Search Control Tutorials Efek
Tips
PENDAHULUAN CRUISE KONTROL MOTOR SPEED MOTOR POSISI PENANGGUHAN TERBALIK PENDULUM PESAWAT PITCH
(1)
Pendahuluan: Sistem Modeling
Langkah pertama dalam proses desain kontrol adalah untuk mengembangkan model matematika yang sesuai dari sistem berasal baik dari hukum-hukum fisika atau data eksperimental. Pada bagian ini, kami memperkenalkan negara-ruang dan fungsi transfer representasi dari sistem dinamis. Kami kemudian meninjau beberapa pendekatan dasar untuk pemodelan sistem mekanik dan listrik dan menunjukkan bagaimana memasukkan model ini ke dalam MATLAB untuk analisa lebih lanjut.
Isi
Sistem dinamis adalah sistem yang mengubah atau berkembang dalam waktu sesuai dengan aturan baku. Bagi banyak sistem fisik, aturan ini dapat dinyatakan sebagai satu set persamaan diferensial orde pertama:
Dalam persamaan di atas, adalah vektor negara , satu set variabel yang mewakili konfigurasi sistem pada waktu . Misalnya dalam sistem massa-pegas-peredam sederhana mekanik, kedua variabel negara bisa menjadi posisi dan kecepatan dari massa. adalah vektor dari input kontrol pada waktu , mewakili eksternal diterapkan "pasukan" pada sistem, dan merupakan mungkin fungsi nonlinear memberikan waktu derivatif (laju perubahan) dari vektor negara, untuk tertentu negara, masukan, dan waktu.
Keadaan setiap saat di masa depan, , dapat ditentukan pengetahuan persis diberikan dari keadaan awal, dan riwayat waktu dari input, antara dan dengan mengintegrasikan Persamaan. (1). Meskipun variabel negara sendiri tidak unik, ada jumlah minimum variabel negara, , diperlukan dalam sistem tertentu untuk di atas untuk berlaku. disebut sebagai tatanan sistem dan menentukan dimensi dari negara-ruang . Urutan sistem biasanya sesuai dengan jumlah elemen penyimpanan energi independen dalam sistem.
. Hubungan yang diberikan dalam Persamaan (1) sangat umum dan dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai sistem yang berbeda; sayangnya, mungkin akan sangat sulit untuk menganalisis. Ada dua penyederhanaan umum yang membuat masalah lebih penurut. Pertama, jika fungsi, , tidak tergantung secara eksplisit pada waktu, yaitu , maka sistem dikatakan waktu invariant . Hal ini sering asumsi yang sangat wajar, karena hukum-hukum fisika yang mendasari itu sendiri biasanya tidak tergantung pada waktu. Untuk waktu invariant sistem, parameter atau koefisien fungsi, , konstan. Kontrol input, bagaimanapun, mungkin masih tergantung waktu, .
Asumsi umum kedua menyangkut linearitas dari sistem. Pada kenyataannya, hampir setiap sistem fisik adalah nonlinier. Dengan kata lain, biasanya beberapa fungsi rumit dari negara dan masukan. Nonlinier ini muncul dalam berbagai cara, salah satu yang paling umum dalam sistem kontrol menjadi "jenuh" di mana unsur sistem mencapai batas fisik sulit untuk beroperasi. Untungnya, selama rentang operasi cukup kecil (berpikir garis singgung dekat kurva), dinamika kebanyakan sistem sekitar linear , yaitu .
Sampai munculnya komputer digital (dan untuk sebagian besar sesudahnya), itu hanya praktis untuk menganalisis waktu linear invarian (LTI)
sistem. Akibatnya, sebagian besar dari hasil teori kontrol didasarkan pada asumsi ini. Untungnya, seperti akan kita lihat, hasil ini telah terbukti sangat efektif dan banyak tantangan rekayasa yang signifikan telah dipecahkan menggunakan teknik LTI. Bahkan, kekuatan sebenarnya dari sistem kontrol umpan balik adalah bahwa mereka bekerja (yang kuat ) di hadapan ketidakpastian pemodelan tidak dapat dihindari.
Perintah MATLAB utama yang digunakan dalam tutorial ini adalah: ss , tf SISTEM
Key MATLAB commands used in this tutorial are: ss , tf
(4)
(5)
(6)
(8)
(9)
(10) (2)
(3)
(7) Representasi negara-Space
Untuk waktu linear invarian (LTI) sistem kontinu, representasi negara-ruang standar diberikan di bawah ini:
di mana adalah vektor dari variabel state (Nx1), adalah waktu turunan dari vektor negara (Nx1), merupakan masukan atau pengendalian vektor (PX1), adalah output vektor (qx1), adalah sistem matriks (nxn), adalah masukan matriks (nxp), adalah matriks keluaran (qxn), adalah matriks feedforward (qxp).
Persamaan output, Persamaan. (3), diperlukan karena sering ada variabel negara yang tidak secara langsung diamati atau sebaliknya tidak menarik. Output matriks, , digunakan untuk menentukan variabel keadaan (atau kombinasinya) yang tersedia untuk digunakan oleh controller. Juga sering tidak ada feedforward langsung dalam hal ini adalah matriks nol.
Representasi negara-ruang, juga disebut sebagai representasi waktu-domain, dapat dengan mudah menangani multi-input / multi-output (MIMO) sistem, sistem dengan nol non-kondisi awal, dan sistem nonlinear melalui Persamaan. (1). Akibatnya, representasi negara-ruang digunakan secara luas dalam "modern" teori kontrol.
Representasi Fungsi Transfer
Sistem LTI memiliki properti sangat penting bahwa jika input ke sistem ini sinusoidal, maka output juga akan sinusoidal pada frekuensi yang sama tetapi secara umum dengan besaran berbeda dan fase. Magnituda dan fasa perbedaan-perbedaan ini sebagai fungsi dari frekuensi dikenal sebagai respon frekuensi dari sistem.
Menggunakan transformasi Laplace , adalah mungkin untuk mengubah representasi waktu-domain sistem ke dalam representasi output / input frekuensi-domain, yang dikenal sebagai fungsi transfer . Dengan demikian, hal itu juga mengubah persamaan diferensial yang mengatur ke dalam suatu persamaan aljabar yang sering lebih mudah untuk menganalisis.
Transformasi Laplace dari fungsi domain waktu, , didefinisikan di bawah ini:
di mana parameter adalah variabel frekuensi kompleks. Hal ini sangat jarang dalam prakteknya bahwa Anda harus langsung mengevaluasi mentransformasikan Laplace (meskipun Anda pasti harus tahu bagaimana). Hal ini jauh lebih umum untuk mencari transformasi dari fungsi Anda tertarik dalam sebuah tabel seperti salah satu ditemukan di sini: Laplace Transform Tabel
Transformasi Laplace dari turunan ke-n dari suatu fungsi sangat penting:
Metode frekuensi-domain yang paling sering digunakan untuk menganalisis LTI single-input / single-output (SISO) sistem, misalnya yang diatur oleh persamaan diferensial koefisien konstan sebagai berikut:
Transformasi Laplace dari persamaan ini diberikan di bawah ini:
di mana dan adalah Laplace Mentransformasi dari dan masing-masing. Perhatikan bahwa ketika menemukan fungsi transfer, kami selalu menganggap bahwa setiap kondisi awal, , , , dll adalah nol. Fungsi transfer dari input ke output karena itu:
Hal ini berguna untuk faktor pembilang dan penyebut dari fungsi transfer ke apa yang disebut zero-tiang-gain bentuk:
Para nol dari fungsi transfer, , adalah akar dari polinomial pembilang, yaitu nilai-nilai s yang seperti . