PEMILIHAN PORTOFOLIO DAN PEMBENTUKAN HARGA
ASET – KERANGKA KERJA TIGA-PARAMETER
ASTRIE LESTARI
G54103043
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
PEMILIHAN PORTOFOLIO DAN PEMBENTUKAN HARGA ASET –
KERANGKA KERJA TIGA-PARAMETER
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
ASTRIE LESTARI
G54103043
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
ABSTRACT
ASTRIE LESTARI. Portfolio Selection and Asset Pricing – Three-parameter Framework. Supervised by EFFENDI SYAHRIL and DONNY CITRA LESMANA.
Capital Asset Pricing Model (CAPM) represents instrument to predict equilibrium of expected returns of risky assets. CAPM is assumed to be normal distributed in its mean and variance. However, in some conditions, deviation in expected returns occurs. In that case, a development from CAPM two-parameter model to CAPM three-parameter model is needed. The third moment, that is skewness of a risky asset, is needed to apply CAPM three-parameter model. Skewness can be used to measure the asymmetric distribution as an effect of deviation in expected returns.
To construct a portfolio, investor can choose existing securities that optimize his or her portfolio’s return. Portfolio with three parameters, which are mean, variance, and skewness, permits the unavailability of short selling. If portfolio is not optimal, then a CAPM three-parameter model can be used.
This article reanalyzed market asset pricing model using three parameters that consist of mean, variance, and skewness of risky asset return.
ABSTRAK
ASTRIE LESTARI. Pemilihan Portofolio dan Pembentukan Harga Aset – Kerangka Kerja Tiga Parameter. Dibimbing oleh EFFENDI SYAHRIL dan DONNY CITRA LESMANA.
Capital Asset Pricing Model (CAPM) merupakan alat untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. CAPM diasumsikan menyebar normal untuk rataan dan ragamnya. Namun dalam kenyataannya, sering terjadi penyimpangan terhadap imbal hasil yang diharapkan. Untuk itu diperlukan pengembangan model CAPM dua parameter menjadi CAPM tiga parameter. Momen ketiga, yaitu kecondongan dari suatu aset berisiko digunakan untuk CAPM tiga parameter. Kecondongan merupakan alat untuk mengukur sebaran asimetris yang terjadi akibat penyimpangan tersebut.
Untuk melakukan investasi, para investor dapat memilih sekuritas-sekuritas yang ada sehingga membentuk portofolio yang optimal. Portofolio dengan tiga parameter, yaitu rataan, ragam, dan kecondongan memperbolehkan pembatasan terhadap short sales. Jika portofolio tidak optimal, maka dapat menggunakan model CAPM tiga parameter.
Dalam tulisan ini akan ditelaah ulang pembentukan harga pasar aset dengan menggunakan tiga parameter. Masalah pembentukan harga ini dapat diselesaikan dengan menggunakan model CAPM tiga parameter yang melibatkan kecondongan dari imbal hasil aset berisiko.
Judul
: Pemilihan Portofolio Dan Pembentukan Harga Aset – Kerangka
Kerja Tiga-Parameter
Nama :
Astrie
Lestari
NIM :
G54103043
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl.
Donny Citra Lesmana, M.Sc.
NIP. 131 804 163
NIP. 132 311 927
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.
NIP. 131 473 999
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 25 September 1985 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan Abdul Shomad dan Nazawiyah.
Pada tahun 1997 penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SD Negeri Tangerang XII. Di tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan tingkat pertama di SLTP Negeri 13 Tangerang. Pada tahun 2000 penulis melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMU Negeri 5 Tangerang. Pada tahun 2003, penulis diterima sebagai mahasiswi di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai staf Departemen Kaderisasi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2003/2004, Ketua Departemen Sosial Kemasyarakatan GUMATIKA periode 2004/2005, staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) GUMATIKA bidang Kaderisasi periode 2005/2006, dan staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA periode 2005/2006. Penulis juga aktif sebagai panitia di berbagai kegiatan antara lain sebagai staf Acara Masa Perkenalan Departemen (MPD) Matematika 41, koordinator Acara Masa Perkenalan Departemen (MPD) Matematika 42, koordinator Dana Usaha (DANUS) Matematika Ria 2005, koordinator Acara Mipa Sport Tournament (MISOTO) 2006, dan Ketua Let’s Make Money (LeMM) 2006.
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1 Tujuan ... 1 Metode ... 1 Sistematika ... 1 LANDASAN TEORI Percobaan Acak dan Ruang Contoh ... 2Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang ... 2
Nilai Harapan, Ragam, Standar Deviasi, dan Koragam ... 2
Fungsi Pembangkit Momen, Momen, dan Kecondongan ... 2
Fungsi Karakteristik dan Sebaran Spherical ... 3
Matriks Definit Positif, Titik Minimum Global, dan Fungsi Konkaf ... 3
Metode Lagrange ... 4
Portofolio Markowitz ... 4
Capital Asset Pricing Model (CAPM) ... 4
Arbitrage Pricing Theory (APT) ... 5
PEMBAHASAN Sebaran Imbal Hasil Aset ... 5
Pendugaan Parameter Sebaran ... 7
Pemilihan Portofolio ... 7
Himpunan Efisien ... 9
Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) ...10
Tradeoff Hasil Aset ...11
Tanda Premi Kecondongan ...12
KESIMPULAN ...13
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Pemilihan Portofolio dan Pembentukan Harga Aset – Kerangka Kerja Tiga-Parameter. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.
Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
2. Bapak Donny Citra Lesmana, M.Sc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan.
3. Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya. 4. Bapak dan Mama yang terus memberikan kasih sayang, doa, dan semangatnya.
5. Ka Nurul Taqwiyah dan De Nizar Fikri yang telah memberikan semangat. 6. Hirasawa, S.Si. yang telah memberikan kasih sayang, doa dan semangat.
7. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta pegawai Departemen Matematika: Bu Susi, Bu Ade, Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.
8. Mufti , Mita, Dimas, Ayu, Jaja, Iwit, Ifni atas bantuan dan semangatnya. 9. Icha, Vina, Amie, Mika, dan Indah atas persahabatan selama empat tahun ini.
10.Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Kafi, Elis, Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sri, Uli, Bedu (Abdillah), Komeng (Yudi), Jayu, Rusli, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Anton, Walidah, Ali, Abay, Metha, Uve, Herni, Gatchul (Gatha), Febrian, Ucup, Nisa, Demi, Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.
11.Semua mahasiswa/i matematika angkatan 39, 41, dan 42 atas dukungannya.
12.Devi, Mba Didi, Mba Susi, dan seluruh penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.
13.Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.
Penulisan tugas akhir ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, September 2007
Astrie Lestari
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model Penetapan Harga Aset Modal (CAPM) merupakan sebuah alat untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. Argumentasi CAPM ini berlandaskan pada efisiensi rataan-ragam, yaitu jika ada sekuritas yang melanggar hubungan antara imbal hasil yang diharapkan dengan beta (risiko sistematis), maka banyak investor akan mengubah portofolionya sehingga akan menciptakan tekanan menyeluruh terhadap harga sampai membentuk keseimbangan yang mengembalikan hubungan antara imbal hasil yang diharapkan dengan beta. CAPM memperlakukan seluruh aset yang diperdagangkan sebagai aset yang berisiko. CAPM mensyaratkan tidak boleh terjadi arbitrase, yaitu kesalahan harga dari suatu sekuritas dengan cara tertentu sehingga keuntungan bisa didapatkan tanpa risiko. Hal ini melibatkan aktivitas membeli atau menjual sekuritas yang sama untuk mendapatkan keuntungan dari perbedaan harga yang terjadi. Salah satu prinsip teori pasar modal yang paling mendasar bahwa investor adalah rasional sehingga meniadakan peluang arbitrase. Jika harga aktual sekuritas memungkinkan terjadinya arbitrase, hasilnya akan memberikan tekanan yang kuat agar kembali ke posisi keseimbangan. Karena itu, pasar sekuritas akan mencapai kondisi tanpa peluang arbitrase.
Teori Pembentukan Harga Arbitrase (APT) yang dikemukakan oleh Ross (1976) memberikan alternatif yang menarik dan mudah untuk rataan-ragam dari Capital Asset Pricing Model (CAPM) yang diturunkan oleh Sharpe-Lintner. Di sisi lain, teori tersebut membutuhkan pembatasan pada penawaran aset-aset. Pembatasan itu membutuhkan nilai-nilai aset dalam proporsi yang khas satu sama lain untuk menjamin bahwa risiko istimewa (idiosyncratic) dihapuskan dari portofolio pasar. Makalah ini menganalisis portofolio pasar dalam penentuan harga tiga faktor dengan salah satu faktor berperan penting
dalam pembentukan harga semua aset dalam ekonomi. Model ini juga memberikan ukuran risiko dan memperbesar rataan-ragam untuk pemilihan portofolio.
Ragam digunakan sebagai ukuran risiko tunggal untuk semua investor. Proses imbal hasil pada ragam portofolio mempunyai dua komponen berbeda dalam risiko portofolio, yaitu komponen ragam spherical dan komponen ragam nonspherical. Komponen ragam spherical mempunyai bentuk kuadratik dalam portofolio. Sedangkan ragam
nonspherical dapat menentukan kecondongan yang lebih tinggi pada imbal hasil portofolio. Tujuan
Tujuan dari karya tulis ini adalah menelaah ulang pembentukan harga pasar aset dengan tiga parameter, yaitu rataan, ragam, dan kecondongan.
Metode
Metode yang digunakan dalam karya tulis ini adalah penelaahan pustaka yang meliputi pembentukan harga pasar dengan tiga parameter, yaitu rataan, ragam, dan kecondongan. Jurnal utama karya tulis ini merujuk pada Simaan, Y. 1993. Portfolio Selection and Asset Pricing - Three-Parameter Framework. New York. Bahan-bahan yang menunjang penulisan karya tulis ini diperoleh dari buku-buku dan jurnal yang terkait dengan tulisan dalam daftar pustaka. Sistematika Penulisan
Tulisan ini terdiri atas empat bab. Pada bab satu ini telah dijelaskan latar belakang masalah, tujuan, dan metode yang digunakan. Dalam bab dua diberikan landasan teori berupa definisi dari istilah matematis yang digunakan dalam pembahasan sebagai alat analisis masalah. Dalam bab tiga diberikan formulasi masalah pembentukan harga pasar dengan tiga parameter yang merupakan pokok pembahasan karya tulis ini. Pada bab empat diberikan kesimpulan dari karya tulis ini.
2
LANDASAN TEORI
Dalam bagian ini, akan dijelaskan mengenai definisi dari istilah matematis yang digunakan dalam bagian selanjutnya.
Percobaan Acak dan Ruang Contoh Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul.
[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan yang beranggotakan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan acak dan biasa dinotasikan dengan
Ω
.[Hogg dan Craig, 1995] Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang
Definisi 3 (Peubah Acak)
Misalkan
Ω
adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi padaΩ
yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real( )
X ω =x disebut peubah acak.
Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A=
{
x x: =X( ),ω ω∈ Ω}
.[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 4 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi fX
( )
x sehingga fungsi sebaran( )
P(
)
X
F x = X≤x dapat dinyatakan sebagai
( )
( )
X X F x f u du ∞ −∞ = ∫ ,x∈R, dengan f R: →
[ ]
0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X.[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 5 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi
: [0, )
f → ∞ sedemikian sehingga untuk setiap himpunan A⊂ ,
(
)
( )
A
P X∈A =
∫
f x dx disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Nilai Harapan, Ragam, Standar Deviasi, dan Koragam
Definisi 6 (Nilai Harapan)
Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fx
( )
x . Nilai harapan dari X adalah[ ]
( )E X xf x dx
∞
−∞
=
∫
,asalkan integral di atas konvergen mutlak. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 7 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:
2 ( ) ( - [ ]) Var X = ⎣E⎡ X E X ⎤⎦ 2 2 [ ] ( [ ]) E X E X = −
[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 8 (Standar Deviasi)
Jika X adalah peubah acak, σx disebut dengan standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai
( )
(
)
2 ( ) x Var X E X E X σ = ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ [Ghahramani, 2005] Definisi 9 (Koragam)Misalkan Xdan Ydua peubah acak dengan 1 ( ) E X =µ dan E Y
( )
=µ2, maka(
1)(
2)
cov( , )X Y =E⎡⎣ X−µ Y−µ ⎤⎦ =E XY( )−µ µ1 2 disebut koragam acak Xdan Y.3
Fungsi Pembangkit Momen, Momen, dan Kecondongan
Definisi 10 (Fungsi Pembangkit Momen) Jika X adalah peubah acak diskret, t
merupakan konstanta maka fungsi pembangkit momen didefinisikan sebagai berikut
( )
( ) tX tX X M t E e e f x dx ∞ −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦=∫
dengan − < <h t h.[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 11 (Momen)
Momen ke-k dari peubah acak X
didefinisikan sebagai berikut: ( k)
mk =E X , k=1, 2, 3,...
[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 12 (Momen Pusat)
Momen pusat ke-k dari peubah acak X
didefinisikan:
(
1)
, 1, 2, 3,... k mp E X m k k ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ = ⎣ ⎦ 1m = momen ke-1 = nilai harapan dari peubah acak X.
[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 13 (Kecondongan)
Kecondongan berdasarkan pengamatan, adalah penyebaran asimetris di sekitar nilai rata-rata. Hasilnya memberikan rata-rata dan median yang berbeda. Misalkan X peubah acak dengan nilai harapan µ dan ragam σ2 sedemikian sehingga momen pusat ke-3
(
)
3E⎡⎢⎣ X−µ ⎤⎥⎦ berpotongan dengan garis vertikal µ. Nilai perbandingan dari
(
)
3 3 E X µ σ ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ biasa disebut sebagai ukuran dari skewness.
[Hogg dan Craig, 1995] Fungsi Karakteristik dan Sebaran
Spherical
Definisi 14 (Fungsi Karakteristik)
Misalkan i adalah bilangan imajiner dan
t∈ , maka
( )
( )
itXt E e
Φ =
disebut fungsi karakteristik.
Fungsi karakteristik mempunyai hubungan dengan fungsi pembangkit momen yaitu
( )
t M it( )
Φ = . Momen dapat dihasilkan dengan menggunakan fungsi karakteristik berikut:
( )
0 | r r r r t d t M i dt − = Φ = , r=1, 2,...,n[Rose dan Smith, 2001] Definisi 15 (Sebaran Spherical)
Suatu vektor ε% dari peubah acak dikatakan mengikuti hubungan sebaran spherical dengan parameter ∆ dan W (dinotasikan
(
)
p
S W
ε% ∆, ), jika terdapat vektor konstanta ∆ dan matriks definit positif W sedemikian sehingga fungsi karakteristik dari ε% diberikan oleh
( )
exp( ) (
g)
ε =
Φ% t it∆ t'Wt dengan i= −1, t'=
(
t1,...,tN)
dan g( )
t merupakan fungsi sedemikian sehingga( )
ε
Φ% t adalah fungsi karakteristik yang sebenarnya.
[Yusif Simaan, 1993] Matriks Definit Positif, Titik Minimum Global, dan Fungsi Konkaf
Definisi 16 ( Matriks Definit Positif)
Misalkan A matriks berukuran n n× dan misalkan QA
( )
y = ⋅y Ay adalah bentuk kuadratik yang berpadanan dengan A. Jika( )
0A
Q y = ⋅y Ay> , untuk semua y∈ n maka A dan QA disebut definit positif.
[Peressini et.al, 1988] Definisi 17 (Titik Minimum Global)
Misalkan f x
( )
fungsi bernilai real yang terdefinisi pada suatu selang I. Jika( )
*( )
f x ≤ f x , untuk setiap x di I maka titik x* merupakan titik minimum global untukf pada I.
[Peressini et.al, 1988] Definisi 18 (Fungsi Konkaf)
Fungsi f dikatakan fungsi konkaf pada selang I jika dan hanya jika
(
)
(
1 1 2)
( ) (
1 1) ( )
2f λx + −λ x ≥λf x + −λ f x
untuk setiap x x1, 2∈I dan untuk setiap 0≤ ≤λ 1.
4
Jika yang berlaku
(
)
(
1 1 2)
( ) (
1 1) ( )
2f λx + −λ x >λf x + −λ f x
untuk x1≠x2 dan 0< <λ 1 maka f dikatakan fungsi konkaf sempurna (strictly concave).
[Peressini et.al, 1988] Metode Lagrange
Definisi 19 (Metode Lagrange)
Untuk memaksimumkan atau meminimumkan 1 2
( , )
f x x terhadap kendala g x x( ,1 2)=0, selesaikan sistem persamaan berikut
(1 2) 1 2 , ( , ) x x maks f x x dengan kendala g x x( ,1 2)=0.
Dari masalah tersebut, maka diperoleh fungsi
Lagrange sebagai berikut: ( , ) ( ) ( )
L= xλ = f x +λg x .
Syarat perlu untuk eksistensi titik ekstrim *
X=X akan terpenuhi jika turunan parsial dari fungsi Lagrange sama dengan nol, sehingga menghasilkan : 1 1 1 0 l f g x x λ x ∂ = ∂ + ∂ = ∂ ∂ ∂ (a) 2 2 2 0 l f g x x λ x ∂ = ∂ + ∂ = ∂ ∂ ∂ (b) 1 2 ( , ) 0 l g x x λ ∂ = = ∂ .
Dari Persamaan (a) dan (b) akan dihasilkan titik ekstrim
(
)
1 2
* *
,
x x . λ yang berpadanan dengan fungsi g x x( ,1 2)=0 disebut pengali
Lagrange.
[Rao, 1978] Portofolio Markowitz
Imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan dari imbal hasil yang diharapkan dari tiap sekuritas pembentuk portofolio dikalikan dengan bobot masing-masing sekuritas dalam portofolio.
( )
pE r adalah nilai harapan imbal hasil portofolio dan wi merupakan bobot-bobot sekuritas dalam portofolio atau dapat ditulis sebagai
( )
( )
1 n p i i i E r E r = =∑
w .Karena dalam pembentuk portofolio hanya dilihat sekuritas yang berisiko saja, maka jumlah bobot dalam suatu portofolio adalah satu, atau secara matematis ditulis
1 1 n i i= =
∑
w .Ragam portofolio atau simpangan dikuadratkan, 2
p
σ , mencerminkan risiko dari portofolio. wi adalah bobot-bobot sekuritas dalam portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dituliskan sebagai berikut: ( ) 2 1 1 11 1 2 12 1 1 ... ... p n n nn n n n n σ σ σ σ − σ − = + + + + + w w w w w w w w Dengan menuliskan 2 ii i σ =σ , dengan 2 i σ adalah ragam sekuritas ke-i maka
( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 12 1 1 1 1 ... ... ... p n n n n n n n n σ σ σ σ σ − σ − = + + + + + + + w w w w w w w w 2 2 2 1 1 1 , n n n p i i i j ij i i j i j σ σ σ = = = =
∑
w +∑∑
w w <Karena σij =σji dengan σij adalah koragam sekuritas i dan j untuk i≠ j dan
i j = j i w w w w maka 2 2 2 1 1 1 2 n n n p i i i j ij i i j σ σ σ = = = =
∑
w +∑∑
w w , i< jPortofolio Markowitz ini digunakan untuk memilih wi sehingga 2 p σ minimum atau dapat dituliskan { } 2 min i p σ w dengan kendala 1 1 n i i= =
∑
w[Maria Nastasja van Keeken, 2001]
Capital Asset Pricing Model (CAPM) Capital Asset Pricing Model (CAPM) adalah suatu model yang memprediksi masalah keseimbangan dari nilai imbal hasil pada aset berisiko. Model ini memberikan prediksi yang tepat tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Terdapat beberapa asumsi dalam CAPM, salah satunya adalah investasi dibatasi hanya pada aset keuangan yang diperdagangkan secara umum seperti saham dan obligasi, kesepakatan pinjaman dan pemberian pinjaman yang bebas risiko. Model rumus CAPM adalah sebagai berikut:
( )i f i[ ( )m f]
5
dengan: ( )i f
E r −r : premi risiko atas sekuritas individual.
( )m f
E r −r : premi risiko atas portofolio pasar.
i
β : risiko sistematis. [Bodie, Kane, dan Marcus, 2002]
Arbitrage Pricing Theory (APT)
Arbitrage Pricing Theory (APT) memprediksi Garis Pasar Sekuritas (SML) yang mengaitkan imbal hasil yang diharapkan dengan risiko. APT yang dikemukakan oleh Ross (1976) didasarkan pada tiga proposisi, yaitu:
(i) imbal hasil sekuritas dapat dijelaskan dengan sebuah model faktor;
(ii) terdapat cukup banyak sekuritas untuk menghilangkan risiko istimewa (idiosyncratic) dengan diversifikasi;
(iii)pasar sekuritas yang berfungsi dengan baik tidak memungkinkan terjadinya peluang arbitrase secara terus-menerus. APT akan berlaku ketika hasil sekuritas menyebar asimetris.
Model rumus APT adalah sebagai berikut:
( )
i i i i
r=E r +βF+e
dengan: i
r : imbal hasil dari aset berisiko.
( )
iE r : imbal hasil yang diharapkan dari aset berisiko.
i
β : risiko sistematis.
F : faktor makroekonomi. i
e : risiko istimewa perusahaan. [Bodie, Kane, dan Marcus, 2002]
PEMBAHASAN
Sebaran Imbal Hasil Aset
Menurut Bodie, Kane, dan Marcus, 2002, penilaian saham didasarkan pada ekspektasi arus kas masa depan, sedangkan harga keseimbangan terjadi pada ekspektasi imbal hasil yang wajar sehingga dapat meminimumkan risiko. Ragam imbal hasil dari ekspektasi muncul dari kesalahan perkiraan berkaitan dengan faktor-faktor ekonomi yang mempengaruhi arus kas. Dampak dari kesalahan perkiraan membuat imbal hasil akan mendekati sebaran normal.
Imbal hasil yang menyebar normal mempunyai dua ciri penting. Pertama, sebaran normal adalah simetris yang digambarkan oleh dua parameter, rataan dan ragam. Ciri ini berakibat bahwa risiko dari imbal hasil investasi yang terdistribusi secara normal digambarkan secara penuh oleh ragamnya. Kedua, rata-rata tertimbang dari variabel-variabel yang terdistribusi normal juga akan terdistribusi secara normal. Oleh karena itu, jika imbal hasil saham individu menyebar normal maka imbal hasil dari portofolio apapun akan menyebar normal juga dan ragam akan menunjukkan risikonya. Karena alasan ini, asumsi normalitas dianjurkan.
Pada sebaran normal, nilai ekstrim sering muncul terutama untuk nilai ekstrim negatif yang ada terlalu besar. Untuk menggambarkan nilai ekstrim negatif ini dilakukan dengan cara menghitung sebaran asimetris, yaitu dengan
menghitung rataan ragam pangkat tiga yang biasa disebut momen ketiga dari sebaran. Dalam statistik, nilai momen disebut kecondongan (skewness), dan kecondongan itu merupakan ukuran asimetris.
Komponen ragam spherical mencakup kedua ciri penting dari imbal hasil yang menyebar normal. Selain itu, komponen sebaran spherical dapat digunakan untuk mengkonstruksi model asimetris dari hasil sekuritas. Dalam model ini, pemilihan rataan ragam portofolio biasanya tidak optimal untuk investor penolak risiko (risk-averse), sehingga CAPM Sharpe-Lintner tidak berlaku. Karena APT menggunakan asumsi sebaran asimetris maka APT berlaku dalam model pemilihan rataan ragam portofolio tersebut.
Perhatikan model dari imbal hasil sekuritas berikut ini:
, 1, 2,...,
i i i i
z% =µ +b y%+ε% i= N (1) dengan z%i adalah imbal hasil sekuritas i, µi nilai harapan dari imbal hasil sekuritas i, bi sensitivitas sekuritas i terhadap faktor makroekonomi, y% komponen makroekonomi, dan ε%i adalah pengaruh dari peristiwa spesifik perusahaan yang tidak diantisipasi. y%
merupakan vektor acak dari ε%=
(
ε%1,...,ε%N)
yang mengikuti sebaran spherical gabungan6
dengan matriks karakteristik W,
(
)
|ξ Sp 0,
ε −% W . Selain itu, y% juga merupakan peubah acak dengan sebaran
nonspherical. Jika ε%i tidak berkorelasi, maka Persamaan (1) disebut model faktor tunggal (single-factor model).
Menurut Simaan dengan mengutip Ross (1978), Persamaan (1) merupakan hasil dari tiga dana yang dipisahkan jika dan hanya jika terdapat peubah acak u%, vektor acak δ%, vektor c, dan dua dana X1 dan X2
sedemikian sehingga ε%j=c uj%+δ%j, dengan
(i) E
( )
δ =%j 0 untuk j=1,...,n;(ii) E⎣⎡δ%j|t y2%+t u2%⎤⎦=0 untuk semua skalar 1
t dan t2;
(iii) δ%X1≡δ%X2≡0 untuk e'X1=e'X2=1
dengan e=
(
1,...,1 ')
.Persamaan (1) memungkinkan sekuritas individual menunjukkan kecondongan dan tidak berlakunya pemisahan dua dana, yaitu nilai harapan dan risiko spesifik dari perusahaan. Dua teorema berikut mengeksploitasi beberapa sifat sebaran dari vektor acak Z yang memuat µ, V, dan b. Teorema 1.
Fungsi karakteristik dari vektor acak Z yang memenuhi Persamaan (1) diberikan oleh
( )
=exp(
) ( ) ( )
ε yZ
Φ t it'µ Φ% t Φ% t'b (2) dengan Φε%
( )
t dan Φ δy%( )
merupakan fungsikarakteristik dari vektor spherical ε% dan gangguan nonspherical y%.
Bukti.
Karena Z|y Sp
(
µ +by%,W)
dan berdasarkan definisi sebaran spherical, maka:( )
{
(
)
}
(
)
|y =exp i y g
Z
Φ % t t' µ + b% t'Wt . Fungsi karakteristik dari
(
z%1,...,z%n,y%)
adalah( )
{
}
,y δ =Eexp i +i yδ Z Φ % t, t'Z %{
}
(
exp |)
E E⎡ i i yδ y ⎤ = ⎣ t'Z+ % % ⎦{
}
| exp y E i i y f dtδ ∞ −∞ ⎡ ⎤ = ⎢ + ⎥ ⎣∫
t'Z % t% ⎦{ }
{ }
| exp exp y E i yδ i f dt ∞ −∞ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ %∫
t'Z t% ⎦{ }
exp E i yδ = ⎡⎣ % ΦZ⎤⎦{ }
{
(
)
}
(
)
exp exp E⎡ i yδ i y g ⎤ = ⎣ % t' µ b+ % t'Wt ⎦{ } {
} (
)
exp exp E i yδ i i y g = ⎡⎣ % t'µ+ t'b% t'Wt ⎤⎦{ } { } {
} (
)
exp exp exp
E i yδ i i y g = ⎡⎣ % t'µ t'b% t'Wt ⎤⎦
{
} (
)
exp i yδ i i y g f dyy ∞ −∞ =∫
%+ t'µ+ t'b% t'Wt %{ } (
)
{
}
exp i g exp i yδ i y f dyy ∞ −∞ = t'µ t'Wt∫
%+ t'b% %{ } (
)
{
(
)
}
exp i g exp i δ y f dyy ∞ −∞ = t'µ t'Wt∫
+t'b % %{ } (
) (
)
exp i g y δ = t'µ t'Wt Φ% +t'b{ }
{ } (
( )
)
exp exp y i i ε δ = t'µ Φ t Φ +t'b t∆ % %{ }
{
( )
( )
}
( )
exp exp 0 y i i ε = t'µ Φ t Φ t t % %{ } ( ) ( )
exp i ε y = t'µ Φ% t Φ% t Jadi,( )
( )
( )
{ } ( ) (
)
{ } ( ) ( )
, , , , 0 exp 0 exp y y y y i i ε ε δ = = = + = Z Z Z Φ t Φ t Φ t t'µ Φ t Φ t'b t'µ Φ t Φ t'b % % % % % % terbukti Teorema 2.Jika E y
( )
% =0 dan Var( )
ε% berhingga, maka tiga momen yang pertama berturut-turut diberikan sebagai berikut:( )
E Z =µ (3)
( )
' 2y
Var Z =kW+bbσ% =V (4) dengan k suatu konstanta positif
(
)
(
)(
)
( )
3 jkl j j k k l l j k l S E z z z b b b E y µ µ µ = − − − = % % % % (5) Bukti.Gunakan E
( )
Z =µ pada Persamaan (1). Momen kedua dan ketiga akan diperoleh menggunakan fungsi karakteristik dari Z yang diberikan sebagai berikut:( )
( )
{ } ( ) ( )
(
)
log log exp i ε y = = Z Z ψ t Φ t t'µ Φ% t Φ% t'b7
( )
( )
( )
( )
log log y y i i ε ε = + + = + + t'µ Φ t Φ t'b t'µ ψ t ψ t'b % % % %( )
( )
( )
0 r r r t d V Var i dt − − = = Z = ψZ t( )
( )( )
2 2 0 ' Z t d i dt dt − = = ψ t( )
( )( )
2 2 0 1 ' Z t d dt dt i = = ψ t( )
( )( )
( )
2 2 0 1 ' 1 t d dt dt = = − Z ψ t( )
( )( )
2 0 ' t d dt dt = = − ψZ t( )
( )( )
(
( )
)
2 " 0 0 ' y t t d dt dt = = = − ψZ t +bb' −ψ t'b %( )
( )( )
(
( )
)
2 " 0 0 't y d dt dt = = − ψZ t + − bb' ψ%( )
( )
0 r r jkl r t d S i dt − − = = ψZ t( )
3 3 0 j k l t d i dt dt dt − = = ψZ t( )
( )
3 3 3 ''' 0 0 j k l y t j k l t d i i b b b dt dt dt ε − − = = = ψ% t + ψ t'b %( )
( )
3 3 3 ''' 0 0 j k l y j k l t d i i b b b dt dt dt ε − − = = ψ% t + ψ %( )
3 j k l b b b E y = % terbukti Pendugaan Parameter SebaranBerdasarkan dua teorema di atas, sebaran bersama Z bergantung pada vektor rataan µ, vektor nonspherical b, dan matriks karakteristikWdisamping kebergantungannya pada k dan parameter sebaran y%, namun pemisahan dana dan himpunan efisien hanya bergantung pada µ, V dan b. Vektor rataan dan matriks koragam memberikan penduga momen bagi µ dan V. Kecondongan Z
bergantung pada b dan proporsional terhadap kecondongan y%. Simaan (1986) mengusulkan menggunakan momen ketiga marjinal dari Z
untuk memberikan penduga bi pada kondisi 3 E y⎡ ⎤⎣ ⎦berikut:
(
)
( )
1/ 3 3 1 1 1/ 3 3 1 T t t t i Z Z T b E y = ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =∑
% % .Tujuan menduga himpunan efisien adalah menentukan sebaran dari y% untuk memperoleh kecondongan tetap (seperti sebaran eksponensial). Karena pengurutan dari portofolio efisien tidak bergantung pada sebaran y%, pemilihan portofolio dapat sebarang. Pendekatan alternatif untuk menentukan sebaran y% bergantung pada bentuk parameter yang menentukan kecondongan dan momen keempat dari y%
(seperti sebaran gamma) dan menggunakan momen keempat dari Z untuk menghasilkan penduga momen y% dan penduga momen
3
E y⎡ ⎤⎣ ⎦% .
Sebaran dari gangguan spherical dan sebaran y% memungkinkan penurunan penduga kemungkinan maksimum (Maksimum Likelihood Estimator) untuk semua atau beberapa parameter. Simaan (1990) menggunakan campuran metode momen dan metode penduga kemungkinan maksimum untuk menduga parameter y% dan parameter lainnya (µ, b, dan W). Metode momen digunakan untuk menentukan penduga µ, b, dan Wsebagai fungsi dari parameter y%, kemudian parameter dipilih untuk memaksimumkan fungsi kemungkinan tersebut.
Pemilihan Portofolio
Dalam melakukan investasi tersedia banyak pilihan jenis sekuritas bagi investor. Semua jenis sekuritas menjanjikan imbal hasil bagi pemiliknya terutama sekuritas berisiko. Semakin tinggi risiko suatu sekuritas biasanya makin tinggi imbal hasil yang dijanjikan perusahaan sekuritas. Bagi investor hal ini cukup membingungkan, karena investor harus memilih sekuritas yang menguntungkan dari sekuritas yang tersedia. Dua parameter yang penting dalam membuat keputusan adalah imbal hasil dan risiko. Masalah yang dihadapi investor ini dipecahkan oleh Harry Markowitz dalam Journal of Finance pada tahun 1952 yang berjudul Portfolio Selection. Markowitz memperkenalkan suatu pendekatan modern untuk menyeleksi portofolio dengan melihat tingkat imbal hasil dan risiko suatu sekuritas
8
didasarkan pada analisis fundamental. Jadi dengan adanya pemilihan portofolio Markowitz, investor dapat mengabaikan informasi tentang perusahaan sekuritas, kebijakannya, dan pangsa pasar portofolio, dan hanya melihat pada beberapa perhitungan statistik.
Beberapa formulasi dapat mereduksi masalah pemilihan portofolio ke dalam suatu masalah pemrograman kuadratik yang bergantung pada parameter sebaran penduga dari imbal hasil aset yang diamati. Masalah tersebut dapat dikonversi melalui teorema-teorema berikut ini.
Teorema 3.
Sebaran dari imbal hasil pada sebarang portofolio X, E U⎡⎣
(
Z'X)
⎤⎦, adalah fungsi dari X'µ, X'b, dan X'WX.Bukti.
Misalkan B=b'X. Berdasarkan Teorema 2, 2
y
W σ
= +
V bb'. Untuk menurunkan dana yang merentang himpunan efisien, yaitu himpunan portofolio yang memaksimumkan imbal hasil yang diharapkan dan meminimumkan risiko, dapat dibandingkan dengan dana yang merentang himpunan efisien rataan-ragam, cukup dibuktikan bahwa fungsi karakteristik dari X'Z bergantung pada X hanya melalui parameter X'µ, X'b, dan X'WX.
( )
( )
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
2)
(
)
exp exp y y i i g ε δ δ δ δ δ δ δ δ = = = Z'X Z Φ Φ X X'µ Φ X'b Φ X X'µ X'WX Φ X'b % % %(
, ,)
h = X'µ X'b X'WX (6) terbukti Akibat 3.1.Utilitas yang diharapkan dari sebarang imbal hasil portofolio ditentukan oleh rataan, ragam, dan kecondongannya.
Akibat 3.1 ini diperoleh dengan melakukan pengamatan terhadap sebaran dari imbal hasil portofolio. Utilitas yang diharapkan mungkin akan bergantung pada parameter sebaran dari sebaran nonspherical
y%, tetapi itu akan tetap ditentukan oleh X'µ,
X'VX, dan X'b untuk semua X karena kontrol sebaran portofolio dari investor
berakhir dengan mengendalikan X'µ, X'VX, dan X'b.
Teorema 4.
Misalkan X'µ=E dan X'b=B. Utilitas yang diharapkan E U⎡⎣
(
X'Z)
⎤⎦ adalah suatu fungsi tak naik dari komponen ragamspherical.
Bukti teorema dapat dilihat pada Teorema 4 di Hanoch dan Levy (1969)
Akibat 4.1.
Untuk sebarang fungsi utilitas konkaf terdapat pasangan
(
E B,)
sedemikian sehingga masalah portofolio ekuivalen dengan masalah pemrograman kuadratik berikut:1 min 2 x X'WX dengan kendala: , , 1 E B = = = X'µ X'b X'e (7) Bukti.
Misalkan U sebarang fungsi utilitas konkaf dan X * merupakan solusi dari masalah portofolio untuk U. Didefinisikan pasangan
(
E B,)
dengan E=µ'X * dan B=b'X *serta µ merupakan imbal hasil yang diharapkan, b vektor nonspherical, dan e pengaruh spesifik perusahaan. Dari definisi
X * didapatkan
(
)
(
)
E U⎡⎣ Z'X * ⎤⎦≥E U⎡⎣ Z'X ⎤⎦. Karena E U⎡⎣
(
X'Z)
⎤⎦ monoton tak naik dalamX'WX untuk suatu X'µ dan X'b sehingga diperoleh bentuk ≤ X *'XW* X'WX untuk
{
| E k, B, 1}
∈ = = = X X X'µ X'b X'e dengankbilangan positif real.
Jadi X * merupakan solusi dari masalah portofolio.
Sehingga X * adalah solusi dari masalah pemrograman kuadratik (7).
9
Dalam menghadapi masalah pemilihan portofolio di atas, jika dilakukan short sales
dalam pembentukan portofolio berisiko maka portofolio berisiko yang hanya terdiri atas sebuah aset menjadi tidak efisien. Tetapi jika
short sales tidak dilakukan maka sekuritas tunggal mungkin berada pada frontier, yaitu grafik ragam terendah yang dicapai untuk nilai harapan dari imbal hasil portofolio tertentu.
Himpunan Efisien
Dari begitu banyak sekuritas yang tersedia, investor tidak harus mengevaluasi semuanya, cukup mengevaluasi himpunan bagian dari portofolio yang tersedia pada himpunan efisien. Yang dimaksud himpunan efisien adalah himpunan portofolio-portofolio yang menawarkan maksimum nilai harapan dari imbal hasil untuk tingkat risiko yang berbeda dan menawarkan minimum risiko untuk tingkat nilai harapan dari imbal hasil yang berbeda. Himpunan portofolio seperti ini disebut himpunan efisien atau eficient frontier.
Frontier berarti yang terdepan, dalam hal ini frontier berisi portofolio dengan ragam minimum yang dapat dicapai pada suatu nilai harapan imbal hasil tertentu. Dengan mengolah himpunan data dari nilai harapan imbal hasil, ragam, dan koragam tiap sekuritas berisiko, kita dapat menghitung bobot-bobot sekuritas dalam portofolio yang membuat ragam portofolio menjadi minimum untuk nilai harapan dari imbal hasil yang ditargetkan.
Pembatasan short sales bukan menjadi satu-satunya kendala untuk memberikan suatu karakterisasi himpunan portofolio efisien. Menurut Simaan dengan mengutip Dybvig (1985) dan Markowitz (1959, 1987) menunjukkan bahwa himpunan efisien rataan-ragam terdiri atas segmen-segmen yang parabolik atau segmen-segmen garis horizontal dan kekakuan dalam himpunan efisien. Short sales dilakukan untuk memberikan pemisahan tiga dana yang merentang himpunan efisien sebagai suatu fungsi parameter sebaran bersama. Teorema berikut ini menurunkan himpunan efisien dalam ruang portofolio baik untuk kepentingannya sendiri dan untuk pengembangan analisis pembentukan harga aset modal (CAP) pada bagian selanjutnya. Teorema 5.
Ketika imbal hasil sekuritas mengikuti sebaran nonspherical sebagaimana diberikan
oleh Persamaan (1), himpunan efisien direntang oleh tiga dana berikut:
= -1 1 -1 V µ a e'V µ', = -1 2 -1 V e a e'V e', dan = -1 3 -1 V b a e'V b'
dengan V=Var
( )
Z . Jika ada suatu aset bebas risiko dengan tingkat imbal hasil RF maka himpunan efisien direntang oleh aset bebas risiko:(
)
(
)
= -1 F -1 F V µ - R e a e'V µ - R e ' dan a3. Bukti.(i) Berdasarkan Akibat 4.1 untuk sebarang fungsi utilitas terdapat E dan B sedemikian sehingga portofolio optimal menyelesaikan Persamaan (7). Karena B=X'b dan
2 y σ = −
W V bb' %, fungsi objektif dalam Persamaan (7) dapat dituliskan sebagai berikut:
2 - σy
= 2
X'WX X'VX B %
Penulisan fungsi objektif dalam bentuk kuadratik di V memberikan keuntungan dalam penurunan dana efisien dalam bentuk yang dapat dibandingkan terhadap dana efisien rataan-ragam. Lagrangian dan syarat turunan pertamanya adalah
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 1 1 2 2 1 y L E B σ δ δ δ = − + − + − + − 2 X'VX B X'µ X'e X'b %(
)
2 2(
)
1 1 1 2 2 σy δ E = X'VX− X'b %+ −X'µ +δ2(
1−X'e)
+δ3(
B−X'b)
(
)
2 1 2 3 0 y dL dX=VX− X'b σ%b−δµ−δ e−δb= VX B− σ%y2b−δ1µ−δ2e−δ3b=0 (8)(
2)
1 2 3 y 0 δ δ δ σ − − − + = VX µ e B % b (9) VX=δ1µ+δ2e+(
δ3+Bσy2%)
b 1 2 3 δ δ δ = + + -1 -1 -1 -1 V VX V µ V e V b =δ1 +δ2 +δ3 -1 -1 -1 X V µ V e V b10 Misalkan 1 1 λ δ = -1 e'V µ, 2 2 λ δ = -1 e'V e, dan 3 3 λ δ = -1
e'V b. Maka solusi dari masalah
X
adalah =λ1 +λ2 +λ3-1 -1 -1
-1 -1 -1
V µ V e V b X
e'V µ e'V e e'V b dan λ λ1+ 2+λ3=1.
Karena W matriks koragam, maka Wdefinit positif. Dengan demikian X adalah titik minimum global dari bentuk kuadratik
X'WX.
(ii) Andaikan terdapat aset tanpa risiko dengan imbal hasil RF. Misalkan x0 menyatakan investasi dalam sekuritas ini. Persamaan (7) berbentuk sebagai berikut:
(
2)
1 min 2 y x − σ 2 X'VX B % dengan kendala: 0 0 , , 1 F x R E B x + = = + = X'µ X'b X'eLagrangian dan syarat turunan pertamanya adalah
(
)
(
)
(
)
2 1 0 2 0 3 1 1 2 2 1 y F L E x R x B σ δ δ δ = − + − − + − − + − 2 X'VX B X'µ X'e X'b %(
)
2 1 1 1 0 2 2 2 0 3 3 1 1 2 2 y F E x R x B σ δ δ δ δ δ δ δ δ = − + − − + − − + − 2 X'VX X'b X'µ X'e X'b % 2 1 2 3 0 y dL b dX=VX X'b− σ% −δµ−δe−δb= 2 1 2 3 0 yb σ δ δ δ − − − − = VX B % µ e b (*) 1 2 0 0 F dL R dx = −δ −δ = (10) δ2= −δ1RFSubstitusikan Persamaan (10) ke (*). Maka akan diperoleh
(
)
2 1 1 3 0 yb RF σ δ δ δ − − − − − = VX B % µ e b(
)
(
2)
1 RF 3 y 0 δ δ σ − − − + = VX µ e %B b (11)(
)
(
2)
1 RF 3 y δ δ σ = − + + VX µ e B % b VX=δ1(
µ−RFe)
+δ3b(
)
1 RF 3 δ δ = − + -1 -1 -1 V VX V µ e V b = δ1(
−RF)
+ δ3 -1 -1 X V µ e V b Misalkan(
1)
1 F R λ δ = − -1 e'V µ e dan 2 3 λ δ = -1e'V b. Maka akan diperoleh
(
)
(
)
1 2 λ λ = + -1 -1 F -1 -1 F V µ - R e V b Xe'V µ - R e e'V b dan
0 1 1 2
x = − −λ λ .
terbukti Himpunan efisien rataan-ragam terletak pada suatu garis lurus dalam ruang portofolio, sedangkan himpunan efisien dalam masalah ini terletak pada suatu bidang dalam ruang portofolio. Sebagai catatan a2 adalah
portofolio dengan ragam minimum global dan imbal hasil pada a3 memberikan imbal hasil
korelasi maksimum dengan faktor kecondongan y%. Hal ini juga merupakan portofolio yang dapat memaksimumkan dan meminimumkan kecondongan X'b untuk suatu ragam X'VX yang diberikan.
Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) Model dari pembentukan harga aset modal yang biasa disebut CAPM ini merupakan suatu alat untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. CAPM memprediksi nilai harapan imbal hasil berdasarkan asumsi bahwa seluruh investor menggunakan daftar input yang sama kemudian dimasukkan ke dalam model Markowitz. Ketika seluruh investor dapat meminjam dan memberi pinjaman dana pada tingkat bebas risiko, maka seluruh investor akan mempunyai titik portofolio yang optimal. Ketika pinjaman dibatasi, maka suku bunga pinjaman lebih tinggi daripada suku bunga pemberian pinjaman sehingga portofolio pasar tidak lagi merupakan portofolio optimal dan efisien bagi seluruh investor. Jika portofolio pasar tidak lagi efisien secara rataan-ragam, maka hubungan antara imbal hasil dan beta dari CAPM tidak lagi membentuk keseimbangan pasar. Oleh karena itu, diperlukan pengembangan model CAPM tiga momen yang melibatkan
11
kecondongan dari suatu aset berisiko dalam pasar persaingan sempurna.
Berikut ini akan diberikan asumsi-asumsi yang berkenaan dengan perusahaan, investor dan pasar modal.
(i) Perusahaan: Ada N Perusahaan
(
i=1, 2,...,N)
. Perusahaan imenawarkan sejumlah nisaham.
(ii) Investor: Ada sebanyak M investor. Semua investor percaya bahwa sebaran bersama dari imbal hasil (unit-unit tambahan rate of returns) pada persediaan N menyebar nonspherical
sebagaimana disebutkan dalam Persamaan (1). Setiap investor diasumsikan untuk mengalokasikan kekayaan awal untuk memaksimumkan nilai harapan dari kekayaan utilitas. (iii)Pasar: Yang termasuk pasar disini adalah
pasar aset sempurna tanpa pajak, biaya transaksi, atau pembatasan pada short sales. Diasumsikan ada keseimbangan pasar modal tetap yang pareto-optimal. Menurut Persamaan (9), permintaan investor ke-k untuk aset risiko memenuhi
1 2 3 1 0 N k k k k ij j i i j v x λ µ λ λ b = − − − =
∑
(12) untuk i=1,...,N dan k=1,...,M dengan xik adalah banyaknya uang yangdiinvestasikan oleh investor k pada perusahaan i. Untuk semua aset pasar, permintaan keseluruhan oleh semua investor untuk saham dari perusahaan i,
1 M k i k x =
∑
, harus sama dengan nilai total dari perusahaani i i n p =Π , yaitu 1 M k i i k x = =
∑
Π untuk i=1,...,N. (13) Dari Persamaan (12) dan Persamaan (13) diperoleh 1 2 3 1 1 1 1 0 N M M M k k k ij j i i j k k k v λ µ λ λ b = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜− ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
Π∑
∑
∑
untuk i=1,...,N. (14) Persamaan (14) dapat diselesaikan untuk menentukan nilai perusahaan(
Π1,...,ΠN)
'=Π. Sebagai catatan bahwa(
)
' ' 1 1 ,..., ,..., ' ' ' N m xm xNm e e ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Π Π X Π Πadalah portofolio pasar. Portofolio tersebut dan himpunan ragam minimumnya menggunakan Persamaan (9).
Tradeoff Hasil Aset
Misalkan 1 / ' M k j j k e λ λ = =
∑
Π untuk 1, 2, 3 j= dan(
)
1 cov , N ij jm i m im j v x z σ = = =∑
% Z'X .Persamaan (14) dapat ditulis dalam bentuk berikut:
1 2 3 0
im i bi
σ −λ µ λ λ− − = untuk i=1,...,N
(15) Jika Persamaan (15) dikalikan dengan xim, untuk seluruh i dan misalkan Em =µ'Xm dan
m m B =b'X , maka diperoleh 2 1 2 3 0 m Em Bm σ −λ −λ λ− = (16.1) Misalkan 2 / i im m β =σ σ dan γ =i b Bi/ m untuk 0 m
B ≠ . Ada dua dana X0 dan Xp yang memenuhi syarat berikut: (i) β =0 0 dan
0 0
γ = , (ii) β =p 0 dan γ =p 1. Misalkan 0=E0
µ'X dan µ'Xp =Ep. γ =p 1 berakibat
p= m
b'X b'X . Jika Persamaan (15) dikalikan dengan xi0 dan lainnya dengan xip, untuk semua i dan memenuhi sifat portofolio X0 dan Xp, maka diperoleh
1E0 2 0 λ λ − − = (16.2) 1Ep 2 3Bm 0 λ λ λ − − − = (16.3)
Jika Persamaan (16.1) diselesaikan melalui (16.3) untuk
(
λ λ λ1, 2, 3)
dan substitusikan nilai tersebut ke dalam Persamaan (15) maka akan didapatkan persamaan harga berikut:0 0
i E i Em Ep i Ep E
µ = +β ⎡⎣ − ⎤⎦+γ ⎡⎣ − ⎤⎦ (17)
Berdasarkan definisi, Ep adalah imbal hasil yang diharapkan pada suatu portofolio dengan sensitivitas nol untuk ragam pasar dan sensitivitas satu untuk kecondongan pasar.
12
Dengan demikian,
(
Em−Ep)
mencerminkan premi yang ditempatkan pada risiko ragam pada portofolio pasar. Di sisi lain, E0 adalah imbal hasil yang diharapkan pada portofolio dengan sensitivitas nol untuk ragam maupun kecondongan portofolio pasar. Maka(
Ep−E0)
adalah premi diskon yangditempatkan pada kecondongan pasar. Diberikan harga pasar pada ragam dan kecondongan portofolio pasar. Imbal hasil yang diharapkan pada suatu aset bergantung pada E0 dan sensitivitas aset untuk ragam maupun kecondongan portofolio pasar. Jika ada imbal hasil aset tak berisiko, RF, menggantikan E0 dalam Persamaan Pembentukan Harga (17) maka akan menjadi persamaan berikut:
(
) (
)
(
)
i RF i Em RF i i Ep RF
µ − =β − + β γ− − . (18) Persamaan (18) berubah menjadi CAPM Sharp-Lintner jika (i) Ep−RF =0 atau (ii)
0
i i
β γ− = , ∀i. Syarat pertama dipenuhi jika investor pasar netral terhadap kecondongan dan tidak menempatkan premi ataupun diskon pada kecondongan portofolionya. Syarat kedua berlaku ketika setiap sekuritas mempunyai sensitivitas yang sama terhadap ragam dan kecondongan pada portofolio pasar.
Tanda Premi Kecondongan
Harga pasar nonspherical yang positif atau negatif menjadi suatu pertanyaan empiris dan tidak dapat ditentukan sebelumnya. Parameter
nonspherical dapat menentukan momen ganjil maupun momen genap. Oleh karena itu, kontribusi dari kecondongan pada utilitas yang diharapkan menyisakan kontribusi momen yang lebih tinggi pada utilitas yang diharapkan. Simaan mengutip Kraus dan Litzenberger (1976) berpendapat bahwa investor penolak risiko lebih memilih kecondongan. Hal ini membatasi pilihan investor terhadap toleransi risiko linear. Jika mengabaikan momen yang lebih tinggi untuk investor penolak risiko maka sensitivitas potensial dari momen yang lebih tinggi untuk kecondongan dan kebergantungan utilitas yang diharapkan pada momen yang lebih tinggi itu menyisakan pemilihan investor penolak risiko untuk kecondongan. Hal ini dapat ditunjukkan dalam contoh berikut.
Contoh.
Perhatikan fungsi utilitas kekayaan berikut:
( )
(
)
4U w = − A w− − untuk 0< <w A. Catatan bahwa untuk 0< <w A, U'>0,
'' 0
U < , U(3)>0, U(4)<0, dan U( )n =0 untuk n>4. Asumsikan bahwa faktor kecondongan y% mengikuti sebaran eksponensial yang digantikan dengan rataan nol dan ragam satu. Untuk sebaran ini,
3 2 E y⎡ ⎤ =⎣ ⎦ dan 4 9 E y⎡ ⎤ =⎣ ⎦ . Andaikan
(
0,)
Nε W dan misalkan kekayaan saat ini adalah satu. Misalkan X portofolio dengan imbal hasil berikut:
(
)
pr y ε E By ε
= = + + = + +
X'Z% % X'µ X'b % X'% % % . Keempat momen pertama dari r% adalah
( )
( )
( )
(
)
1 2 2 3 3 3 3 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 4 4 , , 2 , 6 9 6 3 6 3 p p p p p p M E M M B E y B M B E y B Ey E E B B B B B σ ε ε σ σ σ = = = = = + + ⎡ ⎤ = + − + ⎣ − ⎦ = + % % % %Persamaan yang terakhir menggunakan normalitas dari ε%p untuk menentukan
( )
4 p
E ε%
sebagai 3
(
Var( )
ε%p)
2 dan fakta bahwa( )
( )
2 2p y
Var r% =Var ε% +σ B . M4 ditentukan oleh ragam dan kecondongan dari imbal hasil portofolio. Dengan perluasan Taylor pada U
di sekitar rataan, diperoleh
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2 (3) (4) 3 4 4 2 2 4 3 4 1 " 2 1 1 6 24 6 3 8 6 p p p E U w U E U E U E M U E M A E A E A E B B σ σ σ = + + + = − − − − − + − −Utilitas yang diharapkan dalam contoh ini meningkat dalam kecondongan untuk
B< −A E tetapi kecondongan menurun untuk
B> −A E. Kebergantungan dari momen keempat pada kecondongan dan perbedaan sifat investor terhadap momen ketiga dan keempat, dihasilkan dari sikap ambigu terhadap kecondongan. Selanjutnya kebergantungan dan perbedaan itu tidak dapat menandai premi kecondongan sebelumnya dalam pasar modal.
13
KESIMPULAN
Dengan membatasi sebaran bersama imbal hasil aset secara benar, dapat dikembangkan suatu kerangka kerja tiga momen untuk pemilihan portofolio yang menyerupai kesederhanaan dan daya tarik intuitif dari model rataan-ragam. Sikap investor terhadap risiko dalam kerangka kerja rataan-ragam ditentukan oleh sikap investor terhadap ragam portofolionya. Penolakan risiko bergantung pada ragam maupun parameter sebaran portofolio. Cara model rataan-ragam dapat membatasi kendala short sales. Ketika short sales tidak dibatasi, himpunan efisien
portofolio yang diharapkan menjadi tidak optimal.
CAPM tiga momen dikembangkan dengan imbal hasil yang diharapkan dan aset bebas risiko. Serupa dengan CAPM Sharpe-Lintner, portofolio pasar berpusat pada pembentukan harga semua aset dalam ekonomi. Premi risiko aset individual ditentukan pada ragam dan kecondongan portofolio pasar. Ditunjukkan pula bahwa tanda premi kecondongan tidak dapat ditentukan untuk semua investor penolak risiko.
DAFTAR PUSTAKA
Bodie, Z, Kane, A, dan Marcus, A J. 2002.
Investment. Ed. ke-6. The McGraw-Hill Companies, Inc. New York.
Ghahrahmani, Saeed. 2005. Fundamental of Probability. Ed. Ke-2. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Grimmet, G.R. dan D.R. Stirzaker. 1992.
Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. New York.
Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995.
Intoduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice-Hall, Inc. New Jersey. Keeken, M. N. 2001. Membentuk Portofolio
Berisiko Yang Optimal Dengan Seleksi Portofolio Markowitz. Skripsi. Sarjana Sains Departemen Matematika Fakultas MIPA IPB.
Kozik, T. J. dan Larson, A. M. 2001. The N-Momen Insurance CAPM. Allstate Insurance Company.
Peressini, A. L., F. E. Sullivian, J. J. Uhl, Jr. 1998. The Mathematics of Nonlinear Programming. Spinger-Verlag. New York. Rao, S. S. 1978. Optimization Theory and- Applications. San Diego : San Diego State University.
Rose, Colin dan Murray D. Smith. 2001.
Mathematical Statistics with Mathematica. Springer-Verlag, Inc. New York.
Simaan, Y. 1993. Portfolio Selection and Asset Pricing - Three-Parameter Framework. New York.
