Ukuran Pemusatan, Penyebaran dan Pola Distribusi Normal

Ukuran Pemusatan, Penyebaran dan Pola

Distribusi Normal

-Ledhyane Ika Harlyan-

Pengolahan Data Perikanan (PIF 4107)

2 SKS (1-1)

Faculty of Fisheries and Marine Science Brawijaya University

2012

Tujuan Instruksional Khusus

 Mahasiswa dapat menggunakan analisis

statistika sederhana dengan berfokus ukuran pemusatan, ukuran penyebaran,pola distribusi normal.

Materi Kuliah

1. Ukuran Pemusatan 2. Ukuran Penyebaran

3. Perbandingan 2 ragam yang berbeda

4. Pola Distribusi Normal

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat)

….mendefinisikan ukuran-ukuran data numerik yg menjelaskan ‘ciri-ciri’ data.

--Pusat dari beberapa data lain---

o Berupa: 1. Rata-rata/ Nilai tengah (mean) 2. Median

3. Modus

Nilai tengah (mean)

Nilai tengah populasi/contoh  segugus data x1, x2, …xN (tdk harus semuanya berbeda) membentuk populasi N, maka nilai tengahnya :

8, 8,9,10,11,12,12  Nilai tengah?

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat)

Median

Segugus data yg telah diurutkan  pengamatan yg berada di tengah-tengah (jumlah data ganjil)

Contoh: 8, 8,9,10,11,12,12

 rata-rata kedua pengamatan yg di tengah (jumlah data genap)

Contoh: 1,5,8,10,12,15,19,20 Modus

Nilai yang terjadi paling sering atau yg mempunyai frekuensi paling tinggi Contoh: a. 9,10,5,9,9,7,8,6,10,11  9

b. 2,0,3,1,2,4,2,5,4,0,1,4  2 dan 4  bimodus c. 82,93,86,92,79  tdk memiliki modus

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat)

• Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.

• Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus

• Untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean >

median > modus.

Contoh: 9,10,5,9,9,7,8,6,10,11  gambarkanlah kurva ukuran pemusatan!

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat):

Arithmetic mean vs Geometric mean

1. Arithmetic mean/ mean (Rata-rata hitung) 2. Geometric mean

Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate) misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga dll.

atau Dimana : G = antilog (log G)

Contoh: Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :

1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 (%)

G = antilog 0.30928... = 2.03837....

n

x x x x

n

G 

₁



₂



₃

    

n

n 3

2

1 log x log x log x

x

= log G

log   

n

x x x x

n

G 

₁



₂



₃

    

⁵

x log x

log x

log x

log x

= log G

log ¹  ²  ³  ⁴  ⁵

5

2.5 log 1.2

log 3.4

log 2.3

log 1.5

log log    

 G

5

...

397 . 0 ...

079 . 0 ...

531 . 0 0.361...

0.176...

log    

 5 G

...

5464 .

log G  1

Ukuran keragaman

…”seberapa jauh pengamatan-pengamatan menyebar dari rata-ratanya..”

Mean=10 ; Median=10

Keseragaman : A > B;

Keragaman (dispersi keragaman) : A< B

Ukuran Keragaman dapat dihitung dari: 1. Wilayah 2. Ragam Wilayah

Beda antara pengamatan terbesar dan terkecil -hanya memperhatikan nilai ekstrem

- tdk berbicara ttg sebaran data

Contoh A 8 8 9 10 11 12 12

Contoh B 5 6 8 10 12 14 15

Ukuran keragaman

Ragam (Varian)

Simpangan dari nilai tengah  selisih nilai pengamatan dengan nilai tengahnya Untuk populasi maka simpangannya:

Ragam populasi Ragam contoh

TASK 1

Coba bandingkan ragam antara Contoh A & Contoh B!

Buktikan bahwa Contoh B memiliki ragam yg lebih tinggi dari Contoh A!

Ukuran keragaman

Simpangan Baku (Standar Deviasi)

…”simpangan baku adalah akar dari ragam”

= ukuran keragaman akan memiliki satuan yg sama

dengan satuan asalnya (dilakukan pengakaran thd ragam)

o Memperlihatkan keberagaman

o Memperlihatkan penyebaran data terhadap nilai rata-rata (expected value) o Semakin tinggi standar deviasi  data semakin tersebar jauh dari nilai tengah

Perbandingan 2 ragam

Dilakukan percobaan untuk mengetahui komposisi kandungan minyak goreng yang dihasilkan oleh 8 pabrik minyak goreng untuk menggoreng kerupuk ikan.

Masing-masing produk minyak digunakan untuk

menggoreng enam bungkus kerupuk dengan formula yang sama. Kerupuk yang berasal dari:

A. Pabrik A dan B menggunakan campuran bahan x B. Pabrik C, D dan E menggunakan campuran bahan y.

C. Pabrik F dan G menggunakan metode S

D. Pabrik I tidak menggunakan metode atau campuran

apapun.

 Apakah setiap perlakuan efektif untuk menghasilkan kerupuk yang berkualitas??

 Apakah ada perbedaan diantara 8 kerupuk (yg berasal dari 8 pabrik kerupuk)? Kalau ada, yang mana yang paling efektif?

 Apakah ada perbedaan yang nyata antara penggunaan bahan x dan y?

 Apakah ada perbedaan penggunaan kadar bahan x/y

terhadap kualitas kerenyahan kerupuk (hasil uji organoleptik dari beberapa responden)?

Pertanyaan yg mungkin muncul..

Perbandingan 2 ragam

 Banyak perlakuan :

Uji Fmengetahui fungsi (beda nyata) perlakuan

UJi Lanjutmengetahui perlakuan yang memiliki beda nyata paling baik

(Dunnet’s test, Fisher’s test, Tukey’s test)

 Dua perlakuan:

UJi t : 1. Populasi bebas ragam sama

ragam beda

2. Populasi dependen (berpasangan)

1. Dua populasi bebas (independen)

Dua populasi dikatakan bebas (independent) jika dua populasi tersebut mempunyai karakteristik yang

berbeda.

Hipotesis:

2 1

1

2 1

0

2 1

0

:

0 :

:





















H H atau H

PERBANDINGAN DUA PERLAKUAN:

Menggunakan Uji t

Contoh populasi bebas:

Dari data penelitian tentang upaya peningkatan efektivitas bahan alternatif pengganti tepung

ikan pada pakan buatan.

Data diambil pada dua kolam yang berbeda, kolam pertama menggunakan tepung A

sedangkan kolam kedua menggunakan tepung B. Apakah ada perbedaan respon terhadap

bobot rataan dari tepung A dan tepung B?

Data

Kolam 1/Tepung

A(A)

Kolam 2/Tepung

B(B) Data

Kolam 1/Tepung

A(A)

Kolam 2/Tepung

B(B)

1 260 332 11 269 335

2 280 310 12 296 327

3 298 319 13 264 324

4 288 317 14 267 328

5 279 320 15 268 334

6 290 316 16 272 339

7 299 312 17 293 314

8 276 329 18 274 325

9 279 320 19 278 328

10 275 331 20 294 337

POPULASI BEBAS: ^{Ragam sama}

s2 atau yang biasa disebut kuadrat tengah dapat dijabarkan dalam rumus hitung sebagai berikut:

Selang Kepercayaan:

Dengan t adalah nilai dari t tabel dengan α/2 tertentu dengan derajat bebas sebesar ((n1+n2)-2)







 

 

2 1

1 1

2 1

n S n

x t x

gab test

2 ) 1 (

) 1 (

2 1

2 2 2

2 1 2 1









 

n n

s n

s S

_gab

n

  ^{ }   _ ^{   }













 



 

 







 





 

 



 1 1

_

1 1 1

2 1

2 2

1 2

1 2

1 2

2

1

x x t s n n

n s n

t x

x

P

_{gab gab}

Lihat kembali

Ukuran Penyebaran: Ragam

Selang kepercayaan untuk ragam kedua populasi berbeda:

Dengan t adalah nilai dari t tabel dengan α/2 tertentu dengan derajat bebas sebesar ((n1+n2)-2)

  ^{ }   _ ^{   }













 





 



 









 







 



 



 1

2 2 2 1

2 1 2

1 2

1 2

2 2 1

2 1 2

1

n

s n

t s x

n x s n

t s x

x P

 





 



 

 

2 2 2 1

2 1

2 1

n s n

s

x t

_test

x

POPULASI BEBAS: Ragam berbeda

t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances

Reject H0 if:

1. P two tail < P level

2. T stat not in range t critical two tail

Pengerjaan

dengan Ms. Excell

PERBANDINGAN DUA PERLAKUAN:

Menggunakan Uji t

2. Dua populasi berpasangan (dependen)

- Diamati secara berpasangan pada setiap pengamatan

- Memiliki data yang sifatnya sebelum dan sesudah sehingga setiap obyek yang sama diamati sebelum treatment (populasi 1) dan sesudah treatment (populasi 2)

- Berasal dari obyek yang berbeda tetapi cara mengamatinya berpasang- pasangan

0 :

0 :

:

0 :

:

1 0 1

0 0













D D

B A

B A

B A

H H atau

H H atau

H

















HIPOTESIS

 Sebuah penelitian ingin menguji

perbedaan selektivitas dan efektivitas hasil tangkapan terhadap:

1. alat tangkap bubu tradisional (A); dan 2. baited plastic pot with closing door (B).

Penilaian tersebut dilihat dari kualitas hasil tangkapan:

(a) kuantitas hasil tangkapan (b) jumlah by-catch

(c) waktu yang dibutuhkan target hasil tangkapan untuk masuk bubu/ time ingress

Kuantitas Hasil Tangkapan

PERBANDINGAN DUA PERLAKUAN:

2 populasi berpasangan (dependen)

UJI STATISTIK

dimana:

 Selang kepercayaannya adalah sebagai berikut:

 Dengan t adalah nilai dari t tabel dengan a/2 tertentu dan derajat bebas (n-1) dan s adalah :

n s

t D

D

test

 D

j

 X

Aij

 X

BI

 ^{D t n D t n}  ^a

P 

_SD

 

_A

 

_B

 

_SD

 1 

 

 ^ _

 1

2

n

D

s

_D

D

ⁱ

Pola Distribusi Normal

Sebaran Normal/ Gauss

 Sebaran peluang kontinu yg digunakan di gugusan data alam, industri, dan penelitian

 Definisi:

Jika X merupakan suatu

peubah acak normal dengan nilai tengah µ dan ragam σ2, maka persamaan kurva

normalnya

...

14159265 .

3 and

...

7182818 .

2 where

for 2

2

2 2 2

) 1 (















 



























e

x x

e x

f

Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.

1 2

μ₁ = μ₂ σ₁ > σ₂

1

2

μ₁ < μ₂ σ₁ = σ₂

1

2

μ₁ < μ₂ σ₁ < σ₂

Kurva Normal

Menghitung luas daerah di bawah kurva normal

 Bentuk kurva sangat tergantung pada 2 nilai parameternya, yaitu µ dan σ

²

1-24

Kurva Normal

Sifat-sifat kurva normal:

1. Modusnya  titik pada sumbu mendatar yang

membuat fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = µ

2. Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang melalui nilai tengah

3. Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik dalam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengahnya.

4. Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas

sumbu mendatar = 1

Gambaran kurva normal

1-26

Transformasi dari peubah acak X ~ Normal (µ,σ

²

) ke peubah acak Z ~ Normal Baku (0,1), dengan

menggunakan :





 X 

Z

1-27

Gambaran kurva normal

Menghitung Probabilitas dengan Kurva Normal: P(0 < Z < 1.56)

1-28

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 5

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

StandardNormal Distribution

1.56

{

Standard Normal Probabilities

Lihat baris 1.5 dan kolom .06 untuk mencari

P(0  z  1.56) =0.4406

Pola Distribusi Normal

Luas daerah untuk kurva normal adalah luas daerah di bawah kurva (sebelah kiri dari nilai peubah z)

CONTOH!!

Untuk sebaran normal dengan µ=50;

σ=10 hitunglah bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62!

Z1=(45-50)/10 = -0.5 Z2=(62-50)/10=1.2

Maka P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)

P(45<X<62)= P(-0.5<Z<1.2)

=P(Z<1.2) – P(Z<-0.5)

= 0.8849 – 0.3085

= 0.5764

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

StandardNormal Distribution

Contoh: Hitung Luas

Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :

a) Di sebelah kanan z=1.84

b) Antara z=-1.97 s/d z=0.86

Jawab.

Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z₀ tertentu: P(z<z₀).

a) P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84)

=1 -0.9671

= 0.0329

a) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97)

= 0.8051 – 0.0244

= 0.7807

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.

Contoh.

Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x₀ sehingga:

a) P(x<x₀) = 45%

b) P(x>x₀)=14%

Jawab.

a) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z<z₀) = 45% = 0.45  dari tabel z₀ = -0.13 z₀ = (x₀-μ)/σ

x₀ = μ + σz₀

= 40 +6*(-0.13)

= 39.22

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Jawab.

b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z>z₀) = 14%  P(z<z₀) = 1- P(z>z₀)

= 1-0.14

= 0.86

P(z<z₀) = 0.86  dari tabel z₀ = 1.08

z₀ = (x₀-μ)/σ  x₀ = μ + σz₀

= 40 +6*(1.08)

= 46.48

Contoh Penerapan Distribusi Normal

Sebuah perusahaan lampu celup bawah air mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan:

a. Berumur antara 778 jam dan 834 jam

b. Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

μ= 800 σ=40.

 P(778<x<834)

x₁=778  z₁ = (x₁-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55 x₂=834  z₂ = (x₂-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85

P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85)

= P(z<0.85)-P(z<-0.55)

= 0.8023 – 0.2912

= 0.5111

Contoh Penerapan Distribusi Normal

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam μ= 800 σ=40.

P(x< 750 atau x>900) x₁=750  z₁ = (x₁-μ)/σ

= (750-800)/40

= -1.25 x₂=900  z₂ = (x₂-μ)/σ

= (900-800)/40

= 2.5

P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)

= P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)

= 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)

= 1 + 0.1056-0.9938

= 0.1118

Assignment!

Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan standard deviasi 15.

a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahui

distribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapat A?

b) Selanjutnya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak 25%.

Berapakah batas bawah B?