Relasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: yatiuny@yahoo.com

Abstrak

Subhimpunan fuzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke interval [ ]. Definisi ini adalah generalisasi dari himpunan klasik dengan pemetaannya didefinisikan dari himpunan tersebut ke himpunan { . Pada himpunan klasik didefinisikan suatu relasi ,relasi refleksif, simetrik, transiftif, similaritas dan kongruensi. Selanjutnya dikonstruksi definisi relasi biner fuzzy yang refleksif, simetrik, transitif, similaritas dan kongruensi .

1 , 0 } 1 , 0

Dalam tulisan ini akan diberikan contoh-contoh relasi kongruensi pada sebarang grup dan grup hasil baginya.

Diperoleh hasil bahwa: Misalkan G adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah subgrup fuzzy pada G. Didefinisikan suatu relasi β pada G × G dipetakan ke interval [ sebagai

berikut: , jika ] 1 , 0

{

( ), ( )

}

min ) , (ab μ a μ b

β = a≠b dan β(a,b)=μ(e) jika a=b maka β adalah relasi kongruensi fuzzy pada G × G. Selanjutnya dibangun suatu pemetaan λ:G_H→[ ]0,1, yang didefinisikan λ(xH)=β(x,h) untuk setiap h∈H. Terbukti bahwa λ adalah relasi kongruensi fuzzy. Pemetaan α, dari

H G ×

H

G ke interval [ ]0,1 , yang didefnisikan . Terbukti juga bahwa

) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α

α adalah relasi kongruensi fuzzy.

Kata Kunci: subgrup fuzzy, subgrup hasil bagi fuzzy , subgrup normal fuzzy, relasi kongruensi fuzzy

A. Pendahuluan

Subhimpunan fuzzy μ pada himpunan X adalah suatu pemetaan dari X ke interval . Himpunan fuzzy ini merupakan generalisasi dari himpunan klasik, sebab himpunan klasik dapat dipandang sebagai himpunan fuzzy dengan pemetaannya adalah dari

[

0,1

]

X ke himpunan

{

. Teori himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (Ray dan Ali). Konsep ini telah diperluas pada fuzzifikasi struktur Aljabar, misalkan teori subgrup fuzzy (Rosenfeld dikutip oleh Ray dan Ali) dan teori subring fuzzy (Liu dikutip oleh Ray dan Ali).

}

1 , 0

Misalkan dimiliki sebarang himpunanX, maka yang dimaksud dengan relasi R adalah subhimpunan pada X × X =

{

(x,y)x,y∈X

}

. Secara analog dengan pembentukan subhimpunan fuzzy, maka dapat dikonstruksi relasi fuzzy pada himpunan

X × X . Misalkan X adalah sebarang himpunan tak kosong , relasi biner fuzzy pada X adalah subhimpunan fuzzy μ pada X × X , yaitu μ :X × X →

[ ]

0,1 . (Kandasamy:10)

Definisi 1.1. (Kandasamy:10) Relasi fuzzy μ pada X × X disebut refleksif jika

μ (x,x)=1 untuk setiap x∈X , dan dikatakan simetrik jika μ (x,y)=μ (y,x) untuk setiap x,y∈X . Relasi biner fuzzy μ dikatakan transitif jika

{

( , ), ( , )

}

( , )

min μ x y μ y z ≤μ x z . Relasi biner fuzzy μ pada X disebut relasi similaritas jika μ bersifat refleksif, simetrik dan transitif

Dalam pembicaraan himpunan klasik, dikenal relasi yang kompatibel kiri maupun kanan, atau kompatibel saja. Secara analog dalam pembentukkan definisi relasi simililaritas dan lain-lain, maka didefinisikan relasi fuzzy yang kompatibel sebagai berikut :

Definisi 1.2. (Kandasamy:10) Misalkan S adalah semigrup.

a. Relasi biner fuzzy μ pada disebut kompatibel fuzzy kiri jika S μ (x,y)≤μ(tx,ty) untuk setiap x,y,t∈S

b. Relasi biner fuzzy μ pada disebut kompatibel fuzzy kanan jika S

μ (x,y)≤μ(xt,yt) untuk setiap x,y,t∈S

c. Relasi biner fuzzy μ pada disebut kompatibel fuzzy jika S

{

( , ), ( , )

}

( , )

min μ a b μ c d ≤μ ac bd untuk setiap a,b,c,d∈S

Secara analog dalam pembentukkan didefinisikan relasi fuzzy yang kompatibel , maka didefinisikan relasi kongruensi fuzzy sebagai berikut :

