Oleh:
Siti Masdewani Dalimunthe NIM 4101230011 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas
segala rahmat dan karunia-Nya yang memberikan kesehatan dan hikmat kepada
penulis sehingga penelitian skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik sesuai
dengan waktu yang direncanakan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang
dilaksanakan sejak bulan Juni 2014 ialah ”Implementasi Algoritma Sequential
Coloring Untuk Melakukan Pewarnaan Graf (Studi Kasus: Peta Kota Medan)”.
Dalam Kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada
berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini, dimulai dari
pengajuan proposal penelitian, pelaksanaan sampai penyusunan skripsi, antara
lain kepada Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri
Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku
Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris
Jurusan Matematika, Bapak Dr. E. Elvis Napitupulu, M.S., selaku dosen
pembimbing skripsi, dan Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, Ibu Arnah Ritonga, S.Si,
M.Si dan Bapak Abil Mansyur S.Si, M.Si yang telah banyak memberi saran.
Serta Bapak Mulyono, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik. Ucapan terima
kasih juga diucapkan kepada teman-teman seperjuangan (Ade Kristal Lestari, Siti
Lindramadhani, Fauziah Ardianti, Diah Chairisa, Dina Sri Astuti, Junisa Mega
Putri, Siti Mulia Sari, Tri Ramadhani , Rikki Ardiansyah Lubis) dan keluarga
besar Matematika Nondik 2010 UNIMED. Secara khusus, terima kasih kepada
Papa, Mama, Kakak dan Adik beserta seluruh keluarga atas segala doa, kasih
sayang dan dukungannya. Saya ucapkan terima kasih juga kepada pimpinan
Badan Pusat Statistik Provinsi Sumatera Utara yang telah memberikan
kesempatan untuk melakukan penelitian di BPS Provinsi Sumatera Utara .
Hanya do’a yang dapat penulis panjatkan semoga Tuhan Yang Maha Esa
Akhir kata, semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi pihak yang
berkepentingan.
Medan, September 2014
Siti Masdewani Dalimunthe
iii
IMPLEMENTASI ALGORITMA SEQUENTIAL COLORING UNTUK MELAKUKAN PEWARNAAN GRAF
(STUDI KASUS: PETA KOTA MEDAN)
Siti Masdewani Dalimunthe (NIM 4101230011)
ABSTRAK
Pewarnaan graf adalah pemberian warna yang biasanya direpresentasikan sebagai bilangan terurut mulai dari 1 atau dapat juga direpresentasikan langsung dengan menggunakan warna merah, kuning, hijau, biru dan lainnya pada objek tertentu pada suatu graf. Objek tersebut dapat berupa simpul, sisi ataupun wilayah sehingga tidak ada simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama. Sehingga jumlah warna yang digunakan untuk mewarnai simpul-simpul tersebut sesedikit mungkin.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan keefektifan atau banyak banyak warna minimal pada peta Kota Medan dengan menggunakan algoritma
Sequential Coloring. Pada penelitian ini ingin diketahui apakah hasil warna minimum yang dihasilkan oleh algoritma Sequential Coloring lebih efektif dari yang dihasilkan algoritmaWelch-Powel, Brute-Force danGreedy atau sebalikya. Dari ujicoba yang dilakukan dengan membandingkan algoritma Sequential Coloring dengan algoritma Welch-Powel, Brute-Force dan Greedy maka berdasarkan hasil algoritma Sequential Coloring, pewarnaan peta Kota Medan diperoleh dengan menggunakan 4 warna yang berbeda dan hasil algoritma
DAFTAR ISI
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 4
1.3 Pembatasan Masalah 5
1.4 Tujuan Penelitian 5
1.5 Manfaat Penelitian 5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Teori Graf 6
2.1.1 Sejarah Teori Graf 6
2.1.2 Definisi Graf 8
2.1.3 Terminologi Dasar Graf 8
2.1.3.1 Bertetangga 8
2.1.3.2 Bersisian 9
2.1.3.3 Simpul Terpencil 9
2.1.3.4 Graf Kosong 10
2.1.3.5 Derajat 10
2.1.3.6 Lintasan 10
vii
2.1.3.8 Terhubung 11
2.1.3.9 Subgraf 12
2.1.3.10 Subgraf Merentang 12
2.1.3.11 Cut-Set 13
2.1.4 Jenis-Jenis Graf 14
2.1.4.1 Jenis Graf Berdasarkan Ada tidaknya Gelang dan Sisi Ganda 14
2.1.4.2 Jenis Graf Berdasarkan Orientasi 15
2.1.5 Beberapa Graf Khusus Sederhana 16
2.1.5.1 Graf Lengkap 16
2.1.5.2 Graf Lingkaran 16
2.1.5.3 Graf Teratur 17
2.1.5.4 Graf Bipartit 17
2.1.5 Graf Planar 18
2.2 Pewarnaan Graf 20
2.2.1 Jenis-Jenis Pewarnaan 21
2.2.2 Representasi Peta 22
2.2.3 Algoritma-Algoritma Pewarnaan 23
2.3 Ruang Implementasi 26
2.3.1 Program Visual Basic 26
2.3.2 Lingkungan Visual Basic 27
2.4 Kota Medan 28
2.4.1 Penentuan Sektor Sektor Unggulan dan Potensi daerah 30
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 32
3.2 Jenis Penelitian 32
3.3 Prosedur Penelitian 32
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Peta Kota Medan 34
4.3 Kriteria Keefektifitasan Algoritma 37
4.3 Algoritma-Algoritma Pewarnaan Graf 37
4.4 Data Potensi Masing-Masing Kecamatan Kota Medan 55
4.4.1 Produk Domestik Regional Bruto 55
4.4.1 AnalisisLocation Quotient 55
4.4.2 Data Kota Medan 57
4.4.3 Data Kecamatan Medan Tuntungan 58
4.4.4 Perhitungan LQ 59
4.5 Membuat Potensi Daerah Kota Medan 62
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 66
5.2 Saran 66
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Peta Kuno Kota Konigsberg 6
Gambar 2.2 Representasi Jembatan Konigsberg Dalam Bentuk Graf 7
Gambar 2.3 Graf G 9
Gambar 2.4 Graf yang Memiliki Simpul Terpencil 9
Gambar 2.5 Graf Kosong 10
Gambar 2.6 Graf Terhubung dan Graf Tidak Terhubung 11
Gambar 2.7 Graf dan Sebuah Subgraf Dari 12
Gambar 2.8 Graf dan Subgraf Merentang Dari 13
Gambar 2.9 Cut Set 14
Gambar 2.10 Graf Sederhana 14
Gambar 2.11 Graf Tidak Sederhana 15
Gambar 2.12 Graf Tak Berarah 15
Gambar 2.13 Graf Berarah 16
Gambar 2.14 Graf Lengkap 16
Gambar 2.15 Graf Lingkaran 17
Gambar 2.16 Graf Teratur 17
Gambar 2.17 Graf Graf Bipartit 18
Gambar 2.18 Graf Planar 18
Gambar 2.19 Ilustrasi Peta 22
Gambar 2.20 Bentuk Graf Dari Ilustrasi Peta 22
Gambar 2.21 Tampilan Dasar Visual Basic 27
Gambar 4.1 Ilustrasi Peta Kota Medan 34
Gambar 4.2 Bentuk Graf Dari Ilustrasi Peta 36
Gambar 4.3 Bentuk Graf Dari Ilustrasi Peta Dengan Menggunakan
Algoritma Sequential Coloring 43
Gambar 4.4 Bentuk Graf Dari Ilustrasi Peta Dengan Menggunakan
Algoritma Brute-Force 47
Algoritma Greedy 54
Gambar 4.6 Ilustrasi Peta Dengan Menggunakan
Algoritma Sequential Coloring 63
Gambar 4.7 Ilustrasi Peta Potensi Dengan Menggunakan
xi
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Data PDRB Kota Medan 57
Tabel 4.2 Data PDRB Medan Tuntungan 58
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data PDRB Kecamatan-Kecamatan Kota Medan
1 BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang sering
digunakan dalam menganalisis hubungan antara himpunan. Himpunan itu
mungkin terdiri dari manusia, kota dan lain sebagainya. Meskipun teori graf
berasal dari bidang ilmu matematika, namun aplikasi dari graf dapat dikaitkan
dengan berbagai ilmu di bidang lainnya hingga dalam kehidupan sehari-hari
Aplikasi teori graf sangat banyak, sehingga dapat dikatakan tidak ada
habis-habisnya jika kita membahas setiap aplikasi graf karena setiap bidang ilmu
dapat dikaitkan dengan graf seperti masalah dalam jaringan komunikasi,
transportasi, ilmu komputer, operasi riset, ilmu kimia dan lain sebagainya.
Teori-teori graf telah banyak dikembangkan dengan berbagai algoritma yang memiliki
kelebihan dan kekurangan masing-masing dalam menyelesaikannya.
Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( , ), ditulis dengan
notasi = ( , ) yang dalam hal ini adalah himpunan tidak kosong dari
simpul-simpul (vertexatau node) dan adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2005).
Salah satu topik yang menarik pada graf adalah masalah pewarnaan graf
(graph coloring problem). Bidang ini memiliki sejarah yang sangat menarik dan teori-teorinya telah menimbulkan banyak perdebatan pada kalangan
matematikawan.Pewarnaan graf adalah pemberian warna terhadap vertex-vertex
graf di mana 2 buah vertex yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama. Masalah pewarnaan graf diyakini pertama kali muncul sebagai
masalah pewarnaan peta, dimana setiap daerah pada peta yang berbatasan dibuat
berlainan sehingga mudah untuk dibedakan. Hal ini kemudian mengembangkan
teorema-teorema menarik dan berujung pada teorema 4 warna yang menyatakan
kali muncul sebagai suatu perkiraan Francis Guthrie seorang mantan murid dari
Augustus De Morgan pada tahun 1852 dan akhirnya dibuktikan oleh Kenneth
Appel dan Wolfgang Haken. Pembuktian teorema ini menggunakan komputer
dengan waktu yang melebihi 1000 jam (Ardiansyah, 2010).
Ada dua macam persoalan pewarnaan graf, yaitu pewarnaan simpul dan
pewarnaan sisi (Munir, 2005). Pada penelitian ini di khususkan dalam masalah
pewarnaan simpul yang merupakan metode pemberian warna pada simpul dengan
mencari simpul tetangga dan tidak bertetangga sehingga simpul yang bertetangga
akan diberi warna baru yang berbeda. Dalam pewarnaan simpul kita tidak hanya
sekedar mewarnai simpul-simpul dengan warna berbeda dari warna simpul
tetangganya saja, namun juga menginginkan jumlah macam warna yang
digunakan sesedikit mungkin.Teori pewarnaan simpul ini akan diaplikasikan pada
peta Kota Medan.
Peta merupakan sebuah media yang digunakan untuk menggambarkan
muka bumi. Pada zaman sekarang ini, peta tidak hanya digambarkan pada media
kertas saja, melainkan pada media digital, seperti komputer. Dalam hal
pembuatannya, sudah sangat lumrah pada saat ini jika peta dibuat dengan
menggunakan komputer (Amrimirza, 2007). Suatu masalah yang menarik ialah
menentukan banyaknya warna minimum yang harus disediakan agar tujuan
tersebut terwujud.
Dalam masalah pewarnaan peta ini akan digunakan jenis algoritma dasar,
yaitu algoritmaSequential Coloring. AlgoritmaSequential Coloringadalah sebuah algoritma untuk mewarnai sebuah graf dengan k-warna,dimana k adalah bilangan
integer positif.Metode yang digunakan algoritma ini adalah dengan pewarnaan langsung pada sebuah graf dengan warna yang sedikit mungkin. Meskipun
algoritma ini masih bergantung pada urutan penomoran dari vertex pada graf namun keuntungan dari algoritma ini adalah efisiensinya .
Secara geografis kota Medan terletak pada 3°30 −3°43' Lintang Utara
dan 98°35 −98°44' Bujur Timur. Untuk itu topografi kota Medan cenderung
miring ke Utara dan berada pada ketinggian 2,5-37,5 meter diatas permukaan laut.
3
Sumatera Utara. Dengan demikian, dibandingkan dengan kota/kabupaten lainnya,
kota Medan memiliki luas wilayah yang relatif kecil tetapi dengan jumlah
penduduk yang relatif besar. Kota Medan memiliki berbagai potensi diantaranya
potensi listrik, potensi air, potensi sungai, potensi perikanan, potensi wisata dan
lain-lain. Kota medan memiliki potensi wisata yang sangat baik dan sangat
banyak dikunjungi wisatawan seperti Istana Maimun, Mesjid Raya, dan lain-lain.
( )adalah perbandingan besarnya peranan suatu
sektor di suatu daerah terhadap peranan sektor tersebut secara nasional
(Suhermanto, 2010).Analisis digunakan untuk mengetahui atau menentukan
sektor potensi di suatu daerah dibandingkan dengan daerah lain. Dengan maka
dapat ditemukan karakteristik atau ciri khas dari potensi suatu daerahyang ditinjau
dari 9 sektor basis (Pertanian, Pertambangan dan penggalian, Listrik gas dan air
bersih, Bangunan, Perdagangan hotel dan restoran, pengangkutan dan komunikasi,
keuangan persewaan dan jasa perusahaan, jasa).Suatu wilayah dikatakan
berpotensi atau tidak apabila memenuhi syarat berikut:
1. Apabila > 1maka wilayah tersebut dikatakan berpotensi dan
dapat dikembangkan.
2. Apabila < 1 maka wilayah tersebut dikatakan tidak
berpotensi dan kurang bagus untuk dikembangkan.
Dengan mengetahui kriteria daerah maka diharapkan dapat menjadi salah
satu masukan dalam perencanaan suatu wilayah sehingga perencanaan dapat
berjalan bagus dengan potensi-potensi yang ada disuatu daerah tersebut.
Setiap kecamatan yang ada di Kota Medan memiliki potensi yang
berbeda-beda, maka untuk hal ini akan dirancang sebuah sistem dengan menggunakan
program Visual Basic untuk mengetahui informasi atau gambaran potensi dari
setiap kecamatan di Kota Medan. Informasi tersebut disajikan dengan
menampilkan peta kota Medan.
Penelitian terdahulu dilakukan oleh Putri (2006). Adapun masalah dari
penelitian ini bagaimana cara mengimplementasikan pewarnaan peta dunia yang
peta planar sederhana bisa diwarnai hanya dengan empat warna, dengan dua
wilayah yang bersebelahan mempunyai warna yang berbeda.
Kemudian Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Amrimirza (2007).
Adapun masalah dari penelitian ini adalah bagaimana penggunaan algoritma
Greedy untuk pewarnaan peta. Dari penelitian ini diperoleh bahwa algorima
Greedy pada kasus pewarnaan peta dapat dikatakan cukup efektif.
Selanjutnya dilakukan oleh Ardiansyah (2010). Disebutkan bahwa teknik
penggunaan algoritma Greedy untuk melakukan pewarnaan graf (Graph Coloring) pada peta Provinsi Jawa Timur. Dari penelitian ini diperoleh bahwa untuk melakukan pewarnaan graf di Provinsi Jawa Timur dibutuhkan sebanyak
emapat buah warna yang berbeda.
Bertitik tolak dari hal diatas maka penulis ingin membahas Implementasi
AlgoritmaSequential Coloringpada pewarnaan graf sehingga judul yang diangkat penulis adalah Implementasi Algoritma Sequential Coloring Untuk Melakukan Pewarnaan Graf (Studi Kasus: Peta Kota Medan).
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, maka masalah yang akan
diteliti oleh penulis adalah:
1. Bagaimana hasil implementasi algoritma Sequential Coloring untuk pewarnaan graf dalam peta Kota Medan? Apakah hasilnya sudah efektif
jika dibandingkan dengan algoritma lain?
2. Bagaimana melihat informasi potensi masing-masing kecamatan di Kota
5
1.3 Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam tulisan ini tidak menyimpang, maka
perlu dilakukan beberapa batasan masalah sebagai berikut:
1. Pewarnaan graf yang akan diimplementasikan yaitu hanya pada bagian
region coloringsaja.
2. Yang menjadi objek penelitian adalah seluruh kecamatan yang ada di Kota
Medan.
3. Data PDRB yang diambil adalah PDRB tahun 2005-2009.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan hasil implementasi algoritma Sequential Coloring untuk pewarnaan graf dalam peta kota Medan dan menentukan keefektifan
(banyak warna minimal) algoritmaSequential Coloring
2. Menggambarkan potensi masing-masing kecamatan di kota Medan dengan
menggunakan program Visual Basic .
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian dari pembahasan masalah ini adalah sebagai
berikut:
1. Dapat mengakses peta potensi daerah dengan cepat dan dapat mengakses
informasi potensi daerah masing-masing dari sistem yang telah disediakan.
2. Peneliti semakin mengetahui potensi masing-masing kecamatan daerah
66 5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, Kesimpulan yang dapat
diambil dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Berdasarkan hasil algoritma Sequential Coloring maka pewarnaan peta Kota Medan diperoleh dengan menggunakan 4 warna yang berbeda dan
hasil algoritma Sequential coloring sama efektifnya jika dibandingkan dengan hasil algoritma lainnya seperti algoritma Welch-Powel, Brute-Force dan Greedy karena semua algoritma menghasilkan 4 warna sama dengan hasil algoritma Sequential Coloring.Jika ditinjau dari segi waktu maka algoritma Sequential Coloring lebih efektif karena waktu yang dibutuhkan dalam menyelesaikan pewarnaan peta Kota Medan lebih Cepat
Jika dibandingkan dengan algoritmaBrute ForcedanGreedy.
2. Dengan terbentuknya peta Kota Medan maka gambaran informasi potensi
daerah masing-masing kecamatan dapat dilihat dengan melihat peta Kota
Medan saja.
5.2 Saran
Berikut ini adalah saran-saran pengembangan lebih lanjut untuk aplikasi
ini:
1) Pewarnaan wilayah dalam sebuah peta dapat dilakukan dengan
menggunakan lebih dari satu variabel dan untuk mengetahui keefektifan
suatu algoritma dapat diuji dengan membandingkan beberapa algoritma
(Lebih dari 3 algoritma).
2) Informasi potensi daerah masing-masing kecamatan dapat dirancang
melalui sistem online sehingga lebih mempermudah masyarakat
67
DAFTAR PUSTAKA
Amrimirza, M.2007. AplikasiAlgoritma Greedy Pada Pewarnaan Peta. Jurnal Informatika 6.1-4.
Ardiansyah, dkk. 2010. ImplementasiAlgoritma Greedy Untuk Melakukan Graph
Coloring ( Studikasus : Peta provinsi JawaTimur ).Jurnal Informatika.
4:440-448.
As’ad, N. 2008. Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pemecahan Masalah Penyusunan
Jadwal.Jurnal Teknik Informatika.4:1-6.
Badan Pusat Statistik Kota Medan. 2010. PDRB Kota Medan Perkecamatan Tahun 2009. Medan: BPS Prov. Sumut.
FMIPA Universitas Negeri Medan. 2012. Pedoman Penulisan Proposal Dan Skripsi. Medan: FMIPA UNIMED.
Hendayana, R. 2003. Aplikasi Metode LQ Dalam Menentukan Komuditas
Nasional.Jurnal Informatika Pertanian. 12: 1-21
Iskandar, H dan Kusnassriyanto S.B. 1997. Pengantar Perancangan Sistem. Jakarta: Erlangga.
Jeksiang, J. 2009. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: ANDI.
Johnsonbaug, R. 2002.Matematika Diskrit Edisi 4. Jakarta: PT Prenhallindo. Jusuf, H. 2009. Pewarnaan Graph Pada Simpul Untuk Mendeteksi Konflik
Penjadwalan Kuliah.Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Informasi. 1-4 Liu, C.L .1995. Dasar-Dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT Gramedia
PustakaUtama.
Lipschutz, S dan Marc L. L. 2002.Seri Penyelesaian Soal Schaum: Matematika Diskrit 2. Jakarta: Penerbit Salemba Teknika.
Munir, R . 2003.Matematika Diskrit. Bandung: Penerbit Informatika Bandung. Suhermanto, 2010. Analisis Pemetaan Sektor Unggulan dan Strategi
Tim Penelitian dan Pengembangan Wahana Komputer. 2002. Pembuatan Program Aplikasi (Retaining Wall) dengan Visual Basic. Jakarta: Salemba Infotek.
Wibisono, S. 2004.Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
