ ε σ ε σ ε σ σ σ σ = + + = + + = < < ₋ r i i i i E i E i E x E ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 7 4 ( 0 0 0 2 σ ε σ ε σ ε σ σ σ σ − − = + − + = < < ₋ r i i i i E i E i E x E 2 ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ 2 ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 7 ( 0 0 0 2 σ ε σ ε σ ε σ σ σ σ + − = + − + = > ₋ r

Muatan induksi

„ Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik

eksternal

„ Di dalam tipis logam: E+E´=0

0 ' = − ε σ ε σ i i σ logam netral - ₊ -+ + + E E E’ ' σ σ = -σ´ σ´ -+

σ σ’

Logam ditanahkan

„

Ditanahkan artinya dihubungkan dengan sumber

muatan yang sangat besar. Bagian yang terhubung

ditanahkan akan bermuatan netral.

-E E’ E E’

„ Di dalam logam (daerah 3) medan listrik total nol

„ Karena ditanahkan, daerah 4 medan listriknya juga nol

σ

σ

'

=

−

0

´ 3

=

E

+

E

=

E

r

r

r