LOKALISASI RING NONKOMUTATIF ATAS HIMPUNAN BAGIAN MULTIPLIKATIFNYA

(1)

L

OKALISASI

R

ING

N

ONKOMUTATIF

A

TAS

H

IMPUNAN

B

AGIAN

M

ULTIPLIKATIFNYA Icih Sukarsih

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Islam Bandung

Jalan Tamansari 1 Bandung, 40116, Indonesia

e-mail: [email protected]

Abstrak. Dalam aljabar komutatif, dari setiap ring komutatif R dan himpunan multiplikatif S dengan 1S, 0S, dan S tidak memuat pembagi nol, selalu dapat dibentuk ring komutatif dengan elemen satuan

s

R dan homomorfisma :

s

R R

  sehingga untuk setiap sS



( )

S

adalah unit dalam R_s, yang disebut lokalisasi R atas S. Untuk ring non komutatif, pembentukan ring yang demikian tidak selalu dapat dilakukan. Syarat perlu dan cukup supaya dari ring non-komutatif dapat dilakukan lokalisasi seperti diatas adalah S harus bersifat permutable dan reversible

Kata kunci: ring, lokalisasi, himpunan multiplikatif.

1. Pendahuluan

Konsep tentang lokalisasi merupakan konsep yang sangat penting dalam mempelajari teori ring. Konsep ini merupakan generalisasi dari pembentukan lapangan bilangan rasional Q dari daerah integral bilangan bulat Z dan Z Q. Generalisasi dari hal di atas adalah dari sebarang daerah integral dapat dibentuk lapangan yang memuat daerah integral tersebut dimana pembentukannya mengikuti pembentukan lapangan bilangan rasional dari daerah integral bilangan bulat. Lapangan tersebut disebut sebagai lapangan hasil bagi (Quotien field).

Generalisasi ini ternyata masih dapat diperluas, dimana untuk sebarang ring komutatif dengan elemen satuan dapat dibentuk struktur aljabar seperti di atas. Akan tetapi, struktur aljabar yang terbentuk bukanlah merupakan lapangan melainkan ring komutatif dengan elemen satuan. Untuk setiap ring komutatif R dan himpunan bagian S dari R yang memenuhi stS

untuk setiap s t, S, 0Sdan S tidak memuat pembagi nol, dapat dibentuk ring hasil bagi RS yang disebut lokalisasi dari R atas S. Pertanyaannya adalah, apakah untuk sebarang ring komutatif, lokalisasi seperti di atas dapat dilakukan?. Ternyata tidak demikian, dalam ring non-komutatif, lokalisasi tidak selalu dapat dilakukan, diperlukan syarat tambahan pada himpunan multiplikatifnya sehingga dapat dibentuk ring hasil bagi kiri atau kanan. Berikut ini akan dibahas syarat perlu dan cukup agar dari suatu ring non-komutatif dapat dibentuk ring hasil bagi.

2. Lokalisasi

Definisi 2.1.

Jika R ring komutatif, himpunan bagian S dari R disebut tertutup secara muktiplikatif jika untuk setiap s t, S maka stS.

(2)

Definisi 2.2.

Misalkan R ring komutatif dan misalkan 0S adalah himpunan bagian dari R yang tertutup

secara multiplikatif dan tidak memuat pembagi nol. Lokalisasi dari R atas S adalah ring komutatif RS dengan satuan, dan suatu homomorfisma ring :RRS, sehingga untuk setiap

sS, 

 

s adalah unit di RS. Teorema 2.3.

(1) Setiap elemen dalam

R

_S mempunyai bentuk 

   

r  s 1 dimana rR dan sS. (2) ker

  

  rR rs: 0 untuk suatu sS



3. Lokalisasi Ore

Dalam aljabar non-komutatif, dari suatu ring non-komutatif R dan himpunan multiplikatif

S R yang memenuhi stS untuk setiap s t, S,1 S , dan 0S, diperlukan syarat tambahan pada S untuk menghasilkan ring hasil bagi kiri (kanan). Definisi berikut mengikuti bentuk ring hasil bagi dari ring komutatif R atas S.

