BAB V KAPASITOR. (b) Beda potensial V= 6 volt. Muatan kapasitor, q, dihitung dengan persamaan q V = ( )(6) = 35, C = 35,4 nc

BAB V

KAPASITOR

Contoh 5.1 Definisi kapasitas

Sebuah kapasitor 0,4 F dimuati oleh baterai 12 volt. Berapa muatan yang tersimpan dalam kapasitor itu?

Jawab :

Kapasitas C = 0,4 F = 4 ×10-7 F ; beda potensial V = 12 volt. Muatan dalam kapasitor, q, dihitung dengan persamaan :

v q

C = atau q = C V

= ( 4×10-7)(12) = 48 × 10-7 = 4,8 C

Contoh 5.2 Kapasitas kapasitor keping sejajar

Sebuah kapasitor keping sejajar memiliki keping persegi dengan panjang sisinya 10 cm yang dipisahkan oleh jarak 1,5 mm. (a) Hitung kapasitasnya. (b) Jika kapasitor itu dimuati oleh baterai 6V, berapa banyak muatan yang dipindahkan dari satu keping ke keping lainnya? Jawab :

Panjang sisi persegi a = 10 cm = 10-1m ; jarak pisah d = 1,5 mm = 1,5 × 10-3 m; 0 = 8,85 × 10 -12 dalam SI

(a) Untuk kapasitas kapasitor keping sebelumnya kita harus menghitung luas keping, A, terlebih dahulu A= a2 =(10−1)2 =10−2 m2 ₅ 10 2 12 0 _{59 10} 10 5 , 1 ) 10 )( 10 85 , 8 ( − − − − × = × × = = d A C

ε

F = 5,9 nF

(b) Beda potensial V= 6 volt. Muatan kapasitor, q, dihitung dengan persamaan q CV V q C = ⇔ = = (59 × 10-10)(6) = 35,4 × 10-9 C = 35,4 nC Contoh 5.3 Kapasitas kapasitor bola

Berapakah besar muatan yang dapat disimpan dalam sebuah kapasitor bola dengan garis tengah 10 cm ketika diberi beda potensial 100 kV?

Jawab:

Garis tengah D = 10 cm jari-jari r = 5 10 2 2 10 − × = cm m.

Beda potensial V = 100 kV = 100 × 103 V ; k = 9 × 109 dalam SI. Kapasitas kapasitor bola dapat kita hitung dengan persamaan

₉ 11 2 10 9 5 10 9 10 5 − − × = × × = = k R C F

Muatan yang dapat disimpan dalam kapasitor dapat kita hitung dengan persamaan

10

11

)(

100

10

3

)

5

,

56

10

7

9

5

(

×

−

×

=

×

−

=

= CV

q

C = 0,556 nC

Contoh 5.4 Kapasitor dengan dielektrik kertas

Sebuah kapasitor keping sejajar memiliki keping berukuran 2,0 cm × 3,0 cm. Keping-keping dipisahkan oleh selembar kertas dengan tebal 1,0 mm. (a) Tentukan kapasitas kapasitor ini. (b) Tentukan muatan maksimum yang dapat disimpan kapasitor.

Jawab:

Luas keping A = 2,0 cm × 3,0 cm = 6,0 cm2 = 6,0 × 10-4 m2 ; jarak pisah antarkeping d = 1,0 mm= 1,0 × 10-3 m.

(a) Kita dapat menghitung kapasitas kapasitor, CD, dengan persamaan

d A C r D 0

ε

ε

= dimana

permitivitas relatif kertas, r = 3,7

₃ 4 12 0 10 0 , 1 ) 10 0 , 6 )( 10 85 , 8 ( 7 , 3 − − − × × × × = = d A C r D

ε

ε

= 1,96 × 10-11 F = 19,6 pF

(b) Untuk menghitung muatan maksimum, qmaks, dengan persamaan

d V E maks

maks = kita harus menghitung dahulu beda potensial, Vmaks, antar keping. Beda potensial, Vmaks, dapat diperoleh dari kekuatan dielektrik kertas yaitu Emaks = 16 × 106 V/m

V E d

d V

E maks _{maks maks}

maks = ⇔ =

q_maks =C_DV_maks =C_D

(

E_maksd

)

= (1,96 × 10-11) (16 ×106) (1,0 ×10-3) = 3,14 × 10-7 C = 314 nC

Contoh 5.5 Kapasitor keping sejajar diberi dielektrik dan baterai tidak dihubungkan Sebuah kapasitor 6 F dengan jarak pisah antarkeping 1 mm diisi dengan udara dan dimuati oleh baterai 12 V. Kemudian baterai dilepas dari kapasitor dan ruang antarkeping diisi dengan minyak (r=2,5). Tentukan : (a) kapasitas ; (b) muatan ; (c) beda potensial antarkeping dan (d) kuat medan listrik dalam ruang antarkeping

Strategi:

Untuk kapasitor diisi dielektrik dan baterai tidak dihubungkan, kita pegang prinsip bahwa muatan listrik adalah tetap. Ini berarti muatan listrik sesudah disisipkan dielektrik sama dengan muatan listrik sewaktu berisi udara. Kapasitas, beda potensial, dan kuat medan listrik setelah disisipkan dielektrik berubah sesuai dengan persamaan:

r D r D r D E E E V V C C 0 0 0; = ; = =

ε

ε

Jawab:

Mula-mula kapasitor berisi udara dengan kapasitas C0 = 6 F; beda potensial V0 = 12 V. Kemudian kapasitor diisi minyak dengan permitivitas relatif r = 2,5

(a) Kapasitas setelah diisi minyak, CD adalah C_D =

ε

_rC₀ =(2,5)(6 F) = 15 F

(b) Muatan kapasitor adalah tetap, sehingga muatan setelah diisi minyak sama dengan ketika berisi udara

q_D =q₀ =C₀V₀ =(6 F) (12V) = 72 C (c) Beda potensial setelah diisi minyak, VD, adalah

4,8 5 , 2 12 0 _{= =} = r D V V

ε

volt

r D E E

ε

0 = sedang d V E 0 0 = sehingga r r D d V d V E

ε

ε

0 0/ ₌ = 4.800 ) 5 , 2 )( 10 ( 12 3 = = ₋ d E V/m

Contoh 5.6 Kapasitor keping sejajar diberi dielektrik dan baterai tetap dihubungkan Dua keping sejajar disusun sebagai sebuah kapasitor dengan udara sebagai dielektrik. Jarak pisah kedua keping adalah 0,5 cm. Kapasitas kapasitor adalah 20 pF dan ujung-ujung keping dihubungkan ke baterai 200 V. (a) Berapa muatan yang tersimpan dalam kapasitor? Bila mika dengan permitivitas relatif 6 disisipkan diantara kedua keping, tentukan : (b) Kapasitas sekarang dan (c) penambahan muatan dalam kapasitor

Strategi:

Untuk kapasitor diisi dielektrik dan baterai tetap dihubungkan, kita pegang prinsip bahwa beda potensial antarkeping adalah tetap. Ini berarti, beda potensial sesudah dan sebelum disisipkan dielektrik adalah sama besarnya. Muatan keping setelah disisipi dielektrik mengalami kenaikan, sesuai dengan persamaan

q_D =

ε

_rq₀ Jawab :

Mula-mula kapasitor berisi udara dengan jarak pisah d = 0,5 cm = 5 × 10-3 m ; beda potensial V0 = 200 V; kapasitas C0 = 20 pF = 20 × 10-12 F

(a) Muatan yang tersimpan dalam kapasitor mula-mula, q0, dihitung dengan persamaan q₀ =C₀V₀ =(20×10−12)(200)=4×10−9 C= 4 nC

(b) Kapasitor sekarang diisi mika dengan permitivitas relatif r = 6. Kapasitas sekarang CD, dapat dihitung dengan persamaan

C_D =

ε

_rC₀ =6(20×10−12)=120×10−12F =120pF (c) Beda potensial sekarang, VD, sama dengan beda potensial mula-mula, V0

V_D =V₀ ⇔V_D =200V

Muatan kapasitor sekarang, qD, mengalami kenaikan, sesuai dengan persamaan: q_D =

ε

_rq₀ =6(4nC)=24nC

Dengan demikian, pertambahan muatan dalam kapasitor, ∆q, adalah ∆q =q_D−q₀ =24nC−4nC =20nC

Pada gambar 5.18, misalkan C1 = 6,0 µF, C2 = 3,0 µF, dan Vab = 18 V. Tentukan (a) kapasitor ekivalen, dan (b) muatan dan beda potensial tiap kapasitor.

Jawab :

(a) Kapasitas ekivalen, Cek susunan seri dapat Anda hitung dari persamaan

F C C C C ek ek

µ

0 , 2 0 , 9 18 18 0 , 6 0 , 3 0 , 3 1 0 , 6 1 1 1 1 2 1 = = + = + = + =

(b) Kita dapat menghitung muatan ekivalen, qek, untuk kapasitor pengganti seri pada gambar 5.18b

q C V F V C

V q

C = ⇔ _ek = _{ek ab} =(2,0

µ

)(18 )=36

µ

Untuk susunan seri, muatan pada tiap kapasitor sama dengan muatan ekivalennya. Jadi, q1 = q2 = qek

q1 = q2 = 36 µC

Beda potensial tiap kapasitor dihitung dengan persamaan V q C = atau C q V = = = = F C C q V

µ

µ

0 , 6 6 , 3 1 1 1 6 V = = = F C C q V

µ

µ

0 , 3 6 , 3 2 2 2 12 V

Perhatikan nilai kapasitas ekivalen susunan seri yang Anda peroleh pada (a). Tampak bahwa susunan seri kapasitor akan memperkecil nilai kapasitas.

Contoh 5.8 Pemahaman susunan paralel kapasitor

Pada gambar 5.19, misalkan C1 = 6,0 µF, C2 = 3,0 µF, dan Vab = 18 V. Tentukan (a) kapasitas ekivalen, (b) muatan dan beda potensial tiap kapasitor

Jawab:

(a) Kapasitor ekivalen, Cek susunan paralel dapat Anda hitung dari persamaan C_ek =C₁+C₂ = 6,0 + 3,0 = 9,0 µF

(b) Untuk susunan paralel, beda potensial pada tiap kapasitor sama dengan beda potensial ekivalennya.

Jadi, V1 = V2 = Vab = 18 V

q₁ =C₁V₁=(6

µ

F)(18V)= 108 µC q₂ =C₂V₂ =(3

µ

F)(18V)= 54µC

Perhatikan nilai kapasitas ekivalen susunan paralel yang Anda peroleh pada (a). Tampak bahwa susunan paralel kapasitor akan memperbesar nilai kapasitas.

Contoh 5.9 Menentukan kapasitas ekivalen rangkaian

1. Tentukan kapasitas ekivalen antara a dan b untuk susunan kapasitor-kapasitor yang ditunjukkan pada gambar 5.20a. Semua kapasitas dinyatakan dalam microfarad

Strategi:

Penyederhanaan rangkaian langkah demi langkah sampai Anda peroleh sebuah kapasitor ekivalen dapat diselesaikan dengan memperhatikan kotak strategi pemecahan masalah langkah 1 sampai dengan langkah 3

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan

2 1 2 1 C C C C C_ek + ×

= untuk susunan seri dua kapasitor dan persamaan C_ek =C₁+C₂+C₃+.... untuk susunan paralel dua buah kapasitor, kita menyederhanakan rangkaian awal pada gambar 5.20a langkah demi langkah sampai diperoleh sebuah kapasitor ekivalen pada gambar 5.20d. Penyederhanaan kita mulai dari rangkaian awal pada gambar 5.20a. Kapasitor 1,0 µF dan 3,0 µF pada bagian atas disusun paralel dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor dengan kapasitas C_ek1. Sesuai dengan persamaan

C_ek1=C₁+C₂ = 1,0 + 3,0 = 4,0 µF

Kapasitor 6,0 µF dan 2,0 µF pada bagian bawah juga disusun paralel dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor dengan kapasitas C_ek2.

C_ek2 = 6,0 + 2,0 = 8,0 µF

Rangkaian pada gambar 5.20a sekarang dapat kita sederhanakan menjadi seperti pada gambar 5.20b. Kapasitor 4,0 µF dan kapasitor C_ek1=4,0 µF pada bagian atas disusun seri. Kedua

kapasitor ini dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor dengan kapasitor C_ek3. Sesuai dengan persamaan = + × = + × = 0 , 4 0 , 4 0 , 4 0 , 4 2 1 2 1 3 C C C C C_ek 2,0 µF

Kapasitor C_ek2 = 8,0 µF juga disusun seri dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor dengan kapasitas C_ek4. 4,0 0 , 8 0 , 8 0 , 8 0 , 8 4 = + × = ek C µF

Rangkaian pada gambar 5.20b sekarang dapat kita sederhanakan menjadi seperti pada gambar 5.20c. Sekarang mari kita periksa gambar 5.20c. Kapasitor C_ek3 =2,0 µF dan kapasitor

0 , 4 4 = ek

C µF disusun paralel. Kedua kapasitor ini dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor ekivalen dengan kapasitas C_ek, seperti ditunjukkan pada gambar akhir 5.20d.

C_ek =2,0+4,0=6,0 µF Jadi, kapasitor ekivalen antara a dan b adalah 6,0 µF

2. Semua kapasitor pada gambar 5.21a adalah identik, dengan C = 1 µF. Tentukan kapasitas ekivalen antara a dan b.

Jawab:

Mari kita mulai menyederhanakan rangkaian awal pada gambar 5.21a. Ketiga buah kapasitor dengan kapasitas masing-masing C, yang diberi tanda bulatan putus-putus, disusun seri. Ketiga kapasitor ini dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor dengan kapasitas C₁. Karena ketiga kapasitor adalah identik, maka kita dapat menggunakan persamaan

3 C n C C_ek = =

Selanjutnya, pada gambar 5.21b, kapasitor C dan C₁ (dalam bulatan putus-putus disusun paralel, dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor C₂. Sesuai dengan persamaan

3 4 3 2 1 2 C C C C C C C = + = + =

Selanjutnya pada gambar 5.21c, kapasitor C,C₂ dan C (dalam bulatan putus-putus) disusun seri, dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor C₃. Sesuai dengan persamaan

11 4 4 11 4 4 3 4 1 4 3 1 1 1 1 1 3 2 3 C C C C C C C C C C C = = + + = + + = + + =

Selanjutnya pada gambar 5.21d kapasitor C dan C₃ (dalam bulatan putus-putus) disusun paralel dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor C₄.

11 15 11 4 4 3 4 C C C C C C C = + = + =

Akhirnya dari gambar 5.21e kita dapat menentukan kapasitor ekivalen rangkaian antara a dan b, ek

C . Disini C_ek adalah kapasitor ekivalen dari C, C4 dan C yang disusun seri. C C C C_ek 1 1 1 1 4 + + = C C C 1 15 11 1 + + = C 15 15 11 15+ + = C C C C_ek ek 41 15 15 41 1 = =

Karena diberikan C= 1 µF maka: 41 15 ) 1 ( 41 15 = = F C_ek

µ

µF

5.10 Beda potensial dan muatan pada rangkaian kapasitor

Tentukan beda potensial dan muatan tiap-tiap kapasitor pada rangkaian gambar 5.22a jika antara a dan b diberi beda potensial 12 volt. (semua kapasitas dinyatakan dalam microfarad)

Strategi:

Lakukan dahulu penyederhanaan rangkaian langkah demi langkah dengan menggunakan susunan seri dan paralel sampai Anda memperoleh sebuah kapasitor ekivalen. Kemudian, Anda melangkah mundur langkah demi langkah dari rangkaian terakhir ke rangkaian semula dengan menerapkan prinsip seri dan prinsip paralel dan menggunakan C=q/V (lihat langkah 4 pada kotak strategi pemecahan masalah)

Jawab:

Mari kita mulai menyederhanakan rangkaian awal pada gambar 5.22a. Kapasitor 2 µF dan 4 µF (dalam bulatan putus-putus) disusun paralel, dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor C1. Sesuai persamaan

C1 = 2 µF + 4 µF = 6 µF

Selanjutnya, pada gambar 5.22b, kapasitor 3 µF, C1 = 6 µF dan 6 F disusun seri, dan dapat kita ganti dengan sebuah kapasitor ekivalen Cek, sesuai dengan persamaan

6 1 6 1 3 1 1 + + = ek C 6 4 6 1 1 2 = + + = 2 3 4 6 = = ek C µF

Sekarang kita dapat menghitung beda potensial dan muatan pada tiap-tiap kapasitor dari rangkaian terakhir pada gambar 5.22c dan melangkah mundur ke rangkaian awal pada gambar 5.22a dengan menerapkan sei dan paralel, dan menggunakan persamaan dasar C=q/V. Pada gambar 5.22c. V_ab =12V dan 2 3 = ek C µF, sehingga )(12 ) 18 2 3 ( = = =C V F V q_{ek ek ab}

µ

µC

Rangkaian gambar 5.22c berasal dari rangkaian gambar 5.22b, yang mana Cek adalah susunan seri dan kapasitor-kapasitor 3 µF, C1 dan 6 µF. Menurut prinsip seri, muatan pada tiap-tiap kapasitor adalah sama yaitu sama dengan muatan pada kapasitor ekivalennya. Dengan demikian,

q_3µF =q_C1 =q_6µF =q_ek =18µC

q_3µF =18µC q_C1=18µC q_6µF =18µC

Karena q3µF, qC1 dan q6µF telah kita tentukan maka beda potensialnya dapat kita ketahui dengan menggunakan C=q/V atau V=q/C. 6 3 18 3 3 3 = = = F C F q V _F F

µ

µ

µ

µ µ V 3 6 18 6 6 6 = = = F C F q V _F F

µ

µ

µ

µ µ V 3 6 18 1 1 1= = = F C C q V C C

µ

µ

V

Rangkaian gambar 5.22b berasal dari rangkaian gambar 5.22a, yang mana C1 adalah susunan paralel dari kapasitor 2 µF dan 4 µF. Menurut prinsip paralel, beda potensial pada tiap kapasitor sama, yaitu sama dengan beda potensial kapasitor ekivalennya. Dengan demikian,

V₂µ_F =V₄µ_F =V_C1 =3V V_2µF =3V V_4µF =3V

Karena V2µF dan V4µF telah kita tentukan, maka muatan pada kapasitor 2 µF dan 4 µF dapat kita tentukan dengan menggunakan C=q/V atau q=CV.

q_2µF =(2

µ

F)V_2µF =(2

µ

F)(3V)=6µC q₄µ_F =(4

µ

F)V₄µ_F =(4

µ

F)(3V)=12µC

Contoh 5.11 Rangkaian listrik dengan kapasitor dalam keadaan tunak

Dalam rangkaian seperti gambar, kapasitor awalnya tak bermuatan dan saklar S1 dan S2 dalam keadaan terbuka. Berapakah arus baterai dan tegangan akhir pada C1 dan C2 lama setelah:

(a) saklar S1 saja yang ditutup

(b) saklar S1 ditutup dan lalu saklar S2 ditutup

Strategi :

Untuk saklar S2 terbuka jelas kapasitor C2 tak dapat dimuati hingga tegangan akhir pada C2 pastilah nol. Untuk saklar S1 ditutup dan S2 terbuka (kasus (a)) maka kapasitor C1 akan dimuati sampai penuh. Setelah C1 mencapai keadaan tunak, cabang rangkaian yang mengandung C1 akan terbuka sehingga rangkaian soal akan menjadi seperti rangkaian pada gambar 5.25. Untuk pertanyaan (b), di mana saklar S1 dan S2 ditutup, tentu saja tegangan akhir pada C1 dan C2 tidak nol. Setelah C1 dan C2 mencapai keadaan tunak, cabang rangkaian yang mengandung C1 dan C2 akan terbuka sehingga rangkaian soal akan menjadi seperti rangkaian pada gambar 5.26. Jawab:

(a) Rangkaian soal untuk saklar S1 ditutup, S2 dibuka dan C1 dalam keadaan tunak adalah seperti pada gambar 5.25 berikut ini

Tegangan akhir pada C2 jelas nol karena saklar S2 terbuka. Karena tak ada rangkaian tertutup melalui baterai 12 V maka kuat arus baterai i=0. Tegangan akhir pada C1 adalah Vab yaitu jalan dari A ke B. Jalan dari A ke B menentang kuat arus I yang melalui hambatan 100 dan melalui kutub + baterai 12 V terlebih dahulu. Jadi,

(b) Rangkaian soal untuk saklar S1 dan S2 ditutup dan C1 dan C2 dalam keadaan tunak adalah seperti pada gambar 5.26 berikut ini.

V =iR_total 12=i (100+50+150) 300 12 =

i A=0,04A (arus baterai)

Tegangan akhir pada C1 adalah VAB, yaitu jalan dari A ke B. Jalan dari A ke B melalui hambatan 100 sambil menentang arus i, dan melalui kutub + baterai 12 V terlebih dahulu.Jadi V_AB = i− ×100+12=−0,04(100)+12=8V (tegangan akhir pada C1)

Tegangan akhir pada C2 adalah VCD, yaitu jalan dari C ke D. Jalan dari C ke D melalui hambatan 150 sambil searah dengan i. Jadi

V_CD = i×150=0,04×150=6V (tegangan akhir pada C2) Contoh 5.12 Energi yang tersimpan dalam kapasitor

Sebuah kapasitor 50 µF dimuati oleh baterai 12 V. Kapasitor diputuskan dari baterai dan jarak pisah kedua kepingnya dinaikkan dari 2,00 mm menjadi 3,00 mm. (a) Berapakah muatan yang tersimpan dalam kapasitor? (b) Berapa banyak energikah yang mula-mula tersimpan dalam kapasitor? (c) Berapakah kenaikan energi ketika jarak pisah kedua kepingnya diubah?

Jawab:

Kapasitas kapasitor C = 50 µF

(a) Muatan, q, yang tersimpan dalam kapasitor ketika dimuati oleh baterai V=12V adalah Q=C V=(50 µF)(12V)= 600 µJ

(b) Banyak energi, W yang tersimpan dalam kapasitor adalah 3600 ) 12 )( 600 ( 2 1 2 1 = = = qV J V W

µ

µJ

Energi kapasitor dapat juga Anda hitung tanpa harus menghitung muatan, q, dengan persamaan (50 )(12 ) 3600 2 1 2 1 2 2 = = = CV F V W

µ

µJ

(c) Setelah kapasitor dipindahkan dari baterai, maka prinsip yang kita pegang bahwa muatan q adalah tetap. Karena muatan q tetap, maka rapat muatan =q/A juga tetap. Kuat medan listrik dalam ruang antarkeping E= / 0; karena tetap, maka E juga tetap. Beda potensial kedua keping V=E.d; karena jarak pisah kedua keping, d. Mula-mula d1 = 2,0 mm dan V1 = 12V; sekarang d2= 3,00 mm. Beda potensial sekarang, V2, dapat dihitung dari perbandingan V2/V1 sebagai berikut 1 2 1 2 Ed Ed V V =

(12 ) 18 0 , 2 0 , 3 ) ( ₁ 1 2 2 = = V = mm mm V d d V V

Energi yang tersimpan dalam kapasitor ketika jarak pisah 3,0 mm adalah (600 )(18 ) 5400 2 1 2 1 = = = qV J V W

µ

µJ

Dengan demikian, kenaikan energi yang tersimpan dalam kapasitor, W, adalah W = 5400 µJ – 3600 µJ = 1800 µJ

Contoh 5.13 Rapat energi maksimum di udara

Kuat medan tembus (“breakdown”) yang menyebabkan udara kering akan kehilangan kemampuan isolasinya, sehingga pelepasan muatan dapat melalui udara, kira-kira 3×106 m. Berapakah rapat energi pada kuat medan itu?

Jawab:

Kuat medan tembus atau kekuatan dielektrik untuk udara E = 3×106 m; 0 = 8,85×10-12 dalam SI. Rapat energi w dapat dihitung dengan persamaan

₀ 2 2 1 E w

ε

ρ

= (8,85 10 )(3 10 ) 40 2 1 2 6 2 = × × = − J/m3

Karena rapat energi ini berhubungan dengan kuat medan tembus, maka ini menampilkan rapat energi maksimum yang dapat dicapai dalam suatu medan listrik di udara.