BAB III KUANTOR
Untuk mengubah kalimat tebuka menjadi kalimat deklaratif, selain dengan jalan mengganti variabel dengan konstanta, dapat juga dilakukan dengan menggunakan kuantor, yaitu dengan menggunakan ungkapan.
1. Kuantor Universal
Untuk semua berlaku ...” atau “Untuk setiap berlaku...”
Sebagai contoh misalkan semesta pembicaraannya himpunan semua bilangan asli.
1. merupakan kalimat terbuka
2. “Untuk semua berlakulah ” merupakan kalimat deklaratif bernilai salah, sebab dapat ditemukan bilangan asli yang memenuhi
3. Kuantor Eksistensial
“Terdapat sedemikian hingga ...” atau “Ada sedemikian hingga ...” Dengan semestanya himpunan semua bilangan asli.
1. merupakan kalimat terbuka
2. “Terdapat sedemikian hingga ” merupakan kalimat deklaratif bernilai benar, sebab untuk berlakulah
Di dalam contoh di atas kalimat dapat dibaca dengan “ mempunyai sifat lebih besar daripada 1”. Jika kondisi tersebut dinyatakan “ mempunyai sifat
dan ditulis dengan simbol , maka kalimat, “Untuk semua berlakulah
dapat ditulis dengan: . Secara umum bentuk dapat dibaca dengan,
1. “Semua bersifat
2. “Setiap mempunyai sifat 3. “Untuk semua berlaku sifat
Kalimat “Terdapat suatu yang memenuhi (sifat) ” dapat ditulis dengan: Secara umum bentuk dapat dibaca dengan,
1. “Terdapat yang mempunyai sifat 2. “Beberapa mempunyai sifat ”
Selanjutnyaperlu diperhatikan, bahwa dalam penulisan simbol kuantor mengikat lebih kuat dibandingkan kata penghubung lainnya. Sebagai contoh kalimat,
yang dimaksud adalah
Di dalam praktiknya, di bidang ilmu eksakta untuk mengungkapkan sifat-sifat (hukum-hukum) yang berlaku umum tidak jarang kuantor universal tidak ditulis, walaupun eksistensinya memang diakui. Sebagai contoh rumus,
Bentuk sesungguhnya dari rumus tersebut seharusnya,
Dalam pemakaiannya seringkali di dalam suatu kalimat kuantor yang digunakan tidak tunggal dan mungkin juga antara kuantor universal dan eksistensial digunakan bersamaan, baik di awal kalimat maupun di tengah kalimat. Sebagai contoh kalimat-kalimat berikut ini dengan himpunan semua bilangan real, 1.
2. 3.
4. !
Simbolisma-simbolisma di atas dibaca:
1. Untuk semua dan untuk semua berlaku jika " lebih keil daripada dan lebih kecil daripada # maka lebih kecil daripada
Dapat juga diucapkan dengan kalimat:
Setiap pasangan bilangan real dan kuadrat.
2. Untuk setiap terdapatlah yang memenuhi dikurung sama dengan 0 dan 0 sama dengan ditambah
Dengan bahasa keseharian dapat diucapkan:
Setiap bilangan memiliki kebalikan terhadap operasi pengurangan, yaitu dirinya sendiri. kalimat ini bernilai benar.
3. Terdapat yang memenuhi untuk semua berlaku ditambah sama dengan ditambah yang sama dengan .
Ada bilangan yang memenuhi sifat ditambahkan kepada setiap bilangan hasilnya akan sama dengan bilangan yang kedua.
4. Untuk setiap berlaku, jika tidak sama dengan 0, maka terdapat yang memenuhi dikali sama dengan dikali , sama dengan 1.
Dapat diucapkan:
Setiap bilangan yang tidak nol mempunyai bilangan yang berlawanan (terhadap perkalian). Kalimat ini bernilai benar, sebagai contoh bilangan 5 lawannya $.
3.1 Urutan, Sifat-sifat, dan Hubungan Antar Kuantor
Urutan dan letak kuantor di dalam suatu pernyataan harus diperhatikan secara seksama. Penempatan kuantor yang tidak tepat akan berakibat makna pernyataan akan berbeda dengan fakta yang ingin disampaikan. Hal ini juga berdampak pada nilai kebenaran dari pernyataan tersebut.
Selanjutnya misalkan adalah suatu predikat tertentu. Tata tulis dua kuantor secara berurutan mempunyai bentuk umum:
1. # , juga ditulis dengan # # . Dibaca: “Untuk semua dan berlaku dan bersifat .
