STRUKTUR ALJABAR 1
Kristiana Wijaya
Daftar Isi
Judul i
Daftar Isi iii
1 Himpunan 1
2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3
3 Grup 6
4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup
Faktor 11
Indeks 14
BAB 1
Himpunan
Himpunan adalah koleksi dari objek yang well-defined. Himpunan S terdiri dari elemen-elemen. Jika a adalah elemen di S maka kita tulis a ∈ S. Himpunan yang tidak mempunyai elemen dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅.
Definisi 1.1 Himpunan B adalah subset dari himpunan A dinotasikan B ⊆ A atau A ⊇ B jika setiap elemen di B ada di A. Notasi B ⊂ A digunakan jika B ⊆ A tetapi B 6= A.
Definisi 1.2 Jika A himpunan maka A adalah improper subset dari A. Setiap subset dari A adalah subset sejati dari A.
Contoh 1.1 Misalkan S = {1, 2, 3}. Hipunan S mempunyai 8 subset, yaitu , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}
Beberapa himpunan yang digunakan dalam buku ini akan dinotasikan dengan simbol standart, sebagai berikut:
• Himpunan bilangan bulat Z := {0, 1, −1, 2, −2, · · · },
• Himpunan bilangan bulat positif Z+:= {1, , 2, 3, · · · },
• Himpunan bilangan rasional Q := {mn| m, n ∈ Z dan n 6= 0},
• Himpunan bilangan rasional positif Q+ := {mn| m, n ∈ Z+ dan n 6= 0},
• Himpunan bilangan real R.
• Himpunan bilangan real positif R+.
• Himpunan bilangan real yang tidak 0 R∗.
• Himpunan bilangan komplek C.
• Himpunan bilangan komplek yang tidak 0 C∗.
BAB 2
Partisi dan Relasi Ekuivalen
Telah kita ketahui bahwa himpunan bilangan rasional Q dapat digambarkan seba- gai himpunan S dari semua ekspresi quotient mn dengan m, n ∈ Z dan n 6= 0. Dengan demikian kita mempunyai 23 dan 46 adalah ekspresi dari quotient yang sama. Faktanya setiap elemen dari Q dapat direpresentasikan oleh sejumlah tak hingga dari elemen berbeda di S.
Ilustrasi di atas membawa kita pada fakta bahwa himpunan Q dapat di partisi ke dalam subset yang dapat dipandang sebagai single arithmetic. Jika b adalah elemen dari sebuah himpunan partisi maka b mereprensentasikan subset dari semua elemen yang sama dengan b.
Contoh 2.1 23 = {23,−2−3,46,−4−6,69,−6−9, · · · }
Definisi 2.1 Partisi dari himpunan S adalah decomposisi dari S ke dalam subset tak kosong sehingga setiap elemen dari himpunan adalah satu dan hanya satu dari subset. Subset ini kita namakan cells dari partisi.
Contoh 2.2 Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satu partisi dari S diberikan oleh cells {1, 6}, {3}, {2, 4, 5}.
Subset {1, 2, 3, 4} dan {4, 5, 6} bukan partisi dari S karena 4 menjadi anggota dari kedua subset. Subset {1, 2, 3} dan {5, 6} juga bukan partisi dari S karena 4 bukan anggota dari keduanya.
Dua himpunan yang tidak mempunyai elemen bersama dikatakan disjoint. De- ngan demikian cells dari partisi suatu himpunan adalah disjoint.
Bagaimana kita mengetahui apakah dua quotient mn dan rs dalam himpunan partisi S pada contoh 2.1 adalah cell yang sama, yaitu merepresentasikan bilangan rasional yang sama? Salah satu cara untuk mengetahuinya adalah dengan menyederhanakan kedua pecahan. Hal ini mungkin tidak mudah dikerjakan; sebagai contoh, 19094897 dan
1403
3599 merepresentasikan bilangan rasional yang sama, karena 1909
4897 = 23 · 83
59 · 83 dan 1403
3599 = 23 · 61 59 · 61.
Pada pecahan aritmatik kita mempunyai mn = rs jika dan hanya jika ms = nr. Ini memberikan kepada kita kriteria yang lebih efisien dari masalah kita, yaitu
(1999)(3599) = (4897)(1403) = 6870491.
Misalkan a ∼ b menotasikan bahwa a ada dalam cell yang sama dengan b untuk partisi dari himpunan S yang memuat a dan b. Jelas sifat berikut selalu dipenuhi:
• a ∼ a. Elemen a ada dalam cell yang sama dengan dirinya sendiri.
• Jika a ∼ b maka b ∼ a. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b maka b ada dalam cell yang sama dengan a.
• Jika a ∼ b dan b ∼ c maka a ∼ c. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b dan b ada dalam cell yang sama dengan c maka a ada dalam cell yang sama dengan c.
Teorema 2.1 Misalkan S himpunan tak kosong dan ∼ adalah relasi antara elemen di S yang memenuhi sifat-sifat bahwa untuk setiap a, b, c ∈ S
1. (Refleksif ) a ∼ a
2. (Symetrik) Jika a ∼ b maka b ∼ a.
3. (Transitif ) Jika a ∼ b dan b ∼ c maka a ∼ c.
Maka ∼ membentuk partisi natural dari S, dimana a = {a ∈ S|x ∼ a}
adalah cell yang memuat a untuk setiap a ∈ S.
Sebaliknya setiap partisi S memberikan relasi natural ∼ yang memenuhi sifat re- fleksif, symetrik dan transitif dengan a ∼ b jika dan hanya jika a ∈ b.
Bukti:
BAB 3 Grup
Definisi 3.1 (Grup) Suatu grup (G, ∗) adalah sebuah himpunan tak kosong G dengan satu operasi biner ∗, yang didefinisikan pada G, dimana untuk setiap a, b, c ∈ G memenuhi aksioma-aksioma berikut.
1. a ∗ b ∈ G,
2. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,
3. Terdapat unsur e ∈ G, sehingga untuk setiap a ∈ G, berlaku e ∗ a = a ∗ e = a (unsur e ini dinamakan unsur identitas dari grup G),
4. Untuk setiap a ∈ G, terdapat unsur a−1 ∈ R, sehingga a ∗ a−1 = (a−1∗ a = e,
Grup G dikatakan komutatif jika a ∗ b = b ∗ a untuk setiap a, b ∈ G.
Selanjutnya notasi untuk grup (G, ∗) kita tulis G saja.
Contoh 3.1 Himpunan Z = (Z, +) dan M2 = (M2, ×) merupakan grup. Dalam hal ini Z merupakan grup komutatif, sedangkan M2 bukan.
Banyaknya unsur yang terkandung dalam suatu grup dinamakan order.
Teorema 3.1 Suatu grup G hanya memuat satu unsur identitas.
Bukti: Misalkan e dan d adalah unsur identitas di G maka untuk setiap g ∈ G berlaku ge = eg = g dan gd = dg = g. Jadi e = ed = d.
Teorema 3.2 Setiap unsur di G hanya mempunyai satu unsur invers.
Bukti: Misalkan unsur a ∈ G mempunyai invers b dan c. Maka berlaku ab = ba = e dan ac = ca = e. Sehingga kita punya
b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c.
Teorema 3.3 Untuk setiap a dan b di G berlaku (a−1)−1 = a dan (ab)−1 = b−1a−1.
Bukti: Untuk setiap unsur a ∈ G berlaku aa−1 = a−1a = e. Karena unsur a−1 hanya mempunyai satu invers maka (a−1)−1 = a. Untuk unsur a dan b dengan menerapkan sifat assosiatif kita peroleh (ab)(b−1a−1) = e dan (b−1a−1)(ab) = e. Karena invers unsur ab tunggal maka (ab)−1 = b−1a−1.
Definisi 3.2 (Subgrup) Misal G grup dan H subhimpunan tak kosong dari G.
Maka H dikatakan subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi biner yang sama pada G.
Teorema 3.4 Sebuah subset H pada suatu grup G disebut subgrup dari G jika dan hanya jika e ∈ H dan untuk setiap a, b ∈ H memenuhi ab−1 ∈ H.
Definisi 3.3 Misalkan G grup dan a ∈ G. Subgrup yang dibangun oleh unsur a dinotasikan (a) dinamakan grup siklik, yaitu (a) = {an|n ∈ Z. Unsur a dinamakan generator dari G.
Contoh 3.2 1. Z = (Z, +) adalah grup siklik dengan generator 1 dan −1.
2. Z4 adalah grup siklik dengan genarator 1 dan 3, yaitu (1) = (3) = Z4.
3. Grup 4-Klein V yang dgambarkan dalam Tabel Cayley berikut adalah tidak siklik.
· e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Semua subgrup tak trivial dari V adalah {e, a}, {e, b}, {e, c}. Diagram Lattice dari grup 4-Klein diperlihatkan pada Gambar ??.
Misalkan G grup dan a ∈ G. Jika subgrup siklik (a) dari G finite maka order dari a adalah |(a)|. Jika tidak maka a mempunyai order infinite. Dengan demikian jika a ∈ G mempunyai order finite m, maka m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga am= e.
Dapat dibuktikan bahwa grup siklik adalah grup yang komutatif.
Teorema 3.5 (Algoritma Pembagian) Misalkan a, b ∈ Z dengan a > 0. Maka terda- pat secara tunggal q, r ∈ Z sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a.
Contoh 3.3 Dapatkan q, r ∈ Z jika
1. 38 dibagi 7.
Jawab: 38 = (5)7 + 3. Jadi q = 5 dan r = 3.
2. −38 dibagi 7.
Jawab: −38 = (−6)7 + 4. Jadi q = −6 dan r = 4.
Definisi 3.4 Permutasi σ dari himpunan A ke A adalah fungsi σ : A −→ A, σ : 1−1, pada.
Contoh 3.4 A = {1, 2, 3}. Fungsi σ : A −→ A yang didefinisikan oleh σ(1) = 2, σ(2) = 3 dan σ(3) = 1 mrupakan permutasi karena σ : 1 − 1, pada, dan ditulis σ =
1 2 3 2 3 1
.
Definisikan operasi perkalian permutasi pada A sebagai berikut. Misal σ dan τ adalah permutasi pada A. Maka fungsi komposisi στ ) adalah permutasi di A jika στ : 1 − 1, pada.
Contoh 3.5 Misal A = {1, 2, 3, 4} dan σ =
1 2 3 4 4 2 1 3
dan τ =
1 2 3 4 3 1 4 2
.
Maka στ =
1 2 3 4 4 2 1 3
1 2 3 4 3 1 4 2
=
1 2 3 4 1 4 3 2
.
Teorema 3.6 Misal A himpunan tak kosong dan SA adalah himpunan dari semua permutasi pada A. Maka SA membentuk grup terhadap operasi perkalian permutasi.
Definisi 3.5 Misal A = {1, 2, · · · , n}. Grup semua permutasi pada A dinamakan grup symetric pada n letter dan dinotasikan Sn. Sn mempunyai n! unsur dengan n! = 1 · 2 · 3 · · · n.
Definisi 3.6 Misal σ permutasi pada A. Kelas ekivalensi dalam A yang ditentukan oleh relasi ekivalensi, untuk setiap a, b ∈ A berlaku a ∼ b jika dan hanya jika b = σn(a) untuk suatu n ∈ Z adalah orbit dari σ.
Definisi 3.7 Permutasi σ ∈ Sn adalah cycle jika mempunyai paling banyak 1 orbit yang memuat lebih dari satu unsur. Panjang cycle adalah banyaknya unsur dalam orbit terpanjang. Permutasi σ dapat ditulis sebagai hasil kali ganda cycle-cycle.
Contoh 3.6 Orbit dari permutasi σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 4 7 8 6 1 5 2 3
dalam S8adalah {1, 4, 6, 5}, {2, 7}, {3, 8}. Permutasi ini bisa kita tuliskan sebagai
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 4 7 8 6 1 5 2 3
= (1, 4, 6, 5)(2, 7)(3. 8).
Definisi 3.8 Cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Permutasi dikatakan genap (atau ganjil) tergantung apakah ia dapat dinyatakan sebagai hasil kali ganda transposisi-transposisi sebanyak genap (atau ganjil).
Contoh 3.7 Dalam S6, σ = (1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) = (1, 6)(1, 5)(1, 4)(2, 5)(2, 1). Jadi σ merupakan permutasi ganjil.
Jika n ≥ 2, koleksi dari semua permutasi genap dari {1, 2, · · · , n} membentuk subgrup dengan order 12n! dari grup symetric Sn. Jadi banyaknya permutasi genap dalam Sn sama dengan banyaknya permutasi ganjil dalam Sn.
BAB 4
Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor
Teorema 4.1 Di dalam grup G terhadap subgrup H dari G, relasi ≡ ( mod H) adalah sutu relasi ekivalensi.
Relasi ≡ ( mod H) pada grup G mengakibatkan suatu partisi pada grup.
Definisi 4.1 (Koset Kanan) Misal G grup, a ∈ G dan H subgrup dari G. Sub- himpunan Ha = {ha | h ∈ H} disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan koset kiri terhadap subgrup H adalah aH = {ah | h ∈ H}.
Perlu kita perhatikan bahwa a ≡ b( mod H) didefinisikan oleh persyaratan ab−1 ∈ H. Pengertian koset kanan Ha = {ha | h ∈ H} pada hakekatnya ditimbulkan oleh persyaratan ab−1 ∈ H ini.
Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G kita punya
himpunan koset kanan K = {Ha | a ∈ G} dan himpunan koset kiri L = {aH | a ∈ G}.
Catatan: Misal G grup dan H subgrup dari G.
• Banyaknya koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu subgrup H selalu sama, kita namakan indeks subgrup H di G yang dinotasikan dengan [G : H]
• Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu untuk setiap a, b ∈ G berlaku Ha = Hb atau Ha ∩ Hb = ∅ dan S
a∈G
Ha = G.
Teorema 4.2 (Teorema Lagrange) Misal G grup dengan order hingga dan H subgrup G. Maka order H adalah pembagi order G, yaitu |H|\|G|. Akibatnya grup dengan order prim selalu siklis.
Definisi 4.2 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg = gH untuk setiap g ∈ G.
Teorema 4.3 Misalkan G grup dan H subgrup G. Maka pernyataan berikut eki- valen:
1. H subgrup normal di G.
2. gHg−1 ⊆ H untuk setiap g ∈ G.
3. gHg−1 = H untuk setiap g ∈ G.
Definisi 4.3 (Homomorphisma Grup) Suatu pemetaan ϕ dari grup G ke grup G0 disebut homomorphisma grup jika untuk setiap a, b ∈ G memenuhi ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Teorema 4.4 Misalkan ϕ : G −→ G0 suatu homomorphisma grup, maka:
1. ϕ(e) = e0.
2. ϕ(a−1) = (ϕ(a))−1 untuk setiap a ∈ G
Definisi 4.4 (Kernel) Misalkan ϕ : G −→ G0 merupakan homomorphisma grup, maka kernel dari ϕ dinotasikan Ker(ϕ), didefinisikan sebagai
Ker(ϕ) = ϕ−1[e0] = {a ∈ G | ϕ(a) = e0} dengan e0 adalah identitas di G0.
Teorema 4.5 Misalkan ϕ : G −→ G0 suatu homomorphisma grup, maka ϕ : 1 − 1 jika dan hanya jika Ker(ϕ) = e.
Definisi 4.5 (Isomorphisma Grup) Jika ϕ : G −→ G0 adalah homomorphisma yang satu-satu dan pada, maka ϕ disebut isomorphisma. Grup G dan G0 dikatakan isomorphic jika ada isomorphisma ϕ dari G ke G0, dan dinotasikan dengan G ∼= G0.
Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G0 isomorphic adalah:
1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G0.
2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada.
3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorphisma.
Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G0 tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorphisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G0. Namun tidak mungkin kita mencoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak bisa dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G0 tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi oleh kedua grup.
Contoh 4.1 Grup Z tidak isomorphic dengan grup Q karena Z adalah siklik sedan- gkan Q tidak.
Misal G grup dan N subgrup normal dari G. Himpunan semua koset terhadap N di G kita nyatakan dengan G/N . Operasi pada G/N yaitu pemetaan
× : G/N × G/N −→ G/N (N a, N b) −→ N (ab)
untuk setiap (N a, N b) ∈ G/N × G/N .
Teorema 4.6 Sistem matematika G/N = (G/N, ×) membentuk grup. Grup ini kita namakan grup kuosien atau grup faktor di G terhadap subgrup normal N .
Koset N a = aN di G/N kita tuliskan juga dengan a. Dengan notasi ini kita punya ab = ab dan N = N e + eN = e0 dan (a)−1 = (a−1).
Contoh 4.2 Karena Z grup komutatif, maka semua subgrup dari Z bersifat normal.
Misalkan n ∈ Z dengan n > 1 dan H = {kn | k ∈ Z}, maka H subgrup normal di Z.
Grup fakor di Z terhadap H adalah:
Z/H = {0, 1, 2, · · · , n − 1}.
Grup Z/H ini tidak lain adalah Zn.
Indeks
assosiatif, 6 bilangan
bulat, 1, 2 rasional, 2 real, 2 grup, 6
homomorphisma, 12 isomorphisma, 13 homomorphisma, 12 identitas, 6
invers, 6
isomorphisma, 13 kernel, 13
tertutup, 6
