BEBERAPA SIFAT DIMENSI KRULL DARI MODUL
Amir Kamal Amir1)
1) Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, Makassar 90245 E-mail: [email protected]
ABSTRAK
Untuk mengukur tingkat kedekatan suatu gelanggang tertentu ke gelanggang Artinian biasanya digunakan dimensi Krull. Untuk kasus gelanggang komutatif, dimensi Krull diukur dari panjang maksimal rantai ideal-ideal prim. Sedangkan untuk kasus gelanggang tidak komutatif, dimensi Krull diukur pada lattice dari ideal-idealnya. Sifat-sifat dimensi Krull yang disajikan dipaper ini bukan merupakan sifat yang baru. Namun demikian, paper ini akan menguraikan pembuktian dari sifat-sifat tersebut secara lebih lengkap dan sederhana sehingga lebih mudah untuk dimengerti, terutama bagi pemula dalam Aljabar.
Kata kunci: deviasi, dimensi Krull, modul, poset, seragam, esensial
ABSTRACT
To measure of how close the ring is to being Artinian ring is used usually so called Krull dimension. In the case of commutative rings, the Krull dimension is measured on the maximal length of a chain of prime ideals. For noncommutative rings, the Krull dimension is measured on the lattice of ideals. The properties of Krull dimension of modul which are presented in this paper are not a new properties. However, this paper will present their proof which is more detail and simple such that they are easy to be understand specially for a new person in Algebra.
Keywords: deviation, Krull dimension, modul, poset, uniform, essential
Diterima: 29 Juni 2010
Disetujui untuk dipublikasikan: 2 Agustus 2010
1. Pendahuluan
Suatu gelanggang disebut gelanggang Artinian jika memenuhi kondisi rantai mengecil, yaitu setiap rantai mengecil dari ideal-ideal atau modul-modul akan berhenti pada suatu ideal atau modul tertentu. Dalam kasus gelanggang komutatif, dimensi Krull dihitung dari panjang maksimal rantai ideal-ideal prim dari gelanggang tersebut. Namun demikian, untuk gelanggang tidak komutatif, ukuran seperti ini bukan merupakan ukuran yang baik. Oleh karena itu, untuk kasus gelanggang tidak komutatif, dimensi Krull diukur pada lattice (pohon sub ideal-ideal) dari ideal-idealnya. Dalam pengukuran ini, lattice ini dipandang sebagai himpunan terurut parsial, selanjutnya himpunan terurut parsial ini dihitung deviasinya. Oleh karena itu, pembahasan dimensi Krull akan didahului penjelasan sepintas tentang deviasi poset (himpunan terurut parsial).
Sifat-sifat dari dimesi Krull yang dipaparkan disini bukanlah merupakan sifat-sifat yang baru. Namun demikian, dalam paper ini akan disajikan pembuktian dari sifat-sifat tersebut dengan bentuk penyajian yang lebih lengkap dan sederhana sehingga lebih mudah untuk dimengerti, terutama bagi kaum pemula dalam aljabar.
Seperti yang telah disebutkan di atas, bahwa untuk memahami dimensi Krull terlebih dahulu diketahui pengertian deviasi poset. Untuk itu sebelum pembahasan mengenai dimensi Krull terlebih dahulu disajikan pengertian poset secara sepintas. Untuk mendapatkan pengertian lebih lengkap dari deviasi poset, lihat [1].
Definisi 1 [2]
Suatu urutan parsial adalah suatu relasi biner, biasanya disimbol dengan " "≤ pada suatu himpunan P yang memenuhi sifat refleksif, anti simetris, dan transitif. Artinya, untuk setiap a, b, dan c dalam P, relasi biner " "≤ memenuhi:
a. a≤a (sifat refleksif)
b. Jika a≤bdan b≤a, maka a=b (sifat anti simetris) c. Jika a≤bdan b≤c, maka a≤c (sifat transitif).
Himpunan dengan suatu urutan parsial disebut himpunan terurut parsial.
Contoh 1 [1, 2]
a. Himpunan bilangan riil dengan urutan parsial “lebih kecil atau sama dengan”, merupakan himpunan terurut parsial.
b. Himpunan kuasa (himpunan yang memuat himpunan bagian dari suatu himpunan) dengan uruatan parsial “himpunan bagian dari”, merupakan himpunan terurut parsial.
Definisi 2 [3]
Jika a, b adalah merupakan anggota dari himpunan terurut parsial A, dan a≥b, maka faktor dari a oleh b didefinisikan sebagai himpunan bagian dari A yang berbentuk
/ { | }.
a b= x∈A a≥x≥b Himpunan bagian ini juga merupakan himpunan terurut parsial.
Definisi 3 [4]
Suatu rantai menurun {an}dari himpunan A, diartikan bahwa a1≥a2≥≥an≥. Himpunan terurut parsial A dikatakan memenuhi kondisi rantai menurun (d.c.c) apabila
setiap barisan menurun dari A berujung pada elemen yang sama (barisan akan berhenti pada satu elemen tertentu). Selanjutnya, yang dimaksud dengan himpunan terurut parsial sangat sederhana adalah himpunan terurut parsial yang tidak mempunyai dua elemen yang berbeda yang dapat dibandingkan.
Definisi 4 [3]
Deviasi dari himpunan terurut parsial A disimbol dengan dev A dan didefinisikan sebagai berikut:
a. dev A = −∞ jika A merupakan himpunan terurut parsial sangat sederhana.
b. dev A = jika A bukan merupakan himpunan terurut parsial sangat sederhana tetapi A0 memenuhi kondisi rantai menurun (d.c.c).
c. dev A α= dengan α adalah bilangan ordianal, jika memenuhi:
1. dev A tidak sama dengan suatu bilangan ordinal yang lebih kecil dari α
2. Dalam setiap rantai menurun elemen-lemen dari A, misalnya barisan menurun
1 2 n
a ≥a ≥≥a ≥, semua faktor (pengertian faktor diberikan di atas) dari barisan tersebut (dalam barisan ini ada tak berhingga banyaknya faktor) mempunyai deviasi yang lebih kecil dari α kecuali ada berhingga banyaknya faktor yang mempunyai deviasi tidak lebih kecil dari α .
Contoh 2 [1, 3]
Misalkan A adalah himpunan terurut parsial seperti A={a ii| ∈N} dengan urutan yang didefinisikan sebagai ai>aj jika dan hanya jika i< j. Dengan mudah dapat dilihat bahwa A mempunyai dua elemen yang berbeda yang dapat dibandingkan. Jadi A bukan merupakan himpunan terurut parsial sangat sederhana, sehingga menurut definisi
dev A ≠ −∞ . Selanjutnya ambil rantai menurun pada A, misalnya a1>a2>>an>. Rantai ini menunjukkan bahwa A tidak memenuhi kondisi rantai menurun. Sehingga menurut definisi dev A ≠ . Pada sisi lain, amati setiap faktor dari barisan tersebut, 0
/ { | }
i j i j
a a = x∈A a >x>a dengan i< j. Faktor-faktor tersebut memenuhi kondisi rantai
demikian jika α = maka ini akan memenuhi definisi di atas. Jadi disimpulkan bahwa 1 1.
dev A =
2. Beberapa Sifat Dimensi Krull dari Modul
Untuk menghitung dimensi Krull dari suatu modul, pengertian deviasi yang dibahas di atas diaplikasikan pada suatu modul M yang dipandang sebagai suatu poset L M , yaitu ( ) lattice dari submodul-submodul M. Lebih jelasnya, jika M adalah suatu R-modul, maka dimensi Krull dari M, ditulis K M , didefinisikan sebagai deviasi dari (( ) L M yaitu lattice ) dari submodul-submodul M atau K M( )=dev L M
(
( ) .)
Sifat berikut ini menghubungkan antara dimensi Krull dari suatu modul dengan dimensi Krull submodulnya.
Teorema 1
Jika N adalah suatu submodul dari M, maka K M( )=sup
{
K N K M N( ), ( / )}
. Bukti:Pemetaan alami dari L N ke ( ) L M dan dari ( ) L M N ke ( / ) L M adalah pemetaan-( ) pemetaan poset yang memelihara hubungan himpunan bagian. Oleh karena itu, dengan Teorema 6.1.17 pada [3], disimpulkan K M( )≥sup
{
K N K M N( ), ( / )}
. Pada sisi lain, untuk suatu submodul M dari modul M, pemetaan ' M'(
M'∩N M,(
'+N)
/N)
merupakan suatu pemetaan poset dari L M( )→L N( )×L M N( / ) yang juga mempertahankan hubungan himpunan bagian. Namun demikian, dengan Teorema 6.14 pada [3], diperoleh
(
)
{
(
)
(
)
}
{
}
( ) ( / ) sup ( ) , ( / )
sup ( ), ( / ) .
dev L N L M N dev L N dev L M N
K N K M N
× =
=
Dengan memakai sekali lagi Teorema 6.1.17 [3] diperoleh K M( )≤sup
{
K N K M N( ), ( / )}
. Dengan demikian terbukti bahwa K M( )=sup{
K N K M N( ), ( / )}
.Teorema berikut akan mengaitkan antara dimensi Krull dengan dimensi seragam berhingga dari suatu modul. Untuk itu, sebelum teorema, disajikan dahulu definisi dari dimensi seragam berhingga.
Definisi 5 [3, 5]
Suatu modul M dikatakan mempunyai dimensi seragam berhingga jika ia tidak memuat jumlah langsung tak berhingga dari submodul-submodul taknol.
Teorema 2
Suatu modul yang mempunyai dimensi Krull akan mempunyai dimensi seragam berhingga. Bukti:
Andaikan tidak demikian. Pilih satu modul M dengan dimensi Krull minimal, katakanlah ( )
K M =α, yang tidak mempunyai dimensi seragam berhingga. Jadi dalam hal ini
1 i
i
M N
∞ =
⊇ ⊕ untuk submodul-submodul N taknol. Tetapkan i .2
1 n n j j M N ∞ = = ⊕ , maka rantai 0 1 n
M ⊃M ⊃⊃M ⊃ mempunyai sifat bahwa setiap komposisi faktor Mn/Mn+1
tidak mempunyai dimensi seragam berhingga. Sifat keminimalan α bersama dengan Teorema 6.2.4 [3] menunjukkan bahwa K M M
(
/ n+1)
=α untuk semua n. Tetapi menurut definisi, ini berarti bahwa K M( )>α. Dalam hal ini terjadi kontradiksi.Teorema berikut akan mengaitkan antara dimensi Krull dengan submodul esensial. Oleh karena itu, sebelum teorema, disajikan dahulu pengertian submodul esensial.
Definisi 6 [4, 5]
Misalkan N adalah submodul dari modul M sedemikian sehingga untuk setiap submodul taknol L dari M, kita mempunyai N∩L≠0, maka N disebut suatu submodul esensial dari
M.
Definisi 7 [4, 5]
Suatu modul M dikatakan seragam jika M ≠0 dan setiap submodul taknol dari M adalah suatu submodul esensial.
Definisi 8 [3]
Misalkan M adalah suatu modul dengan dimensi seragam berhingga dan misalkan
1
n i i= U
⊕ adalah suatu jumlahan langsung berhingga dari submodul-submodul seragam dari M yang esensial di M, maka
a. Setiap jumlahan langsung dari submodul-submodul taknol dari M mempunyai paling banyak n suku, dan
b. Suatu jumlahan langsung dari submodul-submodul seragam dari M adalah esensial di
M jika dan hanya jika dia mempunyai tepat n suku jumlah.
Bilangan bulat tak negatif n yang diberikan di atas dikatakan dimensi seragam dari M, dan ditulis udimM =n.
Teorema 3
Jika M mempunyai dimensi Krull, maka
(
)
{
}
( ) sup / 1| adalah submodul esensial dari
K M ≤ K M E + E M
Bukti:
Misalkan α =sup
{
K M E(
/)
+1|Eadalah submodul esensial dariM}
. Sekarang diberikan suatu rantai M =M0⊃M1⊃ . Teorama 6.2.6 [3] menunjukkan bahwa, untuk n 0,dim n dim n t
u M =u M + , untuk setiap t >0.
Pilih suatu submodul L dari M yang maksimal yang memenuhi L∩Mn=0. Sekarang
dapat dilihat bahwa L⊕Mn t+ adalah suatu submodul esensial dari M, tetapi
(
)
(
)
(
)
. n n n t n t n t L M M M M + L M + L M + ⊕ ≅ ⊆ ⊕ ⊕Oleh karena itu, K M
(
n/Mn t+)
+ ≤1 K M(
/(
L⊕Mn t+)
)
+ ≤1 α sehingga diperoleh(
/ n t)
.3. Kesimpulan
Dimensi Krull dari suatu modul akan selalu lebih besar atau sama dengan dimensi Krull dari submodulnya. Suatu modul yang mempunyai dimensi Krull akan selalu juga mempunyai dimensi seragam berhingga. Batas atas dari dimensi Krull dari suatu modul dapat ditentukan menggunakan submodul-submodul esensialnya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Amir, A.K. 2009. Menentukan Deviasi dari Himpunan Terurut Parsial. Jurnal Matematika,
12(1), 11-15.
[2] Jategaonkar, A.V. 1986. Localization in Noetherian Rings. New York: Cambridge University
Press.
[3] McConnell, J.C. and Robson, J.C. 1987. Noncommutative Noetehrian Rings. Chichester: Wiley.
[4] Passman, D.S. 1991. A Course in Ring Theory. California: Wadsworth & Brooks Cole.
[5] Lam, T.Y. 1999. Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics. New York:
