LINEAR
Penjelasan secara sempit :
Ditinjau dari kata-katanya Linear
Programming berarti pembuatan
program atau rencana yang
mendasarkan pada asumsi-asumsi
linear.
Penjelasan secara luas :
CONTOH :
Agar masalah dapat jelas kita pahami, maka kita susun
ke dalam tabel sebagai berikut :
Produk Bahan baku
Kebutuhan bahan baku/unit Kapasitas max
Produk 1 Produk 2
A 2 1 6.000
B 2 3 9.000
Sumbangan terhadap laba
Untuk membuat formulasi masalah, marilah kita ikuti langkah-langkah berikut :
a. Fungsi Tujuan :
Fungsi ini menunjukkan tujuan yang akan dioptimalkan, bisa max dan bisa min.
Nilai tujuan di beri simbol “ Z “
b. Batasan fungsional :
Batasan ini menunjukkan alokasi sumber yang tersedia.
Pada contoh, kita memiliki dua batasan, yaitu bahan baku A dan bahan baku B.
Bahan baku A dibutuhkan oleh setiap unit produk pertama sebanyak 2 kg dan oleh setiap unit produk kedua sebesar 2 kg. Jadi banyaknya kebutuhan setiap unit produk pertama akan bahan baku A (2 kg) ini dikalikan dengan jumlah produk pertama yang dihasilkan (X1) ditambah dengan kebutuhan produk kedua akan bahan baku A ( 1 kg) dikalikan dengan jumlah produk kedua yang dihasilkan (X2) merupakan kebutuhan bahan baku A untuk berproduksi, ini tidak boleh melebihi 6.000 kg.
Sehingga formulasi batasan bahan baku A ini sebagai berikut :
2X
1+ X
2≤
6.000
Demikian pula untuk bahan baku B, dengan logika yang
c. Batasan Non-negatif :
Batasan non negatif mengharuskan hasil aktivitas itu (X1 dan x2) tidak boleh negatid, harus positif atau paling kecil sebesar 0. Hal itu dapat dinyatakan sebagai berikut :
Secara keseluruhan dapat kita cantumkan formulasi masalah
diatas ke dalam fungsi-fungsi sebagai berikut :
Fungsi tujuan : Max : Z = 3X
1+ 4X
2Batasan – batasan :
1. 2X
1+ X
2≤
6.000
2. 2X
1+ 3X
2≤
9.000
PEMECAHAN MASALAH DENGAN METODE GRAFIK :
Di dalam menggambar grafik hanya mungkin dilakukan dengan baik kalau dilakukan dengan dua sumbu, yaitu sumbu vertikal dan sumbu horisontal.
X2
Menggambarkan semua batasan fungsional :
Semua batasan kita tambahkan pada gambar diatas.
Pada contoh di atas hanya ada dua batasan fungsional, yaitu bahan baku A dan bahan baku B.
Batasan bahan baku A adalah :
2X
1+ X
2≤
6.000
Karena maksimum jumlah bahan baku A yang tersedia 6.000 kg, berarti penggunaan tidak lebih lebih dari 6.000 kg. yang mula-mula bisa kita gambarkan adalah penggunaan maksimumnya, baru kemudian daerah yang bisa dicapai.
Maksimum penggunaan kapasitas bahan baku A ditunjukkan oleh garis :
Untuk menggambarkannya mula-mula harus kita cari titik
potongnya dengan sumbu X
2, yaitu pada nilai X
1= 0, sehingga nilai
X
2= 6.000.
Kemudian kita peroleh nilai X
1= 3.000.
Dari kedua titik itu bisa kita gambar maksimum penggunaan
bahan baku A.
Tetapi garis ini menunjukkan keadaan andaikata bahan baku A
yang ada dimanfaatkan sepenuhnya, padahal sebenarnya hanya
maksimumnya saja yang terletak pda garis itu.
Oleh karena itu untuk menunjukkan daerah feasible (yang bisa
dicapai) menurut batasan ini, kita beri tanda anak panah ke kiri
bawah dari garis itu.
Untuk batasan kedua (bahan baku B) juga kita gambarkan dulu
garis maksimumnya dengan cara seperti pada batasan pertama
diatas, sehingga titik potong pada sumbu X
1pada titik X
2= 0 dan
X
1= 4.500.
Titik potong dengan sumbu X terletak pada titik dimana nilai X
1=
0 dan nilai X
2= 3.000.
Menggambarkan batasan non negatif :
Batasan non negatif adalah batasan yang tidak mengizinkan nilai sesuatu variabel itu negatif, berarti nilai X1 maupun X2 harus paling kecil sebesar 0, atau dengan simbol X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0.
Untuk menggambarkan batasan X1 ≥ 0 cukup dengan memberi anak panah ke kanan pada sumbu X2, karena pada sumbu itu nilai X1 = 0.
2X
1 +
X 2 = 6.0 00 2X
1 + 3X
Mencari titik optimal dengan menghitung nilai Z tiap-tiap titik-titik sudut.
Mula-mula kita cari dulu nilai-nilai Z dari tiap-tiap titik sebagai berikut :
Titik O : X1 = 0, X2 = 0 nilai Z = 0
Titik A : X1 = 3.000, X2 = 0,
nilai Z = 3 (3.000) + 4 (0) = 9.000
Titik C : X1 = 0, X2 = 3.000,
Titik B : terletak pada perpotongan antara garis batasan bahan baku A dan batasan bahan baku B. oleh karena itu kita cari dulu titik potongnya dengan menggunakan kedua persamaan batasan itu :
2X1 + X2 = 6.000 2X1 + 3X2 = 9.000
-2X2 = 3.000 jadi X2 = 1.500
Nilai X dimasukkan pada salah satu persamaan itu :
2X1 + 1.500 = 6.000
jadi X1 = (6.000 – 1.500) : 2 = 2.250
Ternyata diantara titik-titik sudut itu yang terbesar nilai Z-nya adalah titik B.
Sehingga titik B lah yang kita pilih sebagai titik optimal dalam pemecahan masalah ini, dengan nilai X1 = 2.250 dan nilai X2 = 1.500 serta nilai Z = 12.750.
Jadi kesimpulannya sebagai berikut :
Produk pertama dihasilkan 2.250 unit Produk kedua dihasilkan 1.500 unit
12.750,-LATIHAN 1:
Suatu perusahaan menghasilkan dua macam produk, yaitu produk I dan produk II. Setiap unit produk pertama memerlukan bahan baku 2 kg, memerlukan bahan pembantu 1 kg, memerlukan 2 jam kerja buruh langsung dan dikerjakan dalam mesin selama 2 jam kerja mesin. Untuk setiap unit produk kedua memerlukan bahan baku 5 kg, bahan pembantu 4 kg, memerlukan 2,5 jam kerja buruh langsung dan dikerjakan dengan mesin selama 1,5 jam. Pada minggu ini jumlah maksimum yang tersedia untuk berproduksi sebagai berikut :
Bahan baku sebanyak 1.000 kg Bahan pembantu 600 kg
Jam kerja buruh langsung 500 jam
Kapasitas mesin sebanyak 450 jam kerja mesin.
Harga jual setiap unit untuk produk pertama sebesar Rp. 500,- dan produk kedua Rp.
700,-Biaya variabel untuk setiap unit produk pertama Rp. 350,- dan untuk produk kedua Rp.
LATIHAN 2 :
LATIHAN 3 :
LATIHAN 4 :
Sebuah toko yang menjual keperluan pertanian menyediakan dua merek pupuk kimia, yaitu super dan top. Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.
Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga pupuk super dan top masing-masing $ 6 dan $ 3. petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing-masing jenis pupuk harus dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk untuk lahannya terpenuhi. Selesaikan dengan metode grafik !
Jenis Kandungan bahan kimia
Nitrogen (Kg/sak) Fosfat (kg/sak)
Super 2 4
