BEBERAPA SIFAT DARI SUBGRUP FUZZY

Vol. No. Hal. 57 – 64 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

BEBERAPA SIFAT DARI SUBGRUP

_FUZZY

PUTRI EKA RIANDANI, NOVA NOLIZA BAKAR, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

email : putriekariandani@gmail.com

Abstrak._{Pada tulisan ini akan dibahas beberapa sifat dari subgrupfuzzy. Untuk itu,} diperlukan konsep-konsep tentang grup, subgrup, himpunanfuzzy, dan subgrupfuzzy. Diberikan Gadalah grup, pemetaan µ:G−→ [0,1] disebut himpunanfuzzy dariG. Selanjutnya didefinisikan bahwa µ subgrup fuzzy dan dibuktikan beberapa sifat dari subgrupfuzzytersebut seperti subgrupfuzzynormal, normalizerfuzzy, serta syarat perlu dan syarat cukup agarµadalah subgrupfuzzynormal dariG.

Kata Kunci: Grup, subgrup, himpunan fuzzy, subgrup fuzzy, subgrup fuzzy normal, normalizer

1. Pendahuluan

Himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan pada tahun 1965 oleh L.A. Zadeh. Zadeh mendefinisikan suatu himpunanfuzzy µdalamXdengan fungsi keanggotaan

fµ(x), dimana nilai keanggotaan dari elemen-elemennya adalah bilangan riil dalam interval [0,1] [5]. Konsep himpunan fuzzy yang terus berkembang, mendorong para peneliti untuk terus mengembangkan dan menganalisa himpunanfuzzy baik secara teoritis maupun aplikasi. Salah satunya adalah teori tentang subgrupfuzzy.

Subgrup adalah suatu subhimpunan tak kosong H dari grup G, dimana H

membentuk operasi biner yang sama pada grup G [1]. Misalkan didefinisikan G

adalah grup, suatu subhimpunanfuzzy µdari G disebut subgrupfuzzy dariGjika memenuhiµ(xy)≥min{µ(x), µ(y)}danµ(x−1) =_µ(_x), untuk setiap_{x, y}∈_G.

Himpunanfuzzy, subgrup dan subgrup fuzzy tersebut merupakan konsep dasar pada tulisan ini, sehingga dari konsep-konsep tersebut Penulis akan membahas be-berapa sifat dari subgrupfuzzy yang merupakan kajian kembali makalah [3].

2. Subhimpunan Fuzzy

Definisi 2.1. [2] MisalkanX adalah himpunan tak kosong. Suatu himpunan (sub-himpunan) fuzzy µdari X adalah fungsi µ:X −→[0,1].

Definisi 2.2. [2] Gabungan dari dua himpunan fuzzy λ dan µ dari himpunan X

yang didefinisikan olehλ∪µadalah subhimpunan fuzzy dariX, didefinisikan sebagai

(λ∪µ)(x) = max{λ(x), µ(x)}, untuk setiap x ∈ X. Irisan dari dua himpunan (subhimpunan) fuzzyλdanµdariX, ditulisλ∩µ, adalah subhimpunan fuzzy dari

X didefinisikan sebagai(λ∩µ)(x) = min{λ(x), µ(x)}, untuk setiap x∈X.

3. Beberapa Sifat dari Subgrup Fuzzy

Pada bagian ini, akan dibahas beberapa sifat dari subgrupfuzzy.

Definisi 3.1. [2] Misalkan Gadalah suatu grup. Suatu subhimpunan fuzzy µ dari G disebut subgrup fuzzy dari Gjika memenuhi:

(1) µ(xy)≥min{µ(x), µ(y)}, untuk setiapx, y ∈G. (2) µ(x−1) =_µ(_x), untuk setiap _x∈_G.

Contoh 3.2. Diketahui bahwaZ5− {0}adalah grup terhadap perkalian. Didefini-sikanµ:Z5− {0} −→[0,1], dengan:

Akan ditunjukkan bahwa µ subgrup fuzzy atas grup Z5− {0}. Karena µ adalah suatu fungsi dimana µ(x)∈[0,1], untuk setiap x∈Z5− {0}, makaµ merupakan subhimpunanfuzzy atas grupZ5− {0}.

