KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK GF(3 m ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK I L H A M

(1)

KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK

GF(3

m

)

DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI

SIFAT GRUP SIKLIK

I L H A M

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(2)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Konstruksi Algoritme AritmetikGF(3m) dengan Operasi Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

I L H A M

(3)

ABSTRACT

ILHAM. The Construction of Arithmetic Algorithm GF(3 )m with Operation Generated from Cyclic Group. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. To construct a cryptographic algorithm, many arithmetic concepts are needed. ElGamal encryption for example, can be defined over cyclic group _p, the usual arithmetic concept. If the use of this arithmetic is associated with security aspect, then it requires large computational work. This thesis aims to construct arithmetic algorithm as an alternative arithmetic to apply in any cryptographic scheme, especially public key scheme. This algorithm is generated from finite field GF(3 )m . Thus, the procedures to construct arithmetic algorithm as follows. Firstly, take the primitive polynomial

3

( ) [ ]

p x  x as the minimum polynomial of degrees m with  as a root. Secondly, represent all elements of GF(3 )m as vectors in m-dimensional vector space over ₃. The resulted arithmetic algorithms are computational procedures for standard operation in

(3 )m

GF , i.e. addition, multiplication, division, invertion, and exponentiation. Asymptotically, complexity of the algorithms is the same as the previous one, which is constructed by irreducible polynomial. However, for a small value of m the resulted algorithms are better because some operations can be reduced using primitive polynomial or cyclic group properties.

(4)

RINGKASAN

ILHAM. Konstruksi Algoritme Aritmetik GF(3m) dengan Operasi Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS.

Perkembangan teknologi informasi memudahkan seseorang untuk mendapatkan informasi yang dibutuhkan. Untuk mengamankan informasi yang sifatnya rahasia diperlukan suatu teknik pengamanan. Teknik tersebut dapat dilakukan dengan mengamankan baik secara fisik maupun non fisik. Salah satu pengamanan secara non fisik adalah dengan mengenkripsi informasi rahasia menggunakan teknik kriptografi.

Terdapat dua tipe umum dari algoritme yang berbasis kunci, yaitu Algoritme Simetrik dan Algoritme Asimetrik (kunci publik) (Schneier 1996). Kriptografi simetrik disebut juga kriptografi konvensional, yaitu kunci enkripsi dapat dihitung dari kunci deskripsi atau sebaliknya, karena kunci yang digunakan adalah sama. Kriptografi simetrik tergantung pada kerahasiaan kunci yang digunakan. Kriptografi asimetrik disebut juga kriptografi kunci publik yang didesain bahwa yang digunakan untuk enkripsi berbeda dengan kunci yang digunakan untuk deskripsi. Kriptografi kunci publik terdiri atas dua buah kunci yaitu kunci publik dan kunci pribadi. Kunci publik digunakan untuk mengenkripsi suatu pesan kedalam siferteks sedangkan kunci pribadi digunakan untuk mendekripsi siferteks menjadi pesan asli.

Salah satu contoh penyandian dengan menggunakan kunci publik adalah penyandian kunci publik ElGamal dengan aritmetik modular atas dasar sifat grup siklik

p



 yang pertama kali diperkenalkan oleh Taher ElGamal pada tahun 1985 dan sampai saat ini masih dipercaya sebagai metode penyandian. Kunci publik yang digunakan dalam penyandian ElGamal ini adalah ( p,   , amod )p

 _

 dimana kunci pribadinya

adalah a. Dengan demikian, untuk keamanan penyandian ElGamal ini dibuatlah _p dengan memilih p yang sangat besar dalam proses kalkulasi aritmetik untuk membangkitkan kunci yang digunakan (Menezes 1997). Jika penggunaan aritmetik pada penyandian ElGamal dikaitkan dengan aspek keamanan, maka memerlukan beban komputasi yang cukup besar sehingga dalam dekade terakhir diperlukan aritmetik alternatif sebagai pengganti aritmetik modular. Aritmetik-aritmetik pengganti tersebut di antaranya adalah aritmetik yang dibangkitkan dari srtuktur field berhingga (3 )m

GF ,

kurva eliptik, atau kurva hipereliptik.

Dalam peneltian ini, penulis menitikberatkan pada pembahasan aritmetik yang dibangkitkan dari strukturfield berhingga GF(3 )m sebagai perluasan dari field 3. Atas

dasar inilah, maka penelitian ini bertujuan untuk mengkonstruksi field berhingga (3 )m

GF dari ₃ berdasarkan sifat perluasan field, mengonstruksi algoritme aritmetik (3 )m

GF seperti operasi penjumlahan, operasi perkalian, operasi invers, operasi pembagian, dan operasi exponensial, dan mengukur kinerja algoritme yang dihasilkan berdasarkan kompleksitas. Untuk mengonstruksi algoritme aritmetik GF(3 )m dalam penelitian ini dilakukan dengan prosedur sebagai berikut.

(5)

Pertama, mengambil polinomial primitif berderajat m atas ₃ yang merupakan polinomial minimum ( ) 0 1 ...

m m

m x a a x a x dimana  merupakan akar primitifnya sedemikian sehingga m( ) 0. Pengambilan polinomial primitif ini dilakukan secara komputasi dengan langkah-langkah sebagai berikut. Tes apakah polinomial m x( ) adalah

irreducible, tes apakah polinomial irreducible adalah primitif, selanjutnya memilih polinomial primitif yang bersuku kecil, yaitu dari polinomial primitif yang bersuku dua, polinomial primitif yang bersuku tiga, atau polinomial primitif yang bersuku empat. Kedua, representasikan semua elemen dari GF(3 )m sebagai vektor dalam ruang vektor berdimensi-m atas 3. Untuk kepentingan komputasi, elemen (3 )

m

GF dapat

direpresentasikan sebagai vektor terner dari derajat terkecil ke derajat terbesar dalam bentuk [a0, a1, . . . , am1].

Algoritme aritmetik GF(3 )m yang dihasilkan dikonstruksi dari polinomial primitif bersuku kecil yang terdiri atas algoritme operasi penjumlahan, algoritme operasi perkalian, algoritme operasi invers, algoritme operasi pembagian, dan algoritme operasi eksponensial. Secara umum, algoritme yang dihasilkan secara asimptotik mempunyai kinerja yang sama dengan algoritme sebelumnya yang didasarkan pada pengambilan polinomial irreducible. Dengan demikian, secara rata-rata algoritme yang dihasilkan menjadi lebih baik karena beberapa operasi dapat direduksi menggunakan polinomial primitif atau sifat dari grup siklik.

(6)

©

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa ijin IPB.

(7)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia dan hidayahNya sehingga karya ilmiah berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik GF(3m) dengan Operasi Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Sugi Guritman dan Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M. Si. yang telah membimbing penulis selama melakukan penelitian dan banyak memberikan masukan dan saran, serta Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M. Sc. selaku penguji luar komisi pada ujian tesis yang telah memberikan masukan dan saran. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.

Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada ayah, ibu, istri, dan putra-putri tercinta atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang.

Bogor, Agustus 2009

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Desa Risa Kecamatan Woha Kabupaten Bima pada tanggal 20 Oktober 1971 dari Bapak Usman Zakaria dan Ibu Sitti Hawa H. Bahari. Penulis merupakan putra kedua dari enam bersaudara.

Tahun 1990 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Woha Kabupaten Bima dan melanjutkan studi pada IAIN Alauddin Makassar dengan memilih Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah dan lulus pada tahun 1995. Penulis mendapatkan kesempatan untuk melanjutkan studi ke program magister pada Program Studi Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007 dengan mendapatkan beasiswa pendidikan dari Departemen Agama Republik Indonesia.

Saat ini penulis telah menikah dengan Faridah, S. Ag dan dikaruniai satu orang putra yang bernama Muhammad Farid berusia 12 tahun dan dua orang putri, yang masing-masing bernama Dewi Arifah berusia 11 tahun, dan Berlian Setiawati berusia 1 tahun 2 bulan. Tahun 2001 penulis diangkat sebagai Pegawai Negeri Sipil pada Departemen Agama Republik Indonesia dan mengajar Bidang Studi Matematika pada Madrasah Aliyah Korleko Kabupaten Lombok Timur Nusa Tenggara Barat. Kemudian pada tahun 2003 penulis dimutasikan pada Madrasah Tsanawiyah Negeri Kandai II Kabupaten Dompu Nusa Tenggara Barat sebagai Guru Matematika sampai sekarang.