ESTIMASI PARAMETER DAN UJI SIGNIFIKANSI MODEL PROBIT BIVARIAT

SIDANG TERBUKA PROMOSI DOKTOR

RINGKASAN DISERTASI

ESTIMASI PARAMETER DAN UJI SIGNIFIKANSI

MODEL PROBIT BIVARIAT

VITA RATNASARI 1307 301 201

PROMOTOR/CO.PROMOTOR Dr. Purhadi, M.Sc

Dr. Ismaini Zain, M.Si Dr. Suhartono, M.Sc

PROGRAM DOKTOR JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA 2012

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, petunjuk dan ilmu-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi dengan judul “ESTIMASI PARAMETER DAN UJI SIGNIFIKANSI MODEL PROBIT BIVARIAT”. Disertasi ini dibuat untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor di Program Pascasarjana Program Studi Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

Terselesaikannya penelitian ini tidak lepas dari bimbingan, dorongan, kerjasama, bantuan maupun motivasi yang tulus dari semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Oleh karena itu sebagai rasa syukur, penulis ucapkan terima kasih sedalam-dalamnya kepada

1. Bapak Dr. Suhartono, M.Sc sebagai Kaprodi S3 Statistika ITS dan co-promotor yang telah memberikan bimbingan, arahan dan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan disertasi.

2. Bapak Dr. Purhadi, M.Sc, selaku promotor yang dengan sabar dan banyak meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, dorongan, petunjuk serta arahan dan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan disertasi. 3. Ibu Dr. Ismaini Zain M.S, selaku co-promotor yang telah memberikan

bimbingan, arahan dan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan di-sertasi.

4. Bapak Prof. I. Nyoman Budiantara, M.Si, Dr. Muhammad Mashuri,M.T dan Dr. Sony Sunaryo, M.Si selaku tim penilai dan penguji yang telah banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis.

5. Bapak Prof. Drs. H. Nur Iriawan M.Ikom, Ph.D selaku penguji yang telah memberikan wawasan kepada penulis.

6. Bapak Prof. Drs. I. Made Tirta, Dipl.Sc, M.Sc, Ph.D. selaku penguji eksternal yang telah memberikan saran dan masukan kepada penulis. 7. Bapak Dr. Brodjol Sutijo, M.Si dan Dr. Bambang Wijanarko O, M.Si

ii

8. Bapak Purwanto yang dengan sabar membantu peneliti untuk pengambilan data di program pascasarjana.

9. Bapak dan ibu dosen pengajar serta staf jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya yang telah memberikan ilmu, semangat, dan motivasi kepada penulis agar segera menyelesaikan pendidikan doktor di program pascasar-jana statistika ITS.

10.Kedua orangtuaku yang selalu mendoakan dan memberikan motivasi. 11.Suami dan anak-anakku tersayang (Prasetyo, Maya, Talitha dan Nadya)

yang telah memberikan ijin, doa dan selalu memberikan semangat. 12.Teman-teman S3 di jurusan Statistika ITS.

13.Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu atas semua du-kungannya sampai terselesaikannya disertasi ini.

Penulis menyadari bahwa penulisan disertasi ini masih terdapat keku-rangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis membuka segala kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini.

Akhir kata, semoga disertasi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi semua pihak. Amin.

Surabaya, Juli 2012

iii

ABSTRAK

Model Probit Bivariat adalah salah satu pemodelan statistik yang melibatkan dua variabel respon kualitatif. Sampai saat ini permasalahan utama dalam proses pemodelan Probit Bivariat adalah masih mengasumsikan tidak ada korelasi antara kedua variabel respon. Dengan demikian, tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan estimasi parameter dan statistik uji pada model Probit Bivariat de-ngan mempertimbangkan adanya korelasi antara kedua variabel respon. Hasil ka-jian teoritis menunjukkan bahwa metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) merupakan salah satu metode estimasi yang dapat digunakan untuk mendapatkan estimasi parameter pada model Probit Bivariat. Karena persamaan untuk menda-patkan estimasi parameter tidak closed form, maka digunakan metode numerik de-ngan iterasi Newton Raphson. Pada tahap selanjutnya, metode Maximum

Likeli-hood Ratio Test (MLRT) dikembangkan untuk mendapatkan statistik uji serentak

dan parsial. Pada uji serentak, untuk n besar telah dibuktikan bahwa statistik uji

2

G _{asimptotik berdistribusi} 2 , vα

χ . Sedangkan pada uji parsial, untuk n besar di-tunjukkan bahwa statistik uji G2 _{asimptotik berdistribusi} 2

1,α

χ . Selanjutnya, hasil kajian teoritis diaplikasikan pada data real untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan studi mahasiswa pascasarjana di ITS. Hasil studi me-nunjukkan bahwa model Probit Bivariat yang mempertimbangkan adanya korelasi antar variabel respon dapat meningkatkan ketepatan klasifikasi dari 6,58 % men-jadi 51,48 %.

Kata kunci: Model Probit Bivariat, MLE, MLRT, Ketepatan klasifikasi.

iv

ABSTRACT

Bivariate Probit Model is one of the statistical modeling that involves two qualitative response variables. Until now, the main issue of the Bivariate Probit is the modeling process still assume no correlation between the two response variables. Thus, the purpose of this research is to study further now to get the estimated parameters and test statistics of Bivariate Probit model by considering the correlation between two response variables. The results of theoretical studies indicate that the Maximum Likelihood Estimation (MLE) method is one method of estimation that can be used to obtain estimated parameters of the Bivariate Probit models. Because the equations to obtain estimated parameters are not closed form, then a numerical method with Newton Raphson iteration is used. The next step, Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) method is developed to obtain both simultaneous and partial statistic test. For large n, it can be proved that the simultaneous test statistic G2 _{asymptotically} 2

, vα

χ distribution. While on a partial test, for large n, it has been demonstrated that the test statistic G2 asymp-totically 2

1,α

χ distribution. Finally, the study is applied to real data about the affected factors of study successfully of graduate students ITS. The results show that the Bivariate Probit models that consider the correlation between the response variables can improve the classification accuracy is from 6.58 % to 51.48 %. Keywords: Bivariate Probit model, MLE, MLRT, Classification accuracy

1 1. PENDAHULUAN

Analisis statistik yang sering digunakan untuk menjelaskan hubungan an-tara variabel respon dan prediktor adalah analisis regresi (Kutner, Nachtsheim, dan Neter 2008). Dalam menganalisa data statistik sangatlah diperhatikan data yang digunakan. Data dibedakan atas dua macam, yaitu data kuantitatif dan kua-litatif (Winkelmann dan Boes 2006). Apabila data pada variabel respon adalah kuantitatif, maka analisis yang digunakan adalah analisis regresi klasik atau sering disebut dengan analisis regresi. Jika data pada variabel respon adalah kualitatif, maka model yang mampu menyelesaikan adalah model logit atau probit (Gujarati 2003; Green 2008).

Istilah probit yang artinya probability unit, pertama kali dikenalkan oleh Bliss (1934) dalam suatu artikel di jurnal Science. Artikel ini membahas tentang probabilitas terbunuhnya tikus dengan bermacam-macam dosis pestisida. Terbu-nuhnya tikus sebagai variabel respon dengan dua kategori yaitu mati dan tidak mati, sedangkan dosis pestisida yang diberikan sebagai variabel prediktor. Kemu-dian Aitchison dan Silvey (1957) mengembangkan model probit dengan jumlah kategori variabel respon lebih dari dua. Ditinjau dari bidang yang dikaji, Bliss (1934); Aitchison dan Silvey (1957) menerapkan model probit di bidang bio-statistik. Data bio-statistik pada umumnya dalam bentuk struktur data kelompok. Sedangkan Mc-Kelvey dan Zavoina (1975) adalah peneliti yang pertama kali me-nerapkan model probit di luar bidang bio-statistik, yaitu di bidang sosial-politik dan datanya berbentuk data individu, bukan data kelompok.

Model yang dikaji dalam penelitian ini difokuskan pada model probit lebih dari satu variabel respon. Model probit yang melibatkan satu variabel respon telah banyak diterapkan oleh beberapa peneliti antara lain O’Donnell dan Connor (1996), Kockelman dan Kweon (2002), Abdel-Aty (2003), dan Song dan Lee (2005). Dalam perkembangannya, pemodelan statistik khususnya model probit tidak hanya melibatkan sebuah variabel respon akan tetapi lebih dari satu variabel. Misal Bokosi 2007 telah menerapkan dan mengembangkan model Probit Bivariat, sedangkan Nugraha 2010 mengembangkan model probit multivariat. Bokosi (2007) membahas tentang dinamika kemiskinan rumah tangga tahun 1998 dan tahun 2002. Sedangkan Nugraha (2010) mengkaji model probit secara teoritis.

2

Namun, kedua peneliti mengasumsikan antara variabel respon masih saling independen. Hal ini bertentangan dengan konsep multivariat, bahwa kedua variabel respon harus saling dependen. Bertitik tolak dari penelitian Bokosi (2007) serta Nugraha (2010) yang masih menerapkan model probit multivariat dengan asumsi kedua variabel saling independen, maka perlu dilakukan penelitian tentang penggunaan model probit multivariat yang melibatkan diantara variabel respon yang saling dependen. Sedangkan Cessie dan Houwelingen (1994) telah mengem-bangkan jika variabel responnya saling dependen dengan model logit.

Pada umumnya, pembentukan model statistik terdapat tiga tahapan, begitu pula menentukan model probit. Tahapan tersebut adalah menentukan estimasi pa-rameter, pengujian hipotesis dan pemilihan model terbaik. Metode estimasi yang digunakan untuk pemodelan probit univariat adalah Maximum Likelihood

Estima-tion atau MLE (Aitchison dan Silvey 1957; McKelvey dan Zavoina 1975;

Sna-pinn dan Small 1986; O’Donnell dan Connor 1996; Kockelman dan Kweon 2001; Abdel-Aty 2003; Song dan Lee 2005). Persamaan yang diperoleh tidak close

form, sehingga McKelvey dan Zavoina (1975) serta Snapinn dan Small (1986)

menyelesaikan dengan metode Newton Raphson. Gibbons dan Gok (1998) meng-gunakan Expectation Maximization (EM) algorithm dan Song dan Lee (2005) menggunakan Monte Carlo EM algorithm. Sedangkan Nugraha (2010) mendapat-kan estimasi parameter model probit menggunamendapat-kan prosedur iterasi BHHH (Berndt, Hall, Hall, dan Hausman) dan BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb dan Shanno), yang mana prosedur iterasi tersebut difokuskan pada turunan pertama. Tahapan kedua adalah melakukan pengujian hipotesis. Metode yang digunakan untuk mendapatkan statistik uji model probit univariat adalah Maximum

Likeli-hood Ratio Test atau MLRT (McKelvey dan Zavoina 1975; Snapinn dan Small

1986). Tahapan ketiga adalah memilih model terbaik. Kriteria dalam pemilihan model adalah Akaike Information Criterion (AIC) (Fujimoto 2003; Hardin dan Hilbe 2007). Semakin kecil nilai AIC, maka model semakin baik.

Metode estimasi untuk pemodelan probit baik univariat maupun multi-variat membutuhkan metode iterasi dalam penyelesaiannya. Perhitungan akan sulit apabila dihitung secara manual, sehingga untuk mempermudah mendapatkan estimasi parameter dilakukan dengan bantuan program komputer. Sampai saat ini,

3

beberapa software statistik masih belum mengaplikasikan model probit multi-variat dengan mempertimbangkan dependensi antar variabel respon. Sehingga pada disertasi ini selain mengkaji secara teori akan dikaji pula secara empiris dengan menerapkan program estimasi dan pengujian hipotesis dengan menggu-nakan software matlab.

Kajian teori model probit bivariat, dimulai estimasi parameter, pengujian hipotesis serta memilih model terbaik, kemudian dilanjutkan pada studi empiris. Kasus pada studi empiris membahas tentang faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan mahasiswa dalam studi. Salah satu ukuran keberhasilan mahasiswa dalam studi adalah nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK). Menurut peraturan a-kademik Institut Teknologi Sepuluh Nopember pasal 25 tahun 2009, setiap kelulusan seorang mahasiswa akan diberikan predikat kelulusan, yaitu dengan pujian (cumlaude), sangat memuaskan dan memuaskan. Predikat kelulusan ditetapkan berdasarkan nilai IPK dan masa studi dengan kategori yang telah ditentukan. Dengan demikian terdapat dua hal yang perlu dipertimbangkan dalam pengukuran keberhasilan mahasiswa dalam studi, yaitu berdasarkan nilai IPK dan masa studi. Nilai IPK semakin besar dan masa studi semakin pendek merupakan keberhasilan seorang mahasiswa dalam menyelesaikan studi.

Tujuan Penelitian

Secara rinci, tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah sebagai berikut. 1. Mendapatkan estimasi parameter model probit bivariat.

2. Mendapatkan statistik uji untuk hipotesis model probit bivariat.

3. Mendapatkan pemodelan probit bivariat dengan mengaplikasikan pada faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan studi mahasiswa pascasarjana.

Orisinalitas Penelitian

Beberapa peneliti yang fokus dalam membahas dan mengkaji model probit multivariat antara lain Bokosi (2007) dan Nugraha (2010). Bokosi (2007) masih mengasumsikan antar variabel respon saling independen. Sedangkan Nugraha (2010) masih mengkaji secara teoritis untuk model probit. Sampai saat ini penyelesaian model probit multivariat masih diasumsikan antara variabel respon

4

saling independen. Oleh karena itu, kontribusi penelitian ini adalah dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan model probit multivariat, khususnya model probit bivariat jika antara variabel responnya saling dependen. Secara lengkap telah dikaji secara teoritis tentang estimasi dan pengujian statistik model Probit Biner Bivariat yang saling dependen (Ratnasari, Purhadi, Zain, dan Suhartono 2011a). Selain itu telah dikaji secara teoritis tentang estimasi dan pengujian parameter model Probit Bivariat (r c× ) yang saling dependen (Ratna-sari, Purhadi, Zain, dan Suhartono 2011b).

2. TINJAUAN PUSTAKA

Model probit merupakan salah satu pemodelan statistik dengan variabel respon kualitatif (berkategori). Model probit univariat adalah model probit yang melibatkan hanya sebuah variabel respon. Jika variabel respon kualitatif tersebut mempunyai dua kategori maka model tersebut adalah model Probit Biner. Misal variabel respon Y merupakan variabel respon kualitatif teramati yang

mempu-nyai dua kategori. Variabel respon Y diasumsikan berasal dari variabel _.

2.1 Model Probit Univariat

Menurut Green (2008) variabel respon kualitatif _{Y berasal dari variabel} respon yang tidak teramati *

Y yaitu * T

y =β x+ε . Dimana variabel x adalah

variabel prediktor, yang dinotasikan x=1 X₁ L XqT dengan ukuran (q+ ×1) 1, dan q adalah banyaknya variabel prediktor. Parameter β adalah vektor parameter koefisien, β=_β₀ β₁ L β_qT _{yang berukuran (q}+ ×_{1) 1. Variabel}

ε

diasumsikan berdistribusi Normal dengan mean 0 dan varians 1. PDF dari variabel Y* adalah

( )

* 1 exp 1

(

*

)

2

2 2 T f y y π   = − −   β x . * Y _{berdistribusi Normal}

dengan mean βTx _{dan varians satu.} Estimasi Model Probit c _Kategori

Model Probit c _{kategori diawali oleh penelitian McKelvey dan Zavoina} 1975. Jika variabel respon mempunyai c _{kategori, maka diperlukan} c−1

thres-*

5

hold yaitu γ γ₁< ₂ < <L γ_{c−1, seperti pada Gambar 2.1. Secara rinci adalah}

seba-gai berikut: 1 Y = jika y*≤γ₁, 2 Y = jika γ₁< ≤y* γ_2, M Y =k jika γ_k−1< y*≤γ_k, M Y =c jika y*>γ_c−1.

Gambar 2.1 Grafik PDFy*dengan c Kategori

Kemudian variabel respon Y dibentuk menjadi variabel dummy. Bentuk struktur

data dari variabel dummy respon Y dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Struktur Data Variabel Dummy Respon Y dengan

c

Kategori

Responden ke-i

Variabel Respon ( )Y

Variabel dummy Probabilitas

1 Y= Y =2 L Y =c p 1 p 2 L p c 1 2 0 1 L 0 p11 p21 L pc1 2 c 0 0 L 1 p12 p22 L pc2 M L L O M M M O M n 1 1 0 L 0 p1n p2n L pcn

6

Vektor variabel respon

[

1 2 1

]

T

k c

Y Y Y Y₋

=

Y L L _mengikuti

dis-tribusi Multinomial. Probabilitas untuk p x_c( ) adalah

(

1 2 1

)

( ) 1 ( ) ( ) ( )

c c

p x = − p x +p x + +L p₋ x _.

Probabilitas masing-masing kategori adalah sebagai berikut: Kategori ke-1: Y =1 mempunyai probabilitas

*

1 1

( 1) ( ) ( )

P Y = =P Y ≤γ = p x = Φ( )z₁ .

Kategori ke-2: Y =2 mempunyai probabilitas * 1 2 2 ( 2) ( ) ( ) P Y = =Pγ <Y ≤γ = p x = Φ(z2)− Φ( )z1 . M

Kategori ke-c: Y =cmempunyai probabilitas

* 1

( ) ( _c ) _c( )

P Y = =c P Y >γ ₋ = p x = − Φ1 (z_(c−1)).

Efek marginal variabel

x

pada model Probit univariat adalah

1 ( 1 ) ( T ) P Y φ γ ∂ = = − − ∂ x β β x x . 1 2 ( 2 ) ( T ) ( T ) P Y φ γ φ γ ∂ = _{ } =_ − − − _ ∂ x β x β x β x . M 1 ( ) ( _c T ) P Y c φ γ − ∂ = = − ∂ x β β x x .

Variabel respon Y berdistribusi Multinomial Y~M

[

1;p₁( ),x L,p_c−1( )x

]

_.

Kemudian dilakukan pengambilan sampel sebanyak

n

observasi, i=1, 2,L,n_.

Oleh karena itu fungsi likelihood adalah

[

] [

1

]

2

[

]

1 2 1 ( ) ( ) i ( ) i ( ) ci n y y y i i c i i L p p p = =

∏

β x x L x _.

Kemudian dilakukan ln likelihood, yaitu:

1 1 ln ( ) ln ( ) n c ki k i i k L y p = = =

∑∑

β x .

7 1 1 ( ) ln ( ) 1 ( ) n c k i ki i k k i p L y p = = ∂ ∂ _{⋅ =} ∂

∑∑

∂ x β x β . (2.1)

Persamaan 2.1 menunjukkan bentuk yang tidak closed form, maka untuk mem-peroleh penaksir β digunakan prosedur iterasi metode Newton Raphson.

Iterasi ke m metode Newton Raphson adalah (Hardin dan Hilbe 2007) 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) m = m− − m− − m−   β β H β g β . Proses akan berhenti, jika ( )m − (m−1) ≤ Θ

β β , dengan Θ adalah bilangan yang sangat kecil. Komponen yang diperlukan pada proses iterasi metode Newton Raphson adalah menentukan vektor turunan pertama fungsi likelihood terhadap parameter β atau vektor g( )β dan menentukan matriks turunan kedua fungsi

likelihood terhadap parameter β atau matriks H( )β . Secara matematis vektor

( )

g β dan matriks H( )β _adalah

( 1) 1 ln ( ) ( ) q L + × _∂  = _∂    β g β β dan 2 ( 1) ( 1) ln ( ) ( ) _T q q L + × + _∂  =  ∂ ∂   β H β β β .

Untuk menyelesaikan Persamaan 2.1 diperlukan beberapa konsep dasar tentang turunan. Berikut akan diberikan beberapa konsep dasar tentang turunan vektor.

Lemma 2.1 (Dudewics dan Mishra 1988)

a. Jika diberikan vektor a yang berukuran p×1 dan w berukuran p×1, maka

( T ) ∂ ₌ ∂ a w w a .

b. Jika Φ(a w adalah distribusi kumulatif normal, maka T ) ( ) ( ) T T φ ∂Φ ₌ ∂ a w a a w w ,

dimana (φ a w adalah distribusi normal standar. T ) c. Jika (φ a w adalah distribusi normal standar, maka T )

8 ( ) ( ) ( ) T T T φ _φ ∂ _{= −} ∂ a w a a w a w w .

Turunan probabilitas tiap kategori adalah sebagai berikut: Turunan probabilitas untuk Y_i =1 adalah 1

1 ( ) ( ) i i i p z φ ∂ _{= −} ∂ x x β .

Turunan probabilitas untuk Yi =2 adalah

2 2 1 ( ) ( ) ( ) i i i i i p z z φ φ ∂ _{= − +} ∂ x x x β . M

Turunan probabilitas untuk Y_i =k adalah k( )i ( ) ( _{( 1)})

i k i k i p z z φ φ ₋ ∂ _{= −  − }   ∂ x x β . M

Pada akhirnya turunan probabilitas untuk Y_i =c adalah

( 1) ( ) ( ) c i i c i p z φ − ∂ ₌ ∂ x x β .

Elemen matriks Hessian adalah menurunkan Persamaan 2.1 terhadap β, yaitu:

2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ln ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n c T ki i i k i k i k i k i T i k k i L y z z z z p φ φ − φ φ − = =  _{ } ∂ _{=  −  −   − +}   _{   }  ∂ ∂

∑∑

_   β x x β β x 1 ( ) _{( 1)} ( _{( 1)} ) ( ) T ki i i ki ki k i k i k i y z z z z p φ − φ −     ₋ _   _{  }  x x x . (2.2)

Merujuk pada matriks Hessian H( )β yang terdapat pada Persamaan 2.2, dan

vektor g( )β pada Persamaan 2.1, dengan menggunakan prosedur iterasi Newton Raphson akan diperoleh estimasi parameter β untuk model probit c kategori.

Pengujian Signifikansi Parameter Model Probit Univariat

Hipotesis suatu parameter perlu dilakukan pengujian. Pengujian ini bergu-na untuk mengetahui variabel-variabel yang masuk dalam model dan mempunyai kontribusi yang nyata terhadap perubahan variabel respon. Misalkan H0 dan H1

adalah

9

0 1 2

( ;_i , , , , _q)

f y β β β L β _{untuk i}=_1,2,L_,n.

Parameter (β β β₀, ₁, ₂, L, β_q) _{dinotasikan dengan} Ω_.

Metode yang digunakan untuk menentukan statistik uji dalam pengujian hipotesis adalah menggunakan metode MaximumLikelihood Ratio Test (MLRT). Misalkan

ω

subset dari Ω, maka rasio likelihood dinotasikan dengan

( )

( )

max ˆ ( ) ˆ _max ( ) L L L L ω ω ω λ Ω = = Ω Ω .

Daerah penolakan pada statistik uji ini adalah tolak H0 jika

( :

y

λ λ

≤

0

)

, dimana 0

λ adalah 0≤ λ₀ ≤1 (Casella dan Berger 2002).

Pengujian Signifikansi Parameter Secara Serentak Model Probit c Kate-gori

Secara umum fungsi likelihood di bawah populasi L( )Ω untuk model probit c kategori adalah sebagai berikut:

1 2 1 2 1 ( 1) 1 ( ) ( ) i ( ) ( ) i 1 ( ) ci n _{y y y} T T T T i i i c i i L γ γ γ γ ₋ =       Ω =

∏

_Φ −β x _{ }Φ −β x − Φ −β x _ L_ − Φ −β x _{ .}

Kemudian L( )Ω diln-kan, yaitu

1 1 2 2 1 1 ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) n T T T i i i i i i L y γ y γ γ =     Ω =

∑

_Φ −β x _+ _Φ −β x − Φ −β x _+ +L y_ciln 1_ − Φ(γ_(c−1)−βTx_i)_.

Langkah selanjutnya ln L( )Ω diturunkan terhadap β, yaitu:

1 1 2 1 ₁ 1 _{2 1} ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) T n n i i i T T T i _i i _{i i} y y L γ γ γ γ = =  _{∂Φ −}   ∂ _{Ω = + ×}    ∂

∑

Φ − ∂ 

∑

Φ − − Φ − β x β β x β β x β x

(

( 2 ) ( 1 )

)

T T i i γ γ  ∂ Φ − − Φ − _ + +  ∂ _ β x β x β L

(

( 1)

)

1 _{( 1)} 1 ( ) 1 ( ) T n c i ci T i _{c i} y γ γ − = ₋  _{∂ − Φ −}     _{− Φ − ∂}   

∑

β x β x β . (2.3)

10

Karena Persamaan 2.3 merupakan persamaan yang tidak closed form, maka persamaan tersebut diselesaikan menggunakan penyelesaian numerik. Prosedur iterasi yang digunakan adalah metode iterasi Newton Raphson. Dengan demikian didapatkan L( )Ωˆ , dimana Ω =ˆ {β β βˆ₀, ˆ₁, ˆ₂,K,βˆ_q}_. 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) i ( ) ( ) i n y y T T T i i i i L γ γ γ =     Ω =

∏

_Φ −β x _{ }Φ −β x − Φ −β x _ L× 1 ( _{( 1)} ˆT ) yci c i γ ₋  _{− Φ −}   β x  (2.4)

Fungsi likelihood di bawah H0 adalah 0 1 ( ) ( ; ) n i i Lω f β = =

∏

y . Dari max L

( )

ω ω didapatkan ωˆ ={βˆ0}, sehingga diperoleh ln ( )L ωˆ , yaitu:

1 2 1 0 2 0 1 0 ( 1) 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) i ( ) ( ) i 1 ( ) ci n _{y y y} c i L ω γ β γ β γ β γ ₋ β =       =

∏

_Φ − _{ }Φ − − Φ − _ L_ − Φ − _ 1 2 * * * 1 2 1 ˆ ( ) i ˆ ( ) i ˆ ( ) ci n _{y y y} i i c i i p p p =       =

∏

_ x _{ } x _ L _ x _{ .} (2.5)

Likelihood ratio (G2) diperoleh dengan menggunakan perbandingan antara Persa-maan 2.4 dan 2.5 yaitu

2 _ˆ ˆ 2 ln ( ) ln ( ) G = _ L Ω − Lω _, dimana

[

] [

]

[

]

1 2 1 2 * * * 1 2 1 1 2 1 ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) _{ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( )} i i ci y i i ci n _{y y y} i i c i i n y y i i c i i p p p L L _{p p p} ω = =             = Ω

∏

∏

x x x x x x L L * 1 1 1 1 ˆ ( ) ˆ ( ) gi gi n c _y g i i g n c _y g i i g p p = = = =     =    

∏∏

∏∏

x x .

Tolak H0 jika G2>χv2,α, dimana

v

adalah banyaknya parameter model di bawah populasi dikurangi banyaknya parameter model di bawah H0, yaitu

( 1) 1

v= + − =q q. Likelihood ratio (G2) asimptotik berdistribusi χ2v untuk

11

Pengujian Signifikansi Parameter Secara Parsial Model Probit Univariat Setelah dilakukan pengujian serentak, langkah selanjutnya adalah pengujian parsial. Pada pengujian parsial, dapat diketahui kontribusi setiap variabel pre-diktor. Pengujian hipotesis uji parsial sebagai berikut.

H0 : βt =0.

H1 : βt ≠0 dengan t=0,1, 2,L,q.

Himpunan dibawah populasi adalah Ω ={β β0, 1,L,βt,L,βq}.

Himpunan dibawah H0 adalah ω ={β β0, 1,L,β βt−1, t+1,L,βq}.

Statistik uji untuk uji parsial adalah G2 =2 ln ( ) ln ( )_ L Ω −ˆ L ωˆ _. Likelihood ra-tio G2 dengan n→ ∞, asimptotik berdistribusi χ₁2. Keputusan untuk menolak H0 jika G2>χ1,2α.

3. Metodologi Penelitian

Pada bab tiga dibahas tentang jenis penelitian yang berisi kajian teori dan empiris. Tahapan pada kajian teoritis meliputi estimasi parameter dan pengujian hipotesis untuk model Probit Biner Bivariat (2 2)× , model Probit Bivariat (3 3)× dan secara umum model Probit Bivariat (r c× ). Sedangkan tahapan kajian empiris meliputi sumber data, variabel penelitian serta aplikasi tentang mengevaluasi keberhasilan studi mahasiswa pascasarjana.

3.1 Estimasi Parameter Model Probit Bivariat

Untuk mendapatkan estimasi parameter model Probit Bivariat sebagai berikut: Membuat tabel kontingensi.

Menentukan probabilitas di setiap sel.

Menentukan fungsi likelihood dari variabel random.

Untuk mendapatkan parameter β β₁, ₂, fungsi likelihood di ln-kan.

Memaksimumkan fungsi likelihood dengan menurunkan ln fungsi likeli-hood terhadap parameter β dan kemudian menyamakan dengan nol. Jika diperoleh bentuk yang tidak closed form, maka untuk memperoleh penaksir maksimum likelihood diselesaikan dengan penyelesaian

nume-12

rik. Prosedur iterasi yang digunakan metode Newton Raphson. Terlebih dahulu menentukan vektor g( )β , yang merupakan turunan pertama dari fungsi likelihood terhadap parameter β. Kemudian menentukan matrik

( )

H β , yang elemen-elemennya merupakan turunan kedua terhadap para-meter β.

3.2. Pengujian Hipotesis Model Probit Bivariat

Untuk mendapatkan statistik uji serentak dan parsial model Probit Bivariat adalah sebagai berikut:

Tahapan pengujian serentak model Probit Bivariat, yaitu: a. Menentukan hipotesis

0 11 12 1 21 22 2

H :β =β = =L β_q =0 dan β =β = =L β _q =0 _.

1 rs

H : paling sedikit ada satu β ≠0 , dengan r=1, 2 dan s=1, 2,L,q_.

b. Membuat fungsi likelihood di bawah populasi ( )L Ω . Dari max L

( )

Ω Ω didapatkan

ˆ

Ω yaitu Ω =ˆ {β βˆ₁₀, ˆ₁₁,K,β β βˆ_1q, ˆ₂₀, ˆ₂₁,K,βˆ_2q}_.

Setelah diperoleh ˆβ dapat dihitung ln ( )L Ωˆ .

c. Membuat fungsi likelihood dibawah H0 atau jika H0 benar ( )Lω .

Dari max ( )L ω ω didapatkan * * 10 20 ˆ ˆ ˆ { , } ω= β β .

Setelah diperoleh estimasi βˆ*, didapatkan ln ( )L ωˆ _.

d. Membandingkan antara L( )ωˆ _dan L( )Ωˆ .

2 ( )ˆ _{ˆ ˆ} 2 ln 2 ln 2 ln ( ) 2 ln ( ). ˆ ( ) L G L L L ω _ω   = − Λ = −  = Ω − Ω  

e. Menentukan distribusi dari _G2_.

f. Menentukan daerah penolakan H0.

Tahapan pengujian parsial model Probit Bivariat yaitu: a. Menentukan hipotesis

0

13 1 rt

H : β ≠0 , dengan r =1, 2 dan t=0,1, 2,L,q_.

b. Membuat fungsi likelihood dibawah H0 atau jika H0 benar L(ω*). Dari max ( )L ω ω didapatkan * ** ** ** ** ** 10 11 ( 1) ( 1) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ { , , , r t , r t , , q} ω = β β L β − β + L β . Setelah diperoleh _ˆ** β , maka didapat ln (L ωˆ*)_.

c. Membandingkan antara L(ωˆ*) dan L( )Ωˆ .

* 2 (ˆ ) _{ˆ ˆ}* 2 ln 2ln 2 ln ( ) 2ln ( ) ˆ ( ) L G L L L ω _ω   = − Λ = −  = Ω − Ω   .

d. Menentukan distribusi dari daerah _G2

e. Menentukan daerah penolakan H0.

3.3 Pemodelan Keberhasilan Studi Mahasiswa Pascasarjana

Model Probit Bivariat diaplikasikan pada data kelulusan mahasiswa program pas-casarjana di ITS dengan 2 variabel respon dan 7 variabel prediktor.

Sumber Data

Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data sekunder lulusan maha-siswa pascasarjana ITS program magister lulusan Maret 2008 – Maret 2011.

Variabel Penelitian

Penelitian ini membahas tentang faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasil-an seorkeberhasil-ang mahasiswa dalam studi. Variabel respon ykeberhasil-ang diukur adalah

1

Y = Nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK).

Dibedakan atas 2 kategori (IPK < 3,5 ; IPK ≥ _3,5).

Dibedakan atas 3 kategori (IPK < 3,5 ; 3,5 ≤ IPK < 3,75 ; IPK ≥ 3,75).

2

Y = Masa studi.

Dibedakan atas 2 kategori (tidak tepat ; tepat).

Dibedakan atas 3 kategori (> 4 semester ; 4 semester ; 3 semester).

Sedangkan variabel prediktor yang diduga mempengaruhi keberhasilan studi adalah sebagai berikut.

1

X = Nilai Test Potensi Akademik (TPA).

2

14 3

X = Jenis kelamin (perempuan ; laki-laki).

4

X = Kesesuaian bidang studi dengan S1 (tidak sesuai ; sesuai).

5

X = Nilai IPK S1.

6

X = Lama waktu dari lulus S1 ke S2.

7

X = Sumber dana (sendiri ; beasiswa).

Langkah-langkah Analisis

Langkah-langkah analisis pemodelan probit bivariat adalah

a. Melakukan identifikasi variabel respon, dengan cara menguji apakah antar variabel respon saling dependen (variabel nilai IPK S2 dan masa studi). Me-tode yang digunakan adalah meMe-tode Chi-Square.

b. Melakukan identifikasi variabel prediktor, dengan cara mendeteksi korelasi antara variabel-variabel prediktor (variabel nilai TPA, nilai TOEFL, jenis ke-lamin, kesesuaian bidang, nilai IPK S1, lama lulus dari S1 ke S2 dan sumber dana).

c. Menentukan estimasi parameter model Probit Bivariat. d. Menguji secara serentak model model Probit Bivariat. e. Memilih model terbaik dengan menggunakan kriteria AIC.

4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Bab ini akan dikaji tentang model Probit Bivariat, baik teoritis (estimasi parameter dan pengujian hipotesis) maupun empiris.

4.1 Model Probit Biner Bivariat

(2 2)

×

Model Probit Biner Bivariat (2 2)× adalah model probit yang memiliki dua variabel respon kualitatif yang masing-masing variabel mempunyai dua kategori. Misal kedua variabel respon tersebut adalah variabel Y_{1 dan} Y , yang ₂

diasumsikan berasal dari variabel yang tidak teramati Y₁* dan Y₂* yaitu * 1 1 1 T y =β x+ε dan y*₂ =β₂Tx+ε₂, dimana β₁ =_β β β_{10 11 12} Lβ_1q_T_, 2 20 21 22 2 T q β β β β   =_{ } β L _,

15 1 2

1 x x x_q T

 

=_{ }

x L _{dan q adalah banyaknya variabel prediktor} x, β₁ dan β₂ berukuran (q+ ×1) 1.

Pembentukan kategori pada variabel respon yaitu dengan memberikan

threshold tertentu (γ dan δ ) pada variabel yang tidak teramati Y₁* dan Y₂*.

Ka-tegori yang dibentuk dari *

1 1 1 T y =β x+ε adalah 1 0 Y = jika y₁* ≤γ dan 1 1 Y = jika * 1 y >γ .

Sedangkan dariy*₂ =βT₂x+ε₂, kategori yang dibentuk Y2 =0 jika

* 2

y ≤δdan Y₂ =1 jika y₂* >δ_.

Probabilitas pada tabel kontingensi (2 2)× dengan _{1 1}T

z = −γ β x dan _{2 2}T z = −δ β x, secara rinci dijabarkan sebagai berikut:

11( ) 1 ( )1 ( )2 ( ,1 2) p x = − Φ z − Φ z + Φ z z , (4.1) 10( ) ( )2 ( ,1 2) p x = Φ z − Φ z z , (4.2) 01( ) ( )1 ( ,1 2) p x = Φ z − Φ z z , dan (4.3) 00( ) ( ,1 2) p x = Φ z z . (4.4)

Nilai marginal p x dan ₁( ) p x₂( ) secara berturut adalah 1( ) 1 ( )1

p x = −Φ z dan p₂( ) 1x = −Φ( )z₂ .

Estimasi Maksimum Likelihood Model Probit Biner Bivariat (2 2)×

Berikut ini diberikan suatu proposisi untuk memperoleh estimasi parameter β

pada model Probit Biner Bivariat (2 2)× . Proposisi 4.1

Jika model Probit Biner Bivariat (2 2)× diberikan oleh Persamaan 4.1 sampai 4.4 dimana z₁= −γ β₁Tx dan z₂ = −δ βT₂x, maka estimasi parameter β dapat dipero-leh dengan metode MLE yang menggunakan perhitungan iterasi Newton

Raph-16

son, dengan elemen vektor g( )β pada Persamaan 4.5, 4.6 dan elemen matriks Hessian H( )β pada Persamaan 4.7, 4.8, 4.9.

Elemen vektor g( )β _{adalah sebagai berikut:}

]

11 10 01 00 1 11 01 1 1 1 ln ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i i i i i i i i i i i i i L a y b y c y d y ϕ a y c y φ z = ∂ ⋅ _{=  − + + − + −}  ∂β

∑

x (4.5) 11 10 01 00 2 11 10 2 1 2 ln ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i i i i i i i i i i i i i L a y b y c y d y ϕ a y b y φ z = ∂ ⋅ _{=  − + + − + − }   ∂β

∑

x (4.6) dengan 2 01 1 i i i a p p   =  −  , 1 2 01 1 i i i i b p p p   =  − +  , 01 1 i i c p   =   , 1 01 1 1 i i i d p p   =  − −   1 2 2 2 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf

ρ

ϕ

φ

ρ

  ₋     = + _{ }  _{ − }   .

Elemen matriks Hessian H( )β _{adalah sebagai berikut:}

a.

(

[

]

2 2 _{2 2} 1 11 01 1 1 1 ln ( ) ( ) n T i i i i i i i T i L z a y c y φ = ∂ ⋅ _{= −  + +}   ∂ ∂β β

∑

x x 2 2 1 1 11 01 2 (φ z_i)ϕ _ia y_{i i}+c y_{i i}_+

[

]

2 2 2 2 2 1i ( 1i) i 11i i 01i 1i i 11i i 10i i 01i i 00i z

φ

z a y −c y −

ϕ

_a y +b y +c y +d y _+ −ϕ_11i

[

a y_{i 11i}−b y_{i 10i}−c y_{i 01i}+d y_{i 00i}

]

)

, (4.7) dengan 11i z1i 1 (z1i,z2i) ϕ = ϕ ρ φ+ . b.

(

2 2 2 1 11 1 1 2 ln ( ) ( ) ( ) n T i i i i i i T i L z z a y φ φ = ∂ ⋅ _{= −  +}   ∂ ∂β β

∑

x x 2 2 2 2 2i 1i a yi 11i b yi 10i c yi 01i d yi 00i ϕ ϕ   − _ + + + _+ 2 2 2 2 1 2 11 01 2 1 11 10 (z_i) _i a y_{i i} c y_{i i} (z _i) _i a y_{i i} b y_{i i}

φ

ϕ

_{ +} _+

φ

ϕ

_{ +} _+ φ(z₁i,z₂i)

[

a yi ₁₁i−b yi ₁₀i−c yi ₀₁i+d yi ₀₀i

]

)

. (4.8)

17 c.

(

[

₂

]

2 2 ₁₁ 2 _{10 2 2} 2 ₁₁ 2 ₁₀ 1 2 2 ln ( ) ( ) 2 ( ) n T i i i i i i i i i i i i i T i L z a y b y z a y b y φ φ ϕ = ∂ ⋅ _{= −  + +  + +}     ∂ ∂β β

∑

x x

[

]

2 2 2 2 2 2i ( 2i) i 11i i 10i 2i i 11i i 10i i 01i i 00i z φ z a y −b y −ϕ _a y +b y +c y +d y _+ ϕ_22i

[

a y_{i 11i}−b y_{i 10i}−c y_{i 01i}+d y_{i 00i}

]

)

, (4.9) dengan 22i z2i 2i (z1i,z2i) ϕ = ϕ +ρ φ .

Setelah vektor g( )β dan matriks Hessian H( )β didapat, maka dilakukan proses iterasi Newton Raphson. Persamaan proses iterasi Newton Raphson adalah

seba-gai berikut β( )m =β(m−1)−_H(β(m−1))_−1g(β(m−1)). Parameter ( )m

β adalah parameter

β _{dengan iterasi ke- m . Proses iterasi untuk parameter} βakan berhenti jika

( )m − (m−1) ≤ Θ

β β dimana Θ adalah bilangan yang sangat kecil.

Pengujian Hipotesis Model Probit Biner Bivariat (2 2)×

Pengujian hipotesis pada model Probit Biner Bivariat (2 2)× terdapat dua tahapan, yaitu pengujian serentak dan parsial. Pengujian serentak adalah menguji apakah variabel X X₁, ₂,...,X_q mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap

variabel respon Y₁ dan Y₂. Untuk pengujian serentak diberikan suatu proposisi sebagai berikut.

Proposisi 4.2

Jika model Probit Biner Bivariat (2 2)× diberikan oleh Persamaan 4.1 sampai 4.4 dan ingin diuji hipotesis

0 11 12 1

H :β =β = =L β_q =0 _dan

21 22 2q 0

β =β =L=β =

1

H : paling sedikit ada satu β_rs ≠0, dengan r=1, 2 dan s=1, 2,L,q_{, maka}

a. Statistik uji hipotesis ini adalah

2 2 01 1 2 01 01 11 * * 10 * * * 01 * 1 _{2 01 1 2 01 01} ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ln ln ln ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n i i i i i i i i i i _{i i i i i i} p p p p p p G y y y p p p p p p =   ₋   _{− +}    =   +  +  + − − +        

∑

1 01 00 * * 1 01 ˆ ˆ 1 ln ˆ ˆ 1 i i i i i p p y p p   _{− −}     − −    .

18 b. G2d→W , n→ ∞ _dimana W ~χ_v2 .

c. Hipotesis diatas mempunyai daerah penolakan G2 >χv2,α.

Setelah pengujian secara serentak, tahapan selanjutnya adalah pengujian parsial. Untuk menentukan statistik uji pada pengujian parsial serupa seperti pada pengu-jian serentak. Berikut ini diberikan suatu proposisi untuk pengupengu-jian parsial.

Proposisi 4.3

Jika model Probit Biner Bivariat (2 2)× diberikan oleh Persamaan 4.1 sampai 4.4 dan akan diuji hipotesis

H0 :

β

rt =0

H1 :

β

rt ≠0 dengan r=1, 2 dan t=0,1, 2,L,q maka

a. Statistik uji hipotesis ini adalah

2 11 10 01 00 11 ** 10 ** 01 ** 00 ** 1 _{11 10 01 00} ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ln ln ln ln . ˆ ˆ ˆ ˆ n i i i i i i i i i _{i i i i} p p p p G y y y y p p p p =            = _{  }+ _{ }+ _{ }+ _{  }  _{         } 

∑

b. G2d→W , n→ ∞ _dimana 2 1 ~ W X .

c. Hipotesis diatas mempunyai daerah penolakan G2 >χ_1,2_α.

4.2 Model Probit Bivariat (3 3)×

Model Probit Bivariat (3 3)× _{memiliki dua variabel respon yang masing-masing} mempunyai 3 kategori. Kategori pada variabel respon terbentuk dari va-riabel Y 1*

dan Y yaitu ₂* y₁* =β₁Tx+ε₁ dan y*₂ =βT₂x+ε₂ dengan threshold tertentu, misal

1, 2 γ γ dan δ δ₁, ₂. dimana β₁=_β β β_{10 11 12} Lβ_1q_T _dan 2 20 21 22 2 T q β β β β   =_{ } β L _,

x=1 x x_{1 2} LxqT, q adalah jumlah variabel prediktor .

Tiga kategori yang dibentuk dari y₁*=β₁Tx+ε₁ adalah

1 1

Y = _jika *

1 1

19 1 2 Y = _jika * 1 y1 2 γ < ≤γ , 1 3 Y = _jika * 1 2 y >γ .

Tiga kategori yang dibentuk dari y*₂ =βT₂x+ε₂ adalah 2 1 Y = _jika * 2 1 y ≤δ , 2 2 Y = _jika * 1 y2 2 δ < ≤δ , 2 3 Y = _jika * 2 2 y >δ .

Kedua variabel respon yang telah terkategori, dibentuk menjadi tabel kon-tingensi Y₁ dan Y . Jika masing-masing variabel respon mempunyai 3 kategori, ₂

maka akan terbentuk tabel kontingensi (3 3)× . Vektor variabel respon Y ber-distribusi Multinomial, dengan probabilitas sebagai berkut:

33( ) 1 ( 12) ( 22) ( 12, 22) p x = − Φ z − Φ z + Φ z z , (4.10) 32( ) ( 22) ( 12, 22) ( 21) ( 12, 21) p x = Φ z − Φ z z − Φ z + Φ z z , (4.11) 31( ) ( 21) ( 12, 21) p x = Φ z − Φ z z , (4.12) 23( ) ( 12) ( 11) ( 12, 22) ( 11, 22) p x = Φ z − Φ z − Φ z z + Φ z z , (4.13) 22( ) ( 12, 22) ( 11, 22) ( 12, 21) ( 11, 21) p x = Φ z z + Φ z z − Φ z z + Φ z z , (4.14) 21( ) ( 12, 21) ( 11, 21) p x = Φ z z − Φ z z , (4.15) 13( ) ( 11) ( 11, 22) p x = Φ z − Φ z z , (4.16) 12( ) ( 11, 22) ( 11, 21) p x = Φ z z − Φ z z , (4.17) 11( ) ( 11, 21) p x = Φ z z . (4.18) dengan z₁₁ = −γ₁ β₁Tx, z₁₂ =γ₂−β₁Tx, z₂₁= −δ₁ βT₂x, dan z₂₂ = −δ₂ βT₂x. Estimasi Maksimum Likelihood Model Probit Bivariat (3 3)×

Untuk mendapatkan estimasi parameter β dalam model Probit Bivariat (3 3)× diberikan proposisi sebagai berikut.

Proposisi 4.4

Jika model Probit Bivariat (3 3)× diberikan pada Persamaan 4.10 sampai 4.18, dimana _{11 1 1}T

z = −γ β x, _{12 2 1}T

z =γ −β x dan _{21 1} T₂

z = −δ β x, _{22 2} T₂

esti-20

masi β dapat diperoleh dengan metode MLE menggunakan perhitungan iterasi Newton Raphson, dengan elemen vektor g( )β pada Persamaan 4.19, 4.20 dan elemen matriks Hessian pada Persamaan 4.21, 4.22, 4.23.

Turunan pertama ln ( )L⋅ terhadap β₁ adalah

[

12 33 23 11 23 13 1 1 ln ( ) ( )( ) ( )( ) n i i i i i i i i i i i i L z a y d y z d y g y φ φ = ∂ _{⋅ = − + − +} ∂β

∑

x ϕ1( 22)i(−a yi 33i+b yi 32i+d yi 23i−e yi 22i)+ϕ1(21)i(−b yi 32i+c yi 31i+e yi 22i− f yi 21i)+ ϕ1(12)i(−d yi 23i+e yi 22i+g yi 13i−h yi 12i)+ϕ1(11)i(−e yi 22i+ f yi 21i +h yi 12i− j yi 11i)

]

(4.19) dengan 33 1 i i a p = , 32 1 i i b p = , 31 1 i i c p = , 23 1 i i d p = , 22 1 i i e p = , 21 1 i i f p = , 13 1 i i g p = , 12 1 i i h p = , dan 11 33 11 1 1 1 i i i i j p p p = = − − −L . 21 11 1(11) 11 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   ; 22 11 1(12) 11 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   ; 21 12 1(21) 12 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   ; 22 12 1(22) 12 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   .

Dengan cara yang serupa seperti mendapatkan turunan ln ( )L⋅ terhadap β₁, akan diperoleh turunan ln ( )L ⋅ terhadap β₂. Persamaan turunan ln ( )L⋅ terhadap β₂

21

[

22 33 32 1 2 ln ( ) ( ) ( ) n i i i i i i i L z a y b y φ = ∂ _{⋅ = − +} ∂β

∑

x φ(z21i) (b yi 32i−c yi 31i)+ ϕ2(22)i(−a yi 33i+b yi 32i+d yi 23i−e yi 22i)+ϕ2(21)i(−b yi 32i+c yi 31i+e yi 22i− f yi 21i)+ ϕ2(12)i(−d yi 23i+e yi 22i+g yi 13i−h yi 12i)+ϕ2(11)i(−e yi 22i+ f yi 21i+h yi 12i− j yi 11i)

]

. (4.20) dengan 11 21 2(11) 21 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   , 11 22 2(12) 22 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   , 12 21 2( 21) 21 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   , 12 22 2(22) 22 ₂ 1 ( ) 1 2 _{2(1 )} i i i i z z z erf ρ ϕ φ ρ   ₋     = + _{ }  _{ − }   .

Dari Persamaan 4.19 dan 4.20 didapatkan persamaan yang tidak closed form, oleh karena itu untuk memperoleh penaksir parameter pada model Probit Bivariat

(3 3)× _{digunakan iterasi Newton Raphson. Elemen-elemen pada matriks Hessian}

untuk model Probit Bivariat (3 3)× adalah sebagai berikut.

a.

(

2 2 2 2 2 2 2 12 33 23 11 23 13 1 1 1 ln ( ) ( ) ( ) n T i i i i i i i i i i i i T i L z a y d y z d y g y φ φ = ∂ ⋅ _{= −   +  −   + +}         ∂ ∂β β

∑

x x 2

[

]

12 11 23 11 11 23 13 2φ(z _i)φ(z _i)d y_{i i}+z _iφ(z _i) d y_{i i}−g y_{i i} + z_12iφ(z_12i)

[

a y_{i 33i}−d y_{i 23i}

]

+ 2 2 2 1(12) 23 13 11 23 12 2ϕ i(d yi i+g yi i) (φ z i)−d yi iφ(z i)+ 2 2 2 1(22) 33 23 12 23 11 2ϕ _i(a y_{i i}+d y_{i i}) (φ z _i)−d y_{i i}φ(z _i)_+ 2 2 2 2 2 1(11)i e yi 22i f yi 21i h yi 12i j yi 11i ϕ   − _ + + + _+ 2 2 2 2 2 1(12)i d yi 23i e yi 22i g yi 13i h yi 12i ϕ   − _ + + + _+

22 2 2 2 2 2 1( 21)i b yi 32i c yi 31i e yi 22i f yi 21i ϕ   − _ + + + _+ 2 2 2 2 2 1(22)i a yi 33i b yi 32i d yi 23i e yi 22i ϕ   − _ + + + _+ 2 2 2 1(11) 1(12) 22 12 1(11) 1(22) 22 2ϕ iϕ ie yi i+h yi i−2ϕ iϕ ie yi i+ 2 2 2 1(11) 1(21) 22 21 1(12) 1(21) 22 2ϕ _iϕ _ie y_{i i}+ f y_{i i}_−2ϕ _iϕ _ie y_{i i}+ 2 2 2 2 1(12) 1(22) 23 22 1(21) 1(22) 32 22 2ϕ iϕ id yi i+e yi i+2ϕ iϕ ib yi i+e yi i+ ϕ11(11)i

[

−e yi 22i+ f yi 21i+h yi 12i− j yi 11i

]

+ ϕ_11(12)i

[

−d y_{i 23i}+e y_{i 22i}+g y_{i 13i}−h y_{i 12i}

]

+ ϕ_11(21)i

[

−b y_{i 32i}+c y_{i 31i}+e y_{i 22i}− f y_{i 21i}

]

+ ϕ_11(22)i

[

−a y_{i 33i}+b y_{i 32i}+d y_{i 23i}−e y_{i 22i}

]

)

. (4.21) dengan ϕ_11(11)i =z_11iϕ_1(11)i+ρφ(z_11i,z_21i). ϕ11(12)i =z11iϕ1(12)i+ρ φ(z11i,z22i). ϕ_11(21)i =z_12iϕ_{1( 21)i} +ρ φ(z_11i,z_21i). ϕ11(22)i =z12iϕ1( 22)i+ρφ(z12i,z22i). b.

[

2 2 33 22 12 22 21 22 21 12 1 1 2 ln ( ) ( ( ) ( ) ( , ) n T i i i i i i i i i i i i i i T i L x x a y φ z φ z φ z z e y f y h y = ∂ ⋅ _{= − + − − +} ∂ ∂β β

∑

]

[

]

11 ( 12 , 21) 32 31 22 21 i i i i i i i i i i i i j y φ z z b y c y e y f y − + − − + + φ(z12i,z22i)

[

a yi 33i−b yi 32i−d yi 23i+e yi 22i

]

+ φ(z11i,z22i)

[

d yi 23i−e yi 22i−g yi 13i+h yi 12i

]

+ 2 2 2 11 2(12) 23 13 11 2(22) 23 (z i) i d yi i g yi i (z i) id yi i φ ϕ _{ +} _−φ ϕ ₊ 2 2 2 12 2(22) 33 23 12 2(12) 23 (z _i) _i a y_{i i} d y_{i i} (z _i) _id y_{i i} φ ϕ _{ +} _−φ ϕ ₊ 2 2 2 21 1( 21) 32 31 22 1( 21) 32 (z i) i b yi i c yi i (z i) ib yi i φ ϕ _{ +} _−φ ϕ ₊ 2 2 2 22 1(22) 33 32 21 1(22) 32 (z i) i a yi i b yi i (z i) ib yi i φ ϕ _{ +} _−φ ϕ ₊ 2 2 2 2 1(11)i 2(11)i e yi 22i f yi 21i h yi 12i j yi 11i ϕ ϕ   − _ + + + _+