Kumpulan soal tentang Materi Matriks and

(1)

FITRIYANTI NAKUL Page 1

“

Kumpulan Soal

”

,,,,, ! ! !

Materi:

“

Matriks &

Ruang Vektor”

1. BEBAS LINEAR

2. KOMBINASI LINEAR

3. BASIS DAN DIMENSI

S

O

A

L

(2)

1.

BEBAS LINEAR

Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan suatu vektor yang anggotanya tidak saling tergantung antara satu vektor dengan vektor yang lainnya. Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan keadaan sistem yang bebas linear maupun yang tak bebas linear dari vektor-vektor dalam ℝ3. Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini:

DEFENISI 1.1

Jika �= ₁, ₂, ₃,…, adalah suatu himpunan vektor tak kosong, maka persamaan berikut

1 1+ 2 2 + 3 3 +⋯+

sedikitnya mempunyai penyelesaian berikut

1 = 2 = 3 =⋯ = = 0

jika hanya itu satu-satunya penyelesaian, maka S dinamakan himpunan vektor yang

bebas linear, tetapi jika ada penyelesaian yang lain, maka S dinamakan tak bebas linear.

 Cara alternatif untuk menentukan suatu sistem bebas linear atau tak bebas linear, yaitu cukup dengan memeriksa/meninjau apakah matriks det (A) = 0 atau tidak.

NOTE:

 Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) = 0, maka antara satu vektor dan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear.

 Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A)≠ 0, maka antara satu vektor dan vektor lainnyatidak saling tergantung atau S bebas linear.

Soal

Tentukan apakah S bebas linear?, jika diberikan:

a. �= , , di ℝ3, dengan = 1, 2, 1 , = 2, 5, 0 , dan = 3, 3, 8

(3)

FITRIYANTI NAKUL Page 3 Jawab:

a. Penyeleasaian dari: �= , , di ℝ3, dengan = 1, 2, 1 , = 2, 5, 0 , dan

= 3, 3, 8

Pembuktian

 Mengacu pada defenisi 1.1

1 + 2 + 3 = 0

Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:

1+ 2 2 + 3 3 = 0 …..(1)

 Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa apakah matriks det (S) = 0 atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai determinan dari sistem ini.

 Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:

(4)

� = 40 + (−41)

� =−1

Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol

� � ≠ , maka antara satu vektor dengan vektor lainnya tidak saling tergantung atau S bebas linear.

b. Penyelesaian dari: �= , , di ℝ3, dengan = 4, 6, 0 , = 0, 0, 2 , dan

= −2,−3, 1

Pembuktian

 Mengacu pada defenisi 1.1

1 + 2 + 3 = 0

Atau

1 + 2 + 3 = 0

1 4, 6, 0 + 2 0, 0, 2 + 3 −2,−3, 1 = 0

4 1, 6 1, 0 + 0, 0, 2 2 + −2 3,−3 3, 3 = 0

4 1+ 0 +−2 3, 6 1+ 0−3 3, 0 + 2 2+ 3 = 0

4 ₁−2 ₃, 6 ₁−3 ₃, 2 ₂+ ₃ = 0

4 1−2 3 = 0 …..(1)

6 ₁−3 ₃ = 0 …..(2) 2 2+ 3 = 0 …..(3)

⇒ 46 00 −−23

0 2 1

12 3

= 0 0 0

dengan:

�=

4 0 −2

6 0 −3

0 2 1

(5)

 Misalkan elemen yang diambil yang terletak pada kolom 3, maka nilai determinan dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:

� = −1 + �

� = 13 −1 1+3�13+ 23 −1 2+3�23+ 33 −1 3+3�33

� =−2 −1 4 6 0

0 2 + (−3) −1

5 4 0

0 2 + 1 −1

6 4 0

6 0

� =−2 6 0

0 2 + 3

4 0

0 2 + 1

4 0

6 0

� =−2 12−0 + 3 8−0 + 1(0−0)

� =−2 12 + 3 8 + 1(0)

� =−24 + 24 + 0

� = 0

Karena nilai determinan dari system linear tersebut sama dengan nol

� � = , maka antara satu vektor dengan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear.

2.

KOMBINASI LINEAR

Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan kombinasi linear dari vektor-vektor dalam ruang vektor ℝ3. Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini:

DEFINISI 2.1

suatu vektor disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor, ₁, 2, … , , jika bisa dinyatakan dalam bentuk

= ₁ ₁+ ₂ ₂+⋯+

dengan ₁, 2, … , adalah scalar

Soal

Tinjau vektor = −1, 3, 2 dan = 4, 2,−1 di ℝ3. Tunjukkanlah bahwa

= 10,−2,−6 adalah kombinasi linear dari dan dan bahwa = 12,4,−2

(6)

FITRIYANTI NAKUL Page 6 Jawab:

 akan menjadi kombinasi linear dari dan jika dapat ditemukan skalar m dan n

sedemikian sehingga berlaku = + , yaitu

= +

10,−2,−6 = −1, 3, 2 + 4, 2,−1

10,−2,−6 = − , 3 , 2 + 4 , 2 ,−

10,−2,−6 = − + 4 , 3 + 2 , 2 −

 Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh:

− + 4 = 10 ….. (1)

3 + 2 =−2 ….. (2)

2 − =−6 ….. (3)

 Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas, sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut:

 Eliminasi variable n pada pers. (2) dan (3)

3 + 2 =−2 x 1 ⟹3 + 2 = −2

2 − = −6 x 2 ⟹ 4 −2 = −12

+

7 =−14

= −14

7

= −2

 Subtitusikan nilai =−2 , ke pers. (1)

− + 4 = 10

− −2 + 4 = 10

2 + 4 = 10

4 = 10−2

4 = 8

=8

(7)

 Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear:

 Pers. 1

− + 4 = 10

−(−2) + 4(2) = 10

2 + 8 = 10

10 = 10

 Pers. 2

3 + 2 =−2

3(−2) + 2(2) =−2

−6 + 4 =−2

−2 =−2

 Pers. 3

2 − = −6

2(−2)−2 =−6

2(−2)−2 = −6

−4−2 =−6

−6 = −6

 Berdasarkan hasil uji, maka nilai skalar m dan n memenuhi sistem persamaan linear. Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut menghasilkan

= −2 dan = 2, sehingga diperoleh:

= +

=−2 + 2

Jadi, ∴ merupakan kombinasi linear dari dan .

 Demikian juga untuk membuktikan apakah merupakan kombinasi linear dari dan , yaitu = + , dengan cara yang sama, diperoleh:

= +

12, 4,−2 = −1, 3, 2 + 4, 2,−1

12, 4,−2 = − , 3 , 2 + 4 , 2 ,−

12, 4,−2 = − + 4 , 3 + 2 , 2 −

 Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh:

− + 4 = 12 ….. (1)

3 + 2 = 4 ….. (2)

(8)

 Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas, sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut:

 Eliminasi variabel n pada pers. (2) dan (3)

3 + 2 = 4 x1 ⟹3 + 2 = 4

2 − = −2 x 2 ⟹4 −2 =−4

+

7 = 0

= 0

7 = 0

 Subtitusikan nilai = 0 , ke pers. (1)

− + 4 = 12

− 0 + 4 = 12

0 + 4 = 12

4 = 12

=12

4 = 3

 Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear:

 Pers. 1

− + 4 = 12

−(0) + 4(3) = 12

0 + 12 = 12

12 = 12

 Pers. 2

3 + 2 = 4

3(0) + 2(3) = 4

0 + 6 = 4

6≠4

 Pers. 3

2 − = −2

2 0 −3 =−2

2(0)−3 =−2

0−3 =−2

−3≠ −2

(9)

3.

BASIS DAN DIMENSI

Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan basis dan dimensi pada ruang vektor

ℝ2_dan_ℝ3_{. Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi dan teorema berikut ini:}

a. Basis

DEFINISI 3.1

Jika V ruang vector dan �= ₁, ₂, ₃,…, adalah himpunan vector-vektor di V, maka

S dinamakan basis untuk V jika kedua syarat di bawah ini terpenuhi: 1. S bebas linear

2. S membangun V

Teorema 3.2

Jika �= 1, 2, 3,…, adalah basis untuk ruang V , maka ∀ ∈ � dapat dinyatakan

dalam bentuk

= ₁ ₁+ ₂ ₂+ ₃ ₃+⋯+

dalam tepat satu cara.

b. Dimensi

DEFINISI 3.3

Suatu ruang vector tak-nol V dinamakan berdimensi berhingga jika V berisi himpunan vektor berhingga yaitu ₁, 2, 3,…, yang merupakan basis. Jika tidak himpunan

seperti itu, maka V berdimensi tak-hingga. Ruang vektor nol dinamakan berdimensi berhingga.

Teorema 3.4

(10)

FITRIYANTI NAKUL Page 10 dibuktikan apakah S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ruang vektor ℝ3.

Pembuktian

1+ 2 2 + 3 3 = �1 ….. (1)

Berikut adalah nilai determinan yang diperoleh dari system:

 Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:

(11)

� = 1 40−0 + (−2) 16−0 + 1(6−15)

� = 1 40 + (−2) 16 + 1(−9)

� = 40 + (−32) + (−9)

� = 40 + (−41)

� =−1

Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol

� ≠0, maka � dapat ditemukan dan merupakan kombinasi linear dari S, sehingga ₁, 2 dan 3 membangun ℝ3. Dengan demikian S memenuhi sifat

membangun ruang vektor.

 Untuk membuktikan S bebas linear, ambil 0= (0,0,0)∈ ℝ3, kemudian akan ditunjukkan apakah 0 merupakan kombinasi linear dari S, ditulis:

0= 1 1+ 2 2+ 3 3

(0,0,0) = ₁ 1, 2, 1 + ₂ 2, 5, 0 + ₃ 3, 3, 8

(0,0,0) = ( 1, 2 1, 1) + 22, 5 2, 0 + 3 3, 3 3, 83

(0,0,0) = ( 1+ 2 2+ 3 3, 21+ 5 2 + 3 3, 1+ 0 + 8 3)

1+ 2 2+ 3 3 = 0 ….. (1)

2 1+ 5 2+ 3 3 = 0 ….. (2) 1+ 8 3 = 0 ….. (3)

⇒ 12 25 33

1 0 8

12 3

= 0 0 0

 Determinan dari system persamaan di atas memiliki nilai determinan tidak sama dengan nol, � ≠0, maka matriks koefisiennya mempunyai invers sehingga system linear ini mempunyai penyelesaian tunggal yaitu ₁ = 2 = 3 = 0, sehingga S bebas linear.  Jadi, ∴ karena S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ℝ , maka S basis

(12)

2. Tentukan basis dan dimensi dari ruang penyelesaian system linear homogeny di bawah ini: matriks A menjadi matriks eselon tereduksi seperti berikut ini:

2 2 1

 Dengan demikian, sistem di atas menunjukkan adanya sifat membangun ruang

penyelesaian, oleh karena itu � ,� adalah basis ruang penyelesaian yang