Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: yatiuny@yahoo.com
Abstrak
Subhimpunan fuzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke interval [ ]. Definisi ini adalah generalisasi dari himpunan klasik dengan pemetaannya didefinisikan dari himpunan tersebut ke himpunan { . Pada himpunan klasik didefinisikan suatu relasi ,relasi refleksif, simetrik, transiftif, similaritas dan kongruensi. Selanjutnya dikonstruksi definisi relasi biner fuzzy yang refleksif, simetrik, transitif, similaritas dan kongruensi .
1 , 0 } 1 , 0
Dalam tulisan ini akan diberikan contoh-contoh relasi kongruensi pada sebarang grup dan grup hasil baginya.
Diperoleh hasil bahwa: Misalkan G adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah subgrup fuzzy pada G. Didefinisikan suatu relasi β pada G×G dipetakan ke interval [ sebagai
berikut: , jika ] 1 , 0
{
( ), ( )}
min ) , (ab μ a μ bβ = a≠b dan β(a,b)=μ(e) jika a=b maka β adalah relasi kongruensi fuzzy pada G×G. Selanjutnya dibangun suatu pemetaan λ:GH→[ ]0,1, yang didefinisikan λ(xH)=β(x,h) untuk setiap h∈H. Terbukti bahwa λ adalah relasi kongruensi fuzzy. Pemetaan α, dari
H G ×
H
G ke interval [ ]0,1 , yang didefnisikan . Terbukti juga bahwa
) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α α adalah relasi kongruensi fuzzy.
Kata Kunci: subgrup fuzzy, subgrup hasil bagi fuzzy , subgrup normal fuzzy, relasi kongruensi fuzzy
A. Pendahuluan
Subhimpunan fuzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke interval . Himpunan fuzzy ini merupakan generalisasi dari himpunan klasik, sebab himpunan klasik dapat dipandang sebagai himpunan fuzzy dengan pemetaannya adalah dari
[
0,1]
X ke himpunan
{
. Teori himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (Ray dan Ali). Konsep ini telah diperluas pada fuzzifikasi struktur Aljabar, misalkan teori subgrup fuzzy (Rosenfeld dikutip oleh Ray dan Ali) dan teori subring fuzzy (Liu dikutip oleh Ray dan Ali).}
1 , 0
Misalkan dimiliki sebarang himpunanX, maka yang dimaksud dengan relasi R adalah subhimpunan pada X × X =
{
(x,y)x,y∈X}
. Secara analog dengan pembentukan subhimpunan fuzzy, maka dapat dikonstruksi relasi fuzzy pada himpunanX × X . Misalkan X adalah sebarang himpunan tak kosong , relasi biner fuzzy pada
X adalah subhimpunan fuzzy μ pada X × X , yaitu μ:X × X →
[ ]
0,1 . (Kandasamy:10)Definisi 1.1. (Kandasamy:10) Relasi fuzzy μ pada X × X disebut refleksif jika
μ (x,x)=1 untuk setiap x∈X , dan dikatakan simetrik jika μ (x,y)=μ (y,x) untuk setiap x,y∈X . Relasi biner fuzzy μ dikatakan transitif jika
{
( , ), ( , )}
( , )min μ x y μ y z ≤μ x z . Relasi biner fuzzy μ pada X disebut relasi similaritas jika μ bersifat refleksif, simetrik dan transitif
Dalam pembicaraan himpunan klasik, dikenal relasi yang kompatibel kiri maupun kanan, atau kompatibel saja. Secara analog dalam pembentukkan definisi relasi simililaritas dan lain-lain, maka didefinisikan relasi fuzzy yang kompatibel sebagai berikut :
Definisi 1.2. (Kandasamy:10) Misalkan S adalah semigrup.
a. Relasi biner fuzzy μ pada S disebut kompatibel fuzzy kiri jika μ (x,y)≤μ(tx,ty)
untuk setiap x,y,t∈S
b. Relasi biner fuzzy μ pada S disebut kompatibel fuzzy kanan jika
μ (x,y)≤μ(xt,yt) untuk setiap x,y,t∈S
c. Relasi biner fuzzy μ pada S disebut kompatibel fuzzy jika
{
( , ), ( , )}
( , )min μ a b μ c d ≤μ ac bd untuk setiap a,b,c,d∈S
Secara analog dalam pembentukkan didefinisikan relasi fuzzy yang kompatibel , maka didefinisikan relasi kongruensi fuzzy sebagai berikut :
Definisi 1.3. (Kandasamy:10) Relasi similaritas yang kompatibel pada semigrup
disebut relasi kongruensi fuzzy
S
Pada himpunan klasik dikenal tiga operasi dasar, yaitu komplemen, gabungan dan irisan. Operasi – operasi ini adalah tunggal pada teori himpunan klasik, namun perluasannya pada teori himpunan fuzzy tidak demikian. Untuk setiap operasi klasik terdapat operasi yang analog pada himpunan fuzzy. Terkait operasi-operasi tersebut, didefinisikan operasi standar fuzzy pada himpunan fuzzy yang dirujuk pada Klir, et.al. dan Zimmermann sebagai berikut:
1. Complemen Fuzzy
Diberikan himpunan fuzzy μ yang didefinisikan pada himpunan X. Komplemen dari himpunna fuzzyμ, yang dinotasikan dengan μ adalah himpunan fuzzy dimana derajat keanggataan dari x∈X ,μ
( )
x mengekspresikan derajatbukan anggota
X x∈
μ. Secara formal, hal ini dapat dinyatakan bahwa μ
( )
x =1−μ( )
x2. Gabungan Fuzzy
Misalkan X adalah suatu himpunan klasik dan μ,γ adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada X. Gabungan fuzzy himpunan fuzzy μ dan γ , yang dinotasikan dengan μ∪γ , didefinisikan sebagai fungsi keanggotaan dengan rumus:
(
μ∪γ)( )
x =max{
μ( ) ( )
x,γ x}
, untuk setiap x∈X3. Irisan Fuzzy
Misalkan X adalah suatu himpunan klasik dan adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada
B A,
X. Irisan fuzzy himpunan fuzzy A dan B, yang dinotasikan dengan μ∩γ , didefinisikan sebagai fungsi keanggotaan dengan rumus:
(
μ∩γ)( )
x =min{
μ( ) ( )
x ,γ x}
, untuk setiap x∈XUntuk kajian pustaka terkait dengan subgrup fuzzy maupun suggrup normal fuzzy akan merujuk pada tulisan Ajmal, Aktas, Asaad, Kandasami, Mordeson dan Malik, serta Shabir.
Definisi 1.4. Misalkan G adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G disebut
subgrup fuzzy jika μ :G→[ ]0,1 suatu fungsi yang memenuhi :
(i) μ
( )
xy ≥min{
μ( ) ( )
x,μ y}
untuk setiap x,y∈GDefinisi 1.5. Misalkan G adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G disebut
subgrup fuzzy normal jika μ
( )
xy =μ( )
xy untuk setiap x,y∈GB. Pembahasan
Pada bagian ini, akan dibentuk suatu pemetaan dari suatu grup ke
[ ]
yang membentuk suatu relasi biner fuzzy.G×G 0,1
Definisi 2.1. Misalkan G adalah grup dengan elemen idenitasnya dan e μ adalah subgrup fuzzy pada G . Didefinisikan suatu relasi β pada G×G dipetakan ke interval
[
0,1]
sebagai berikut:{
}
⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = b a e b a b a b a jika ), ( jika , ) ( ), ( min ) , ( μ μ μ βProposisi berikut menjamin bahwa relasi β: G ×G yang
didefinisikan di atas merupakan relasi biner fuzzy
⇒
[
0,1]
Proposisi 2.1. Relasi β merupakan relasi biner fuzzy yang didefinisikan pada G .
Bukti:
Dalam hal ini sama halnya membuktikan bahwa β adalah pemetaan: Ambil a=a',b=b' sehingga (a,b)=(a',b"),
untuk a =b , maka a' b= ' dan berlaku β(a,b)=μ(e)=β(a',b') untuk a ≠b maka a' b≠ ' dan berlaku
{
( ), ( )}
min{
( '), ( ')}
min ) , (a b μ a μ b μ a μ b β = = =β(a',b')Jelas bahwa Im(β)⊆Im(μ)⊆
[
0,1]
, dan domain β adalah G×G
Berikut ini diberikan proposisi yang menunjukkan bahwa relasi fuzzyβ adalah relasi similaritas:
Proposisi 2.2 Relasi biner fuzzyβ adalah relasi similaritas
Relasi β refleksif, sebab
Ambil a∈G, maka β(a,a)=μ(e)=1 Relasi β simetrik, sebab
Ambil a,b∈G, a≠b, sehingga
{
( ), ( )}
min{
( ), ( )}
( , ) min ) , (a b μ a μ b μ b μ a β b a β = = =Ambil a,b∈G, a=b jelas dipenuhi Relasi β transitif
Ambil a,b,c∈G , kasus a=b=c, jelas dipenuhi.
Untuk kasus a=b ≠c, maka min
{
β(a,b),β(b,c)}
=min{
μ(e),min{
μ(b),μ(c)}
}
{
( ), ( )}
min μ b μ c
= =min
{
μ(a),μ(c)}
=β(a,c)Untu kasus a≠b=c, maka min
{
β(a,b),β(b,c)}
=min{
min{
μ(a),μ(b)}
,μ(e)}
{
( ), ( )}
min μ a μ b
= =β(a,b)
Untuk kasus a≠b≠c, maka
{
( , ), ( , )}
min{
min{
( ), ( )}
,min{
( ), ( )}
}
min β a b β b c = μ a μ b μ b μ c ≤min
{
μ(a),μ(c)}
) , (a c β = Berdasarkan definisi relasi fuzzyβ di atas dan sifat yang berlaku pada subhimpunan fuzzy μ pada G , diperoleh akibat sebagi berikut:Akibat 2.1. Untuk relasi biner fuzzy β di atas , maka berlaku β(x−1,y−1)=β(x,y) Bukti:
{
( ), ( )}
min ) , (x−1 y−1 = μ x−1 μ y−1 β =min{
μ(x),μ(y)}
=β(x,y) Proposisi selanjutnya, menjamin bahwa relasi fuzzy β adalah relasi fuzzy yang kompatibel.
Proposisi 2.3. Relasi biner fuzzyβ adalah relasi kompatibel fuzzy
Untuk setiap a,b,c,d∈G, maka ditunjukkan bahwa
{
( , ), ( , )}
( , )min β a b β c d ≤β ac bd . Ambil sebarang a,b,c,d∈G, maka :
{
( , ), ( , )}
min β a b β c d =min
{
min(μ(a),μ(b)),min(μ(c),μ(d))}
=min{
μ(a),μ(b),μ(c),μ(d)}
≤min(μ(ab),μ(cd)) =β(ab,cd)
Sebagai konsekuensi dari Proposisi 2.1, Proposisi 2.2 dan Proposisi 2.3 , maka diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 3.2. Relasi biner fuzzyβ adalah relasi kongruensi fuzzy
Misalkan G adalah grup, dan H adalah subgrup normal dari.G maka
{
aH a GH
G = ∈
}
adalah suatu grup. Sehingga dapat dibentuk suatu subhimpunanfuzzy λ:GH →
[ ]
0,1 dan selanjutnya disebut subgrup normal fuzzyH
G . Secara
analog pula dapat didefinisikan suatu subgrup hasil bagi fuzzy GH. Selanjutnya
dibangun suatu pemetaan λ:GH →
[ ]
0,1 , yang didefinisikan λ(xH)=β(x,h) untuk setiap h∈H .Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa λ relasi biner fuzzy adalah subhimpunan fuzzy pada grup hasil bagi GH atau yang disebut dengan subgrup hasil bagi fuzzy
pada GH.
Proposisi .2.4. Subhimpunan fuzzy λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada GH
Bukti:
Untuk membuktikan Proposisi tersebut, maka harus dibuktikan bahwa: a. λ(xHyH)≥min
{
λ(xH),λ(yH)}
Sub bukti: ) , ( ) ( ) (xHyH λ xyH β xy h λ = = , untuk setiap h∈H≥min
{
min{
μ(x),μ(y)}
,μ(h)}
untuk setiap h∈H=min
{
μ(x),μ(y),μ(h)}
untuk setiap h∈H=min
{
μ(x),μ(y)}
untuk setiap h∈H{
}
{
}
{
min ( ), ( ) ,min ( ), ( )}
min μ x μ h μ y μ h
= untuk setiap h∈H
=min
{
β(x,h),β(y,h)}
untuk setiap h∈H=min
{
λ(xH),λ(yH)}
b. λ(−xH)=λ(xH) Sub bukti: ) , ( ) ( ) (−xH =λ −xh =β −x hλ =min
{
μ(−x),μ(h)}
untuk setiap h∈H=min
{
μ(x),μ(h)}
=β(x,h)=λ(xh) untuk setiap h∈H=λ(xH)
Proposisi 2.5. Subhimpunan fuzzy λ adalah subgrup normal fuzzy pada GH
Bukti:
Dalam hal ini tinggal dibuktikan bahwa:
) ( ) (xHyH λ yHxH λ = ) , ( ) ( ) (xHyH λ xyH β xy h λ = = untuk setiap h∈H =min
{
μ(xy),μ(h)}
=min{
min{
μ(x),μ(y)}
,μ(h)}
=min{
min{
μ(y),μ(x)}
,μ(h)}
=min{
μ(yx),μ(h)}
=β(yx,h)=λ(yxH) λ(xHyH)=λ(yHxH) Proposisi 2.6. Misalkan λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada grup GH dan∈ xH GH, sehingga berlaku: ⇔ ∈ ∀ = yH yH GH xHyH) ( ), ( λ λ λ(xH)=λ(H)
Bukti: ()
Diketahui λ(xHyH)=λ(yH),∀yH∈GH, sehingga
) ( ) (xHyH λ yH λ = ) ( ) (xyH λ yH λ =
Akan terjadi jika dan hanya jika xy= y, atau xyy−1 = yy−1
) ( ) ( ) , ( ) , ( ) (xH β x h β e h λ eH λ H λ = = = = ()
Diketahui λ(xH)=λ(H)’ dibuktikan λ(xHyH)=λ(yH),∀yH∈GH
Diketahui bahwa λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada grup GH dan μ adalah
subgrup fuzzy pada G . Selanjutnya diperoleh:
{
( ), ( )}
min )
(xHyH λ xH λ yH
λ = =min
{
λ(H),λ(yH)}
=min{
λ(eH),λ(yH)}
=min{
β(e,h),β(y,h)}
=min{
min{
μ(e),μ(h)}
,min{
μ(y),μ(h)}
}
=min{
μ(h),min{
μ(y),μ(h)}
}
=min{
μ(y),μ(h)}
=β(y,h) =λ( yH)
Jika dipunyai subhimpunan fuzzy pada sebarang himpunan yang sama, misalkan α danβ, maka yang dimaksud dengan α ∩β adalah minimum dari derajat kanggotaan suatu elemen relative terhadap α danβ. Sehingga diperoleh propoisi sebagai berikut:
Proposisi 2.7. Jika λ dan γ adalah subgrup normal fuzzy pada grup GH, maka
γ
λ∩ subgrup normal fuzzy pada grupGH.
Dibuktikan λ∩γ (xHyH)≥min
{
λ∩γ(xH),λ∩γ(yH)}
γλ∩ (xHyH)=min
{
λ(xHyH),γ(xHyH)}
≥min
{
min{
λ(xH),λ(yH)}
,min{
γ(xH),γ(yH)}
}
=min{
min{
λ(xH),γ(xH)}
,min{
λ(yH),γ(yH)}
}
=min{
λ∩γ(xH),λ∩γ(yH)}
{
( ), ( )}
min ) (xH λ xH γ xH γ λ∩ = =min{
λ(−xH),γ(−xH)}
=λ∩γ( xH− ) Dibuktikan λ∩γ(xHyH)=λ∩γ(yHxH){
( ), ( )}
min )
(xHyH λ xHyH γ xHyH
γ
λ∩ = =min
{
λ(yHxH),γ(yHxH)}
=λ∩γ{
yHxH}
Himpunan GH adalah grup, sehingga secara analog dapat dibentuk suatu
pemetaan α, dari GH ×
H
G ke interval
[ ]
0,1 , yang didefnisikan. ) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α
Proposisi 2.8. Relasi α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah relasi biner fuzzy pada
H
G ×
H G
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa (xH,yH)=(x'H,y'H) ⇒α(xHyH)=α(x'Hy'H) ) ' , ' ( ) ,
(xH yH = x H y H , maka xH =x'H dan yH = y'H atau xx'−1∈H dan
H yy'−1∈ ) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α =λ(xy−1H)=β(xy−1,h) =min
{
μ(xy−1),μ(h)}
=min{
μ(x'y'−1),μ(h)}
=β(x'y'−1,h)=λ(
x'y'−1H)
=α(x'Hy'H) Proposisi 2.9. Relasi α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah relasi kongruensi fuzzy pada
H
G ×
H
G
Bukti
α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah refleksif
1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (xH xH =λ xHx−1H =λ xx−1H =λ eH =λ H = α
) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α =λ(xy−1H)=λ
(
(xy−1)−1H)
=λ(yx−1H) =λ(yHx−1H)=α(yH,xH) α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah transitifHarus dibuktikan bahwa min
{
α(xH,yH),α(yH,zH)}
≤α(xH,zH){
( , ), ( , )}
minα xH yH α yH zH =min
{
λ(xHy−1H),λ(yHz−1H)}
{
( ), ( )}
min xy−1H yz−1H
= λ λ
{
( , ), ( , )}
min xy−1 h yz−1 h= β β =min
{
min{
μ( )
xy−1,μ(h)} {
,min μ(yz−1),μ(h)}
}
{
}
{
min ( ), ( ), ( )}
min μ xy−1 μ yz−1 μ h ≤ ≤min{
μ(xy−1yz−1),μ(h)}
{
( ), ( )}
min μ xz−1 μ h = ) , (xz−1 h =β =λ(xz−1H)=λ(xHz−1H) =α(xH,zH) Dibuktikan bahwa α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah kompatibel, yaitu:
{
( , ), ( , )}
( , ) minα xH yH α zH wH ≤α xzH ywH{
( , ), ( , )}
min{
( ), ( )}
minα xH yH α zH wH = λ xy−1H λ zw−1H{
( , ), ( , )}
min xy−1 h zw−1 h = β β{
} {
}
{
min ( ), ( ),min ( ), ( )}
min μ xy−1 μ h μ zw−1 μ h = =min{
μ(xy−1),μ(zw−1)}
{
( ), ( )}
min y−1x w−1z = μ μ ) (y−1xw−1z ≤μ ) ( −1 −1 =μ xzw y{
( ), ( )}
minμ xzw−1y−1 μ h = ) , (xzw−1y−1 h =β(
xz(yw)−1,h)
=β ) , (xzH ywH α = C. Penutup C.1. Simpulan
Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh hasil bahwa:
1. Misalkan G adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah subgrup fuzzy pada G . Didefinisikan suatu relasi β pada dipetakan ke interval
G×G
[ ]
0,1 sebagai berikut:β(a,b)=min{
μ(a),μ(b)}
jika danb
a≠ β(a,b)=μ(e) jika a=b, maka β adalah relasi kongruensi fuzzy.
2. Pemetaan λ:GH →
[ ]
0,1 , yang didefinisikan λ(xH)=β(x,h) untuk setiap , adalah relasi kongruensi fuzzyH h∈
3. Pemetaan α, dari GH × H
G ke interval
[ ]
0,1, yang didefnisikanadalah relasi kongruensi fuzzy. ) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α C.2. Saran
Dalam tulisan ini hanya didasarkan pada subgrup fuzzy, subgrup normal fuzzy dan subgrup hasil bagi fuzzy. Hal ini diduga dapat dikembangkan untuk struktur aljabar yang lain. Dapat juga diberikan contoh-contoh lain definisi relasi fuzzy pada sebrang subgrup fuzzy, subgrup normal fuzzy dan subgrup hasil bagi fuzzy.
D. Daftar Pustaka
Ajmal, Naseem. 1994. Homomorphism of Fuzzy groups, Corrrespondence Theorm and Fuzzy Quotient Groups. Fuzzy Sets and Systems 61,
p:329-339. North-Holland
Asaad, Mohamed.1991. Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and Systems 39,
p:323-328. North-Holland
Kandasamy, W.B.V. 2003. Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA
Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. 1997. Fuzzy Set Theory: Foundation and
Mordeson, J.N, Malik, D.S. 1998. Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore
Ray, A.K, Ali, T. 2002. Ideals and Divisibility in A Ring with Respect to A Fuzzy Subset. Novi Sad J Math, Vol 32, No. 2, p: 67-75
Shabir, M. 2005. Fully Fuzzy Prime Semigroups. International Journal of
Mathematics and Mathematical Sciences:1 p:163-168
Zimmermann, H.J, 1991. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA.