PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Integral merupakan salah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Ja-uh sebelum integral diperkenalkan, para matematikawan telah lebih dulu mengem-bangkan permasalahan dalam diferensiasi. Seiring dengan berkembangnya diferen-siasi, matematikawan berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebali-kan dengan solusi diferensiasi. Inilah yang menjadi awal mula lahirnya operasi inte-gral sebagai invers dari diferensiasi. Hingga kini, terus berkembangnya dunia ilmu pengetahuan telah menuntut untuk berkembang pula kalkulus beserta dua operasi yang melengkapinya, terutama integral.
Matematika, yang menjadi bidang ilmu paling utama dalam mengkonstruk-si dan merumuskan permasalah nyata ke dalam bentuk teori, menemui banyak permasalahan-permasalahan baru terkait penggunaan integral dalam penentuan so-lusi. Salah satu bentuk integral yang banyak diterapkan pada bidang-bidang ilmu selain matematika adalah bentuk integral singular.
Mengingat definisi dasar dari integral adalah sebagai jumlahan parsial dari sub bagian luasan di bawah kurva yang diintegralkan. Dari sini timbul permasalah-an baru, yaitu apabila terdapat titik pada kurva ypermasalah-ang menyebabkpermasalah-an kurva diskonti-nu di titik tersebut yang kemudian kurva ini disebut sebagai kurva fungsi singular, menjadikan penyelesaian analitis dari integral tidak dapat ditentukan secara eksak, ini yang selanjutnya disebut sebagai permasalahan integral singular. Dengan de-mikian, diperlukan adanya pendekatan secara numerik yang memungkinkan nilai solusi dari integral singular ini cukup dekat dengan solusi eksaknya. Pendekatan secara numerik permasalahan tersebut yang menjadi landasan penulisan skripsi ini. Penentuan solusi integral singular dengan menggunakan pendekatan nume-rik sangatlah sulit bila diselesaikan secara manual. Selain karena keterbatasan
gunaan iterasi, dalam penghitungan secara manual, kemungkinan terjadi human error dalam penghitungan juga cukup besar, sehingga sangat diperlukan penghi-tungan secara komputasional yang dapat dikerjakan dengan teknologi terkini agar penyelesaian numerik masalah integral singular dapat diselesaikan dengan cara yang jauh lebih efektif dan lebih efisien.
Untuk dapat diterapkan secara komputasional pada teknologi terkini, khu-susnya pada komputer, maka diperlukan program yang dapat menjalankan rangkai-an perintah-perintah berdasarkrangkai-an metode numerik yrangkai-ang diperoleh dari penurunrangkai-an matematis. Program yang akan digunakan disini adalah MATLAB, artinya diper-lukan bahasa yang dapat dimengerti oleh program MATLAB agar dapat menen-tukan solusi dari suatu permasalahan integral singular sesuai dengan numerisasi matematis. Karena keterbatasan kemampuan program, maka bahasa yang dapat di-implementasikan pada program MATLAB tidaklah sama dengan penulisan mate-matis yang dipahami manusia. Inilah alasan diperlukannya bahasa program yang dibentuk berdasarkan algoritma yang kemudian dialihbahasakan ke dalam bentuk syntaxMATLAB.
Uraian singkat ini yang melatarbelakangi penulis dalam menyusun skripsi mengenai kuadratur numerik untuk penyelesaian integral singular.
1.2. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana mengkonstruksi kuadratur numerik untuk mencari solusi integral singular dengan memanfaatkan polinomial Legendre?
2. Bagaimana menentukan algoritma untuk penerapan metode kuadratur nume-rik secara komputasional untuk program MATLAB?
3. Bagaimana akurasi solusi integral singular yang diperoleh dengan menggu-nakan kuadratur numerik terhadap solusi yang diperoleh dengan pendekatan pada titik diskontinu?
1.3. Batasan Masalah
Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada permasalahan integral di R pada interval[−1, 1]dengan jenis singularitas dalam bentuklog |x|,1x,x12.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mengkonstruksi rumus kuadratur numerik untuk menyelesaikan permasalah-an integral singular dengpermasalah-an singluaritas dalam bentuklog |x|, 1
x, 1 x2.
2. Menentukan algoritma dan syntax dari rumus kuadratur numerik untuk ma-salah integral singular dalam bentuklog |x|,1
x, 1
x2 yang dapat diterapkan pada
program MATLAB.
3. Memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) Program Studi Matemati-ka Universitas Gadjah Mada.
Manfaat yang diharapkan penulis dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Memberi pemaparan terkait penentuan solusi dari permasalahan integral, khu-susnya integral singular dalam bentuklog |x|,1x,x12, dengan pendekatan
seca-ra numerik.
2. Menjabarkan rumus kuadratur numerik untuk menentukan solusi numerik permasalahan integral singular, yang dapat diterapkan pada berbagai bidang, dengan kasus yang memuat permasalah integral singular.
3. Memberikan pemaparan algoritma dan syntax dari rumus kuadratur nume-rik untuk penyelesaian permasalahan integral singular agar dapat diterapkan secara komputasional, khususnya pada program MATLAB.
1.5. Tinjauan Pustaka
Pembahasan mengenai permasalahan integral secara analitis telah banyak dipaparkan di dunia matematika, diantaranya pemaparan oleh Apostol (1967).
Bahkan untuk beberapa permasalahan integral yang memuat integrand dalam fung-si yang cukup rumit, sehingga sangat sulit menentukan solufung-si analitiknya, telah diberikan juga pemaparan dan konstruksi metode numerik untuk memperoleh nilai pendekatan untuk solusi yang ditulis oleh Davis dan Rabinowitz (1984). Akan teta-pi, permasalahan integral yang dibahas masih dalam lingkup kasus untuk integrand dalam fungsi yang kontinu.
Dalam beberapa kasus permasalahan integral dengan integrand bukan fungsi yang kontinu, tetapi hanya diskontinu di satu titik saja, masih dapat ditentukan solu-si analitisnya sebagaimana yang dipaparkan oleh Bartle dan Sherbert (2011). Lebih jauh, permasalahan integral serupa ini memiliki banyak penerapan dalam berbagai bidang keilmuan eksakta lain, diantaranya di bidang fisika, yang dibenarkan oleh Arfken dan Weber (2005), Griffiths (2005). Untuk selanjutnya, permasalahan inte-gral dengan integrand fungsi yang diskontinu di suatu titik dalam domain fungsinya disebut dengan permasalahan integral singular
Karena penerapan permasalahan integral singular dalam bidang fisika me-nuntut integrand dalam fungsi yang cukup rumit untuk dapat diselesaikan secara manual, maka diperlukan adanya metode numerik untuk penentuan solusi dari ma-salah integral singular ini. Untuk integral singular sederhana dapat ditentukan me-tode numerik dalam penentuan solusi, hal ini dijamin dalam buku Kaplan (2002). Lalu, mengacu pada Whittaker dan Watson (1927), bahwa solusi hasil pendekatan numerik juga dapat diperoleh untuk integral singular yang tidak sederhana. Salah satu metode numerik yang dapat digunakan adalah dengan melalui konstruksi da-ri polinomial Legendre dan berbagai sifat yang menyertainya, ini dijelaskan oleh Ghorai (2011). Cara mengkonstruksi metode, yang dapat digunakan dalam penen-tuan solusi pendekatan numerik dari integral singular, secara matematis dijelaskan oleh Kolm dan Rokhlin (2000). Untuk alasan efektivitas dan efisiensi dalam pene-rapan metode ini, Kolm dan Rokhlin (2000) juga menjelaskan bagaimana memba-wa metode ini ke dalam bahasa yang dapat dipahami oleh program komputer.
1.6. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi literatur. Penelitian dimulai dari mengkaji polinomial Legendre dan sifat-sifat yang menyer-tainya melalui studi literatur dari sumber tulisan Arfken dan Weber (2005), Davis dan Rabinowitz (1984), Ghorai (2011), Griffiths (2005). Lalu, dengan memanfa-atkan konsep matematika lainnya, dikonstruksikan metode numerik untuk mencari solusi pendekatan permasalahan integral singular dengan studi literatur dari sumber Davis dan Rabinowitz (1984), Kolm dan Rokhlin (2000), Whittaker dan Watson (1927). Karena metode numerik yang dihasilkan memerlukan iterasi yang sangat banyak dan penghitungan dalam skala yang besar, maka perlu untuk menggunakan komputer dalam penghitungan. Algoritma dan syntax untuk menjalankan metode numerik ini pada program MATLAB dikonstruksi dengan mengkaji jurnal peneliti-an Kolm dpeneliti-an Rokhlin (2000). Terakhir, program diimplementasikpeneliti-an untuk menghi-tung permasalahan integral singular secara langsung, lalu permasalahan yang sama dihitung secara analitis dengan membagi interval integrasi berdasarkan hasil da-ri mengkaji buku Bartle dan Sherbert (2011) dan Kaplan (2002). Kedua hasil ini dibandingkan untuk melihat akurasi metode numerik yang dibahas pada skripsi ini.
1.7. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penu-lisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi uraian dan konsep dasar yang akan digunakan untuk pembahasan pa-da bab-bab selanjutnya.
BAB III POLINOMIAL LEGENDRE
sifat yang diperlukan untuk mengkonstruksi metode numerik penyelesaian perma-salahan integral.
BAB IV KUADRATUR NUMERIK UNTUK SINGULARITAS TUNGGAL DA-LAM BENTUKlog |x|,x1,x12
Bab ini berisi langkah-langkah dalam mengkonstruksi metode numerik untuk me-nentukan solusi dari permasalahan integral singular.
BAB V ALGORITMA DAN IMPLEMENTASI PROGRAM
Bab ini berisi algoritma yang akan digunakan untuk membuat syntax yang akan diimplementasikan pada program MATLAB. Selain itu, diberikan contoh sebagai hasil implementasi metode numerik dengan memanfaatkan program MATLAB. BAB VI PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan metode numerik yang dikaji pada skripsi ini, serta disajikan juga saran dari penulis untuk penelitian lanjutan.