Definisi 1.3. (Kandasamy:10) Relasi similaritas yang kompatibel pada semigrup disebut relasi kongruensi fuzzy

S

Pada himpunan klasik dikenal tiga operasi dasar, yaitu komplemen, gabungan dan irisan. Operasi – operasi ini adalah tunggal pada teori himpunan klasik, namun perluasannya pada teori himpunan fuzzy tidak demikian. Untuk setiap operasi klasik terdapat operasi yang analog pada himpunan fuzzy. Terkait operasi-operasi tersebut, didefinisikan operasi standar fuzzy pada himpunan fuzzy yang dirujuk pada Klir, et.al. dan Zimmermann sebagai berikut:

1. Complemen Fuzzy

Diberikan himpunan fuzzy μ yang didefinisikan pada himpunan X. Komplemen dari himpunna fuzzyμ , yang dinotasikan dengan μ adalah himpunan fuzzy dimana derajat keanggataan dari x∈X ,μ

( )

x mengekspresikan derajat

bukan anggota

X x∈

μ . Secara formal, hal ini dapat dinyatakan bahwa μ

( )

x = 1−μ

( )

x

2. Gabungan Fuzzy

Misalkan X adalah suatu himpunan klasik dan μ ,γ adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada X. Gabungan fuzzy himpunan fuzzy μ dan γ , yang dinotasikan dengan μ∪γ , didefinisikan sebagai fungsi keanggotaan dengan rumus:

(

μ∪γ

)( )

x =max

{

μ

( ) ( )

x,γ x

}

, untuk setiap x∈X

3. Irisan Fuzzy

Misalkan X adalah suatu himpunan klasik dan adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan pada

B A,

X. Irisan fuzzy himpunan fuzzy A dan B, yang dinotasikan dengan μ∩γ , didefinisikan sebagai fungsi keanggotaan dengan rumus:

(

μ∩γ

)( )

x =min

{

μ

( ) ( )

x ,γ x

}

, untuk setiap x∈X

Untuk kajian pustaka terkait dengan subgrup fuzzy maupun suggrup normal fuzzy akan merujuk pada tulisan Ajmal, Aktas, Asaad, Kandasami, Mordeson dan Malik, serta Shabir.

Definisi 1.4. Misalkan G adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G disebut

subgrup fuzzy jika μ :G→[ ]0,1 suatu fungsi yang memenuhi :

(i) μ

( )

xy ≥min

{

μ

( ) ( )

x,μ y

}

untuk setiap x,y∈G

Definisi 1.5. Misalkan G adalah grup. Subhimpunan fuzzy μ dari grup G disebut

subgrup fuzzy normal jika μ

( )

xy =μ

( )

xy untuk setiap x,y∈G

B. Pembahasan

Pada bagian ini, akan dibentuk suatu pemetaan dari suatu grup ke

[ ]

yang membentuk suatu relasi biner fuzzy.

G×G 0,1

Definisi 2.1. Misalkan G adalah grup dengan elemen idenitasnya dan e μ adalah subgrup fuzzy pada G . Didefinisikan suatu relasi β pada G ×G dipetakan ke interval

[

0,1

]

sebagai berikut:

{

}

⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = b a e b a b a b a jika ), ( jika , ) ( ), ( min ) , ( μ μ μ β

Proposisi berikut menjamin bahwa relasi β :G×G yang didefinisikan di atas merupakan relasi biner fuzzy

⇒

[

0,1

]

Proposisi 2.1. Relasi β merupakan relasi biner fuzzy yang didefinisikan pada G . Bukti:

Dalam hal ini sama halnya membuktikan bahwa β adalah pemetaan: Ambil a=a',b=b' sehingga (a,b)=(a',b"),

™ untuk a =b , maka a' b= ' dan berlaku β(a,b)=μ(e)=β(a',b')

™ untuk a ≠b maka a' b≠ ' dan berlaku

{

( ), ( )

}

min

{

( '), ( ')

}

min ) , (a b μ a μ b μ a μ b β = = =β(a',b')

Jelas bahwa Im(β)⊆Im(μ)⊆

[

0,1

]

, dan domain β adalah G×G

„

Berikut ini diberikan proposisi yang menunjukkan bahwa relasi fuzzyβ adalah relasi similaritas:

Proposisi 2.2 Relasi biner fuzzyβ adalah relasi similaritas

™ Relasi β refleksif, sebab

Ambil a∈G, maka β(a,a)=μ(e)=1

™ Relasi β simetrik, sebab

Ambil a,b∈G, a≠b, sehingga

{

( ), ( )

}

min

{

( ), ( )

}

( , ) min ) , (a b μ a μ b μ b μ a β b a β = = =

Ambil a,b∈G, a=b jelas dipenuhi ™ Relasi β transitif

Ambil a,b,c∈G , kasus a=b=c, jelas dipenuhi.

Untuk kasus a=b ≠c, maka min

{

β(a,b),β(b,c)

}

=min

{

μ(e),min

{

μ(b),μ(c)

}

}

{

( ), ( )

}

min μ b μ c

= =min

{

μ(a),μ(c)

}

=β(a,c)

Untu kasus a≠b=c, maka min

{

β(a,b),β(b,c)

}

=min

{

min

{

μ(a),μ(b)

}

,μ(e)

}

{

( ), ( )

}

min μ a μ b

= =β(a,b)

Untuk kasus a≠b≠c, maka

{

( , ), ( , )

}

min

{

min

{

( ), ( )

}

,min

{

( ), ( )

}

}

min β a b β b c = μ a μ b μ b μ c ≤min

{

μ(a),μ(c)

}

) , (a c β = „ Berdasarkan definisi relasi fuzzyβ di atas dan sifat yang berlaku pada subhimpunan fuzzy μ pada G , diperoleh akibat sebagi berikut:

Akibat 2.1. Untuk relasi biner fuzzy β di atas , maka berlaku β(x−1,y−1)=β(x,y)

Bukti:

{

( ), ( )

}

min ) , (x−1 y−1 = μ x−1 μ y−1 β =min

{

μ(x),μ(y)

}

=β(x,y) „

Proposisi selanjutnya, menjamin bahwa relasi fuzzy β adalah relasi fuzzy yang kompatibel.

Proposisi 2.3. Relasi biner fuzzyβ adalah relasi kompatibel fuzzy

Untuk setiap a,b,c,d∈G, maka ditunjukkan bahwa

{

( , ), ( , )

}

( , ) min β a b β c d ≤β ac bd . Ambil sebarang a,b,c,d∈G, maka :

{

( , ), ( , )

}

min β a b β c d =min

{

min(μ(a),μ(b)),min(μ(c),μ(d))

}

=min

{

μ(a),μ(b),μ(c),μ(d)

}

≤min(μ(ab),μ(cd)) =β(ab,cd)

„

Sebagai konsekuensi dari Proposisi 2.1, Proposisi 2.2 dan Proposisi 2.3 , maka diperoleh akibat sebagai berikut.

Akibat 3.2. Relasi biner fuzzyβ adalah relasi kongruensi fuzzy

Misalkan G adalah grup, dan H adalah subgrup normal dari.G maka

{

aH a G

H

G = ∈

}

_{adalah suatu grup. Sehingga dapat dibentuk suatu subhimpunan}

fuzzy λ:G_H →

[ ]

0,1 _{dan selanjutnya disebut subgrup normal fuzzy} H

G _{. Secara} analog pula dapat didefinisikan suatu subgrup hasil bagi fuzzy G_{H. Selanjutnya} dibangun suatu pemetaan λ:G_H →

[ ]

0,1 _{, yang didefinisikan} λ_(xH)=β_{(x,h) untuk} setiap h∈H .

Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa λ relasi biner fuzzy adalah subhimpunan fuzzy pada grup hasil bagi G_{H atau yang disebut dengan subgrup hasil bagi fuzzy} pada G_H.

Proposisi .2.4. Subhimpunan fuzzy λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada G_H

Bukti:

Untuk membuktikan Proposisi tersebut, maka harus dibuktikan bahwa: a. λ(xHyH)≥min

{

λ(xH),λ(yH)

}

Sub bukti: ) , ( ) ( ) (xHyH λ xyH β xy h λ = = , untuk setiap h∈ H

≥min

{

min

{

μ(x),μ(y)

}

,μ(h)

}

untuk setiap h∈ H

=min

{

μ(x),μ(y),μ(h)

}

untuk setiap h∈ H

=min

{

μ(x),μ(y)

}

untuk setiap h∈ H

{

}

{

}

{

min ( ), ( ) ,min ( ), ( )

}

min μ x μ h μ y μ h

= untuk setiap h∈H

=min

{

β(x,h),β(y,h)

}

untuk setiap h∈ H

=min

{

λ(xH),λ(yH)

}

b. λ(−xH)=λ(xH) Sub bukti: ) , ( ) ( ) (−xH =λ −xh =β −x h

λ =min

{

μ(−x),μ(h)

