xv ABSTRAK
Yunita Widyastuti. 2007. Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan yang dialami oleh siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif yang dilakukan di SMA Immanuel Kalasan pada bulan Maret 2007. Subyek dalam penelitian ini adalah 4 siswa kelas X. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah video rekaman dan wawancara. Metode analisis data yang digunakan adalah deskriptif kualitatif, yang mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau status fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.
Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini yaitu siswa melakukan : (1) kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (2) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (3) kesalahan dalam
memahami konsep bentuk pangkat, (4) kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan, (5) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (6) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian,
(7) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (8) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu
xvi ABSTRACT
Yunita Widyastuti. 2007. The Analysis of Difficulty and Error of Immanuel Kalasan Senior High School Students in Transforming Root Form into Rank Form of Logarithm Subject. Thesis. Study Program of Mathematics Education. Majors of Natural Sciences and Mathematics Education. Faculty of Education and Teachership. Sanata Dharma University.
This research aimed to identify errors and difficulties faced by Immanuel Kalasan Senior High School students class X in transforming root form into rank form in logarithm subject. This is a descriptive qualitative research conducted at Immanuel Kalasan Senior High School students during March 2007. The subjects of this research were 4 students class X. The data gathering methods used in this research were video recording and interview. The data analyzing method used in this research was descriptive qualitative which describes situation or actual fenomena status.
i
ANALISIS KESALAHAN DAN KESULITAN SISWA KELAS X SMA IMMANUEL KALASAN DALAM MENGUBAH BENTUK AKAR
MENJADI BENTUK PANGKAT PADA POKOK BAHASAN LOGARITMA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
YUNITA WIDYASTUTI NIM : 031414008
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
iv
Motto dan Persembahan
Dan apa yang tidak terpandang dan yang hina bagi dunia, dipilih Allah, bahkan apa yang tidak berarti, dipilih Allah untuk meniadakan apa yang berarti. ( I Korintus 1 : 28 )
Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya. ( Pengkotbah 3 : 11 ) Tidak ada yang mustahil bagi orang yang percaya! ( Markus 9 : 23 )
Nilai yang terpenting dari sebuah kebahagiaan dalam hidup ini adalah memiliki sesuatu untuk dilakukan, sesuatu untuk dicintai, dan sesuatu untuk diharapkan.
Skripsi ini kupersembahkan untuk : Tuhan Yesus Kristus
Bapak dan Ibu tercinta
Mbak Rini dan Mas Bambang Mas Sarwoto
Adhi dan Berna Nunung
vii
KATA PENGANTAR
Puji Tuhan penulis mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang senantiasa melimpahkan berkatNya sehingga skripsi yang berjudul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “ ini dapat penulis selesaikan.
Skripsi ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan, Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa tersusunnya skripsi ini tidak lepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak yang dengan tulus membantu penulis dalam mengatasi segala rintangan maupun kesulitan yang penulis hadapi. Oleh karena itu, penulis bersyukur dan berterima kasih kepada :
1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma 2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sanata Dharma
3. Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma 4. Bapak Dr. Susento, M. S., selaku pembimbing yang berkenan memberikan
pengarahan dan bimbingan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 5. Ibu Dra. Sri Trismiyati selaku Kepala SMA Immanuel Kalasan yang telah
memberikan ijin bagi penulis untuk melaksanakan penelitian.
6. Bapak dan Ibu Guru serta seluruh karyawan SMA Immanuel Kalasan yang dengan ramah memberikan waktu kepada penulis selama melaksanakan penelitian.
7. Bapak, Ibu, Mbak Rini, Mas Bambang, Mas Sarwoto, Adhi dan Berna yang selalu memberikan dukungan baik moril maupun materiil.
viii
9. Kezia, Renaldo, Rid, Thomas, dan Titik yang telah membantu penulis selama penelitian.
10. Teman – teman Pendidikan Matematika 2003 yang telah memberikan dukungan.
11. Semua pihak yang membantu penyusunan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis dengan senang hati menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi kemajuan penulis. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan dan Tuhan memberkati.
Yogyakarta, 21 Februari 2008
ix
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 21 Februari 2008
Penulis
x DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL………i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………. ....ii
HALAMAN PENGESAHAN………iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN………...iv
KATA PENGANTAR……….v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………vii
DAFTAR ISI……….viii
DAFTAR TABEL………x
DAFTAR GAMBAR………..xi
DAFTAR LAMPIRAN………..xii
ABSTRAK………xiii
ABSTRACT………..xiv
BAB I PENDAHULUAN……….1
A. Latar Belakang Masalah………..1
B. Rumusan Masalah………...2
C. Batasan Istilah………...2
D. Tujuan Penelitian ………...3
E. Manfaat Penelitian………..3
F. Sistematika Penulisan………...4
BAB II LANDASAN TEORI………...6
A. Pengertian Kesalahan………..6
B. Kategori Jenis Kesalahan………6
C. Faktor Penyebab Kesalahan………..10
D. Pengertian Kesulitan Belajar……….12
E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar………...13
F. Gejala – Gejala Kesulitan Belajar……….14
G. Bentuk Pangkat……….15
H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………...16
xi
BAB III METODE PENELITIAN……...……….27
A. Metode Penelitian…….………...………..27
B. Subyek dan Obyek Penelitian………...27
C. Teknik Pengumpulan Data………....29
D. Instrumen Penelitian………..29
E. Teknik Analisis Data………...30
BAB IV ANALISIS DATA………..32
A. Hasil Observasi……….32
B. Transkripsi Data………....32
C. Topik Data………..………...32
D. Kategori Data………....39
BAB V HASIL PENELITIAN………....51
A. Kesalahan Subyek..………...51
B. Kesulitan Subyek…….……….54
BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN………....58
A. Kesalahan Subyek……...………..58
B. Faktor Penyebab Kesalahan………..62
C. Kesulitan Subyek………...………...63
D. Faktor Penyebab Kesulitan Subyek…………...………...67
E. Gejala – Gejala Kesulitan Subyek……….68
F. Bentuk Pangkat……….68
G. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………...69
H. Logaritma………..70
BAB VII PENUTUP..………...71
A. Kesimpulan………...71
B. Saran………...72
DAFTAR PUSTAKA………73
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi...33
Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha...35
Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno...36
Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata...36
Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi………37
Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha... 38
Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno...39
Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata...39
Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...40
Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...40
Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...41
Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...41
Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...41
Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...42
Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...42
xiii
DAFTAR GAMBAR
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
1. Transkripsi Data………...74
2. Lembar Kerja Siswa………...82
3. Hasil Pekerjaan Siswa………..83
xv ABSTRAK
Yunita Widyastuti. 2007. Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan yang dialami oleh siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif yang dilakukan di SMA Immanuel Kalasan pada bulan Maret 2007. Subyek dalam penelitian ini adalah 4 siswa kelas X. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah video rekaman dan wawancara. Metode analisis data yang digunakan adalah deskriptif kualitatif, yang mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau status fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.
Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini yaitu siswa melakukan : (1) kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (2) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (3) kesalahan dalam
memahami konsep bentuk pangkat, (4) kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan, (5) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (6) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian,
(7) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (8) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu
xvi ABSTRACT
Yunita Widyastuti. 2007. The Analysis of Difficulty and Error of Immanuel Kalasan Senior High School Students in Transforming Root Form into Rank Form of Logarithm Subject. Thesis. Study Program of Mathematics Education. Majors of Natural Sciences and Mathematics Education. Faculty of Education and Teachership. Sanata Dharma University.
This research aimed to identify errors and difficulties faced by Immanuel Kalasan Senior High School students class X in transforming root form into rank form in logarithm subject. This is a descriptive qualitative research conducted at Immanuel Kalasan Senior High School students during March 2007. The subjects of this research were 4 students class X. The data gathering methods used in this research were video recording and interview. The data analyzing method used in this research was descriptive qualitative which describes situation or actual fenomena status.
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Bukan merupakan suatu hal yang mengherankan lagi jika sebagian besar siswa SD sampai siswa SMU beranggapan bahwa Matematika adalah mata pelajaran yang paling sulit dan menakutkan. Matematika dilihat sebagai situasi yang membuat seseorang tampak dungu, tolol, dan canggung. Oleh karena itu, maka Matematika dianggap merupakan ancaman bagi seseorang yang merasa dirinya seorang yang pandai dan berkemampuan.
Berdasarkan anggapan di atas, hal tersebut dapat mempengaruhi hasil belajar siswa. Padahal, hasil belajar seseorang tidak hanya mengenai aspek kemampuan mengerti Matematika sebagai pengetahuan, tetapi juga meliputi aspek sikap terhadap Matematika dan aspek ketrampilan dalam Matematika.
Melihat kenyataan bahwa sampai sekarang masih banyak siswa yang mengalami kesulitan dalam belajar Matematika, kiranya perlu diketahui
selengkap mungkin aspek – aspek yang diduga mempunyai hubungan ( relevansi ) dengan pembelajaran Matematika agar aspek – aspek tersebut
dapat diperhatikan dalam proses pembelajaran siswa secara optimal, sehingga proses belajar siswa dapat berlangsung dengan lebih lancar dan siswa memperoleh manfaat yang sebesar mungkin dari kegiatan belajar tersebut ( Suwarsono, 1998 : 25 ).
Dari sedikit pengalaman penulis selama mengajar, penulis sering menjumpai siswa melakukan kesalahan dan kesulitan dalam menyelesaikan soal Matematika, ini disebabkan karena kurangnya pemahaman siswa terhadap soal yang diberikan sehingga menyebabkan siswa mengerjakan soal tidak sesuai dengan maksud soal tersebut. Selain itu disebabkan juga karena siswa kurang menguasai konsep-konsep dalam Matematika.
Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik untuk mengetahui kesalahan-kesalahan dan kesulitan-kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penulis memilih mengetahui kesalahan - kesalahan dan kesulitan - kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat karena mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat merupakan langkah awal dalam menyelesaikan soal logaritma yang memuat bentuk akar.
Mengingat betapa pentingnya pemahaman terhadap materi pelajaran Matematika khususnya dalam hal menyelesaikan soal, maka penulis ingin menyusun skripsi dengan judul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “.
B. Rumusan Masalah
1. Kesalahan – kesalahan apa saja yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ?
2. Kesulitan – kesulitan apa saja yang dialami siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ?
C. Batasan Istilah
1. Kesalahan adalah hasil tindakan yang tidak tepat atau menyimpang dari aturan atau norma – norma tertentu.
3. Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
4. Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.
5. Bentuk pangkat bulat positif adalah jika a merupakan bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebihdari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a.
6. Bentuk pangkat bulat negatif adalah misalkan a ∈ R dan a ≠0, maka a-n adalah kebalikan dari anatau sebaliknya.
a-n = atau an = a1−n
D. Tujuan Penelitian
1. Mendeskripsikan kesalahan – kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma.
2. Mendeskripsikan kesulitan – kesulitan yang dialami siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma.
E. Manfaat Penelitian 1. Bagi Siswa
2. Bagi Penulis
Penelitian ini memberikan pengalaman dalam meningkatkan wawasan sebagai calon guru sehingga ketika terjun ke lapangan, peneliti dapat mempersiapkan metode – metode pembelajaran yang sesuai agar materi yang disampaikan dapat dipahami siswa sehingga dapat mengurangi kesalahan dan kesulitan dalam menentukan penyelesaian dari soal – soal Matematika.
3. Bagi Guru
Hasil penelitian ini diharapkan dapat membantu guru menyusun program remidi bagi siswa yang mengalami kesalahan dan kesulitan belajar Matematika, khususnya dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Dengan mengetahui kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengerjakan soal-soal bentuk akar pada pokok bahasan logaritma ini, guru akan lebih mudah membuat program bantuan untuk siswa.
F. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN
Dalam bab I akan diuraikan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II LANDASAN TEORI
Dalam bab II akan diuraikan mengenai hasil kajian pustaka yang relevan dengan permasalahan yang diangkat.
BAB III METODE PENELITIAN
Dalam bab III akan diuraikan mengenai jenis, waktu, tempat, subyek dan obyek penelitian, serta metode pengumpulan dan analisis data.
BAB IV ANALISIS DATA
siswa, menentukan kategori data kesalahan dan kesulitan siswa. Kategori data disajikan dalam bentuk tabel dan diagram pohon. BAB V HASIL PENELITIAN
Dalam bab V penulis menyajikan hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Akan diuraikan mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal.
BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN
Dalam bab VI akan diuraikan mengenai analisis terhadap cara penyelesaian soal siswa untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa.
BAB VII PENUTUP
BAB II LANDASAN TEORI
A. Pengertian Kesalahan
Pengertian kesalahan secara umum adalah sesuatu yang menyimpang dari aturan atau norma – norma tertentu. Tindakan yang tidak tepat itu dapat mengakibatkan tujuan tidak tercapai secara maksimal atau bahkan gagal. Kesalahan dalam Matematika bisa berarti, sebagai pemahaman yang tidak tepat atau tidak rasional dalam mempelajari suatu masalah, sehingga banyak kesulitan yang dihadapi, bahkan masalah tidak dapat diselesaikan. Sebagai contoh, siswa salah dalam melakukan perhitungan atau salah di dalam menerapkan rumus untuk menentukan penyelesaian.
B. Kategori Jenis Kesalahan
Beberapa tokoh yang telah melakukan penelitian mengenai kesalahan dalam Matematika, diantaranya adalah :
1. Cox (1975) dari Pasifik Lutheran University, mengadakan penelitian tentang kesalahan - kesalahan dalam keterampilan berhitung terhadap kurang lebih 700 anak. Keterampilan berhitung ini oleh Cox, dibagi menjadi keterampilan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Siswa yang diikutsertakan dalam penelitian ini sudah mendapat pelajaran tentang algoritma dan trampil mengerjakan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan algoritma. Dalam penelitiannya Cox mengajukan tiga kategori kesalahan, yaitu : a. Kesalahan Sistematis
Kesalahan sistematis lebih mengarah pada cara kerja siswa yang salah atau kurang tepat, di mana kesalahan yang dilakukan sama dan berulang pada beberapa soal lain.
b. Kesalahan Random
Kesalahan random adalah kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengerjakan soal - soal Matematika dengan pola kesalahan yang berbeda.
c. Kesalahan Kecerobohan
Ketidaktelitian siswa dalam mengerjakan soal adalah hal yang sering kita jumpai dalam keseharian siswa. Ketidaktelitian ini merupakan kecerobohan siswa. Siswa yang termasuk dalam kategori ini dapat dilihat dari seberapa besar bobot kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Kalau bobot kesalahannya tidak terlalu besar atau bahkan sangat sedikit, maka kita dapat mengatakan bahwa kesalahan tersebut merupakan suatu kecerobohan.
2. Robert (1988) mengidentifikasi kategori kesalahan dalam studi kasus tentang penulisan hasil perhitungan siswa sebagai berikut:
a. Kesalahan Operasi
Kesalahan operasi sering terjadi pada siswa karena siswa berusaha untuk menjawab dengan melakukan operasi yang biasanya tidak dilakukan untuk menyelesaikan masalah.
b. Kesalahan Perhitungan
c. Jawaban Acak
Tingkat kategori ini hampir sama dengan kesalahan kecerobohan yang dikategorikan oleh Cox. Tetapi kategori jawaban acak yang diklasifikasikan oleh Robert ini menekankan pada pekerjaan siswa yang sembarangan tanpa berfikir rasional. Siswa sama sekali tidak memperhatikan cara operasi mana yang dipakai, tidak melakukan penghitungan dengan benar, juga tidak menggunakan algoritma tertentu dalam menyelesaikan masalah, tetapi secara langsung menjawab, sehingga jawaban yang diberikan tidak ada hubungannya dengan masalah yang ditanyakan.
3. Hadar dkk (1987) mengemukakan kategori jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal - soal Matematika sebagai berikut :
a. Kesalahan data
Kategori ini merupakan kesalahan - kesalahan yang dapat dihubungkan dengan ketidaksesuaian antara data yang diketahui dengan data yang dikutip oleh siswa. Kategori ini meliputi kesalahan - kesalahan : 1) Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal 2) Mengabaikan data penting yang diberikan
3) Menguraikan syarat - syarat (dalam pembuktian, penghitungan) yang sebenarnya tidak dibutuhkan dalam masalah
4) Mengartikan informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya 5) Mengganti syarat yang ditentukan dengan informasi lain yang tidak
sesuai
b. Kesalahan menginterpretasikan bahasa Yang termasuk dalam kategori ini adalah :
1) Mengubah bahasa sehari-hari ke dalam bentuk persamaan Matematika dengan arti yang berbeda
2) Menuliskan simbol dari suatu konsep yang artinya berbeda 3) Salah mengartikan grafik
c. Kesalahan menggunakan logika untuk menarik kesimpulan
Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan - kesalahan di dalam menarik kesimpulan dari suatu bentuk informasi yang diberikan atau dari kesimpulan sebelumnya yaitu :
1) Dari pernyataan bentuk implikasi p Ö q, siswa menarik kesimpulan sebagai berikut :
a) bila q diketahui terjadi, maka p pasti terjadi b) bila p diketahui salah, maka q juga pasti salah
2) Mengambil kesimpulan yang tidak benar, misalnya memberikan q sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul.
d. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema
Kesalahan ini merupakan penyimpangan dari prinsip, aturan, teorema atau definisi yang pokok dan khas.
e. Penyelesaiannya tidak diperiksa kembali
Kesalahan ini terjadi pada setiap langkah yang ditempuh oleh siswa benar, akan tetapi hasil terakhir yang diberikan bukan penyelesaian dari soal tersebut.
f. Kesalahan teknis
C. Faktor Penyebab Kesalahan
Secara umum kesalahan dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok besar, yaitu faktor kognitif dan faktor non kognitif. Akan tetapi, penulis hanya akan membahas faktor-faktor kognitif saja.
Faktor kognitif adalah segala sesuatu yang berhubungan dengan kemampuan intelektual siswa dalam memproses atau mencerna materi Matematika ke dalam pikiran (Suwarsono,1982).
Marpaung (1986), mengatakan kognitif adalah sesuatu yang bersifat internal, sesuatu yang tidak dapat diamati secara langsung. Marpaung mengatakan kognitif berarti proses dalam pikiran seseorang (tidak dapat diamati secara langsung tetapi dapat diteliti dengan menyusun model-model dengan menggunakan kemampuan interpretasi terhadap data yang dikumpulkan melalui cara - cara atau metode tertentu) dari saat menerima data, mengolahnya lalu menyimpan dalam bentuk informasi di dalam ingatan dan memanggilnya kembali saat dibutuhkan dalam rangka pengolahan selanjutnya.
Banyak siswa tidak dapat memahami dengan baik Matematika karena mempunyai kemampuan mental yang kurang. Menurut Marpaung, ada 9 kemampuan mental yang hendaknya dikuasai siswa yaitu :
1. Kemampuan Membandingkan
Kemampuan membandingkan adalah kemampuan untuk melihat kesamaan atau perbedaan masalah - masalah Matematika yang dihadapi.
2. Kemampuan Mengatur
Kemampuan mengatur adalah kemampuan untuk mentaati aturan - aturan yang ada dalam Matematika.
3. Kemampuan melakukan Abstraksi
seorang anak gagal melakukan pendewasaan mental, kemungkinan anak akan banyak mengalami masalah dalam pemahaman konsep - konsep Matematika secara umum.
4. Generalisasi
Generalisasi adalah suatu proses memperoleh sifat yang sama yang dimiliki oleh sejumlah obyek berdasarkan pengamatan terhadap himpunan bagian dari obyek tersebut. Dalam konteks sehari-hari, generalisasi sering diartikan sebagai kemampuan seseorang untuk menarik kesimpulan dari khusus ke umum.
5. Kemampuan Klasifikasi
Kemampuan klasifikasi adalah kemampuan menggolongkan obyek atau menetapkan hubungan antarkelas.
6. Kemampuan Konkritisasi atau Partikulasi
Kemampuan konkritisasi atau partikulasi adalah kemampuan mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal - hal khusus.
7. Kemampuan Formalisasi
Kemampuan formalisasi adalah kemampuan untuk melihat bentuk dan berfikir secara formal dan menghilangkan makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih abstrak.
8. Kemampuan Analogisasi
Kemampuan analogisasi adalah kemampuan untuk melihat hubungan yang sama atau sifat yang sama dalam dua situasi yang berbeda. 9. Kemampuan Representasi
representasi dalam modus simbolik dilakukan melalui lambang - lambang atau simbol - simbol.
Dari sembilan kemampuan yang harus dimiliki siswa dalam memahami Matematika, nampak bahwa diperlukan kemampuan intelektual yang cukup untuk dapat memenuhi kemampuan - kemampuan tersebut. Apabila seseorang mempunyai kemampuan intelektual terbatas, sehingga lamban dalam memahami Matematika, dapat terjadi kemungkinan kemampuan - kemampuan mental yang seharusnya dikuasai menjadi tidak dikuasai sehingga menjadi penyebab kesalahan sering terjadi pada siswa.
D. Pengertian Kesulitan Belajar
Kesulitan belajar tidak selalu disebabkan oleh faktor intelegensi yang
rendah (kelainan mental), akan tetapi dapat juga disebabkan oleh faktor - faktor non intelegensi. Oleh karena itu, IQ yang tinggi belum tentu menjamin keberhasilan belajar. Abu Ahmadi dan Widodo Supriyono (1991) mendefinisikan kesulitan belajar adalah keadaan yang dialami anak didik atau siswa yang tidak dapat belajar sebagaimana mestinya. Kesulitan belajar yang dialami mengakibatkan terganggunya atau terhambatnya proses belajar dan pencapaian tujuan pendidikan sekolah itu.
E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar
Menurut Burton, faktor - faktor penyebab timbulnya kesulitan belajar dikelompokkan menjadi 2 macam yaitu :
1. Faktor - faktor yang terdapat dalam diri siswa, antara lain : a. Kelemahan secara fisik, seperti :
1) Suatu pusat susunan syaraf tidak berkembang secara sempurna, luka atau cacat, atau sakit, sehingga membawa gangguan emosional.
2) Penyakit menahun (seperti asma) menghambat usaha - usaha belajar secara optimal.
b. Kelemahan - kelemahan secara mental (sejak lahir atau karena pengalaman) yang sukar diatasi oleh individu yang bersangkutan dan juga oleh pendidikan, antara lain :
1) Kelemahan mental ( taraf kecerdasan kurang )
2) Faktor - faktor afektif yang kurang optimal, seperti kekurangan minat, kebimbangan, kurang usaha, kurang semangat, cara belajar yang keliru dan lain - lain
c. Gangguan - gangguan emosional, antara lain : 1) Adanya rasa tidak aman
2) Penyesuaian yang salah terhadap orang - orang, situasi dan tuntutan tugas dan lingkungan
3) Tercekam rasa phobia ( takut, benci dan anti pati )
d. Tidak memiliki ketrampilan - ketrampilan dan pengetahuan dasar yang diperlukan seperti : ketidakmampuan membaca, berhitung, kurang menguasai pengetahuan dasar untuk sesuatu bidang studi yang sedang diikutinya, kurang menguasai bahasa asing yang diperlukan. 2. Faktor-faktor yang terletak di luar diri siswa (situasi sekolah, keluarga dan
masyarakat) antara lain :
b. Ketidaksesuaian standar administratif (sistem pengajaran, penilaian, pengelolaan kegiatan dan pengalaman belajar mengajar), dan sebagainya.
c. Terlalu berat beban belajar (siswa) dan atau mengajar (guru), terlampau besar populasi siswa dalam kelas, terlalu berat menuntut kegiatan di luar, dan sebagainya.
d. Terlalu sering pindah sekolah, tinggal kelas, dan sebagainya.
e. Kelemahan dari sistem belajar mengajar pada tingkat - tingkat pendidikan sebelumnya.
f. Kelemahan yang terdapat pada kondisi rumah tangga (pendidikan, status sosial ekonomi, keutuhan keluarga, ketentraman dan keamanan sosial psikologis).
g. Terlalu banyak kegiatan di luar jam pelajaran sekolah atau terlalu banyak terlibat dalam kegiatan ekstra kurikuler.
h. Kekurangan makan (gizi) dan sebagainya.
F. Gejala - Gejala Kesulitan Belajar
Murid yang mengalami kesulitan belajar memiliki hambatan - hambatan sehingga menampakkan gejala - gejala yang dapat
diamati oleh orang lain (guru atau pembimbing). Beberapa gejala yang dapat menimbulkan kesulitan belajar menurut Abu Ahmadi (1991) adalah :
1. Menunjukkan prestasi yang rendah atau di bawah rata - rata yang dicapai oleh kelompok kelas.
2. Hasil yang dicapai tidak seimbang dengan usaha yang dilakukan.
3. Lamban dalam melakukan tugas - tugas belajar, seperti dalam mengerjakan soal - soal, dalam menyelesaikan tugas - tugas, dan sebagainya.
4. Menunjukkan sikap yang kurang wajar seperti acuh tak acuh, berpura - pura, dusta dan lain - lain.
G. Bentuk Pangkat
1.Definisi Pangkat Bulat Positif
Jika a adalah bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a.
Definisi ini dituliskan secara sederhana sebagai : an = a × a × a × … × a × a × a
n buah faktor
dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen.
Contoh :
a. Perkalian berulang 2 × 2 × 2 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23.
Jadi, 2 × 2 × 2 = 23.
b. Perkalian berulang 4 × 4 × 4 × 4 × 4 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 45.
Jadi, 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45.
Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a disebut bilangan pokok dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen.
Definisi :
Jika n = 1, maka an = a1 dan ditetapkan a1 = a Jika n = 0, maka an = a0
Untuk a ≠0, maka a0 = 1
Untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi 2. Definisi Pangkat Bulat Negatif
Konsep bilangan pangkat bulat negatif didefinisikan sebagai berikut : misalkan a ∈ R dan a ≠0, maka a-nadalah kebalikan dari anatau sebaliknya.
a-n = an
1 atau an =
n a−
H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Bentuk Akar
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk perbandingan ba, dengan a merupakan bilangan real dan b ≠ 0.
Beberapa contoh bilangan rasional adalah 41, 7 2,
4 3,
9
15, dan sebagainya.
Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ba. Beberapa contoh bilangan irrasional adalah
3 , 5 , 7 , 10 , 3 6 , dan sebagainya.
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya
merupakan bilangan irrasional. Tanda bentuk akar adalah “ “. Akan
tetapi, tanda akar pada sebuah bilangan tidak menjamin bahwa bilangan itu merupakan bentuk akar, karena ada bilangan yang dituliskan dengan tanda akar hasilnya merupakan bilangan rasional.
Contoh :
1) 4 = 2 ( bilangan rasional )
2) 9 = 3 ( bilangan rasional )
3) 16 = 4 ( bilangan rasional )
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Beberapa bentuk akar seperti 8 , 12, dan 18 dapat disajikan
dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu dengan cara menyatakan bilangan di bawah tanda akar sebagai perkalian dua bilangan, dimana salah satu di antara kedua bilangan itu harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.
Sebagai contoh :
1) 8 = 4×2 = 4 × 2 = 2 2
2) 12 = 4×3 = 4 × 3 = 2 3
Jadi, untuk menyederhanakan bentuk akar dapat menggunakan sifat sebagai berikut .
Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku :
b
a× = a × b
Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.
3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan :
a c + b c = ( a + b ) c
dan
a c - b c = ( a - b ) c
Contoh :
i. 4 2 + 3 2 = ( 4 + 3 ) 2 = 7 2
ii. 7 5 - 4 5 = ( 7 – 4 ) 5 = 3 5
b. PerkalianBentuk Akar
Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan
sifat a × b = a×bdengan a dan b masing – masing bilangan positif.
Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan hasil kali bilangan bentuk akar.
Contoh :
i. 3 × 5 = 3×5 = 15
ii. 2 × 12 = 2×12 = 24 = 2 6
c. Menarik Akar Kuadrat
Jika a dan b merupakan bilangan – bilangan rasional ≥ 0, maka
bentuk (a+b)+2 ab dan (a+b)−2 ab dapat dituliskan sebagai (
a + b) dan ( a - b). Pengerjaan seperti itu dinamakan menarik
Perhatikan perkalian – perkalian berikut :
i. ( a + b)2 = ( a)2 + 2( a)( b) + ( b )2
= a + 2 ab + b
= ( a + b ) + 2 ab
Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :
(a+b)+2 ab = ( a + b)
ii. ( a - b)2 = ( a)2 - 2( a)( b ) + ( b)2
= a - 2 ab + b
= ( a + b ) - 2 ab
Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :
(a+b)−2 ab = ( a - b ) Contoh :
i. 5+2 6 = (3+2)+2 3.2
= 3 + 2
ii. 8−2 12 = (6+2)−2 6.2
= 6 - 2
d. Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan
Bagian penyebut sebuah pecahan dapat berbentuk akar. Pecahan
, ,
5 10 , dan
2 7 15
+ adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya
berbentuk akar. Penyebut – penyebut pecahan itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung pada bentuk pecahan itu.
2 3
1) Pecahan Berbentuk ab
Pecahan
b
a (a bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar),
bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan
itu dengan
b
b, sehingga pecahan tersebut menjadi :
b
2) Pecahan Berbentuk
b
dan b bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar. Hasil kali
pasangan bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan sifat distributif sebagai berikut :
( a + b ) ( a - b ) = a ( a - b ) + b( a - b )
Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk – bentuk akar sekawan, penyebut pecahan yang berbentuk
b
1. Untuk pecahan acb
Penyebut pecahan yang berbentuk
b a
c
± dapat dirasionalkan
dengan menggunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan
merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk ac b
± .
− pembilang dan penyebut dikalikan dengan (
Contoh :
Bilangan pecah adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk mn, m dan n adalah bilangan – bilangan bulat, dengan n ≠ 0 dan n
bukan faktor dari m.
Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi sebagai :
an
Perhatikan kembali manipulasi aljabar pada proses penarikan akar berikut :
a. Jika b2 = a, maka b2 = a atau b = a, dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0
b. Jika b3= a, maka 3 b3 = 3 a atau b = 3 a, dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0
Berdasarkan proses penarikan akar di atas, akar pangkat n dari suatu bilangan a dapat didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan – bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.
Untuk n = 2, maka b = 2 a= a dibaca sebagai akar kuadrat dari a.
Untuk n = 3, maka b = 3 a dibaca sebagai akar kubik dari a atau akar pangkat
tiga dari a.
Untuk n = n, maka b = n a dibaca sebagai akar pangkat n dari a.
Teknis perhitungan n a ditentukan melalui kaidah berikut ini :
a. Jika a positif, maka hanya dipilih sebuah bilangan positif b sehingga berlaku bn = a.
Misalnya :
416 , a = +16 dan n = 4
Bilangan b = +2 berlaku hubungan 24 = 16, sehingga 416 = 2.
Untuk b = -2, juga berlaku ( -2 )4 = 16, tetapi 416 = -2.
b. Jika a negatif dan n ganjil, maka ada sebuah bilangan negatif b sehingga berlaku bn = a.
Misalnya :
1) 3 −8 = -2, a = -8 dan n = 3
Bilangan b = -2 berlaku hubungan ( -2 )3 = -8, sehingga 3 −8= -2.
2) 4 −16= -2, a = -16 dan n = 4
Tidak ada bilangan real b yang apabila dipangkatkan 4 hasilnya (-16 ).
Jadi, 4 −16 bukan bilangan real.
Sehingga nilai bilangan b = n a dapat ditetapkan dengan menggunakan kaidah
atau aturan sebagai berikut :
1. Jika a > 0, maka n a ≥ 0
2. Jika a < 0 dan ganjil, maka n a < 0
Hubungan n a dengan an
Sehingga pangkat pecahan an
1
dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka
pangkat pecahan an
1
sama dengan akar pangkat n dari bilangan a :
an
1
= n a
b) Pangkat Pecahan an
, menggunakan sifat pangkat bulat positif
⇔an m
=
(
n a)
m, menggunakan definisi pangkat pecahan an
1
= n a
⇔ an m
= n am , menggunakan sifat perkalian bentuk akar
Dengan demikian, pangkat pecahan an m
dapat didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan a bilangan real, m bilangan bulat dan n bilangan asli ≥ 2, maka
pangkat pecahan an m
sama dengan akar pangkat n dari bilangan am.
I. Logaritma
1. Pengertian Logaritma
Pada definisi perpangkatan, bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dapat segera ditentukan.
Contoh :
Jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu juga dapat ditentukan.
Contoh :
1) 2... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4.
2) 9... = 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.
Pangkat itu sama dengan 2 1
.
Pangkat itu sama dengan 3, demikian seterusnya.
Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas, dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma ( disingkat log ) sebagai berikut :
a. 2... = 16, ditulis 2
log 16 = … dan nilai 2log 16 = 4.
b. 9... = 3, ditulis 9
log 3 = … dan nilai 9log 3 = 2 1
.
c. 10... = 1000, ditulis 10log 1000 = … dan nilai 10log 1000 = 3.
Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Berdasarkan uraian di atas, logaritma suatu bilangan dapat didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yangtidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ).
Untuk a > 0, maka : g
log a = x jika dan hanya jika gx = a Keterangan :
1) g disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan ketentuan 0 < g < 1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1 ).
a) Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10log 2 ditulis log 2.
b) Jika g = e ( e ≈ 2,7128… ) maka elog a ditulis sebagai ln a ( dibaca : logaritma natural dari a ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
2) a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan a > 0.
3) x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.
2. Sifat – sifat pokok logaritma : 1) glog gn = n
2) glog g = 1 3) glog 1 = 0
3. Sifat – sifat logaritma :
1) Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing – masing bilangan itu, ditulis :
glog ( a × b ) = glog a + glog b
2) Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing – masing bilangan itu, ditulis :
g log (
b a
) = glog a - glog b
3) Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, ditulis :
g
log an = n × glog a
4) Mengubah bilangan pokok logaritma :
g
5) Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat – sifat yang terdahulu : a) glog a × alog b = glog b
6) Sifat 6 adalah perluasan dari definisi logaritma :
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Metode Penelitian
Pada penelitian ini, penulis menggunakan penelitian dengan pendekatan deskriptif kualitatif yaitu penelitian yang menghasilkan data deskripsi yang berupa kata – kata tertulis maupun lisan dari orang atau perilaku yang sedang diamati. Penelitian deskriptif bertujuan untuk mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.
B. Subyek dan Obyek Penelitian
Subyek dalam penelitian ini adalah 4 orang siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Keempat subyek tersebut dipilih karena hasil pekerjaan keempat subyek paling rendah di antara subyek – subyek lainnya. Keempat subyek tersebut adalah :
1. Nama : Livi ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 17 tahun
Alamat : Kaliajir Lor RT 03 / RW 02, Kalitirto, Berbah, Sleman Anak ke : 1 ( satu )
Jumlah Saudara Kandung : 1 ( satu ) Pendidikan / Pekerjaan Ayah : D3 / Swasta Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SMP / Swasta
2. Nama : Martha ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 17 tahun
Alamat : Juwangen RT 04 / RW 01 No. 50 Anak ke : 1 ( satu )
Jumlah Saudara Kandung : 4 ( empat ) Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Buruh
Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SD / Ibu rumah tangga
3. Nama : Nuno ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 17 tahun
Alamat : Sumber Lor RT 05 / RW 28, Kalitirto, Berbah, Sleman Anak ke : 2 ( dua )
Jumlah Saudara Kandung : 1 ( satu )
Pendidikan / Pekerjaan Ayah : STh / Guru Kesenian Pendidikan / Pekerjaan Ibu : STh / Pendeta
4. Nama : Renata ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 16 tahun
Alamat : Kadirojo RT 08 / RW 02, Purwomartani, Sleman Anak ke : 3 ( tiga )
Jumlah Saudara Kandung : 2 ( dua ) Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Petani Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SD / Petani
Keempat subyek menyelesaikan soal yang diberikan oleh peneliti dan peneliti melakukan wawancara terhadap siswa untuk mencari informasi mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma. Sedangkan obyek penelitian ini adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.
SMA Immanuel adalah sekolah status swasta dan terakreditasi B yang terletak 15 km dari pusat kota Yogyakarta. Profil SMA Immanuel adalah sebagai berikut :
1. Nama Sekolah : SMA Immanuel 2. No. Statistik : 302040215043
3. Alamat : Gampar, Tamanmartani Kecamatan : Kalasan
Kabupaten : Sleman
Propinsi : Daerah Istimewa Yogyakarta Kode Pos : 55571
5. Nama Yayasan : Yayasan Immanuel Indonesia 6. Nomor Akte : 29
7. Tahun Berdiri : 1979 8. Luas Tanah : 1500 m2 9. Luas Bangunan : 1000 m2
C. Teknik Pengumpulan Data
Pengumpulan data dilakukan melalui proses wawancara terhadap subyek penelitian di dalam kelas yang dilakukan dengan perekaman video ( menggunakan alat bantu handycam ) dan kegiatan wawancara.
1. Video Rekaman
Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara melakukan pengamatan menggunakan handycam untuk merekam kegiatan siswa dalam menyelesaikan soal logaritma terutama dalam hal mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat.
2. Wawancara
Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara melakukan tanya jawab secara langsung terhadap para siswa, terutama mengenai hal – hal yang terkait dalam menyelesaikan soal.
D. Instrumen Penelitian
Dalam penelitian ini, instrumen yang digunakan yaitu instrumen untuk menggali kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat meliputi pembuatan LKS dan pertanyaan – pertanyaan yang akan diajukan untuk melakukan wawancara.
1. Lembar Kerja Siswa
dengan wawancara tentang cara penyelesaian soal. Soal – soal tersebut adalah :
Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen dan tentukan nilai tiap logaritma tersebut !
1. Log 100
Penyelesaian :
2. 2Log 8
Penyelesaian :
3. 3Log 3 27
Penyelesaian :
4. 4Log 64
Penyelesaian :
2. Pertanyaan untuk Melakukan Wawancara
E. Teknik Analisis Data
Analisis data dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut :
1. Transkripsi data rekaman video yakni data yang diperoleh dari lapangan ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci.
2. Menentukan topik data yakni rangkuman bagian data yang mengandung makna yang sedang diteliti.
3. Menentukan kategori – kategori data yakni gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama dalam sekelompok topik data.
4. Penarikan kesimpulan, yaitu kategori data – kategori data yang diperoleh diubah sehingga diperoleh suatu kesimpulan dari data tersebut.
BAB IV ANALISIS DATA
A. Hasil Observasi
Penelitian dilakukan tanggal 6 sampai dengan tanggal 10 Maret 2007 dengan subyek 4 orang siswa kelas X SMA. Data berupa cara siswa menyelesaikan soal yang telah direkam menggunakan handycam. Perekaman bertujuan untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa selama menyelesaikan soal tersebut.
B. Transkripsi Data
Transkripsi data yaitu data yang diperoleh dari lapangan ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci. Transkripsi data menghasilkan transkrip data yang disajikan dalam bentuk dialog antara peneliti dengan subyek penelitian.
C. Topik Data
Topik data adalah rangkuman bagian data yang mengandung makna yang sedang diteliti. Dalam penelitian ini, makna yang diteliti adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. Berikut disajikan topik data – topik data kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.
Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KH 1. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 256 pada soal
4
log 256 menjadi 4log 256 = 4log 2564, diperoleh dengan cara menghilangkan tanda akar
pada 256dan mengganti dengan bilangan 2564.
(1/5), (1/7-8)
2 KH 1. 2 Kesalahan dalam mengubah bilangan bulat
menjadi bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu : 4log 16 = 4log 44, dengan cara mengubah
bilangan 16 menjadi 44 yang diperoleh dari
44 = 4×4 = 16.
(1/7-8)
3 KH 1. 3 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 8 = 82 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.
(1/33-34), (1/49-150)
4 KH 1. 4 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 8 = 84, diperoleh dari setengah dari 8 adalah 4, sehingga 8 = 84.
(1/33), (1/39-40), (1/42)
5 KH 1. 5 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real
dengan bilangan bulat, yaitu : 82 = 16, diperoleh dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya yaitu 82 = 8 × 2 = 16.
(1/51-52)
6 KH 1. 6 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar
bilangan real, yaitu : 8 = 4 diperoleh dengan cara membagi dua bilangan 8 sehingga menghasilkan bilangan 4.
(1/49), (1/56)
7 KH 1. 7 Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap
hasil penarikan akar bilangan real, yaitu :
menjelaskan 8 = 4 dan 16 = 4, yang
diperoleh berdasarkan penjelasan siswa bahwa setengah dari 16 adalah 8 dan setengah dari
8 adalah 4, maka 8 = 16 = 4.
(1/57-64)
8 KH 1. 8 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 16 = 164, yang
diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.
(1/65-66)
9 KH 1. 9 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 16 = 160, yang
diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 0.
10 KH 1. 10 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real
dengan bilangan nol, yaitu : 160 = 16 diperoleh dengan cara mengalikan 16 dengan 0 dimana hasil kali 16 dengan 0 adalah tetap 16.
(1/73-74)
11 KH 1. 11 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 64 = 44 yang diperoleh
berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.
(1/89), (1/91-94)
12 KH 1. 12 Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap
perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat,
yaitu : hilangnya tanda akar pada bilangan 64
diakibatkan karena tanda akar tersebut jika diubah menjadi bentuk pangkat akan menjadi 44.
(1/89), (1/94-96)
13 KH 1. 13 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : a = a4, yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.
(1/101-102)
14 KH 1. 14 Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada
bentuk logaritma, yaitu : 4log 64 = 4log 4 = 4log 4 = 1, kemudian mengubah jawabannya menjadi : 4 . 4log 4 = 4 . 1 = 4.
(1/105), (1/107-110)
15 KH 1. 15 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 9 = 92 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.
(1/117-118)
16 KH 1. 16 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan
pecahan, yaitu : menjelaskan 94 1
= 3 karena setengahnya 9 hasilnya 6 dan seperempatnya 9 hasilnya 3.
(1/119-120)
17 KH 1. 17 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 9 = 93 1
diperoleh dari pemahaman siswa bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat bilangan 32.
(1/117), (1/124-126)
18 KH 1.18 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real
19 KH 1. 19 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan
pecahan, yaitu : 93
20 KH 1. 20 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 16 = 164
21 KH 1. 21 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan
pecahan, yaitu : 164 1
22 KH 1. 22 Kesalahan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : “ bahwa akar dari setiap bilangan yang berbeda, artinya juga berbeda “.
(1/141-142)
23 KH 1. 23 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 33 diperoleh dari
3 27hasilnya adalah 3 dan pangkat 3 pada tanda
akar adalah tetap sehingga 3 27 = 33.
(1/143-144)
24 KH 1. 24 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan
pecahan, yaitu : 273 1
Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KH 2. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 273 diperoleh dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar ke bilangan 27, sehingga bilangan 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari bilangan 27.
(2/9-10)
2 KH 2. 2 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 4 = 42 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.
3 KH 2. 3 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dengan cara mengalikan 4 dengan 2 sehingga menghasilkan 8.
(2/31-32)
4 KH 2.4 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dari 4 × 2 = 8.
(2/37-42)
5 KH 2. 5 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 4 = 44 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.
(2/45-46), (2/59-60)
Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KH 3. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 100 = 1002 yang
diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.
(3/6-7), (3/10), (3/15-16)
2 KH 3. 2 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 4 = 42 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.
(3/31-32)
3 KH 3. 3 Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat
suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada.
(3/39), (3/41), (3/44)
4 KH 3. 4 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar
bilangan real, yaitu : 1= tidak terdefinisi.
(3/45-48)
Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KH 4. 1 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar bilangan
real, yaitu : 64 = 8 × 8 = 64.
(4/11-14), (4/17-18)
2 KH 4. 2 Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk pecahan adalah tidak ada.
Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KS 1. 1 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan
4
log 256= … .
(1/5-6)
2 KS 1. 2 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 256 = ( 256 )....
(1/9-12)
3 KS 1. 3 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menentukan penyelesaian
4
log 44 dan 4log 4 .
(1/17), (1/19-20), (1/23-24)
4 KS 1. 4 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 38 = 8....
(1/28-32)
5 KS 1. 5 Kesulitan dalam menginterpretasikan bentuk akar
menjadi bentuk pangkat, yaitu : 8 = 82.
(1/35), (1/37-38)
6 KS 1. 6 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil penarikan akar bilangan real, yaitu :
menjelaskan 16 = 4.
(1/43), (1/45-46)
7 KS 1.7 Kesulitan dalam menyatakan argumen terhadap
hasil penarikan akar bilangan real, yaitu :
menjelaskan 8 = 4.
(1/57-58)
8 KS 1. 8 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk
pangkat, yaitu : menjelaskan 16 = 164.
(1/69-70)
9 KS 1. 9 Kesulitan dalam menginterpretasikan bilangan
pangkat pada bilangan real, yaitu : menjelaskan pangkat 2 pada angka 8.
(1/54), (1/75-76)
10 KS 1. 10 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menghitung hasil dari log 10.
(1/82-83)
11 KS 1. 11 Kesulitan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : menjawab pertanyaan “ akar = pangkat berapa ? “
(1/97-100)
12 KS 1. 12 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada
bentuk akar, yaitu : menghitung hasil dari 64.
(1/105-106)
13 KS 1. 13 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan
pecahan, yaitu : menjelaskan 94 1
= 3.
14 KS 1.14 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 27....
(1/143), (1/147-148)
15 KS 1. 15 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan
pecahan, yaitu : menjelaskan 273 1
= 3.
(1/153), (1/155-158)
Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KS 2. 1 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu :
3
log 3 27 = 3log 27....
(2/6-8)
2 KS 2. 2 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 27....
(2/7), (2/13-14)
3 KS 2.3 Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real
dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 273.
(2/15-16)
4 KS 2. 4 Kesulitan dalam melakukan penarikan akar
bilangan real, yaitu : menghitung hasil dari 81.
(2/17-18), (2/21-22)
5 KS 2. 5 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk
pangkat, yaitu : menjelaskan 4 = 42 = 8.
(2/32-36)
6 KS 2. 6 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap
hasil penarikan akar bilangan real, yaitu :
menjelaskan 4 = 4.
(2/43-44)
7 KS 2. 7 Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real
dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 44.
(2/47-48)
8 KS 2. 8 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 4 = 4....
(2/49-50)
9 KS 2. 9 Kesulitan dalam membedakan bilangan real
dengan bentuk akar, yaitu : membedakan bilangan
4 dengan bilangan 4 .
(2/51-52)
10 KS 2. 10 Kesulitan dalam menginterpretasikan pangkat
suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : menentukan ada atau tidaknya pangkat bilangan yang berbentuk bilangan pecahan.
(2/55-56)
Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KS 3. 1 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 100 = 100....
(3/7), (3/21-22)
Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata
NO. KODE TOPIK DATA DATA
1 KS 4. 1 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada
bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan 2log 3 8.
(4/2-6)
2 KS 4. 2 Kesulitan dalam melakukan penarikan akar bilangan
real, yaitu : menghitung hasil dari 64.
(/7), (4/9-10), (4/15-16)
3 KS 4.3 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi
bentuk pangkat, yaitu : 64 = 64....
(4/21-22)
D. Kategori Data
Kategori data adalah gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama yang terkandung di dalam sekelompok topik data. Dalam penelitian ini ditentukan kategori mengenai kategori kesalahan dan kesulitan siswa. Berikut disajikan kategori - kategori kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma dalam bentuk :
1. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data 2. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data
Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat
Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data
1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk
pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan.
KH 1.1, KH 1.4, KH 1.8, KH 1.13 b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk
pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan.
KH 1.3, KH 1.15
c. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat oleh karena pengertian subyek bahwa bentuk akar adalah pangkat nol.
KH 1.9
d. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pengertian subyek bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat 32.
KH 1.17
e. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman subyek bahwa 4 merupakan seperempat bagian dari 16.
KH 1.20
f. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pada tanda akar terdapat angka 3.
KH 1.23
g. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan 27 dibagi sepertiga adalah tiga.
KH 1.24
2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk akar
Kesalahan dalam memahami tanda akar sebagai pangkat empat. KH 1.11, KH 1.12,
KH 1.13 3. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar
a. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real.
KH 1.10, KH 1.18, KH 1.21, KH 1.24 b. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap
pembagian.
KH 1.16, KH 1.19, KH 1.20, KH 1.21, KH 1.24
c. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma.
KH 1.14
d. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan.
KH 1.6
4. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )
a. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan.
KH 1.7
b. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real.
KH 1.16, KH 1.19, KH 1.21
Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat
Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data
1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk
pangkat dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari 27.
KH 2.1
b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan.
KH 2.2