SUBGRUP NORMAL PADA Q-FUZZY
Elly Anjar Sari
Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail :ellyanjar@yahoo.com
Dr.Raden Sulaiman M.Si.
Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : sulaimanraden@yahoo.com
Abstrak
Kelas-kelas baru struktur aljabar diperkenalkan oleh K.H.Kim, yang difuzzykan. Dalam fuzzyfikasi ini, membahas tentang subgrup Q-fuzzy.Diberikan Q adalah sebarang himpunan, dan G adalah grup, Pemetaan𝜇: 𝐺 × 𝑄 → 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di G. Tulisan ini akan menjelaskan konsep pada subgrup normal Q-fuzzy dan membahas beberapa sifat-sifatnya, karakterisasi pada subgrup Q-fuzzy dan subgrup normal Q-fuzzy yang diberikan.
Kata kunci :Subgrup fuzzy, subgrup Q-fuzzy, grup normal Q-fuzzy, Q-fuzzy normalizer
Abstract
The new classes of algebraic structures introduced by K.H.Kim, are defuzzified. In this fuzzification, the notion of Q-fuzzy subgroup.Let Q be any sets, and G be a group, A mapping 𝜇: 𝐺 × 𝑄 → 0,1 is called a Q-fuzzy set in G. This thesis will explain the concept of Q-fuzzy normal subgroup and discusses some of its properties, Characterisation of Q-fuzzy subgroup and Q-fuzzy normal subgroup are given.
Keywords : Fuzzy subgroup, Q-fuzzy subgroup, Q-fuzzy normal group, Q-fuzzy normalizer.
1. PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang
Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat pesat, matematika menempatkan dirinya pada suatu ilmu dasar yang mempunyai peranan penting dalam penguasaan teknologi. Sehingga matematika perlu dipelajari dan dikuasai agar dapat menerapkan ilmu tersebut di berbagai bidang.
Penelitian mengenai teori himpunan fuzzy berkembang dengan pesat baik dalam bidang matematika maupun aplikasinya. Teori himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotti A Zadehseorang guru besardi University of california, AmerikaSerikat. Lotfi Asker Zadeh mendefinisikan suatu himpunan fuzzy A dalam semesta pembicaraan 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} dengan fungsi keanggotaan
𝜇: 𝑋 → 0,1 , yang mana 𝜇(𝑥)
mempresentasikan derajat keanggotaan 𝑥𝑖,𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Dengan kata lain, suatu himpunan fuzzy A dapat didefinisikan secara umum sebagai pasangan berurutan 𝐴 = { 𝑥1, 𝜇𝐴 𝑥1 , (𝑥2, 𝜇𝐴 𝑥2 ), … , 𝑥𝑛, 𝜇𝐴 𝑥𝑛 }. Aplikasi dari teori himpunan fuzzy sangat luas seperti dalam operasi research, teori informasi,
neural network, dibidang kedokteran, bidang ekonomi, dll. Oleh karena itu teori himpunan fuzzy merupakan suatu bidang potensial untuk penelitian antar cabang ilmu pengetahuan.
Sedangkan pada struktur aljabar abstrak mempunyai dua kegunaan yang mendasar. Kegunaan yang pertama adalah untuk menentukan pola-pola atau kesimetrisan dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika. Misalnya pada suatu mesin automaton mempunyai dua kendali untuk memaksimumkan daya guna mesin tersebut. Sedangkan kegunaan yang kedua adalah perluasan sistem-sistem bilangan untuk digunakan dalam system lainnya.
A.Solairaju dan R.Nagarajan mendefinisikan sebuah struktur aljabar baru padasubgrup Q-fuzzy. Artikel ini merupakan hasil kajian dalam skripsi tentang struktur elemen-elemen Q-fuzzy dan sifat-sifatnya yang meliputi grup, subgrup, subgrup normal, Himpunan fuzzy, relasi fuzzy, subgrup fuzzy, subgrup Q-fuzzy, subgrup normal Q-fuzzy.
Dari konsep-konsep dasar tersebut, penulis dapat mengaitkan konsep pada himpunan fuzzy dan aljabar abstrak. Sehingga dapat membentuk Subgrup normal pada Q-fuzzy dan sifat-sifatnya.
2. LANDASAN TEORI
2.1 GrupdanSubgrup Definisi 2.1.1
Grup G adalahsebuahsistemaljabar yang
terdiriatassuatuhimpunantakkosong G
dansuatuoperasibiner (∗) yang didefinisikan pada G serta memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :
1. Untuksetiap𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺. 2. Operasi ∗ bersifat assosiatif, yaitu a ∗
𝑏 ∗ 𝑐 = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐, untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 3. Terdapatelemen 𝑒 disebut identitas 𝑒 ∈ 𝐺
sedemikian sehingga 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺.
4. Untuksetiap𝑎 ∈ 𝐺, terdapat elemen 𝑎−1∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑎 ∗ 𝑎−1= 𝑎−1∗ 𝑎 = 𝑒.
Definisi 2.1.2
Suatu subset H tidakkosongdarigrup G
disebutsubgrupdari G jika H
membentukgrupterhadapoperasi yang samapadagrup G. Definisi 2.1.3
Misalkan𝐺 adalah suatu grup dan H adalah himpunan bagian dari G yang tidak kosong, H subgrup dari G jika dan hanya jikamemenuhi :
(1) Untuksetiap𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, maka 𝑎𝑏 ∈ 𝐻. (2) Untuksetiap𝑎 ∈ 𝐻, maka 𝑎−1∈ 𝐻.
Teorema 2.1.2
Diketahui G grupdan H⊂G. H subgrup G jika dan hanya jika 𝑎𝑏−1∈ 𝐻 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻.
2.2 HomomorfismedanEpimorfismeGrup Definisi 2.2.1
Diberikangrup G dan H.
SuatuHomomorfismegrupdari G ke H adalahsuatufungsi𝑓: 𝐺 → 𝐻 sedemikian sehingga untuk sembarang 𝑎 dan 𝑏 di dalam G, berlaku 𝑓 𝑎𝑏 = 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏)
Definisi 2.2.2
Epimorfismeadalahsuatuhomomorfisme yang bersifatsurjektif.
Definisi 2.2.3
SuatusubgrupNdariGdisebutsubgrup normal darigrupGjikadanhanyajikauntuksetiap𝑔 ∈ 𝐺dan 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑔𝑛𝑔−1∈ 𝑁.
𝟐. 𝟑 Relasi Fuzzy Definisi 2.3.1
Relasi fuzzy 𝑅 antara elemen-elemen pada himpunan 𝑋 dan elemen-elemen pada himpunan 𝑌 didefinisikan sebagai himpunan bagian fuzzy dari hasil kali cartesius 𝑋 × 𝑌 yaitu
𝑅 = {( 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑅 𝑥, 𝑦 )|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌 Dimana :𝜇𝑅 : 𝑋 × 𝑌 → [0,1]
𝜇𝑅 𝑥, 𝑦 adalah derajat keanggotaan unsur (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌 dalam relasi fuzzy 𝐴 .
2.4 Subgrup Fuzzy Definisi 2.4.1
Misal X
adalahhimpunantakkosong.himpunanbagian fuzzy 𝜇 pada X dinyatakan sebagai fungsi 𝜇: 𝑋 → 0,1 .
Definisi 2.4.2
Diberikan G adalahgrup.Himpunanbagian fuzzy 𝜇 di grup G disebut subgrup fuzzy jika 𝜇: 𝐺 → 0,1 memenuhi untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺,
(i) 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇 𝑥 , 𝜇 𝑦 } untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
(ii) 𝜇(𝑥−1)=𝜇 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 Definisi 2.4.3
Diberikan G adalahgrup.Himpunanbagian fuzzy di grup G disebut normaljikauntuksemua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, 𝜇 𝑥𝑦𝑥−1 = 𝜇 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢𝜇 𝑥𝑦 = 𝜇 𝑦𝑥
Definisi 2.4.4
Diberikan𝜇 adalah subgrup fuzzy di grup G. Untuk 𝑡 ∈ 0,1 , level subset 𝑡 di 𝜇 adalah himpunan ,𝜇𝑡= 𝑥 ∈ 𝐺, 𝜇(𝑥) ≥ 𝑡}.
3. PEMBAHASAN
3.1. Subgrup Normal Q-Fuzzy
Definisi 3.1
Diberikan Q adalahsebaranghimpunan, dan G adalahgrup.Pemetaan 𝜇: 𝐺 × 𝑄 → 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di grup G.
Definisi 3.2
Himpunan Q-fuzzy 𝜇 disebut subgrup Q-fuzzy di G, jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝑄,
(i) 𝜇(𝑥𝑦, 𝑞) ≥ min{𝜇 𝑥, 𝑞 , 𝜇 𝑦, 𝑞 } (ii) 𝜇(𝑥−1, 𝑞)=𝜇(𝑥, 𝑞)
Definisi 3.3
Diberikan G adalahgrup.Subgrup Q-fuzzy 𝜇 dari grup G disebut normal jika untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, dan 𝑞 ∈ 𝑄, 𝜇 𝑥𝑦𝑥−1, 𝑞 = 𝜇 𝑦, 𝑞 𝑎𝑡𝑎𝑢𝜇 𝑥𝑦, 𝑞 ≥ 𝜇 𝑦𝑥, 𝑞 .
Definisi 3.4
Misalkan𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G. Untuk 𝑡 ∈ 0,1 , disebut level subset 𝜇 sehingga 𝜇𝑡 = 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝑄 𝜇(𝑥, 𝑞) ≥ 𝑡}.
Teorema3.1 :
Diberikan G adalahgrupdan𝜇 adalah himpunan bagian fuzzy dari grup G. Maka 𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G jika dan hanya jika level subset ,𝜇𝑡, 𝑡 ∈ 0,1 , 𝑡 ≤ 𝜇 0 , adalah subgrup dari grup G. Bukti :
Misalkan𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy pada grup G dan untuk 𝑡 ∈ 0,1 ,
𝜇𝑡= 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝑄 𝜇 𝑥, 𝑞 ≥ 𝑡}.
Misalkan𝑥, 𝑦 ∈ 𝜇𝑡. Maka 𝜇 𝑥, 𝑞 ≥ 𝑡dan 𝜇 𝑦, 𝑞 ≥ 𝑡. Sehingga𝜇 𝑥𝑦−1, 𝑞 ≥ min 𝜇 𝑥, 𝑞 , 𝜇 𝑦−1, 𝑞
≥ min 𝜇 𝑥, 𝑞 , 𝜇 𝑦, 𝑞 ≥ min{𝑡, 𝑡} Jadi, 𝜇 𝑥𝑦−1, 𝑞 ≥ 𝑡
Sehinggadapatdinyatakan𝑥𝑦−1∈ 𝜇𝑡. Sehingga𝜇𝑡 adalah subgrup pada grup G.
Sebaliknya, asumsikanbahwa𝜇𝑡adalahsubgruppadagrup G.
Misalkan𝑥, 𝑦 ∈ 𝜇𝑡. Maka 𝜇 𝑥, 𝑞 ≥ 𝑡dan 𝜇 𝑦, 𝑞 ≥ 𝑡. Begitujuga, 𝜇 𝑥𝑦, 𝑞 ≥ 𝑡
≥ min{𝑡, 𝑡} = min 𝜇 𝑥, 𝑞 , 𝜇 𝑦, 𝑞 𝑥 ∈ 𝜇𝑡, 𝜇𝑡subgrup pada G, jadi 𝑥−1 ∈ 𝜇𝑡
𝜇 𝑥−1, 𝑞 ≥ t = 𝜇 𝑥, 𝑞
Sehinggadiperoleh, 𝜇 𝑥𝑦, 𝑞 ≥ min 𝜇 𝑥, 𝑞 , 𝜇 𝑦, 𝑞 dan 𝜇 𝑥−1, 𝑞 = 𝜇 𝑥, 𝑞 . Jadi𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy pada grup G. Definisi 3.5
Diberikan G adalahgrupdan𝜇 adalah subgrup
Q-fuzzy dari grup G. Misalkan
𝑁 𝜇 = 𝑎 ∈ 𝐺 𝜇 𝑎𝑥𝑎−1, 𝑞 = 𝜇 𝑥, 𝑞 , untuk setiap ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝑄}. Maka 𝑁 𝜇 disebut normalizer Q-fuzzy di 𝜇.
Teorema3.2 :
Diberikan G adalahgrupdan𝜇 adalah himpunan bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka 𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G jika level subset 𝜇𝑡, 𝑡 ∈ 0,1 , adalah subgrup normal dari grup G.
Bukti :
Misalkan𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G dan level subset 𝜇𝑡, 𝑡 ∈ 0,1 , adalah subgrup pada grup G.
Diberikan𝑥 ∈ 𝐺 dan 𝑎 ∈ 𝜇𝑡, maka 𝜇 𝑎, 𝑞 ≥ 𝑡.
Karena𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G, maka 𝜇 𝑥𝑎𝑥−1, 𝑞 = 𝜇 𝑎, 𝑞 ≥ 𝑡.
Sehinggadiperoleh, 𝜇 𝑥𝑎𝑥−1, 𝑞 ≥ 𝑡.
Jadi, 𝑥𝑎𝑥−1 ∈ 𝜇𝑡. Sehingga 𝜇𝑡 adalah subgrup normal pada grup G.
Teorema3.3 :
Diberikan𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G. Maka
i. 𝑁 𝜇 adalah subgrup dari G.
ii. 𝜇adalah normal Q-fuzzy dari G ⇔ 𝑁 𝜇 = 𝐺. iii. 𝜇adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup
𝑁 𝜇 . Bukti : i. Diberikan𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 𝜇 maka 𝜇 𝑎𝑥𝑎−1, 𝑞 = 𝜇 𝑥, 𝑞 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺. 𝜇 𝑏𝑥𝑏−1, 𝑞 = 𝜇 𝑥, 𝑞 ,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺. Sehingga 𝜇 𝑎𝑏𝑥(𝑎𝑏)−1, 𝑞 = 𝜇 𝑎𝑏𝑥𝑏−1𝑎−1, 𝑞 = 𝜇(𝑏𝑥𝑏−1, 𝑞) = 𝜇(𝑥, 𝑞) Sehinggadiperoleh, 𝜇 𝑎𝑏𝑥(𝑎𝑏)−1, 𝑞 = 𝜇(𝑥, 𝑞)
Jadi𝑏−1 ∈ 𝑁 𝜇 , Maka 𝑎𝑏 ∈ 𝑁 𝜇 , Jadi 𝑁 𝜇 adalah subgrup pada grup G. ii. Jelas𝑁 𝜇 ⊆ 𝐺, 𝜇 adalah subgrup normal
Q-fuzzy pada grup G.
Diberikan 𝑎 ∈ 𝐺, maka 𝜇 𝑎𝑥𝑎−1, 𝑞 = 𝜇 𝑥, 𝑞 , itu berarti a ∈ 𝑁 𝜇
Maka𝐺 ⊆ 𝑁 𝜇 . Jadi𝑁 𝜇 = 𝐺. Sebaliknya, Diberikan𝑁 𝜇 = 𝐺.
Jelas 𝜇 𝑎𝑥𝑎−1, 𝑞 = 𝜇 𝑥, 𝑞 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 dan 𝑎 ∈ 𝐺.
Jadi𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G.
iii. Dari (ii), 𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup 𝑁 𝜇 .
Untuksetiap 𝑁 𝜇 ⟹ 𝜇 𝑥𝑦𝑥−1, 𝑞 = 𝜇 𝑦, 𝑞 .
Definisi 3.6
Diberikan𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, 𝑔 ∈ 𝐺 , 𝑔𝜇𝑔−1 didefinisikan sebagai 𝑔𝜇𝑔−1 𝑥, 𝑞 = 𝜇 𝑔−1𝑥𝑔, 𝑞 ⩝ 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝑄.
Teorema3.4 :
Jika𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, maka 𝑔𝜇𝑔−1 adalah juga subgrup Q-fuzzy dari grup G, untuk semua 𝑔 ∈ 𝐺.
Bukti :
Misalkan𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G dan 𝑔 ∈ 𝐺, Maka : (i). (𝑔𝜇𝑔−1) 𝑥𝑦, 𝑞 = 𝜇(𝑔−1 𝑥𝑦 𝑔, 𝑞) = 𝜇(𝑔−1 𝑥𝑔𝑔−1𝑦 𝑔, 𝑞) = 𝜇((𝑔−1𝑥𝑔)(𝑔−1𝑦𝑔), 𝑞) ≥ min{𝜇 𝑔−1𝑥𝑔, 𝑞 , 𝜇 𝑔−1𝑦𝑔, 𝑞 } ≥ min{𝑔𝜇𝑔−1 𝑥, 𝑞 , 𝑔𝜇𝑔−1 𝑦, 𝑞 } Untuksemua𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝑄. (ii). 𝑔𝜇𝑔−1 𝑥, 𝑞 = 𝜇(𝑔−1𝑥𝑔, 𝑞) = 𝜇((𝑔−1𝑥𝑔)−1, 𝑞) = 𝜇(𝑔−1𝑥−1𝑔, 𝑞)
= 𝑔𝜇𝑔−1 𝑥−1, 𝑞 , Untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝑄. Jadi𝑔𝜇𝑔−1 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Teorema3.5 :
Jika𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, maka gμg−1 juga merupakan subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, untuk semua 𝑔 ∈ 𝐺.