Selanjutnya akan diselidiki apakahµmerupakan subgrupfuzzy atas grupZ5− {0}. Perhatikan Tabel 1 - Tabel 3.

Tabel 1. Tabel Cayley dariZ5− {0}terhadap perkalian

· 1 2 3 4

Koset kiri dan koset kananfuzzy dikatakan sama (aµ =µa) jika untuk setiap

x∈G, berlaku (aµ)(x) = (µa)(x).

Tabel 2. Operasi subhimpunanfuzzyµ

x y xy µ(x) µ(y) µ(xy) min{µ(x), µ(y)}

1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 1 0,25 0,25 0,25 1 3 3 1 0,25 0,25 0,25

1 4 4 1 0,5 0,5 0,5

2 1 2 0,25 1 0,25 0,25 2 2 4 0,25 0,25 0,5 0,25 2 3 1 0,25 0,25 1 0,25 2 4 3 0,25 0,5 0,25 0,25 3 1 3 0,25 1 0,25 0,25 3 2 1 0,25 0,25 1 0,25 3 3 4 0,25 0,25 0,5 0,25 3 4 2 0,25 0,5 0,25 0,25

4 1 4 0,5 1 0,5 0,5

4 2 3 0,5 0,25 0,25 0,25 4 3 2 0,5 0,25 0,25 0,25

4 4 1 0,5 0,5 1 0,5

Tabel 3. Invers subhimpunanfuzzyµ

x x−1 _µ(_x) _µ(_x−1)

1 1 1 1

2 3 0,25 0,25 3 2 0,25 0,25 4 4 0,5 0,5

Dari Contoh 3.2, diperoleh bahwaµsubgrupfuzzy. Koset kirifuzzy aµdihitung dan diberikan oleh:

(aµ)(x) = 

  

  

1 , x= 2 0,25 , x= 1,4 0,5 , x= 3

untuka= 2.

Definisi 3.5. [2]Misalkanµsubgrup fuzzy dari grupG. Maka untuk sebaranga, b∈

G, koset tengah fuzzyaµbdari grupGdidefinisikan sebagai(aµb)(x) =µ(a−1_xb−1), untuk setiap x∈G.

Didefini-sikanµ:Z5− {0} −→[0,1], dengan:

Dari Contoh 3.2, diperoleh bahwa µ subgrup fuzzy. Koset tengah fuzzy aµb

dihitung dan diberikan oleh:

Proposisi 3.7. [3]MisalkanµsubhimpunanfuzzydariG, maka persamaan berikut ekivalen untuk setiapa, x ∈G.

(4→5) Misalaµ=µa. Akan ditunjukkanaµa−1_{=µyaitu dengan menunjukkan}

(aµa−1)(_x) =_µ(_x), untuk setiap _x∈_G.

Perhatikan bahwa:

(aµa−1_{)(x) =µ(a}−1_x(a−1₎−1₎

=µ(a−1_(xa))

= (aµ)(xa) = (µa)(xa) =µ((xa)a−1)

=µ(x).

Jadi (aµa−1_{)(x) =µ(x), untuk setiapx}∈_G.

(5→1) Misalaµa−1=_µ. Akan ditunjukkan_µ(_axa−1)≥_µ(_x).

Diketahui aµa−1=_µ. Andaikan _µ(_axa−1)_{< µ}(_x).

Perhatikan bahwa

µ(axa−1_{)< µ(x)}

=µ(exe)

=µ((a−1_a)x(a−1_a))

=µ(a−1_(axa−1_)a)

=µ(a−1_(axa−1_)(a−1₎−1₎

=aµa−1_(axa−1_).

Ini berartiµ < aµa−1. Kontradiksi dengan_µ=_aµa−1, sehingga haruslah

µ(axa−1)≥_µ(_x).

