Bundel Soal Mekanika

Buku ini tidak untuk dijadikan buku pegangan (referensi), buku

ini hanya untuk latihan soal.

Buku ini adalahkumpulan soal-soal tutorial, UTS danUAS yang telah dikumpulkan oleh penyusun. Soal-soal diambil dari buku pegangan sesuai silabus.

Jika ada yang salah baik dalam solusi atau pun soal yang ada dalam buku ini

silahkan kirimkan foto soal dansolusiyang menurut anda benar. Silakan menghubungi tim Akademik HIMAFI.

Terima kasih,  Akademik HIMAFI Penyusun : Meiliany Pranolo Φ13019 Fathiyul Fahmi Φ13063                  

1

Dengan koordinat silinder, jika

 ρ

=b  (konstan)

φ

=

ω

(

ω

konstan)

z =c t  (c  konstan) maka V  dan



a  ?



2

Sebuah roda sepeda dibalikan menjadi seperti disamping.

Tentukan: (gunakan koordinat bola)

a  a  di titik keliling roda



b a   di posisi tertinggi pada keliling 



roda

3

Tentukan V  di ujung bidang miring   jika:

a  Bidang miring licin

b   Bidang miring kasar dengan koe-fisien gesekan statis

µ

_s   dan koe-fisien gesekan kinetik 

µ

k 

4 _{Elektron berada dalam medan listrik dengan persamaan medan listrik} 

tersebut : E =E ₀sin(

_ω

t +

_ϕ

). Tentukan posisi elektron sebagai fungsi dari waktu!

5 _{Batang OA berputar sekitar O dan sudutnya diberikan oleh}

 _θ 

= 2t 2

dengan

θ 

dan t  masing-masing dinyatakan dalam radian dan sekon. Silinder B

meluncur spanjang OA sehingga posisinya dari O dinyatakan oleh r =60t 2

₋

20t 3

dengan r dalam milimeter. Pada saat t =1s  tentukan :

a  kecepatan dan percepatan silinder

b percepatan silinder relatif terhadap batang.

                                                        

6 _{balok besi bermassa m bergerak diatas lantai yang dilapisi}

den-ganolisehingga balok mendapatkan gaya gesekan sebagai berikut: F (v ) =

₋

b v ( 3₂)

dengan b adalah konstanta. Bila awalnya balok berada di x  = 0 dengan

ke-cepatan awal v ₀, tunjukkan bahwa balok tidak dapat menempuh jarak yang lebih

besar dari _b 2 m v 

1 2

0 .

7

Sebuah benda dengan massa 2 kg  didorong pada tanjakan yang memiliki gaya gesek  F  =

 ₋

k v   dan kemiringan

37o .Apabila kecepatan awal benda

adalah 2 m/s, tentukan: (k =2Ns/m) a  berapa jauh benda bergerak

se-belum berhenti?

b   berapa jauh benda akan mundur kembali?

8 _{Suatu parikel bermassa m bergerak dalam ruang dibawah pengaruh}

potensial : V  (_r ) =_{k r} 4_{; k} 

 _>

_{0, dengan r adalah jarak dari titik asal sumbu}

koordi-nat ke partikel tersebut.

a  Tentukan gaya yang bekerja pada partikel ini, periksalah apakah gaya kon-servatif atau tidak.

b Berapakah torka oleh gaya yang diperoleh? Apa pengaruh torka terhadap momentum sudut L?

c Tentukan persamaan gerak partikel dan tuliskan pernyataan Energi mekanik  sistem ini

d Bila lintasan partikel berupa lingkaran berjari-jari a, tentukan besar momen-tum sudut, energi mekanik dan periode gerak melingkar.

9            Sebuah                                  

Satelit explore I bermassa 14kg, dengan jarak terjauh ke bumi (apogee)

=   2552km, dan jarak terdekat ke

bumi(perigee)= 352 km.

(R _{b u m i}   =  5378km). G  = 6,67

_×

10

−

11, m b u m i  =6

×

1024kg 

a  tentukan L, E, T satelit b v di titik belok 

10

Tentukan penyebab gerak bandul menurut masing-masing pengamat!

11

persamaan

 ρ

=b ,

ϕ

=

ω

t , dan

ω

adalah konstanta.

a  Tentukan vektor kecepatan partikel tersebut. b Tentukan vektor percepatan partikel tersebut.

c Buktikan bahwa besar vektor percepatan adalah konstan.

12

gan laju awal v ₀. Roket tersebut dipengaruhi oleh medan gravitasi bumi g dan

gaya hambat udara f  =

₋

mk v , dengan k adalah tetapan gaya dan v adalah

ke-cepatan roket.

a  Tuliskan persamaan gerak roket

b Tentukan kecepatan roket sebagai fungsi waktu.

c Tentukan waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian maksi-mum.

13 _F (x , y , z 



) =

6x 2ˆi  + (4x z 

 ₋

2 y ) j ˆ +2z  ˆk 

a  apakah gaya F  konservatif?



b Hitunglah kerja yang dilakukan gaya F  untuk memindahkan sebuah benda



dari titik A(0,0,0) ke titik D(-2,1,4) melalui lintasan garis lurus AB kemudian BC lalu CD dengan titik B(-2,0,0) dan titik C(-2,1,0)

          

           Dalam sistem koordinat silender, sebuah partikel bergerak menurut

           Sebuah roket bermassa m ditembakkan secara vertikal keatas

den-           Pada sebuah partikel yang bermassa m bekerja gaya

c Hitung torsi terhadap titik asal(0,0,0) yang dialami pada saat benda berada di titik C.

14

Serangga berjalan pada jari-jari roda sepeda (r) dengan v konstan. Ten-tukan gaya-gaya yang bekerja pada serangga tersebut.

15 _{Diketahui posisi pada koordinat diam (S) adalah : r} 

_

= x  ˆi + y  ˆ j +z  ˆk  dan posisi pada koordinat yang berputar (S’) adalah : r 





 = _x 



 ˆ_i 



+ _y 



 _j  ˆ



+_z 



_k ˆ



. Tentukan hubungan antara d _{d t} r   dengan d _{d t}  r .

16 _{Partikel jatuh bebas dari ketinggian h.}

a  Hitung horizontal displacement akibat gaya coriolis

b   Jika h = 100, dan

ω

= _24jam2π   hitunglah horizontal displacement pada

λ

=

90o , 30o , 0o 

17

Sebuah bola berjari-jari a men-gelinding pada sebuah bidang miring  seperti pada gambar. Tentukan samaan gerak bola menggunakan per-samaan Lagrange.