Definisi 3.1.

Ring hasil bagi kiri atau lokalisasi kiri dari ring non-komutatif R terhadap himpunan multiplikatif S R, dinotasikan dengan S R1 dan homomorfisma : R



S R1 sedemikian

hingga

(1)



 

s

adalah invertible dalam S R1 untuk setiap s S

(2) Setiap elemen dalam S R1 mempunyai bentuk 

   

s 1 a untuk suatu sS dan a R

(3) ker

 

 



rRsS,sr0



Ring hasil bagi kanan atau lokalisasi kanan didefinisikan secara similar. Ring hasil bagi kiri 1

S R tidak selalu ada, jika S R1 ada dapat disimpulkan dua syarat perlu pada S yang ditemukan oleh Ore sebagai berikut.

Teorema 3.2.

Jika terdapat lokalisasi kiri dari R terhadap himpunan multiplikatif S R, maka (1) SaRs0 untuk setiap sS dan a R

(2) Jika sS dan a R sedemikian hingga as 0, maka terdapat t S sedemikian hingga

0 ta 

Bukti :

Jika S R1 ada, maka 

   

a , s 1



S R1 , sehingga 

   

a  s 1



S R1 . Berdasarkan Definisi 3.1 (2)



   

a



s 1S1R harus mempunyai bentuk



   

t 1



b untuk suatu t S dan

R

b  . Dengan demikian,



   

a



s 1 



   

t 1



b , sehingga



   

t



a





   

b



s

, maka



ta



bs





0 

. Jadi

ta



bs



ker

 



, maka berdasarkan Definisi 3.1(3) terdapat u S sedemikian hingga

u



ta



bs





0

, atau uta ubs dengan ut S dan ub R. Selanjutnya misalkan as 0 untuk setiap a R dan s S, maka



   

a



s



0

.

(3)

Karena



 

s

invertable, maka



 

a 

0

dalam S R1 . Jadi

a 

ker

 



, maka terdapat t S sedemikian hingga ta 0. ٱ Definisi 3.3.

Himpunan multiplikatif S R yang memenuhi kondisi (1) pada Teorema 3.2 disebut

permutable kiri atau himpunan Ore kiri. Sedangkan himpunan multiplikatif S R yang

memenuhi kondisi (2) pada Teorema 3.2 disebut reversible kiri. Definisi 3.4.

Jika himpunan multiplikatif S R adalah himpunan Ore kiri dan reversible kiri, maka S disebut

himpunan denominator kiri. Teorema 3.5.

Ring non-komutatif R mempunyai ring hasil bagi kiri terhadap himpunan multiplikatif S jika dan hanya jika S himpunan denominator kiri.

Bukti :

Jika R mempunyai ring hasil bagi kiri terhadap himpunan multiplikatif S, maka berdasarkan Teorema 3.2, S adalah himpunan Ore kiri dan reversible kiri. Jadi S himpunan denominator kiri. Sebaliknya, misalkan S himpunan denominator kiri, akan dibentuk ring hasil bagi S R1 . Misalkan didefinisikan relasi ~ pada S R dengan

  

s

,

a

~

s

'

,

a

'



jika dan hanya jika terdapat b,b'R sedemikian hingga

S ' s ' b bs  dan bab'a'R.

Akan dibuktikan relasi ~ merupakan relasi ekivalensi. Sifat refleksif dan simetri dapat dengan mudah dibuktikan. Berikut hanya akan dibuktikan sifat transitif. Misalkan

  

s

,

a

~

s

'

,

a

'



dan



s

'

,

a

'

 

~

s

"

,

a

"



. Jadi terdapat c,c'R dengan cs'c's"S dan ca'c'a"R. Karena S himpunan Ore kiri, maka S

 

cs' R

 

b's' 0. Jadi terdapat r R dan t S sedemikian hingga rb's'tcs'S, maka



rb

'



tc



s

'



0

. Karena S reversible kiri, maka terdapat t ' S sedemikian hingga

t

'



rb

'



tc





0

atau t'rb't'tc. Selanjutnya rbsrb's'tcs'tc's"S, maka

   

t

'

rb

s



t

'

tc

'

s

"



S

dan

 

t

'

rb

a



t

'

rb

'

a

'



t

'

tca

'



 

t

'

tc

'

a

"



R

. Jadi

  

s

,

a

~

s

"

,

a

"



.

Karena “~” relasi ekivalensi pada S R , maka pada S R terbentuk kelas–kelas ekivalensi dari

 

s

,

a

. Kelas-kelas yang memuat

 

s

,

a

dinotasikan dengan

s a

atau

s

1

a

, dan himpunan semua kelas ekivalensi dinotasikan dengan S R1 .

Untuk mendefinisikan operasi penjumlahan pada S R1 , akan diselidiki untuk dua pecahan 1 2

1 2

, a a s s

dapat disamakan penyebutnya. Misalkan 1 2 1 1 2 , a a S R s s   dimana

a

₁

,

a

₂



R

dan

(4)

S

s

,

s

₁ ₂



, maka Ss1Rs2 0. Jadi terdapat r R dan s S sedemikian hingga

S

ss

rs

₂



₁



. Dengan demikian, 1 1 1 1 a sa s ss dan 2 2 2 2 rs ra s

a  , sehingga dapat didefinisikan : 1 2 1 2 1 2 a a sa ra s s t    dimana tss₁ rs₂.

Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan di atas well defined. Misalkan ' s ' a s a 1 1 1 1  , dan ' s ' a s a 2 2 2

2 



S

1

R

, maka terdapat b,b'R sedemikian hingga

S

'

s

'

b

bs

1



1



dan

ba

1



b

'

a

1

'



R

, dan c,c'R sedemikian hingga

cs

2



c

'

s

2

'



S

dan

R

'

a

'

c

ca

₂



₂



. Karena S himpunan ore kiri maka

Sbs

₁



Rcs

₂



0

, sehingga terdapat R

r  dan s S sedemikian hingga

rcs

₂



sbs

₁



S

. Karena

1 1 1 1 sbs sba s a  dan 2 2 2 2 rcs rca s a  , maka t rca sba s a s a 1 2 2 2 1 1    _, dimana

t



sbs

₁



rcs

₂



sb

'

s

₁

'



rc

'

s

₂

'

' s ' sb ' a ' rc ' s ' sb ' a ' sb ' s ' sb ' a ' rc ' a ' sb 1 2 1 1 1 2 1     ' s ' a ' s ' a ' s ' rc ' a ' rc ' s ' sb ' a ' sb 2 2 1 1 2 2 1 1     .

Terhadap operasi penjumlahan di atas S R1 grup komutatif , dengan S R 1

0_ 1 _{adalah elemen}

netral dan _S _R

s a 1

 _{adalah invers dari}

R S s

a 1 .

Selanjutnya, untuk mendefinisikan operasi pergandaan pada S R1 , misalkan _S _R

s a , s a 1 2 2 1 1  

dimana

a

₁

,

a

₂



R

dan

s

₁

,

s

₂



S

, maka

Sa

₂



Rs

₁



0

. Jadi terdapat r R dan s S sedemikian hingga

rs

₁



sa

₂



S

. Dengan demikian,

1 1 1 1 rs ra s a  dan 2 2 2 2 ss sa s a  , sehingga dapat didefinisikan 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2

.

a a

ra sa

ra rs

ra

s s



rs ss



rs ss



ss

.

Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan pada S R1 di atas well defined. Misalkan ' s ' a s a 1 1 1 1  , dan ' s ' a s a 2 2 2

2 



_S

1

_R

_{, maka terdapat} _b_,_b_'_R_{sedemikian hingga}

S

'

s

'

b

bs

₁



₁



dan

ba

₁



b

'

a

₁

'



R

, dan c,c'R sedemikian hingga

cs

₂



c

'

s

₂

'



S

dan

R

'

a

'

c

(5)

R

r  dan s S sedemikian hingga

rcs

₂



sba

₁



S

, maka a₁s₂1 

 

sb1rc. Demikian juga diperoleh

rc

'

s

₂

'



sb

'

a

₁

'



S

, sehingga a1'

 

s2' 1

 

sb' 1rc'

  _ . Selanjutnya











 

2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 _s _a _s _a _s _a _s _a _s _sb _rca _s _b _s _rca s a . s a _   _   _   _    ,

 

bs s rc'a '



b's '



s rc'a '

   

s ' 1 b' 1s 1rc'a₂' 1 2 1 1 1 2 1 1 1        _ _ 

   

s ' sb' rc'a '

 

s ' a '

 

s ' a2' 1 2 1 1 1 2 1 1 1      _ 

 







 



' s ' a . ' s ' a ' a ' s ' a ' s 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1      .

Terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan di atas S R1 merupakan ring dengan elemen satuan S R

1

1_ 1 _.

Selanjutnya didefinisikan pemetaan

R S R :  1  dengan

 

1 a a   ,

maka untuk setiap a,bR





   

a b 1 b 1 a 1 b a b a           dan

 

   

_a _b 1 b . 1 a 1 ab ab       .

Jadi



:

R





S

1

R

merupakan homomorfisma ring. Elemen S

s

1  adalah invers dari

 

1 s s 

 , sebab untuk setiap s S,

 

1 1 1 s . s 1 s s 1    . Jadi

 

s



invertible. Untuk setiap S R s a_ 1 _,

   

a s 1 a . 1 s a s s a 1 1  1   _ _  .

 

      _ _  1 0 a : R a Ker        _ _  1 0 1 a : R a 



a R:

   

1,a ~ 1,0





a



R

:



s

,

s

'



R

,

s

1 

s

'

1 

S

sa



s

'

0 

R





dan



a



R

:



s

,

s

'



R

,

s



s

'



S

sa



0 

R





dan



a



R

:



s



S

,

sa



0 



.

Jadi



:

R





S R1 merupakan homomorfisma ring dan dipenuhi : (1)



 

s

adalah invertible dalam S R1 untuk setiap s S

(2) Setiap elemen dalam S R1 mempunyai bentuk 

   

s 1 a untuk suatu s S dan a R (3) ker

 

 



rRsS,sr0



(6)

4. Kesimpulan

Ring hasil bagi kiri atau lokalisasi kiri dari ring non-komutatif R terhadap himpunan multiplikatif S R yang memenuhi stS untuk setiap s t, S,1 S , dan 0S, didefinisikan mengikuti lokalisasi dari ring komutatif. Akan tetapi, lokalisasi Ore kiri tidak selalu ada. Jika lokalisasi Ore kiri dari ring non-komutatif R atas S ada, maka S bersifat permutable kiri atau himpunan Ore kiri, yaitu SaRs0 untuk setiap sS dan a R, dan S bersifat reversible kiri, yaitu jika sS dan a R sedemikian hingga as 0, maka terdapat t S sedemikian hingga ta 0. Kedua sifat di atas merupakan syarat perlu dan cukup pada S sehingga dapat dibentuk ring hasil bagi kiri dari ring non-komutatif R atas S. Lebih lanjut, pembentukan ring hasil bagi kanan atau lokalisasi Ore kanan dapat didefinisikan secara similar.

Daftar Pustaka

[1] Adkins, W.A & S.H. Weintraub (1992), Algegra : An Approach Via Module Theory, Springer-Verlag. [2] Dummit, D.S. (2002), Abstract Algebra, John Wiley & Sons.