Bukti :
Misalkan𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. Maka gμg−1 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G. Adapungμg−1 xyx−1, q = 𝜇(𝑔−1 𝑥𝑦x−1 g, 𝑞) = 𝜇 𝑥𝑦x−1 , 𝑞) = 𝜇(𝑦, 𝑞) = 𝜇 𝑔𝑦g−1 , 𝑞) = gμg−1 y, q Teorema3.6 :
Misalkanλ dan μ adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup G. Maka λ ∩ μ merupakan subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Bukti :
Diberikan λ dan μ adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup G. (i) (λ ∩ μ) 𝑥𝑦−1, 𝑞 = min(λ 𝑥𝑦−1, 𝑞 , μ 𝑥𝑦−1, 𝑞 ) ≥ min{min λ 𝑥, 𝑞 , λ 𝑦, 𝑞 , min μ 𝑥, 𝑞 , μ 𝑦, 𝑞 } ≥ min{min λ 𝑥, 𝑞 , μ 𝑥, 𝑞 , min λ 𝑦, 𝑞 , μ 𝑦, 𝑞 } = min{(λ ∩ μ) x, q , (λ ∩ μ) (𝑦, 𝑞)} Jadi (λ ∩ μ) 𝑥𝑦−1, 𝑞 ≥ min{(λ ∩ μ) x, q , (λ ∩ μ) (𝑦, 𝑞)} (ii) (λ ∩ μ) x, q = { λ x, q , μ x, q } = { λ 𝑥−1, q , μ 𝑥−1, q } = {(λ ∩ μ) (𝑥−1, 𝑞)}. Jadiλ ∩ μ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G. Teorema3.7 :
Irisansebarangduasubgrup normal Q-fuzzy darigrup G jugamerupakansubgrup normal Q-fuzzy darigrup G. Bukti :
Diberikanλ dan μ adalah dua subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
BerdasarkanTeorema 3.6, λ ∩ μ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Adapununtuksetiapx,y di G, kitaperoleh : (λ ∩ μ)( xyx−1, q
= min λ xyx−1, q , μ xyx−1, q = min( λ y, q , μ y, q ) = (λ ∩ μ)(𝑦, 𝑞) Jadiλ ∩ μ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
Definisi 3.7
Diberikan G dan H adalahgrup, dan Q adalahsebaranghimpunan.Pemetaan f: G × Q → H × Q dikatakan grup Q-homomorfisma jika :
(i) f: G → H adalah grup homomorfisma (ii) f xy, q = f x f y , q , untuk semua
x, y ∈ G dan q ∈ Q. Definisi 3.8
Diberikanfungsif: G × Q → H × Q. Misalkan 𝜇1 adalah subgrup fuzzy dari G, dan 𝜇2 adalah subgrup fuzzy dari H, maka :
(i) 𝑓(𝜇1) 𝑦, 𝑞 =: Supf z =yμ1(𝑧, 𝑞) untuk semua y di G.
(ii) 𝑓−𝟏 𝜇2 𝑥, 𝑞 =: 𝜇2(𝑓 𝑥, 𝑞 )untuk semua x di H.
Teorema3.8 :
Misalkanf: G × Q → H × Q dikatakan grup Q-homomorfisma
(a) Jikaμ adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H, maka f−1(μ) adalah subgroup normal Q-fuzzy dari G.
(b) Jika f adalah epimorfisma dan μ adalah subgroup normal Q-fuzzy dari G, maka f(μ) adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H. Bukti :
(a) Misalkan f: G × Q → H × Q adalah Q-homomorfisma dan misalkan μ adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H.
Jadiuntuksemuax, y ∈ G,diperoleh : 𝑓−1(μ) xyx−1, q = μ(f xyx−1, q )
= μ(f x)f y f(x−1), q = μ(f y , q) = 𝑓−1 μ (𝑦, 𝑞)
Jadi𝑓−1 μ adalah subgrup normal Q-fuzzy dariG. (b) Misalkan𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari
G. maka 𝑓(𝜇) adalah subgrup normal Q-fuzzy dari H. Untuksetiapu,v di H, diperoleh : 𝑓 𝜇 uvu−1, q = sup f y =uv u−1μ y, q = sup f x =u;f y =v μ xyx −1, q (f: epimorfisma) = sup f y =vμ y, q = f μ (v, q)
Jadif μ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
Definisi 3.9
Misalkanλ dan μ dua subset Q-fuzzy pada G. Hasil kali dari λ dan μ didefinisikan sebagai
λμ a, q = sup
yz =amin( λ y, q , μ(z, q)), a ∈ G. Teorema3.9 :
Jikaλ dan μ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, maka λμ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
Bukti :
Diberikanλ dan μ adalah dua subgrup normal Q-fuzzy pada G.
(i). λμ xy, q = supx1y1=x
x2y2=ymin{λ x1y1, q , μ(x2y2, q)} ≥ sup
x1y1=x x2y2=y
min{min{λ x1, q , μ(y1, q)}, min{λ x2, q , μ(y2, q)}}
≥ min{sup min{λ x1, q , μ(y1, q)}, sup min{λ x2, q , μ(y2, q)} ≥ min{λμ x, q , λμ y, q }
(ii).
λμ x−1, q = sup
= sup
x=yzmin{μ z, q , λ(y, q)} = sup
x=yzmin{λ y, q , μ(z, q)} = λμ x, q
Untukmenunjukkanλμ adalah subgrup normal Q-fuzzy : λμ xyx−1, q = sup min(λ xyx−1, q , μ xyx−1, q )
= sup min(λ y, q , μ y, q ) = λμ y, q
Jadiλμ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari G. 4. PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Daripembahasan diatas diperoleh simpulan sebagai berikut :
1. Diberikan Q adalah sebarang himpunan, dan G adalah grup. Pemetaan𝜇: 𝐺 × 𝑄 → 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di grup G.
2. Diberikan G adalahgrupdan𝜇 adalah himpunan bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka 𝜇 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G jika level subset 𝜇𝑡, 𝑡 ∈ 0,1 , adalah subgrup normal dari grup G.
3. Jika𝜇 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, maka 𝑔𝜇𝑔−1 adalah juga subgrup Q-fuzzy dari grup G, untuk semua 𝑔 ∈ 𝐺.
4. Misalkanλ dan μ adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup G. Maka λ ∩ μ merupakan subgrup Q-fuzzy dari grup G.
5. Jikaλ dan μ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G, maka λμ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
4.1Saran
Dalam skripsi ini hanya dicari karakteristik subgrup normal pada Q-fuzzy. Oleh karena itu, penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik pada permasalahan ini untuk mengembangkan dengan mencari karakteristik pada struktur aljabar baru yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Choudhury, F.P. and chakraborty, A.B. and Khare, S.S. 1980.“A note on fuzzy subgroups and fuzzy homomorphism”.Journal of mathematical analysis and applications. Vol. 131: hal. 537-553. Das, P.S. 1981.“Fuzzy groups and level subgroups”. ”.
Journal of mathematical analysis and applications. Vol. 84: hal. 264-269.
Prabir Bhattacharya. 1987. “Fuzzy Subgroups”. ”.
Journal of mathematical analysis and applications. Vol. 128: hal. 241-252.
Rajesh Kumar. 1991. “Homomorphism and fuzzy (fuzzy normal) subgroups”. Fuzzy sets and
Systems. Vol. 44: Hal. 165-168.
Solairaju, A. Nagarajan, R. 2009. “A New Structure and Construction of Q-fuzzy Group”.Advances in Fuzzy mathematics. Vol. 4: Hal. 23-29.
Vasntha-Kandasamy, W.B. 2003.Smaradanche Fuzzy Algebra.American Research Press
Zadeh, L.A. 1965.” Fuzzy sets”. Information and Control. Vol. 8: Hal. 338-353.
Priya, T. Ramachandran, T. Nagalakshmi, KT. 2013. “On Q-Fuzzy Normal Subgroups”. International Journal of Computer and Organization Trends.Vol. 3.
Sukandardan Kusrini.2001.StrukturAljabar I. Surabaya:Unesa University Press.
Fraleigh,John B. 1982. A First Course in Abstract Algebra. Publishing Company: Addison-Wesley