18

Terdapat sebuah pesawat atwood dengan massa m ₂

>

m ₁ seperti pada gambar. Jika katrol dianggap sangat ringan sehingga massanya dapat dia-baikan, tentukan persamaan geraknya menggunakan persamaan Lagrange.

19                                                                    

Terdapat benda yang terikat den-gan pegas dan dapat bergerak pada rel seperti pada gambar. Jika rel licin sehingga kotak dapat bergerak bebas, tentukan persamaan geraknya meng-gunakan persamaan Lagrange.

20

Sebuah bulir air bergerak menu-runi jari-jari sepeda. Tentukan per-samaan gerak bulir air tersebut meng-gunakan persamaan Lagrange.

21 Diberikan fungsi potensial dua dimensi : V  (r ) = V 

 ₋

0

₋

1₂k 

δ

2_e −_δr 22

di-mana r = _x  ˆi  + _{y  ˆ j  dan V 0, k,}

_δ

_{adalah konstanta, tentukan fungsi gayanya.}

22 _{roda berjari-jari b mengelinding pada lantai dengan kecepatan}

konstan V ₀. Tentukan kecepatan relatif terhadap lantai dari titik tengah roda.

23

Sebuah serangga bermassa m  mer-ayap dengan laju tangensial tetap v  di tepi suatu piringan datar pada bidang 

x y    seperti pada gambar. Piringan

berjari-jari R  dan berputar dengan ke-cepatan sudut

ω



= p t  ˆz , p   adalah tetapan positif dan t   adalah variabel  waktu.

Jika arah percepatan gravitasi bumi masukbidanggambar, ditinjau oleh penga-mat dalam kerangka noninersial, tentukan :

a  besar dan arah gaya-gaya nyata pada serangga b besar dan arah gaya-gaya semu pada serangga

c persamaan gerak serangga

24                                  Sebuah                        

Dua buah benda bermassa m ₁

dan m ₂  dihubungkan dengan pegas

 yang memiliki konstanta k ₁, k ₂, k ₃  (li-hat gambar).

 Anggap lantai licin dan kedua massa melakukan osilasi dalam satu dimensi. Jika m 1 = m , m 2 =5m , k 1 = k , k 2 = 4k  dan k 3 = 8k , tentukanlah frekuensi

karak-teristik osilasi susunan benda.

25

Suatu sistem terdiri dari dua

partikel P 1 dan P 2   masing-masing 

bermassa m ₁ dan m ₂   yang

di-hubungkan oleh batang tegar ringan dengan panjang  l . Sistem bergerak  pada bidangvertikal xz denganpartikel P ₁ bebas bergerak sepangjang rel hori-zontal yang tetap. Jika seluruh gesekan diabaikan dan energi potensial partikel sepanjang sumbu x adalah 0, tentukan dalam koordinat umumnya

a  energi kinetik dan energi potensial sistem b funsional Lagrange sistem

c persamaan gerak sistem dangan menggunakan persamaan Lagrange

26 _{proton bermassa m  dan kecepatannya v 0 daam arah}

horion-tal, bertumbukan secara elastik dengan atom Helium bermassa 4m , yang diam.

Jika proton meninggalkan titik tumbukan dengan sudut 45o  terhadap garis

hor-izontal, tentukan

a  kecepatanproton dan atomHelium setelah bertumbukan menggunakan kerangka acuan laboratorium

b sudut hamburan proton dlaam kerangka acuan pusat massa

27

Sebuah benda bermassa m yang  terikat pada 2 pegas yang terikat di dinding seperti pada gambar. Anggap permukaan lantai licin. Tentukan per-samaan gerak benda menggunakan persamaan Lagrange.

          

          Sebuah

          

28

Sebuah benda bermassa m menu-runi bidang miring licin yang dapat

bergerak. Anggap permukaan

lan-tai licin sehingga bidang miring dapat bergerak. Tentukan persamaan gerak  benda menggunakan persamaan La-grange.

29

Sebuah massa m menumbuk se-buah dinding licin seperti pada gam-bar. Bila koefisien restitusi adalah e ,

tentukan sudut pantulan

ϕ

, kecepatan

akhir v  _f   dan energi yang hilang seba-gai fungsi dari kecepatan awal v _i  dan sudut

θ 

.

30

Dua buah massa yang identik  m  dihubungkan dengan pegas berkon-stanta k   seperti pada gambar, lantai licin. Ujung pegas dikaitkan pada titik   A di dinding. Anggap kedua massa

hanya dapat berosilasi pada satu di-mensi arah saja. Tentukan frekuensi normal dari vibrasi ini.

31

Tiga buah massa yang identik  m  terhubungkan dengan pegas berkon-stanta k   seperti pada gambar, lantai licin. Ujung pegas dikaitkan pada titik   A di dinding. Anggap ketiga massa

hanya dapat berosilasi pada satu di-mensi saja. Tentukan frekuensi normal dari vibrasi ini.

32 _{Sebuah kelereng dijatuhkan dari jarak 100 m diatas tanah dari posisi}

                                                          

45o  lintang selatan. Tentukan posisi dari tempat kelereng tersebut menumbuk  bumi. Anggap gaya sentrifugal sangat kecil sehingga diabaikan.

33 _{Sebuah peluru ditembakkan dengan membentuk sudut 30}o  _terhadap

bidang permukaan bumi dengan besarnya kecepatan awal 500 m/s. Posisi

pen-embakan adalah pada sudut lintang 60o  utara dan peluru diarahkan ke selatan.

Tentukan titik dimana peluru tersebut sampai ke tanah. Abaikan gaya sentrifu-gal.

34

Tentukan persamaan gerak dari sis-tem pesawat Atwood ganda seperti gambar disamping. Anggap katrol tak  bermassa.

35

a  Turunkan bahwa percepatan dari sebuahpartikel yang bergerak dalam bidang  dua dimensi untuk koordinat polar diberikan oleh



a = (r ¨

 ₋

r  ˙

θ 

2_{)r ˆ+ (r  ¨}

_θ 

 _{+2 ˙r  ˙}

_θ 

₎

_θ 

 ˆ

dimana r  dan

θ 

 adalah variabel.

b Seekor semut bergerak pada jari-jari roda yang berputar dengan kecepatan sudut

 ω

 = 6

π

t (rad/menit), dimana t adalah waktu. Posisi semut pada jari- jari sepeda terhadap titik pusat roda adalah r =2t 2 +t  (cm). Pada saat t = 2

detik, tentukanlah : 1. kecepatan semut 2. percepatan semut

36 denganmassa m beradadalam pengaruh gaya F =q E ₀cos(

_ω

t +

ϕ

), dimana q adalah muatan elekton dan

 ω

,

ϕ

, E ₀ masing-masing adalah

kon-stanta. Jika pada saat t=0 kecepatannya adalah 0 dan posisinya adalah x =0, ten-tukanlah kecepatan dan posisinya sebagai fungsi waktu.

          

          

          

           Elektron

37

a  Sebuah partikel mengalami osilasi harmonik sederhana (OHS). Saat

simpan-gannya adalah x ₁, kecepatannya adalah v ₁, sedangkan pada saat

simpan-gannya adalah x 2, kecepatannya adalah v 2. Menggunakan variabel-variabel

tersebut, tentukan frekuensi sudut dan amplitudo OHS tersebut.

b   Sebuah balok bermassa m dihubungkan dengan pegas dengan konstanta pe-gas k, berada di atas bidang kasar dengan gaya gesek yang dapat dinyatakan sebagai f  _{g e s e k a n}  =

₋

b v , dimana b adalah konstanta dan v adalah kecepatan. Turunkan persamaanumum gerak osilasi terseut untuk konsisi underdamped .

38

a  Bumi mengelilingi Matahari di bawah pengaruh gaya sentral. 1. Tunjukkan bahwa lintasan Bumi berada dalam bidang datar 2. Tunjukkan bahwa momentum sudut Bumi adalah kekal

b Bumi mengelilingi Matahari dengan jarak terjauh adalah 152,1 juta km dan  jarak terdekat adalah 147,1 juta km. Massa Bumi dan Matahari masing-masing 

adalah 5,97

_×

1024 kg dan 1,989

_×

1030 kg. Jika konstanta gravitasi adalah G =6,67

_×

10

−

11N m 2k g 

−

2,

1. Hitunglah esentrisitas Bumi

2. Hitunglah momentum sudut dan energi Bumi

3. Tunjukkan bahwa periode Bumi mengelilingi Matahari adalah 1 tahun Catatan : abaikan jari-jari Bumi dan Matahari

39 _{Bila pemampatan bumi pada kutub-kutubnya ikut diperhitungkan,}

maka fungsi potensial gravitasi bumi menjadi : V  (r ,

θ 

) =

₋

G M m  r 



1

₋

K 



R  r 



2

_

_3cos2

_θ 

 −

1





dengan G adalah konstanta gravitasi umum, M adalah massa bumi, m adalah massa partikel yang diamati, R adalah jari-jari rata-rata bumi, r adalah jarak dari

pusat bumi ke partikel pengamatan, K adalah konstanta dan

θ 

 adalah sudut

an-tara sumbu putar bumi dengan vektor pengamatan (lihat gambar di bawah). a  Tentukanlah gaya yang bekerja pada partikel pengamatan bermassa m ini. b   Hitunglah kerja yang harus dilakukan untuk membawa partikel bermassa m

tersebut dari titik A yang berada pada sumbu putar bumi ke titik B yang

be-rada pada bidang ekuator bumi melalui lintasan 1₄ lingkaran berjari-jari R0

dari A ke B (lihat gambar).

          

          

           

c Bila bumi dianggap bulat sem-purna, maka fungsi potensial gravi-tasi adalah seperti yang telah dikenal biasanya :

V  (r ) =

₋

G M m 

r 

tentukanlah kerja yang harus di-lakukan dalam pengaruh potensial gravitasi ini untuk membawa par-tikel bermassa m melalui lintasan  yang sama seperti soal nomor b. di

atas.

40 _{kelerengbermassa m dapat meluncurtanpa gesekan pada kawat}

 yang berbentuk cycloid (lihat gambar) yang memiliki persamaan parametrik : x =a (

θ 

 ₋

sin

θ 

) ; y =a (1+cos

θ 

)

a   Tentukanlah fungsi Lagrangian kel-ereng ini.

b   Turunkanlah persamaan gerak dari

kelereng ini dalam parameter

θ 

.

c   Dengan u  = cos



θ ₂



, tunjukkan bahwa persamaan berikut : d 2u 

t 2 +

g 

4a  u  = 0

adalah persamaan gerak yang diperoleh pada soal nomor b.

d Tunjukkan bahwa kelereng ini berosilasi dengan perioda 2

π

 

4a _g             Sebuah

41 = 2t ,

 ϕ

=

₋

π

t , z = t 

dalam koordinat silinder.

a  Tuliskan posisi dari partikel itu dalam koordinat kartesian dan silinder b Sketslah lintasan partikel itu sejak t=0 sampai t=4

c Tentukanlah kecepatan partikel itu dalam koordinat silinder

42 _F 



(x , y , z ) =

3x 2ˆi  + (2x z 

 ₋

 y ) j ˆ+z  ˆk  N.

a  Periksalah apakah gaya ini adalah gaya konservatif dan tentukanlah energi potensial dari gaya tersebut, jika sekiranya ada.

           Sebuah partikel bergerak menurut persamaan

 ρ

           Pada sebuah partikel yang bermassa m bekerja gaya

b Hitunglah kerja yang dilakukan gaya ini untuk memindahkan partikel dari titik A(0,0,0) ke titik B(2,1,3) melalui lintasan garis lurus AC kemudian CD lalu DB dengan titik C(2,0,0) dan titik D(2,1,0).

c Hitung pula kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel tersebut dari titik A ke B melalui lintasan yang diberikan oleh persamaan parametrikberikut : x =2t 2, y  =t , z =4t 2

₋

t  yaitu dari t=0 sampai t=1.

43

rada dalam suatu medium cair. Benda disimpangkan dan kemudian dilepaskan. Benda mengalami gaya pegas F _p =

₋

k x  dan gaya redaman F  _f  =

₋

b v .

a  Tuliskan persamaan gerak benda dan solusinya (x(t))

b Jika benda kemudian juga dikenai gaya luar F (t ) = F ₀sin(

ω

₀t ) secara hori-zontal, carilah solusi totalnya.

44

(sentral) F  =

₋

k r u _r , dengan u _r  adalah vektor satuan arah radial, r adalah jarak  partikel dari titik asal sumbu koordinat dan k adalah konstanta

a  Carilah energi potensial efektid dan buatlah kurvanya!

b dari kurva yang telah dibuat, uraikanlah konsisi (yang berkaitan dengan en-ergi dan posisi partikel) yang harus dipenuhi agar partikel bergerak berputar

membentuk sebuah lingkaran! Berapakahkecepatan partikel tersebut (v ₀)dan

kemanakah arah kecepatan tersebut?

45 partikel bergerak dengan laju v =p t  +q  (p dan q adalah

teta-pan dan t adalah waktu) pada lintasan lingkaran berjari-jari b. Dalam koordinat polar, tentukan

 

r (t ),

 

r ˙(t ),

 

r ¨(t )

46  =

1 kg, dan konstata pegas k =104 N/m mengalami gaya redaman -0,1v dan gaya

penggerak atau gaya paksa F = 10cos

ω

t . Satuan gaya yang digunakan adalah

newton.

a  Tuliskanlah persamaan diferensial bagi osilator tersebut b Tentukanlah solusi khususnya

c Tentukanlah amplitudo osilasi untuk keadaan resonansi

47 _F 



(x , y , z ) = (x 2 + y 2 +z 2)

−

1(x  ˆi +

 y  ˆ j +z  ˆk ) dengan x, y, z adalah komponen-komponen posisi partikel dlam koor-dinat Cartesian. Semua satuan dalam SI.

a  Periksalah apakah gaya tersebut konservatif 

           Sebuah benda terikat pada pegas pada posisi horizontal dan

be-           Tinjau sebuah partikel yang berada dibawah pengaruh gaya pusat

           Sebuah

           Sebuah sistem osilator harmonik satu dimensi dengan massa m

           Sebuah partikel dipengaruhi gaya

b Tentukanlah sudut antara vektor posisi dan vektor gaya tersebut

c Hitunglah usaha atau kerja yang dilakukan gaya tersebut terhadap partikel

untuk perpindahan sepanjang lintasan dengan persamaan parametrik  x  =

t 2, y =t 3, z =t  untuk nilai parameter t dari -1 sampai 2.

48 _{benda bermassa m mengorbit pada bidang xy menurut}

per-samaan r  =

 θ 

 karena gaya sentral konservatif F 



= f   (r )r .



θ 

 dan r adalah

koor-dinat sudut dan radial pada sistem koorkoor-dinat polar dua dimensi. Pada saat t=

0, benda berada pada jarak  r ₀ dari pusat koordinat dan sedang bergerak dengan

laju v 0.

1. Tentukanlah laju radial benda pada t=_{0 ( ˙r 0} = r ˙(₀)_{) dinyatakan dalam r 0 dan}

v ₀

2. Tentukanlah fungsi f(r)

3. Tentukanlah energi potensial efektif benda sebagai fungsi dari r. Gambarkan-lah sketsa grafik energi potensial efektif sebagai fungsi dari r

49  = 1000kg dan energi E  =

+108J bergerak mendekati Bumi. Andaikan geraknya hanya dipengaruhi oleh

medan gravitasi Bumi dan jarak terdekatnya terhadap Bumi adala 109 m, (Massa

Bumi M=6

_×

1024kg, konstanta gravitasi G =6,67

_×

10

−

11N m 2

/

k g 2).

a   Tentukanlah bentuk orbit dari benda angkasa tersebut dan lajunya dititik ter-dekat terhadap Bumi

b Bila pada saat di posisi terdekat denganBumi benda angkasa tersebut menum-buk benda angkasa lain sehingga jarak orbitnya terhadap Bumi menjadi tetap, tentukalah laju dan energinya pada orbit yang baru.

50

Dua buah partikel non-relativistik   yang bermassa sama, m, terlibat dalam

peristiwa tumbukan yang hampir head-on  (lihat gambar). Misalkan laju masing-masing partikel adalah u (kon-stan), dan trajektori salah satu partikel membentuk sudut (

θ 

0) terhadap

tra- jektori partikel lainnya serta pada saat t=0 terjadi tumbukan di titik origin.

a  Tentukanlah kecepatan pusat massa sistem ini dalam kerangka koordinat laboratorium

           Sebuah

           Sebuah benda angkasa dengan massa m

          

b Tentukanlah posisi pusat massa dari sistem ini dalam kerangka koordinat laboratorium

c   Jika u=10m/s,

θ 

0 = 37o  dan kecepatan salah satu partikel setelah tumbukan

adalah

₋

u ˆi , tentukanlah kecepatanmasing-masing partikel setelah tumbukan

dalam koordinat laboratorium dan koordinat pusat massa.

51 _v 





 sepanjang 

 jeruji sebuah roda sepeda yang berputar dengan kecepatan sudut tetap

ω



(arah



ω

vertikal ke atas).

a  Tentukanlah Coriolis dan gaya sentrifugal yang dialami oleh semut

b Bila antara semut dengan jeruji sepeda terdapat gesekan dengan koefisien

gesekan sebesar

 µ

_s  , tentukanlah jarak yang terjauh yang dapat dijangkau

oleh semut terseut sebelum selip

52 _{sistem terdiri dari dua buah osilator masing-masing bermassa}

m diapit oleh pegas bertetapan k dan 2k seperti ditunjukkan oleh gambar. Sis-tem diberi gangguan sedemikian rupa sehingga berosilasi di sekitar titik setim-bangnya dalam arah horizontal. Dengan mengabaikan massa pegas dan seluruh gesekan,

a  tuliskan persamaan osilasi masing-masing benda b tentukan frekuensi normal osilasi sistem

c tentukan kaitan amplitudo osilasi kedua benda untuk setiap frekuensi nor-mal yang diperoleh dari jawaban soal b.

53 _{Sebuah partikel bergerak dipengaruhi oleh gaya}

F 

=

−

k x 

+

_x a ₃

 den-gan k dan a adalah konstanta.

a  Tentukan fungsi potensial V(x), dan tentukan solusi x(t) serta ceritakan sifat solusi ini.

b Berikan interpretasi untuk gerak dengan E2 « ka.

54 Suatu pegas yang memiliki konstanta pegas k digantung secara

ver-tikal (anggap pegas tak bermassa). Kemudian pegas dibebani dengan sebuah balok bermassa m, sehingga pegas terenggang dan mencapai kesetimbangan baru. Tentukan solusi umum dari osilasi beban ini.

55

           Seekor semut merayap keluar dengan kecepatan tetap

           Suatu

          

           

          

Tentukan persamaan gerak dari su-atu sistem pegas dengan konstanta pe-gas k yang dikaitkan dengan massa m di atas lantai licin yang didorong den-gan gaya F =F ₀sin

ω

t .

56 _{Diketahui kedudukan setiap saat partikel A yang bermassa m}  

diny-atakan oleh r 



_a (t ) = 2t 2ˆi + 3t 3 j , dan partikel B dengan massa dua kali massa ˆ parikel A berada pada posisi r 



_b (_t ) =_t 2(ˆi  + _{2 ˆ j} + ˆk )_{. Tentukan kecepatan dan}

per-cepatan pusat massa sistem pada saat t=2 detik.

57 2 benda bermassa m ₁ dan m ₂ (m ₁

_

m ₂) bekerja gaya

sen-tral:

<

0 dan (L 

 _

=0). Persamaan umum geraknya adalah :

u 

=

1_r 

=

₋

m K _L 2

+

 A cos

(

_θ 

 ₋

_φ

)

, dimana

 A 

 =



m 

2_K  2 L 4

+

2m E  L 2



1 2 . Persamaan lintasannya berupa irisan konik dengan persamaan

r 

=

r 

₀₁₊1_e  cos+e 

_θ 

a  Tentukanlah potensial effektif  V e f f   susunan benda tersebut dan sketsalah

grafik V _{e f f}  =V _{e f f}   (r )

b   Tentukanlah r 0 dimana nilai dari V e f f  =E  bernilai minimum dan tentukalah

nilai E tersebut.

c Jika faktor eksentrisitas (e ) memenuhi nilai 0

<

e 

<

1, maka orbitnya berupa elips. Dalam hal ini tentukanlah nilai r _{mi n} dan r _{ma x} 

d Tentukanlah nilai e  yang dinyatakan dalam r _{mi n} dan r _{ma x} 

          

           Terhadap



F 

=

_r K ₂

r 

ˆ

, dimana K 

Solusi

1



r =_{b  ˆ}

 _ρ

+_{c t  ˆk} 



V  = d r 



d t  = d (b  ˆ

 ρ

+c t  ˆk ) d t  = ˙b  ˆ

 ρ

+b d  ˆ

 ρ

d 

φ

d 

φ

d t  +c  ˆk  =0+b 

ω

φ

ˆ +c  ˆk 



a = d V 



d t  = d  d t 



b 

ω

φ

ˆ +c  ˆk 



= ˙b 

ω

φ

ˆ +b d 

ω

d t 

ϕ

ˆ +b 

ω

d  ˆ

φ

d 

φ

d 

φ

d t  =

₋

_b 

_ω

2

 ρ

ˆ

2 _{a  Keadaan pada keliling roda :}

r =b 

 _→

r ˙ =0

_→

r ¨ =0

θ 

=

ω

₁t 

 _→

θ 

˙ =

ω

₁

_→

θ 

¨ =0

φ

=

_ω

₂t 

 _→

φ

˙ =

_ω

₂

_→

_φ

¨ =0



r =_{r  ˆr} 



V  = d r 



d t  = d (_{r  ˆr} ) d t  =r  ˆr ˙ +r  d  ˆr  d t  =r  ˆ˙r +r  ˙

θ 

θ 

ˆ + r  ˙

φ

sin

θ 

φ

ˆ



a = d 

 

v  d t  = (r ¨

 ₋

r  ˙

θ 

2

₋

_r  sin2

_φ

˙2_)r ˆ + (r  ¨

θ 

+2 ˙r  ˙

θ 

 ₋

r  sin

θ 

cos

θ 

φ

˙2₎

_θ 

 ˆ

+ (r  sin

θ 

φ

¨ +2 ˙r  ˙

φ

sin

θ 

 +2r  ˙

θ 

φ

˙cos

θ 

)

φ

ˆ

Persamaan ini adalah persamaan umum koordinat bola. Pada titik  keliling roda, subtitusikan nilai keadaan yang diketahui.



a = (

₋

b 

ω

2₁

₋

b  sin2(

ω

₁t )

ω

2₂)r ˆ

+ (

₋

b  sin(

ω

1t )cos(

ω

1t )

ω

2₂) ˆ

θ 

+ (2b 

ω

₁

ω

₂cos(

ω

₁t ))

φ

ˆ

b Pada posisi tertinggi roda,

θ 

= 0,

maka



a (

θ 

=0) = (

₋

b 

ω

2

1)r ˆ+ (2b 

ω

1

ω

2)

φ

ˆ

3

a   Jika mg  sin

θ 

 konstan, maka a = F  m =g  sin

θ 

s = x = h  sin

θ 

v 2 =_v 02+_{2a s}  =2g h  v =

 

_{2g h}  b F =mg  sin

θ 

 ₋

µ

_k mg  cos

θ 

=mg (sin

θ 

 ₋

µ

k  cos

θ 

) konstan

a = F 

m 

=_g (_sin

_θ 

 ₋

_µ

_k  cos

_θ 

)

a 

 >

0 jika :

(sin

θ 

 ₋

µ

s  cos

θ 

)

>

0

tan

θ 

 ₋

µ

_s 

>

0 tan

θ > µ

s 

a =0 jika tan

θ < µ

s 

4

diketahui bahwa F  =q E  dimana E

adalah medan listrik, dan q adalah be-sar muatan. Maka,

F =

₋

_{e E 0sin}(

_ω

_t +

_ϕ

) a = F  m  =

 −

e E 0 m  sin(

ω

t +

ϕ

) =

₋

a ₀sin(

ω

t +

ϕ

)

dimana a ₀ adalah a _{ma x} . v =v ₀ +

 

t  0

−

a ₀sin(

ω

t +

ϕ

)d t  =v ₀ + a 0

ω

cos(

ω

t +

ϕ

)

|

t  0 =v ₀ + a 0

ω

cos(

ω

t +

ϕ

)

−

 a ₀

ω

cos(

ϕ

)

dapat dilihat bahwa ketika t  =_{0, v} =_v 0 = _0,

x = x ₀ +

 

t  0



_v  0 +  a ₀

ω

cos(

ω

t +

ϕ

)

−

 a ₀

ω

cos(

ϕ

)



d t  = x ₀ +

 

t  0 v ₀d t +

 

t  0 a ₀

ω

cos(

ω

t +

ϕ

)d t 

 −

 

t  0 a ₀

ω

cos(

ϕ

)d t  = x ₀ +v ₀t 

 ₋

a 0

ω

2 sin(

ω

t +

ϕ

) + a 0

ω

2 sin(

ϕ

)

−

 a 0t 

ω

cos(

ϕ

)

Subtitusikan nilai a ₀ = e E 0

m  x = x ₀ +v ₀t 

 ₋

e E 0 m 

ω

2 sin(

ω

t +

ϕ

) + e E ₀ m 

ω

2 sin(

ϕ

)

−

 e E ₀t  m 

ω

cos(

ϕ

)

5 _{akan lebih memudahkan untuk memakai koordinat polar, maka}

r =_r  ˆr  v = d r  d t  =r  ˆ˙r +r  d  ˆr  d t  =r  ˆr ˙ +r d  ˆr  d 

θ 

d 

θ 

d t  v =r  ˆr ˙ +r 

θ 

θ 

ˆ a = d v  d t  = (r ¨

 ₋

r  ˙

θ 

2_{)r ˆ+ (2 ˙r  ˙}

_θ 

_{+r  ¨}

_θ 

₎ ˆ

_θ 

a  Dari soal dapat diketahui :

r =_60t 2

₋

_20t 3

_θ 

=_2t 2 ˙ r =120t 

 ₋

60t 2

θ 

˙ =4t  ¨ r =120

₋

120t 

θ 

¨ =4 maka saat t  =1s , r =40

θ 

=2 ˙ r =60

θ 

˙ =4 ¨ r =0

θ 

¨ =4

subtitusikan pada persamaan

atas, didapat :

v =60 ˆr +160 ˆ

θ 

a =

₋

480 ˆr +640 ˆ

θ 

b percepatan silinder relatif ter-hadap batang berarti batang di-anggap diam, maka jawabannya adalah komponen r dari a.

6 F (_v ) =

₋

_{b v} 32 m d v  d x  d x  d t  =

−

b v  3 2 m d v  d x  v =

−

b v  3 2 m v d v  =

₋

_{b v} 32d x  m v d v  

−

b v 32 =d x 

 

  m v d v  

−

b v 32 =

 

d x 

 

md v 

−

b v 12 =

 

_{d x} 

−

m  b 

 

d v 

 

_v  =

 

d x 

−

m  b  2

 

_v 

|

v v ₀ = x 

|

x  x ₀

−

2m  b  (v  1 2

−

v 12 0 ) = x 

 −

x 0 ∆x _{ma x}  =

−

2m  b  (v  1 2

−

v  1 2 0 )

benda berhenti saat kecepatananya menjadi 0, yaitu saat v =0, sehingga

∆x _{ma x} =

 −

2m  b  (

−

v  1 2 0 ) ∆x _{ma x} = 2m v  1 2 0 b  7 F  =

−

(mg  sin

θ 

 +k v ) m v d v  d x  =

−

mg  sin

θ 

 −

k v  d v  d x  =

−

mg  sin

θ 

 ₋

k v  m v 

 

x  f   x _i  d x =

₋

 

v  f   v _i  m v 

−

mg  sin

θ 

 ₋

k v  d v  x  _f  

 ₋

x _i =

₋

 

v  f   v i  v 

−

g  sin

θ 

 ₋

_m k v d v  a  saat berada di titik max, v = 0.

Subtitusikan konstanta agar memudahkan perhitungan(ambil g =10m/ s 2). x  _f  =

₋

 

0 2 v 

−

6

₋

v  d v  misalkan u=6+v, maka x  _f  =

₋

 

6 8 u 

₋

6 u  d u  =

₋

(_u 

₋

_{6 ln u} )

_|

6₈ x  _f  =₂+_{6 ln} 3 4 8

a  V  (r ) =k r 4 karena F  =

_−∇

V   maka F  =

₋

4k r 3r .ˆ

gaya tersebut konservatif apabila memenuhi

 _∇×

F  = _{0. Dengan koordinat}

bola,

∇ ×

F  =r ˆ



∂ 

∂ θ 

1 r  sin

θ 

 F ϕ

−

∂ 

∂ ϕ

1 r F θ 



−

θ 

ˆ



∂ 

∂ 

r  1 r  sin

θ 

 F ϕ

−

∂ 

∂ ϕ

F r 



+ ˆr 



∂ 

∂ θ 

1 r  sin

θ 

 F ϕ

−

∂ 

∂ ϕ

1 r F r 



karena F hanya mempunyai komponen r

∇ ×

F  =

₋

θ 

ˆ



₋

∂ 

∂ ϕ

F r 



_+ ˆr 



−

_{∂ ϕ}

∂ 

1_r F _r 



=

₋

_θ 

ˆ



₋

∂ 

∂ ϕ

 −

4k r  3



_+ ˆr 



−

_{∂ ϕ}

∂ 

1_r 

−

4k r 3



∇ ×

F  =0

Gaya tersebut konservatif.

b

τ

=r 

 _×

F , karena F konservatif, maka

τ

=0, yang berarti L konstan. c

9

a  Menentukan nilai a:

2a = Apogee+2R _{b u m i}   + Perigee 2a =2552+2

_×

6378+352

a =7830k m 

Menentukan nilai r _{mi n} dan r _{ma x} :

r _{mi n} =6378+352=6730k m 

r _{ma x} =6378+2552=8930k m 

Menentukan nilai e  (eksentrisitas): e = r ma x 

 −

r mi n 

r _{ma x}  + r _{mi n}  =0,14

Menentukan nilai L: F  = k  r 2 =G  m _b m _{s a t e l i t}   r 2 k =_{G m b m s a t e l i t}  =_5,6

_×

₁₀15_{N m} 2 a =

₋

k  2E 

nilai a negatif agar geraknya bounded(terikat) E = k 

−

2a  =

−

3,6

×

10 8 _J  L  = (mk a (1

₋

e 2))12 =7,8

×

1011k g m 

/

s 2 Menentukan nilai T: T =



4

π

2_ma 3 k 



12 =114,7menit

b Menentukan v di titik belok,  Apogee v _{mi n} = L  m r _{ma x}  =6,24

×

10 3 m 

/

s  Perigee v _{ma x} = L  m r _{mi n}  =8,28

×

10 3 m 

/

s  10

a  Pengamat A (non-inersial)

Menurut pengamat A, penyebab miringnya bandul adalah gaya fiktif karena kerangka non-inersial (tidak ada a)

T  cos

θ 

=mg  T  sin

θ 

=F _x 



tan

θ 

= F x 



mg 

F _x 



=_mg  tan

_θ 

diagram benda bebas

b Pengamat B (inersial)

Menurut pengamat B,penyebab miringnya bandul adalahgerak gerobak (a ₀).



_F x =ma  T  sin

θ 

=_ma 0 T  cos

θ 

=mg  tan

θ 

= a 0 g  a ₀ = g  tan

θ 

diagram benda bebas

11

_ρ

=b ,

ϕ

=

ω

t 

a 



r =

 _ρ

 ρ

 ˆ =b  ˆ

 ρ



v =

 ρ

˙

 ρ

 ˆ +

 ρ

ϕ

˙

ϕ

ˆ =₀+_b 

_ω

ϕ

 ˆ



v =b 

ω

ϕ

 ˆ b



a = d 

 

v  d t  = ˙b 

_ω

ϕ

 ˆ +b  ˙

ω

ϕ

 ˆ +b 

ω

ϕ

 ˆ˙ =0+0+b 

ω

(

₋

ω

 ρ

ˆ)



a =

₋

_b 

_ω

2

 ρ

ˆ

c   besar vektor percepatan adalah koefisien dari ˆ

 ρ

, yaitu

₋

b 

ω

2_.

d 

d t (

−

b 

ω

2_{) =0}

maka dapat disimpulkan besar percepatan konstan. 12 _a  F =ma 

−

mg 

 ₋

mk v =ma  a =

₋

g 

 ₋

k v  b d v  d t  =

−

g 

 −

k v  d v 

−

g 

 ₋

k v  =d t 

 

v  v 0 d v 

−

g 

 ₋

k v  =

 

t  0 d t 

−

_k 1 ln

_|

g +_{k v} 

_||

v _v  0 =t  ln

_|

g +k v 

_||

v _v  0 =

−

k t  ln

_|

g +k v 

_{| −}

ln

_|

g +k v ₀

_|

=

₋

k t  ln

_|

g +_{k v} 

_|

=_ln

_|

_g +_{k v 0}

_{| −}

_{k t}  g +k v = (g +k v ₀)e 

−

k t  ∴v = 1 k  [(g +k v 0)e 

−

k t 

−

g ] c v =0 (g +k v ₀)e 

−

k t =g  e 

−

k t = g  g +k v ₀

−

k t =ln





_



g  g +k v ₀









t =

₋

1 k ln









g  g +k v ₀









13 _F (x , y , z 



) =6x 2ˆi +(4x z 

₋

2 y ) j ˆ+2z  ˆk  a  Gaya konservatif adalah gaya yang 

memenuhi

_{∇ ×}

F =0

∇ ×

F  = ˆ i   j ˆ k ˆ ∂  ∂  x  ∂  ∂  y  ∂  ∂ z  6x 2 4x z 

 ₋

2 y  2z  = (

₋

4x )ˆi 

 ₋

(0) j ˆ + (4x )k ˆ ∴ F tidak konservatif 

b   Untuk memudahkan dihitung us-aha pada setiap lintasan dahulu

1. lintasan AB, (0,0,0)

_→

(-2,0,0) x =x, y =0, z =0 dx =dx, dy =0, dz =0 W ₁ =

 

B   A  F d s  =

 

−

2 0 6x 2d x  +

 

0 0 F  y d y  +

 

0 0 F _z d z  =2x 3

_|

−

₀2 =

₋

16 J    

2. lintasan BC, (-2,0,0)

_→

(-2,1,0) x =-2, y = y, z =0 dx =0, dy = dy, dz=0 W ₂ =

 

C  B  F d s  =

 

−

2

−

2 F _x d x  +

 

1 0 (4.

₋

2.0

₋

2 y )d y +

 

0 0 F z d z  =

₋

 y 2

_|

1₀ =

₋

1 J  3. lintasan CD, (-2,1,0)

_→

(-2,1,4) x =-2, y =1, z =z dx =0, dy =0, dz =dz W ₃ =

 

D  C  F d s  =

 

−

2

−

2 F _x d x  +

 

1 1 F  _y d y +

 

4 0 2z d z  =z 2

_|

4₀ = 16 J  ∴W _{t o t a l}  =W ₁ +W ₂ +W ₃ =

−

1 J  c pada titik C (-2,1,0)



F =_24ˆi 

 ₋

_{2 ˆ j ,}

 

r =

₋

_2ˆi  + _j ˆ

τ

=_F 



 _×

_r 

_

= ˆi   _j ˆ _k ˆ 24

₋

2 0

−

2 1 0

τ

=20 ˆk  14



r 



(r _{s e r a n g g a}  ) = x 



 ˆi 



, serangga bergerak keluar, serangga berada di kerangka acuan non-inersial.

Dengan menggunakan aturan tangan kanan,

ω



=

_ω

_k  ˆ





r 



 = x 



 ˆi 



˙



r 



 = x ˙



 ˆi 



¨



r 



 =0 a  Gaya sentrifugal.

F _{s e n t r i f ug a l}  =

₋

m 

ω

k  ˆ



_×

(

ω

k  ˆ



_×

x 



 ˆi 



) =

₋

(

₋

m 

ω

2x 



 ˆi 



) =m 

ω

2x 



 ˆi 



b Gaya Coriolis F _{c o r i o l i s}  =

₋

2m 

ω



_×

 d r 





d t  =

₋

2m 

ω

k  ˆ



_×

x ˙



 ˆi 



=

₋

_2m 

_ω

 ˙_x 



 j  ˆ



Jadi dapat digambarkan

Kalau semut bergerak ke dalam

15 d r 



d t  = d  d t (x 



 ˆi 



 + y 



 j  ˆ



 +z 



k ˆ



) =x ˙



 ˆi 



 +x 



d  ˆi 



d t  + y ˙



 j  ˆ



 + y 



d  ˆ j 



d t  +z ˙



k ˆ



 +z 



d  ˆk 



d t 

=x ˙



 ˆi 



 + y ˙



 j  ˆ



 +z ˙



k ˆ



 +x 



d  ˆi 



d t  + y 



d  ˆ j 



d t  +z 



d  ˆk 



d t  d r 



d t  = d 

 

r 



d t  +x 



d  ˆi 



d t  + y 



d  ˆ j 



d t  +z 



d  ˆk 



d t 

Misal S’ berputar terhadap S dengan kecepatan sudut

ω

,



v =

ω



_×

r 



d r 



d t  =

ω



×

r 



atau dapat dianalogikan :

d  ˆi 



d t  =

ω



×

i ˆ



d  ˆ j 



d t  =

ω



×

 j ˆ



d  ˆk 



d t  =

ω



×

k ˆ



Subtitusikan ke persamaan sebelumnya, d r 



d t  = d r 





d t  +x 



(

ω



×

i ˆ



) + y 



(

ω



×

 j ˆ



) +z 



(

ω



×

k ˆ



) ∴ d r 



d t  = d r 





d t  +

ω



×

r 



16 Diketahui : v _{a w a l}  =0

ω

 y  =

ω

cos

λ

ω

_z =

ω

sin

λ

ω

x =0   

a 



v 



 = v (

₋

z 



) =

₋

v z 





a _{c o r i o l i s}  =

₋

2

ω



_×

v 





= ˆ i 



 j ˆ



k ˆ



0

ω

cos

λ ω

sin

λ

0 0

₋

v  =

₋

2(

₋

v 

ω

cos

λ

)i ˆ



subtitusikan v =v 0+g t  karena v 0 = 0, maka v =g t  d 2x 



d t 2 =2

ω

g t  cos

λ

d x 



d t  =2

ω

g t  2_cos

_λ

_+v  0x  x 



 = 1 32

ω

g t  3 cos

λ

+x ₀



= 1 3

ω

g t  3_cos

_λ

x’ adalah horizontal displacement.

b h  = 100=z 



= 1 2g t  2

→

t =

 