Jadiµ(axa−1)≥_µ(_x), untuk setiap _{a, x}∈_G.

Proposisi 3.8. [3] Jika µ subgrup fuzzy dari grup G, maka gµg−1 juga subgrup

fuzzy dari grupG, untuk setiap g ∈G.

Bukti. Misal µ subgrup fuzzy dari grupG dan g ∈ G. Akan ditunjukkan gµg−1

juga subgrupfuzzy dari grupG, yaitu dengan menunjukkan:

(1) gµg−1(_xy)≥_mingµg−1(_x)_{, gµg}−1(_y) , untuk setiap_{x, y}∈_G.

(2) gµg−1_(x−1_{) =gµg}−1_{(x), untuk setiapx}∈_G.

(1) Ambil x, y∈G, maka

gµg−1_{(xy) =µ(g}−1_(xy)(g−1₎−1₎

=µ(g−1_(xy)g)

=µ(g−1_(xgg−1_y)g)

=µ((g−1_xg)(g−1_yg))

≥min

µ(g−1_{xg), µ(g}−1_yg)

=min

(2) Ambil x∈G, maka

gµg−1_(x−1_{) =µ(g}−1_x−1_(g−1₎−1₎

=µ(g−1_x−1_g)

=µ((g−1_xg)−1₎

=µ(g−1_xg)

=gµg−1_(x).

Dari (1) dan (2), diperoleh bahwagµg−1 juga subgrupfuzzy dari grup_G.

Definisi 3.9. [2] Misalkan G grup, subgrup fuzzy µ dari G disebut normal jika

µ(x) =µ(y−1_xy), untuk setiap _{x, y}∈ _G.

Proposisi 3.10. [3] Irisan sebarang dua subgrup fuzzy normal dari grup G juga subgrup fuzzynormal dari grupG.

Bukti. Misal λdan µ dua subgrupfuzzy normal dari grupG. Akan ditunjukkan

λ∩µsubgrupfuzzy normal dari G, yaitu dengan menunjukkan:

(1) λ∩µsubgrup fuzzy.

(2) (λ∩µ)(x) = (λ∩µ)(y−1_xy), untuk setiap_{x, y}∈_G.

(1) Akan ditunjukkanλ∩µsubgrupfuzzy. (i) Ambilx, y∈G, maka

(λ∩µ)(xy) = min{λ(xy), µ(xy)}

≥min{min{λ(x), λ(y)},min{µ(x), µ(y)}}

= min{min{λ(x), µ(x)},min{λ(y), µ(y)}} = min{(λ∩µ)(x),(λ∩µ)(y)}.

(ii) Ambilx∈G, maka

(λ∩µ)(x−1_{) = min}{_λ(x−1_{), µ(x}−1₎}

= min{λ(x), µ(x)} = (λ∩µ)(x).

Dari (i) dan (ii), diperoleh bahwaλ∩µsubgrup fuzzy.

(2) Akan ditunjukkan subgrup fuzzy λ∩µadalah normal. Ambilx∈G, maka

(λ∩µ)(x) = min{λ(x), µ(x)}

= min{λ(y−1_{xy), µ(y}−1_xy)}

= (λ∩µ)(y−1_xy).

Dari (1) dan (2), diperoleh bahwaλ∩µsubgrup fuzzy normal.

Definisi 3.11. [6] Misalkan G suatu grup dan µ subgrup fuzzy dari G. Misalkan

N(µ) =

Proposisi 3.12. [3]Normalizer fuzzydariµdenganµsubgrup fuzzy dariGadalah subgrup dariG.

Bukti. Misalµsubgrupfuzzy dari grup G.N(µ) =

a∈G|µ(axa−1) =_µ(_x), untuk

setiap x∈G adalah normalizer dari µ . Akan ditunjukkan N(µ) subgrup dari G

yaitu dengan menunjukkan:

(1) N(µ)⊂GdanN(µ)6=∅.

(2) Untuk setiapm, n∈N(µ), berlakumn∈N(µ). (3) Untuk setiapm∈N(µ), berlakum−1 ∈_N(_µ).

(1) Berdasarkan definisiN(µ) jelas bahwaN(µ)⊂G.

Selanjutnya, karenaGgrup, maka terdapate∈Gsehingga

µ(exe−1_{) =µ((ex)e}−1₎

=µ(x).

Karena e ∈ G dan µ(exe−1) = _µ(_x), untuk setiap _x ∈ _G, maka _e ∈ _N(_µ),

sehinggaN(µ)6=∅. (2) Misalm, n∈N(µ).

Karenam ∈N(µ), makam∈Gdan µ(mxm−1_{) =µ(x), untuk setiap x}∈_G.

Karenan∈N(µ), maka n∈Gdanµ(nxn−1) =_µ(_x), untuk setiap_x∈_G.

Akan ditunjukkanmn∈N(µ), yaitumn∈Gdanµ((mn)x(mn)−1) =_µ(_x).

Perhatikan bahwa:

µ((mn)x(mn)−1_{) =µ((mn)x(n}−1_m−1₎

=µ((mn)(xn−1_m−1₎₎

=µ((xn−1_m−1)(_mn))

=µ(xn−1_(m−1_m)n)

=µ(x(n−1_n))

=µ(x).

Ini berartimn∈N(µ). (3) Misalm∈N(µ).

Karenam ∈N(µ), makam∈Gdan µ(mxm−1) =µ(x), untuk setiap x∈G.

Akan ditunjukkanm−1∈_N(_µ), yaitu_m−1∈_Gdan_µ(_m−1_x((_m)−1)−1) =_µ(_x).

Perhatikan bahwa:

µ(m−1_x((_m)−1)−1) =_µ(_m−1_xm)

=µ((m−1_x)m)

=µ(m(m−1_x))

=µ((mm−1_)x)

=µ(x).

Ini berartim−1∈N(µ).

Akibat 3.13. µ subgrup fuzzynormal dariGjika dan hanya jikaN(µ) =G.

Bukti.

(⇒) Misal µ subgrup fuzzy normal dari G. Akan ditunjukkan N(µ) = G, yaitu dengan menunjukkan:

(1) N(µ)⊂G. (2) G⊂N(µ).

(1) Berdasarkan definisi N(µ) jelas bahwaN(µ)⊂G. (2) Misalz ∈G. Akan ditunjukkanz ∈N(µ).

Karenaz ∈Gdan µsubgrupfuzzy normal dari G, makaµ(x) =µ(z−1_xz),

untuk setiapx, z ∈G. Berarti untukz∈Gberlakuµ(x) =µ(z−1_{xz), untuk}

setiapx∈G. Dengan perkataan lainz ∈N(µ). Oleh karena ituG⊂N(µ)

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwaN(µ) =G.

(⇐) MisalN(µ) =G. Akan ditunjukkanµsubgrupfuzzy normal dari G. KarenaN(µ) =

a∈G|µ(axa−1) =_µ(_x), untuk setiap_x∈_G , maka jelas bahwa

µ(axa−1) =_µ(_x), untuk_a∈ _Gdan_x∈ _G. Ini berarti_µ adalah subgrupfuzzy

normal.

4. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Admi Nazra, Bapak I Made Ar-nawa, dan Ibu Susila Bahri yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

[1] Herstein, I. N. 1975.Topics in Algebra,2nd edition. New York : John Wiley dan Sons.

[2] Kandasamy, W. B. V. 2003.Smarandache Fuzzy Algebra. USA : American Re-search Press Rehoboth.

[3] Mashour, A. S., M.H. Ghanim dan F.I. Sidky. 1990. Normal fuzzy subgroups.

Univ. U Novom Sadu Zb.Rad.Prirod.-Mat.Fak.Ser.Mat.20(2): 53 – 59.

[4] Onasanya, B.O., dan S.A. Ilori. 2014. On Cosets and Normal Subgroups. Inter-national J. Math. Combin.3: 35 – 40.