2. #
Dibaca: “Untuk semua terdapat yang memenuhi dan bersifat .
3. # .
Dibaca: “Terdapat yang memenuhi untuk semua berlaku dan mempunyai sifat .
4. # , juga ditulis dengan # # . Dibaca: “Terdapat dan yang memenuhi sifat .
Teorema berikut ini menunjukkan, bahwa kuantor-kuantor yang sejenis bisa ditukar letaknya.
Teorema 3.1 % # & % #
Teorema 3.2 % # & % # .
Kalimat # mempunyai arti yang berbeda dengan # . Sebagai contoh perhatikan kalimat:
2. ,
dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan nyata.
kalimat ke-1 bernilai benar. Untuk setiap , pasti ada yaitu yang memenuhi . Sedangkan kalimat ke-2 bernilai salah, sebab jika ada yang memenuhi kondisi tersebut, maka dan . Akibatnya , sehingga terjadi kontradiksi.
Teorema 3.3 % # % # .
Sifat ini berlaku untuk semua pembicaraan dan semua predikat %.
Contoh 3.1.1 Kalimat: akan berakibat:
, sebab anteseden benar, sehingga eksistensi yang memenuhi , untuk semua dijamin di dalam semestanya. jadi untuk
sebarang , berlaku .
Selanjutnya bentuk ingkaran dari kalimat,
“Semua mempunyai sifat .
Dengan kata lain pernyataan yang merupakan ingkaran, bahwa setiap anggota semestanya mempunyai sifat ', adalah sama dengan mengatakan terdapat anggota yang tidak mempunyai sifat ', sehingga berlaku,
Teorema 3.4 ((((((((((((( &' '((((((.
Contoh 3.1.2 Jika semestanya himpunan semua bilangan nyata, tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini:
1. ) 2. * + + * + * Penyelesaian: 1. (((((((((((((((( ) Sama dengan : , Atau : 2. ((((((((((((((((((((((((((((((( * + + * + * Sama dengan : (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( * + + * + Dengan kata lain : * + + * -(((((((((( + *
Mempunyai makna yang sama dengan: * + + * - *
Ingkaran bahwa terdapat anggota semestanya yang sifat ' sama dengan menyatakan, bahwa tidak ada anggota semestanya yang mempunyai sifat '. Hal ini sama dengan mengatakan semua anggota semestanya tidak mempunyai sifat '. Teorema 3.5 ((((((((((( &' '((((((.
Contoh 3.1.3 Tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini. 1. Ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85.
2. dengan semesta himpunan bilangan nyata: . Penyelesaian:
1. Tidak ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85
Sama dengan : Semua mahasiswa IPK-nya tidak lebih besar daripada 3.85 Atau : Semua mahasiswa IPK-nya kurang dari atau sama dengan 3,85 2. (((((((((((((((((((((((
Sama dengan : .
Dengan kata lain: )
Berdasarkan sifat-sifat ingkaran kalimat di atas dapat diturunkan bentuk-bentuk ingkaran kalimat yang lain, yang di dalamnya juga memuat kuantor.
Contoh 3.1.4 Dengan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan nyata, tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini.
1.
2. / 0 10 /# 0 2
3. & 3 3 - 3
Penyelesaian:
1. Ingkaran dari : adalah: (((((((((((((((((((((((((((
((((((((((((((((((((( ((((((((((((((( !
2. Ingkaran dari : / 0 10 /# 0 2 adalah: / 0 0 /# 0 ((((((((((((((((((((((((((((((((((( / ((((((((((((((((((((((((((((( 0 10 /# 0 2 / 0 0 ((((((((((((((((((((( /# 0 / 0 0 - /# 0((((((((
3. Ingkaran dari : & 3 3 - 3 adalah: & 3 3 - 3 ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( & 3 3 - 3 ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( & 3 3 - 3 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((( 3 3 - 3 -(((((((((((((((((((((((((((((((((3 3 - 3 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ((((((((( 3 3 - 3 ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 3 - 3 (((((((((( (((((((((( - 3 3 -(((((((((((((((((((((((((((((((((3 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( - (((((((((3 3 - 3 4444444 - 3 3 -((((((((((((((((((((((((((((((((3 3 3 - 3 -- 3 3 ! 3 1 3 3 - 3 - 2
Berikut ini diberikan contoh-contoh menentukan nilai logika kalimat yang menggunakan kuantor.
Contoh 3.1.5 Semesta pembicaraan adalah himpunan semua bilangan real. Tentukan nilai logika dari kalimat ini.
1. 2. 3. 5 4. 5 5. 67 8 6. 97 7. ! : : Penyelesaian:
1. Bernilai salah, sebab untuk berlaku + 2. Bernilai benar, sebab untuk berlaku ; . 3. Bernilai salah, sebab untuk berlaku,
4. 5 < = > 5? > ! .
5. Bernilai benar, contohnya >.
6. Bernilai benar, sebab jika , maka @ @ , jika A @ , maka
B C
D .
7. Bernilai salah, sebab untuk # berapapun A berlaku B! . 8. Bernilai benar
Contoh 3.1.6 Semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan 0, 1, 2, 3 dan 4. Tentukan nilai logika dari kalimat berikut ini.
1. ) .
2. .
3. + E.
4. 5 .
Penyelesaian:
1. Bernilai benar, sebab paling kecil dan Jadi pasti ) . 2. Bernilai benar, sebab contohnya berlaku . 3. Bernilai benar, sebab paling besar adalah ; dan ; E.
4. Bernilai salah, sebab semua anggota semestanya positif, sehingga 5 . Latihan 3.1
1. Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua manusia. Didefiniskan simbol-simbol sebagai berikut:
F G merupakan mahasiswa G orang yang pandai H G suka berolah raga.
Tuliskan pernyataan-pernyataan ini dengan menggunakan kuantor dan simbol-simbol di atas.
1. Ada manusia yang suka berolah raga tetapi tidak pandai. 2. Semua mahasiswa pandai.
3. Ada mahasiswa yang pandai dan suka berolah raga
4. Semua manusia yang tidak pandai tetapi suka berolah raga pasti bukan mahasiswa.
5. Ada manusia, yang suka berolah raga tetapi bukan mahasiswa. 6. Semua orang pandai pasti tidak menyukai olah raga.
2. Diberikan semesta pembicaraanya himpunan semua bilangan nyata. Bacalah kalimat-kalimat di bawah ini, kemudian renungkan artinya dan ucapkanlah dengan menggunakan bahasa sehari-hari (dengan makna yang sama dengan bentuk simbolnya). Selanjutnya tentukan nilai kebenarannya.
1. 2. + 3. 9 4. 0 0 I I 5. ! 6. -7.
3. Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat: Saol 1.1 – 1.6, kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari.
4. Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat: Soal 2.1 – 2.7, kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya.
3.2 Kuantor Jenis Lain dan Kuantifikasi Terbatas
Di bidang matematika terdapat suatu kuantor jenis lain yang mempunyai simbol khusus, yaitu yang mewakili pernyataan “Terdapatlah satu dan hanya satu ...” di dalam semestanya. Untuk itu perhatikan kalimat:
“Terdapatlah satu dan hanya satu yang mempunyai sifat Simbol dari pernyataan tersebut adalah:
-yaitu ada yang memenuhi sifat dan untuk setiap yang memenuhi sifat , maka sama dengan . Kuantor ini diberi simbol dengan J , sehingga kalimat selengkapnya dapat ditulis dengan:
-dan dibaca “Terdapat dengan tunggal yang mempunyai sifat . Contoh 3.2.2 Diberikan kalimat-kalimat berikut ini:
1. Terdapat yang positif dan bersifat
2. Terdapat K yang merupakan elemen L dan bersifat 3. Semua yang positif mempunyai sifat
4. Semua K anggota L mempunyai sifat
Bentuk simbolis dari kalimat-kalimat tersebut adalah:
1.
-Kalimat tersebut dapat juga ditulis:
dan dibaca: Terdapat suatu positif yang bersifat . 2. 1 0 L - 2
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: 0 L
dan dibaca: terdapat suatu elemen L yang bersifat
3. 1 2
Kalimat tersebut dapat juga ditulis:
dan dibaca: Semua positif mempunyai sifat
Simbolisasi dari kalimat tersebut bukan: 1 - 2# karena terjemahan dari - adalah
“Setiap pasti positif dan mempunyai sifat Kalimat ini tidak sesuai dengan kalimat aslinya.
4. 1 0 L 2
Kalimat tersebut dapat juga ditulis: 0 M
Bentuk ingkaran dari kalimat-kalimat dalam contoh di atas adalah: 1. (((((((((((((((((((( yaitu -(((((((((((((((((((((((((( -((((((((((((((((((( ((((((((( (((((( 0 L (((((( 0 L ((((((( #
dan dibaca: Semua elemen M tidak mempunyai sifat . 2. ((((((((((((((((((( yaitu 0 L 0 L -(((((((((((((((((((((((((( 0 L -(((((((((((((((((((( 0 L ((((((((( (((((((( 0 L (((((( 0 L ((((((,
dan dibaca: Semua elemen M tidak mempunyai sifat 3. (((((((((((((((((((( yaitu 1 0 L 2 (((((((((((((((((((((((((((( 0 L ((((((((( ((((((((((((((((((( 0 L - (((((( 0 L ((((((,
dan dibaca: Terdapat elemen M yang tidak mempunyai sifat .
Contoh 3.2.3 Tentukanlah negasi (ingkaran) dari kalimat-kalimat berikut ini, jika semestanya adalah himpunan orang-orang.
1. Bagi wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75meraih derajad cumlaude.
2. Ada bayi yang berat badan lahirnya kurang dari 2 kg yang tidak dimasukkan ke dalam inkubator.
3. Setiap mahasiswa semester satu harus mengambil kalkulus I. Penyelesaian:
1. Kalimatnya sama artinya dengan kalimat, setiap wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75 mempunyai derajad cumlaude, sehingga ingkarannya adalah ada wisudawan yang memiliki IPK lebih dari 3,75 tapi tidak meraih derajad cumlaude. 2. Ada bayi yang berat badan lahirnya kurang dari 2 kg pasti dimasukkan ke dalam
inkubator.
3. Ada mahasiswa semester satu yang tidak harus mengambil kalkulusI. Kalimat ini sama artinya dengan kalimat: “Ada mahasiswa semester satu yang diperbolehkan tidak mengambil kalkulus I”.
Contoh 3.2.4 Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini. 1. Sekurang-kurangnya ada satu yang mempunyai sifat .
2. Paling banyak ada satu yang mempunyai sifat . 3. Hanya ada satu yang mempunyai sifat .
4. Paling banyak ada satu bilangan positif yang bersifat . 5. Sekurang-kurangnya ada dua bersifat .
6. Paling banyak ada dua elemen N yang bersifat . Penyelesaian: 1. . 2. - . Ekuivalen dengan ! (((((( (((((( . ! (((((((( . # ! - -((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
Perlu diperhatikan, bahwa kalimat ini mengandung arti di dalam semestanya tidak ada kepastian ada yang bersifat . Namun jika yang memenuhi sifat , maka elemen sedemikian tunggal adanya.
3. - . Kalimat ini berbeda dengan kalimat 2, sebab adanya elemen yang bersifat dijamin ada dan tunggal.
4. - - - .
5. ! - - .
6. : 1 - - : 2 : : .
Contoh 3.2.5 Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan bulat. Tulislah dengan simbolisma logika kalimat-kalimat berikut ini.
1. Untuk setiap bilangan positif 0 terdapat bilangan positif O yang bersifat IOI 0. 2. Ada bilangan P yang memenuhi untuk setiap bilangan positif Q terdapat bilangan
positif O yang bersifat IOI 0. Untuk setiap bilangan positif O sedemikian hingga untuk setiap anggota NR yang memenuhi I *I O berlaku IS PI 0 3. Ada bilangan P sedemikian hingga untuk bilangan positif 0 terdapat bilangan positif
O sedemikian hingga untuk setiap anggota NR yang memenuhi I *I O
berlaku IS PI 0. Latihan 3.2
1. Tentukan negasi dari simbolisma-simbolisma logika kalimat-kalimat di dalam Contoh 3.2.4, kemudian terjemahkan dengan bahasa sehari-hari.
2. Tentukan negasi dari simbolisma-simbolisma logika kalimat-kalimat di dalam Contoh 3.2.5, kemudian terjemahkan dengan bahasa sehari-hari
3. Diberikan semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real. Tentukanlah nilai kebenaran dari ungkapan-ungkapan berikut ini:
3.1 1 0 2I I 0 .
3.2 0 TUQ V W X 0 . 3.3 F 0 I9I F .
Tulislah dalam bentuk simbolisma logika! 4. Tulislah definisi YZ[ \ ] untuk ^ _. 5. Tulislah definisi YZ[ \ ] untuk ^ _ . 6. Tulislah definisi YZ[ \ ] untuk ^ _`.
7. Tulislah definisi fungsi \ tidak mempunyai limit di _. 8. Tulislah definisi fungsi \ mempunyai derivatif di _. 9. Tulislah definisi fungsi \ kontinu di _.
10. Tulislah definisi fungsi \ tidak kontinu di _ 11. Paling banyak ada dua dimana \ tidak kontinu di . 12. Fungsi \ kontinu pada interval a.
13. Fungsi \ mempunyai derivatif di setiap Q a kecuali mungkin di _.