}

untuk setiap h∈H

=min

{

μ(x),μ(h)

}

=β(x,h)=λ(xh) untuk setiap h∈H

=λ(xH)

„

Proposisi 2.5. Subhimpunan fuzzy λ adalah subgrup normal fuzzy pada G_H Bukti:

Dalam hal ini tinggal dibuktikan bahwa:

) ( ) (xHyH λ yHxH λ = ) , ( ) ( ) (xHyH λ xyH β xy h λ = = untuk setiap h∈ H =min

{

μ(xy),μ(h)

}

=min

{

min

{

μ(x),μ(y)

}

,μ(h)

}

=min

{

min

{

μ(y),μ(x)

}

,μ(h)

}

=min

{

μ(yx),μ(h)

}

=β(yx,h)=λ(yxH) λ(xHyH)=λ(yHxH) „

Proposisi 2.6. Misalkan λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada grup G_{H dan} ∈ xH G_{H, sehingga berlaku:} ⇔ ∈ ∀ = _{yH yH} G_H xHyH) ( ), ( λ λ λ(xH)=λ(H)

Bukti:

(฀)

Diketahui λ_(xHyH)=λ_(yH),∀_yH∈G_{H, sehingga}

) ( ) (xHyH λ yH λ = ) ( ) (xyH λ yH λ =

Akan terjadi jika dan hanya jika xy= y, atau xyy−1 = yy−1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) (xH β x h β e h λ eH λ H λ = = = = (฀)

Diketahui λ(xH)=λ(H)’ dibuktikan λ_(xHyH)=λ_(yH),∀_yH∈G_H

Diketahui bahwa λ adalah subgrup hasil bagi fuzzy pada grup G_{H dan} μ adalah subgrup fuzzy pada G . Selanjutnya diperoleh:

{

( ), ( )

}

min )

(xHyH λ xH λ yH

λ = =min

{

λ(H),λ(yH)

}

=min

{

λ(eH),λ(yH)

}

=min

{

β(e,h),β(y,h)

}

=min

{

min

{

μ(e),μ(h)

}

,min

{

μ(y),μ(h)

}

}

=min

{

μ(h),min

{

μ(y),μ(h)

}

}

=min

{

μ(y),μ(h)

}

=β(y,h) =λ( yH)

„

Jika dipunyai subhimpunan fuzzy pada sebarang himpunan yang sama, misalkan α danβ , maka yang dimaksud dengan α ∩β adalah minimum dari derajat kanggotaan suatu elemen relative terhadap α danβ . Sehingga diperoleh propoisi sebagai berikut:

Proposisi 2.7. Jika λ dan γ adalah subgrup normal fuzzy pada grup G_{H, maka} γ

λ∩ subgrup normal fuzzy pada grupG_H.

™ Dibuktikan λ∩γ (xHyH)≥min

{

λ∩γ(xH),λ∩γ(yH)

}

γ

λ∩ (xHyH)=min

{

λ(xHyH),γ(xHyH)

}

≥min

{

min

{

λ(xH),λ(yH)

}

,min

{

γ(xH),γ(yH)

}

}

=min

{

min

{

λ(xH),γ(xH)

}

,min

{

λ(yH),γ(yH)

}

}

=min

{

λ∩γ(xH),λ∩γ(yH)

}

{

( ), ( )

}

min ) (xH λ xH γ xH γ λ∩ = =min

{

λ(−xH),γ(−xH)

}

=λ∩γ( xH− )

™ Dibuktikan λ∩γ(xHyH)=λ∩γ(yHxH)

{

( ), ( )

}

min )

(xHyH λ xHyH γ xHyH

γ

λ∩ = =min

{

λ(yHxH),γ(yHxH)

}

=λ∩γ

{

yHxH

}

„

Himpunan G_{H adalah grup, sehingga secara analog dapat dibentuk suatu} pemetaan α, dari G_H ×

H

G _{ke interval}

[ ]

_{0,1 , yang didefnisikan} . ) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α

Proposisi 2.8. Relasi α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah relasi biner fuzzy pada

H

G ×

H G

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (xH,yH)=(x'H,y'H) ⇒α(xHyH)=α(x'Hy'H) ) ' , ' ( ) ,

(xH yH = x H y H , maka xH =x'H dan yH = y'H atau xx'−1∈H dan

H yy'−1∈ ) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α =λ(xy−1H)=β(xy−1,h) =min

{

μ(xy−1),μ(h)

}

=min

{

μ(x'y'−1),μ(h)

}

=β(x'y'−1,h)=λ

(

x'y'−1H

)

=α(x'Hy'H) „

Proposisi 2.9. Relasi α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah relasi kongruensi fuzzy pada H

G ×

H G Bukti

™ α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah refleksif

1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (xH xH =λ xHx−1H =λ xx−1H =λ eH =λ H = α

) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α =λ(xy−1H)=λ

(

(xy−1)−1H

)

=λ(yx−1H) =λ(yHx−1H)=α(yH,xH)

™ α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah transitif

Harus dibuktikan bahwa min

{

α(xH,yH),α(yH,zH)

}

≤α(xH,zH)

{

( , ), ( , )

}

minα xH yH α yH zH =min

{

λ(xHy−1H),λ(yHz−1H)

}

{

( ), ( )

}

min xy−1H yz−1H

= λ λ

{

( , ), ( , )

}

min xy−1 h yz−1 h

= β β =min

{

min

{

μ

( )

xy−1,μ(h)

} {

,min μ(yz−1),μ(h)

}

}

{

}

{

min ( ), ( ), ( )

}

min μ xy−1 μ yz−1 μ h ≤ ≤min

{

μ(xy−1yz−1),μ(h)

}

{

( ), ( )

}

min μ xz−1 μ h = ) , (xz−1 h =β =λ(xz−1H)=λ(xHz−1H) =α(xH,zH)

™ Dibuktikan bahwa α(xH,yH)=λ(xHy−1H) adalah kompatibel, yaitu:

{

( , ), ( , )

}

( , ) minα xH yH α zH wH ≤α xzH ywH

{

( , ), ( , )

}

min

{

( ), ( )

}

minα xH yH α zH wH = λ xy−1H λ zw−1H

{

( , ), ( , )

}

min xy−1 h zw−1 h = β β

{

} {

}

{

min ( ), ( ),min ( ), ( )

}

min μ xy−1 μ h μ zw−1 μ h = =min

{

μ(xy−1),μ(zw−1)

}

{

( ), ( )

}

min y−1x w−1z = μ μ ) (y−1xw−1z ≤μ ) ( −1 −1 =μ xzw y

{

( ), ( )

}

minμ xzw−1y−1 μ h = ) , (xzw−1y−1 h =β

(

xz(yw)−1,h

)

=β ) , (xzH ywH α = „

C. Penutup C.1. Simpulan

Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh hasil bahwa:

1. Misalkan G adalah grup dengan elemen idenitasnya e dan μ adalah

subgrup fuzzy pada G . Didefinisikan suatu relasi β pada dipetakan ke interval

G×G

[ ]

0,1 sebagai berikut:β(a,b)=min

{

μ(a),μ(b)

}

jika dan

b

a≠ β(a,b)=μ(e) jika a= , maka b β adalah relasi kongruensi

fuzzy.

2. Pemetaan λ:G_H →

[ ]

0,1 _{, yang didefinisikan} λ_(xH)=β_{(x,h) untuk setiap} , adalah relasi kongruensi fuzzy

H h∈

3. Pemetaan α, dari G_H × H

G _{ke interval}

[ ]

_{0,1, yang didefnisikan} adalah relasi kongruensi fuzzy.

) ( ) , (xH yH =λ xHy−1H α C.2. Saran

Dalam tulisan ini hanya didasarkan pada subgrup fuzzy, subgrup normal fuzzy dan subgrup hasil bagi fuzzy. Hal ini diduga dapat dikembangkan untuk struktur aljabar yang lain. Dapat juga diberikan contoh-contoh lain definisi relasi fuzzy pada sebrang subgrup fuzzy, subgrup normal fuzzy dan subgrup hasil bagi fuzzy.

D. Daftar Pustaka

Ajmal, Naseem. 1994. Homomorphism of Fuzzy groups, Corrrespondence Theorm and Fuzzy Quotient Groups. Fuzzy Sets and Systems 61,

p:329-339. North-Holland

Asaad, Mohamed.1991. Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and Systems 39,

p:323-328. North-Holland

Kandasamy, W.B.V. 2003. Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA

Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. 1997. Fuzzy Set Theory: Foundation and

Mordeson, J.N, Malik, D.S. 1998. Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore

Ray, A.K, Ali, T. 2002. Ideals and Divisibility in A Ring with Respect to A Fuzzy Subset. Novi Sad J Math, Vol 32, No. 2, p: 67-75

Shabir, M. 2005. Fully Fuzzy Prime Semigroups. International Journal of

Mathematics and Mathematical Sciences:1 p:163-168

Zimmermann, H.J, 1991. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA.