PERBANDINGAN ALGORITMA SEQUENTIAL COLORING DENGAN ALGORITMA GREEDY UNTUK MELAKUKAN
PEWARNAAN GRAF DALAM PEMETAAN DAERAH KOTA MEDAN PROVINSI SUMATERA UTARA
Oleh : Siti Mulia Sari NIM. 4102230008 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
i
Judul Skripsi : Perbandingan Algoritma Sequential Coloring dengan Algoritma Greedy untuk Melakukan Pewarnaan Graf dalam Pemetaan Daerah Kota Medan Provinsi Sumatera Utara
Nama Mahasiswa : Siti Mulia Sari
NIM : 4102230008
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat ALLAH SWT, karena atas rahmat dan Hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan Karya Akhir ini dengan judul Perbandingan Algoritma Sequential Coloring dengan Algoritma Greedy untuk Melakukan Pewarnaan Graf dalam Pemetaaan Daerah Kota Medan Provinsi Sumatera Utara.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis banyak menerima bantuan, bimbingan, dukungan dan fasilitas dari berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan
2. Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
3. Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika dan Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika 4. Bapak Mulyono, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing karya akhir yang telah banyak memberi arahan dan bimbingan dalam penyusunan karya akhir ini.
5. Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si, Ibu Faiz Ahyaningsih, S.Si, M.Si dan Ibu Dra.Nerli Khairani,M.Si, selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran.
6. Bapak Abil Mansyur, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing Akademik.
7. Pimpinan Badan Pusat Statistik Provinsi Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan untuk melakukan penelitian di BPS Provinsi Sumatera Utara .
8. Orang tua tercinta, Mulyono dan Sunarsih yang telah memberikan dorongan baik moral maupun spiritual.
v
10.Ucapan terima kasih juga diucapkan kepada teman-teman seperjuangan (Siti Masdewani, Ade Kristal Lestari, Fauziah Ardianti, Siti Lindramadhani, Diah Chairisa, Dina Sri Astuti, Junisa Mega Putri ) dan seluruh keluarga besar Matematika Nondik 2010 UNIMED
Penulis menyadari bahwa karya Akhir ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis menerima kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk kesempurnaan karya Akhir ini. Akhir kata penulis berharap agar Karya Akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan seluruh pembaca pada umumnya.
Medan, 12 September 2014
iii
PERBANDINGAN ALGORITMA SEQUENTIAL COLORING DENGAN ALGORITMA GREEDY UNTUK MELAKUKAN PEWARNAAN GRAF DALAM PEMETAAN DAERAH KOTA MEDAN PROVINSI SUMATERA
UTARA
Siti Mulia Sari (NIM 4102230008)
ABSTRAK
Salah satu terapan terpenting pewarnaan graf adalah pewarnaan peta (coloring of map). Peta terdiri atas sejumlah wilayah, wilayah pada peta dapat menyatakan provinsi, kabupaten, negara dan lain-lain. Dalam mewarnai sebuah peta, pewarnaan setiap wilayah di dalam peta sedemikian sehingga tidak ada dua wilayah bertetangga yang mempunyai warna sama. Satu cara untuk menjamin bahwa dua buah wilayah bertetangga tidak mempunyai warna yang sama adalah dengan menggunakan warna yang berbeda untuk setiap wilayah.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan algoritma manakah yang lebih efisien antara algoritma Sequential Coloring dengan algoritma greedy dalam menentukan warna pada peta Kota Medan Provinsi Sumatera Utara.
vii
2.4.6 Lintasan (Path) 13
2.4.7 Siklus (Cycle) 13
2.4.8 Subgraf 13
2.5 Jenis- jenis Graf 14
2.5.1 Jenis graf berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda 14 2.5.2 Jenis graf berdasarkan orientasi arah pada edge 16 2.5.3 Graf berdasarkan keterhubungan simpul 17
2.6 Beberapa Graf Sederhana yang Khusus 18 2.9.1 Langkah-langkahalgoritma sequential coloring 23
2.10 Algoritma Greedy 24
2.10.1 Komponen Algoritma Greedy 24 2.10.2 Langkah-langkah Algoritma Greedy 25
viii
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Gambar wilayah Kota Medan 31 4.2 Cara merepresentasikan Peta Kota Medan ke dalam suatu Graf 32 4.3 Cara Mewarnai Peta Kota Medan 32 4.3.1 Keefektifisan Suatu Algoritma 34 4.4 Pewarnaan Graf dengan menggunakan Algoritma
Sequential Coloring 34
4.4.1 Langkah-langkah pada Algoritma Sequential Coloring
untuk mewarnai daerah Kota Medan 35 4.4.2 Konpleksitas Algoritma Sequential Coloring 42 4.5 Pewarnaan Graf dengan menggunakan algoritma Greedy 43 4.5.1 Langkah-langkah pada Algoritma Greedy untuk
mewarnai daerah Kota Medan 43
4.5.2 Konpleksitas Algoritma Greedy 53 4.6 Perbandingan algoritma sequential coloring dengan
algoritma greedy 4.7 Potensi Kota Medan 54 4.7.1 Sektor Potensial 54 4.7.2 Location Quotient (LQ) 54 4.7.3 Perhitungan Potensi dengan menggunakan perhitungan
xi
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Kecamatan Kota Medan 26 Tabel 4.1 Warna yang mungkin akan terjadi pada setiap
simpul di graf Kota Medan 36 Tabel 4.2 Langkah Pewarnaan simpul graf Kota Medan dengan
menggunakan Algoritma Sequential Coloring 37 Tabel 4.3 Tabel Konpleksitas Waktu Algoritma
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Sungai Pregel 9
Gambar 2.2 Representasi jembatan dalam bentuk graf 10
Gambar 2.3 Contoh graf G 11
Gambar 2.4 Contoh graf yang memiliki simpul terpencil 12
Gambar 2.5 Graf kosong 12 Gambar 2.16 Graf teratur derajat dua 19 Gambar 2.17 Graf bipartit lengkap , 20 Gambar 4.4 Graf yang telah diwarnai dengan menggunakan algoritm
sequential coloring 40 Gambar 4.5 Peta yang telah diwarnai dengan menggunakan
Algoritma sequential coloring 41 Gambar 4.6 Graf yang telah diwarnai dengan menggunakan
x
Gambar 4.7 Peta yang telah diwarnai dengan menggunakan
xii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran A. Data PDRB Medan Kota dan PDRB masing-masing
kecamatan di Kota Medan 68
Lampiran B. Perhitungan Location Quotient (LQ) untuk mencari
potensi yang dimiliki masing-masing kecamatan di
Kota Medan pada tahun 2007-2009 79
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat pesat, tidak lepas dari peran ilmu matematika, yaitu ilmu yang menjadi solusi secara konseptual dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang terjadi dalam kehidupan di dunia. Dewasa ini semakin banyak muncul penggunaan model matematika maupun penalaran matematika sebagai alat bantu dalam meyelesaikan permasalahan yang dihadapi dalam berbagai disiplin ilmu.
Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah di mengerti. Beberapa contoh graf yang sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari, antara lain struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain (Jeksiang, 2009).
Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertex). Dan E adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan sepasang simpul (Lieyanda, 2010).
2
Masalah pewarnaan graf dyakini pertama kali muncul sebagai masalah pewarnaan peta, dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan di buat berlainan sehingga mudah untuk dibedakan. Hal ini kemudian mengembangkan teorema-teorema menarik dan berujung pada teorema 4 warna, yang menyatakan : “bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 4.” Teorema ini pertama kali muncul sebagai suatu perkiraan oleh Francis Guthrie, seorang mantan murid dari Augustus De Morgan, pada tahun 1852 dan akhirnya dibuktikan oleh Kenneth Appel dan Wolfgang Haken. Pembuktian teorema ini menggunakan komputer dengan waktu yang melebihi 1000 jam (Ardiansyah, 2010).
Bilangan kromatik adalah jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai simpul pada suatu graf. Bilangan kromatik disimbolkan dengan ( ). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatik dilambangkan dengan ( ) = (Munir, 2003)
Salah satu terapan terpenting pewarnaan graf adalah pewarnaan peta (coloring of map). Peta terdiri atas sejumlah wilayah, wilayah pada peta dapat menyatakan provinsi, kabupaten, negara dan lain-lain. Dalam mewarnai sebuah peta, pewarnaan setiap wilayah di dalam peta sedemikian sehingga tidak ada dua wilayah bertetangga yang mempunyai warna sama. Satu cara untuk menjamin bahwa dua buah wilayah bertetangga tidak mempunyai warna yang sama adalah dengan menggunakan warna yang berbeda untuk setiap wilayah (Munir,2003).
Teori pewarnaan wilayah ini diaplikasikan pada peta Kota Medan provinsi Sumatera Utara. Pengaplikasian wilayah peta Kota Medan karena Kota Medan merupakan Ibu Kota Provinsi Sumatera Utara yang memiliki Potensi dan Kecamatan yang reletif luas yaitu sebanyak 21 Kecamatan, yang terdiri dari: (Pemerintah Kota Medan, 2012)
3
Peneliti ingin menggunakan Kota Medan sebagai studi kasus dalam melakukan pewarnaan graf, untuk mewarnai setiap wilayah yang ada di 21 Kecamatan di kota Medan, sedemikian sehingga tidak ada dua wilayah bertetangga yang memiliki warna yang sama. Dan juga untuk mencari bilangan kromatik untuk menentukan banyaknya warna minimum yang ada pada setiap Kecamatan yang ada di daerah tersebut.
Kota Medan bukan hanya memiliki banyak Kecamatan saja, tetapi juga mempunyai begitu banyak potensi. Seperti pertanian, industri , perdagangan, hotel, restoran,dan lain sebagainya (Pemerintah Kota Medan, 2012) .
4
dilakukan dengan tepat dan sesuai dengan potensi daerahnya. Untuk itu, Pemerintah Daerah Kota Medan harus mampu mengenali dengan baik potensi daerah sendiri, menggalang kemampuan untuk menggali, mengoptimalkan dan mengembangkan semua potensi daerah yang dimiliki dalam ruang lingkup pemerintahannya.
Kota Medan memiliki wilayah yang luas yang terdiri dari 21 kecamatan, di mana pada setiap kecamatan tentunya memiliki potensi yang berbeda-beda baik dalam sektor pertanian maupun sektor non pertanian. Analisis potensi wilayah kecamatan merupakan salah satu cara untuk mengenali dan menggali potensi daerah masing-masing kecamatan di Kota Medan baik di sektor pertanian maupun sektor non pertanian.
Maka, untuk mengetahui potensi yang ada di setiap kecamatan Kota Medan ini akan dibuat gambaran potensi masing-masing kecamatan di Kota Medan dengan menggunakan program Visual Basic untuk mengetahui informasi potensi dari setiap Kecamatan yang ada di Kota Medan. Informasi tersebut disajikan dengan menampilkan peta Kota Medan yang memiliki warna yang berbeda-beda pada setiap Kecamatan. Pemetaan potensi yang dimiliki setiap kecamatan yang ada di Kota Medan akan dibedakan dengan warna yang berbeda untuk setiap potensi. Jadi, setiap potensi akan ditempatkan pada Kecamatan yang memiliki potensi tersebut.
5
efektif untuk melakukan pewarnaan graf dalam pemetaan daerah Kota Medan Provinsi Sumatera Utara.
Algoritma Sequential Coloring adalah sebuah algoritma untuk mewarnai sebuah graf dengan k-warna, k adalah bilangan integer positif. Kelebihan dari Metoda yang digunakan algoritma ini adalah dengan pewarnaan langsung pada sebuah graf dengan warna yang sesedikit mungkin. Meskipun algoritma ini masih bergantung pada urutan penomoran dari vertex pada graf namun keuntungan dari algoritma ini adalah efesiensinya (Lietara, 2007).
Sementara itu, dibandingkan dengan Algoritma Sequential Coloring, algoritma greedy juga memiliki beberapa kelebihan, yaitu penerapan algoritma greedy Sebagai dasar pemecahan masalah membuat penyelesaian masalah menjadi lebih cepat. Selain itu algoritma ini juga lebih teliti dalam memecahkan suatu masalah karena membentuk solusi setiap langkah perlangkah pekerjaannya. Pada setiap langkah, di buat pilihan optimum lokal untuk kemudian di cari solusi optimum global dari pilihan yang telah diambil. Algoritma greedy juga mempertimbangkan simpul-simpul pada graf sebagai sebuah urutan dan mengisi setiap simpul dengan warna pertama yang tersedia. Algorima greedy merupakan metode yang paling populer untuk memecahkan persoalan mencari solusi optimum (optimasi). Terdapat 2 jenis persoalan optimasi: maksimasi dan minimasi (Passa, 2010).
6
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang dibahas dalam hal ini adalah:
1. Bagaimana hasil implementasikan pewarnaan graf dengan algoritma Sequential Coloring dan algoritma greedy dalam memetakan daerah Kota Medan Provinsi Sumatera Utara agar mudah mengetahui potensi daerah Kota Medan Provinsi Sumatera Utara hanya dengan melihat petanya saja.
2. Menentukan algoritma manakah yang lebih efisien ( memiliki konpleksitas waktu dan konpleksitas ruang yang lebih sedikit) Antara algoritma Sequential Coloring dengan algoritma greedy dalam menentukan warna pada peta Kota Medan Provinsi sumatera Utara.
3. Bagaimana gambaran potensi masing-masing kecamatan di Kota Medan Provinsi Sumatera Utara dengan menggunakan program visual basic.
1.3 Pembatasan Masalah
Ruang lingkup penelitian ini dibatasi pada:
1. Pewarnaan graf yang akan diimplementasikan pada algoritma Sequential Coloring dan algoritma greedy dalam memetakan wilayah Kota Medan Provinsi Sumatera Utara.
7
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui bagaimana hasil implementasikan pewarnaan graf dengan algoritma Sequential Coloring dan algoritma greedy dalam pemetaan daerah kota Medan Provinsi Sumatera Utara.
2. Mengetahui algoritma manakah yang lebih efisien (memiliki konpleksitas waktu dan konpleksitas ruang yang lebih sedikit) Antara algoritma Sequential Coloring dengan algoritma greedy dalam menentukan warna pada peta Kota Medan Provinsi sumatera Utara.
3. Mengetahui gambaran potensi masing-masing kecamatan di Kota Medan Provinsi Sumatera Utara.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian dari pembahasan masalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui kelebihan dan kekurangan algoritma Sequential Coloring dan algoritma greedy dalam menentukanwarna pada peta Kota Medan Provinsi sumatera utara.
65 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari bab 4 didapatkan bahwa algoritma Sequential Coloring dang algoritma greedy pada pewarnaan peta Kota Medan sama-sama mendapatkan hasil 4 warna.
2. Dilihat dari segi efisiennya, algoritma sequential coloring lebih efisien jika dibandingkan dengan algoritma greedy. Karena algoritma sequential coloring memiliki konpleksitas waktu dan konpleksitas ruang yang lebih sedikit jika dibandingkan dengan algoritma greedy .
3. Dengan adanya gambaran dari informasi potensi daerah masing-masing Kecamatan di Kota Medan Provinsi Sumatera Utara, maka semakin memudahkan kita dan juga pemerintah dalam mengetahui potensi-potensi apa saja yang terdapat pada masing-masing kecamatan Kota Medan dengan hanya melihat peta Kota Medan saja.
5.2 Saran
Berikut ini adalah saran-saran pengembangan lebih lanjut untuk aplikasi ini:
66
DAFTAR PUSTAKA
Amrimirza, M. 2007. Aplikasi Algoritma Greedy pada Pewarnaan Peta.Makalah IF2251 Strategi Algoritmik. 1-4.
Ardiansyah, dkk. 2010. Implementasi Algoritma Greedy Untuk Melakukan Graph Coloring ( Studi kasus : Peta provinsi Jawa Timur ). Jurnal Informatika. 4:1-8
Badruddin, R. 2010. Pengantar Ilmu Ekonomi.8 Mei 2014. http://www.google.com/Pengantar ilmu ekonomi_FSIP_UAJY.pdf
Bieneke, L.W dan Wilson, R.J. 2004. Topics in Algebraic Graph Theory. Inggris: Cambridge University Press
Chartrand, G dan Lesniak. 1996. Graphs and Diagraphs Third Edition. California: Chapman
Erawati, N.K dan Yasa, I.N.M. 2011. Analisis Pola Pertumbuhan Ekonomi dan Sektor Potensial Kabupaten klunglung. Makalah 3207-4458-1-54. 1-21
Iskandar, H dan Kusnassriyanto S.B. 1997. Pengantar Perancangan Sistem. Jakarta: Erlangga
Jeksiang, J. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta : ANDI.
Johnsonbaugh, R. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2. Jakarta : PT. Prenhallindo Lietara, Andreas Parry. 2007. Pewarnaan Simpul pada Graf dan Aplikasinya
67
Lieyanda, V. 2010. Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer. Makalah II2092 Probabilitas dan statistik. 1-6
Munir, R. 2003. Matematika Diskrit. Bandung: Penerbit Informatika Bandung.
Passa, F. 2010. Aplikasi Algoritma Greedy Pada Persoalan Pewarnaan Graf.Makalah IF3051 Strategi Algoritma. 1-8
Pemerintah kota Medan. 2012. Peraturan Walikota Medan nomor 40 tahun 2012 Tentang Rencana Kerja Pemerintah Daerah (RKPD) Kota Medan Tahun Anggaran 2013. Medan: Pemerintah Kota Medan
Priatna, Nanang. 2011. Pengetahuan Dasar Teori Graph. 13 februari 2014 . http://File.Upi.Edu.Direktori/FMIPA/JUR_PEND_MATEMATIKA/19630 3311988031_Nanang_Priatna/Pengetahuan_Dasar_Teori_Graph.pdf
Rahasta, D.P. 2010. Pembuktian Teorema Empat Warna dengan Aplikasi Pewarnaan Graf. Makalah II2092 Probabilitas dan Statistik. 1-6
ii
RIWAYAT HIDUP
