296
ESTIMASI PARAMETER DALAM MODEL
RETURN
STOKASTIK
DENGAN LOMPATAN MENGGUNAKAN METODE MARKOV
CHAIN MONTE CARLO
Yessy Okvita1), Bambang Susanto2), dan Hanna Arini Parhusip3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika
2) 3)
Dosen Program Studi Matematika
email:1)emakyessy@gmail.com2)bsusanto5@gmail.com 3)hannaariniparhusip@yahoo.co.id
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
PENDAHULUAN
Pergerakan harga saham dapat terjadi secara berkala hampir di semua pasar saham. Tetapi hal ini belum bisa menjawab pertanyaan finansial yang penting: apakah
times dan sizes lompatan dapat diprediksi? Apakah ada variabel yang dapat memprediksi lompatan? Apakah lompatan mempengaruhi
distribusi return harian? Karena itu diperlukan
model lompatan yang akurat untuk menjawab beberapa pertanyaan tersebut (). Kemungkinan terjadinya lompatan dapat mencakup lompatan sebelumnya. Model yang
akan digunakan adalah model Return
Stokastik dengan lompatan yang biasa dikenal
dengan Jump diffusion model with volatility
constant (Witzany,2011).
Algoritma Gibb Sampling adalah salah satu algoritma Monte Carlo. Dalam algoritma Gibb Sampling tidak menggunakan
mekanisme accept-reject karena hasil simulasi
diterima sampai konvergen yang akan diuji
menggunakan Heidelberg-Welch test.
Dari model Return Stokastik dengan
lompatan parameter-parameter yang akan
diestimasi menggunakan algoritma Gibb
Sampling adalah , , , , , , . Sebagai
ilustrasi digunakan data sekunder yaitu harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang
diperoleh dari finance.yahoo.com.
KAJIAN TEORI
Model Return Stokastik dengan Lompatan
dengan ln , , , … , , adalah
harga saham penutupan pada hari ke-t (Tsay,2010), adalah drift, adalah
volatility, yang mana diasumsikan
~ , , ~ , , dan ~
dengan menunjukkan jump saat dan
sebaliknya, sehingga ,
,
(Witzany,2011)
Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
Markov Chain Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan sampel titik yang ditetapkan oleh distribusi posterior
gabungan.Secara
umum untuk menghitung distribusi posterior gabungan melibatkan distribusi gabungan parameter, yang sulit untuk di pecahkan. Namun, dengan menggunakan distribusi posterior bersyarat untuk parameter yang belum di ketahui dapat diestimasi dengan mudah.
Algoritma Gibbs Sampling
Gibbs Sampling dapat diterapkan apabila distribusi bersyarat dari setiap parameter
diketahui (Witzany,2011). Algoritmanya
sebagai berikut :
Spesifikasi Prior
Parameter distribusi prior adalah distribusi probabilitas yang merepresentasikan ketidakpastian tentang parameter sebelum data saat diperiksa. Sehingga pendekatan bayesian untuk pemodelan tidak bisa dilakukan tanpa menggunakan distribusi
sebelumnya (Didit,2011). Menurut Witzany
(2011) diasumsikan bahwa distribusi priornya sebagai berikut :
Penentuan conditional posterior distribution
Distribusi yang diperoleh dari distribusi gabungan dari semua komponen, yakni sebagai berikut :
, , , , , ,
Setelah distribusi posterior gabungan diketahui, kemudian menentukan distribusi posterior masing-masing parameter.
Simulasi Algoritma Gibb Sampling
Menurut Witzany (2011) estimasi Gibb Sampling dilakukan sebagai berikut
• Menetapkan nilai awal
, , , , , ,
• Menyampel
Jika , maka
; ,
Jika , maka
; ,
; ,
1. Menetapkan vektor nilai awal x
, … ,
Bangkitkan dari
, … ,
3. Langkah diulang M kali.
yang berdistribusi normal Misalkan
Demikian pula
| , | ,
; ,
∑
; ,∑
• Menyampel dari yang
berdistribusi bernoulli
Jika , , … , ; ~
dengan prior
| |
; ,
•Menyampel , dari yang
berdistribusi normal dan prior serta
Demikian pula
, ,
; ,
∑
; ,∑ ,
ANALISA DAN PEMBAHASAN
Berikut ini adalah grafik data harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan
Gambar 2 grafik return harga saham
penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang diskalakan.
Gambar 1. Harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010.
Dengan menggunakan estimasi Gibb Sampling menurut Witzany (2011), pada Tabel 1 menunjukkan beberapa hasil simulasi
masing-masing parameter model return
stokastik dengan lompatan dengan kata lain .
Sedangkan jika , ternyata memberikan
peluang lebih banyak tidak ada lompatan
sehingga hal ini tidak mungkin. Dari hasil
estimasi gibb sampling menurut witzany
grafik model return stokastik dengan
lompatan dan return dari harga penutupan saham yang diskalakan ditunjukkan pada Gambar 3a dan 3b.
Berikut ini adalah grafik data harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang ditunjukkan oleh Gambar 1 sedangkan Gambar 2 grafik
return harga saham penutupan harian Bank Negara Indonesia (Persero) tahun 2009-2010 yang tidak diskalakan.
KESIMPULAN
Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana
mengestimasi parameter model return
stokastik dengan lompatan. Metode yang digunakan adalah Markov Chain Monte Carlo
Gambar 2. Harga return dari saham
Tabel 1. Beberapa Hasil Estimasi parameter menggunakan Gibb Sampling
300
khususnya algoritma Gibb Sampling.
Parameter mempengaruhi harge return.
Hasil simulasi parameter perlu dicek kekonvergenannya. Saran untuk penelitian selanjutnya hasil simulasi parameter sampai
konvergen maka perlu melakukan
Heidelberg-Welch test / Geweke test.
UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih ditujukan kepada :
Didit Budi Nugroho untuk informasi literatur, bimbingan tentan makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kumar.J, Polson.1999. State Dependent
Jump Models. GSB, University of Chicago
[2]Malik dan Pitt. 2008. Modeling Stochastic
Volatility with Leverage and Jumps.
Department of Economics, University of Warwick, Coventry CV4 7AL
[3] Nugroho, D. B, Morimoto, T. 2008.
Comparison of Griddy Gibbs and Metropolis-Hastings Sampler for Estimation of the Standard LNSV. Department of Mathematical Sciences, Kwansei Gakuin University
[4] Tsay, R.S., 2010, Analysis of Financial
Time Series, John Wiley & Sons.
[5] Witzany, J. 2011. Estimating Correlated