2h  g 

subtitusikan t kedalam persamaan horizontal displacement x 



 = 1 3

ω

g 



2h  g 



32 cos

λ

untuk masing-masing 

λ

:

λ

=30o 

_→

x 



 = 1,89cm

λ

=0o 

_→

x 



 = 2,19cm

λ

=90o 

_→

x 



 = 0cm

Karena kecepatan awal nol, maka dapat didapati persamaan umum :

x 



 = 1 3

ω

g t  3_cos

_λ

z 



 = 1 2g t  2 17

a  Energi Kinetik (T) T = 1 2m  ˙x 2+ 1 2I 

ω

2 = 1 2m  ˙x 2+ 1 2



1 2mR  2

 

V  R 



2 = 1 2m  ˙x  2₊ 1 4m  ˙x  2 = 3 4m  ˙x 2 b Energi Potensial (V) V  =mg (l 

 ₋

x )sin

θ 

 +mg a  cos

θ 

c Lagrangian (L) L =T 

 ₋

V  = 3 4m  ˙x  2

₋

_mg (l 

 ₋

_x )sin

_θ 

 ₋

_{mg a  cos}

_θ 

d Penyelesaian persamaan

La-grangian: d  d t 



 ∂ 

L 

∂ 

q ˙ _j ˆ



−

_∂ 

∂ 

_q L _ˆ  j  =0

∂ 

L 

∂ 

q ˙ j ˆ =

∂ 

L 

∂ 

x ˙ = 3 2m  ˙x 

∂ 

L 

∂ 

q  _j ˆ =

 ∂ 

L 

∂ 

 x  =mg  sin

θ 

  

d  d t 



3 2m  ˙x 



−

mg  sin

θ 

=0 3 2m  ¨x 

 −

mg  sin

θ 

=0 ∴ x ¨ = 2 3g  sin

θ 

18

a  Energi Kinetik (T) T = 1 2m 1x ˙2 + 1 2m 2x ˙2 = 1 2(m 1 +m 2)x ˙ 2 b Energi Potensial (V ) V  =m ₁g (

₋

x ) +m ₂g (

₋

l +x ) =m 2g x 

 −

m 1g x 

 −

m 2g l  c Lagrangian (L) L =T 

 ₋

V  = 1 2(m 1 +m 2)x ˙2

−

m 2g x 

 −

m 1g x 

 −

m 2g l 

d Penyelesaian persamaan

La-grangian: d  d t 



 ∂ 

L 

∂ 

q ˙ _j ˆ



−

_∂ 

∂ 

_q L _ˆ  j  =0

∂ 

L 

∂ 

q ˙ j  ˆ =

∂ 

L 

∂ 

x ˙ = (m 1 +m 2)x ˙

∂ 

L 

∂ 

q  _j ˆ =

∂ 

L 

∂ 

 x  = (m 1

−

m 2)g  d  d t ((m 1 +m 2)x ˙)

−

(m 1

−

m 2)g =0 ∴ x ¨ =g m 1

−

m 2 m ₁ +m ₂ 19

a  Energi Kinetik (T) T = 1 2m  ˙x  2 b Energi Potensial (V ) V  = 1 2k (x  2₊ a 2) c Lagrangian (L) L  = T 

 ₋

V  = 1 2m  ˙x 2

−

 1 2k (x  2_+a 2₎

d Penyelesaian persamaan

La-grangian: d  d t 



 ∂ 

L 

∂ 

q ˙ _j ˆ



−

_∂ 

∂ 

_q L  ˆ  j  =0

∂ 

L 

∂ 

q ˙ j  ˆ =

∂ 

L 

∂ 

x ˙ =m  ˙x 

∂ 

L 

∂ 

q  _j ˆ =

 ∂ 

L 

∂ 

 x  =

−

k x  d  d t (m  ˙x )

− −

k x =0 (m  ¨x ) +k x =0 ∴ x ¨ =

 −

k  m  x  xdapatdigantidengan A cos

 

 k _m +

ϕ



20   

a  Energi Kinetik (T) T = 1 2m  ˙x  2 = 1 2m (r  ˆ˙r +r  ˙

θ 

θ 

ˆ) 2 = 1 2m  ˙r 2+  1 2m r  2

_θ 

_˙2 b Energi Potensial (V ) V  =mg r  sin

θ 

c Lagrangian (L) L  = T 

 ₋

V  = 1 2m  ˙r 2 + 1 2m r  2

_θ 

_˙2

−

mg r  sin

θ 

d Penyelesaian persamaan

La-grangian: d  d t 



 ∂ 

L 

∂ 

q ˙ _j ˆ



−

_∂ 

∂ 

_q L  ˆ  j  =0

∂ 

L 

∂ 

q ˙ j  ˆ =

 ∂ 

L 

∂ 

r ˙ =m  ˙r 

∂ 

L 

∂ 

q  _j ˆ =

∂ 

L 

∂ 

r  =m r  ˙

θ 

2

₋

_mg  sin

_θ 

d  d t (m  ˙r )

−

(m r  ˙

θ 

2

₋

_mg  sin

_θ 

_{) =0} m  ¨r 

 ₋

m r  ˙

θ 

2_+mg  sin

_θ 

₌₀ ∴r ¨ =r  ˙

θ 

2

−

g  sin

θ 

21 _{Pertama tuliskan ulang fungsi potensial sebagai fungsi dari x dan y} 

V (x , y ) =V 0

−

 1 2k 

δ

2

e −(x 2δ+2 y 2)

dan aplikasikan operator gradien :



F =

_−∇

V  =

₋



ˆi 

∂ 

∂ 

 x  + j ˆ

∂ 

∂ 

 y 



_{V  (x , y )}

=

₋

_k (_{i x} ˆ  + _{j y} ˆ )_e −(x 2δ+2 y 2)

=

₋

k r e −δr 22

V ₀ tidak muncul pada fungsi gaya, karena nilainya hanya menaikkan atau

menu-runkan nilai dari fungsi energi potensial.

22 Tentukan sistem koordinat padaroda yang berputar seperti padagambar. Maka

didapati :

r 



 = i ˆ



b a 



 = ¨



=r 0



v 



 = r ˆ˙



 = 0  Vektor kecepatan sudut :

ω

=k 

ω



 _{= k} 



V 0

b 

Maka kecepatannya dapat ditentukan :



a =

_ω

_×

(

_ω

_×

r 



) =k 



ω

_×

(k 



ω

_×

i ˆ



b ) = V  2 0 b  k 



×

(k 



×

i ˆ



) = V  2 0 b  k 



×

 j ˆ



= V  2 0 b  (

−

i ˆ



) maka besar daria  adalah



V 0 2

b  dan arahnya menuju pusat dari roda.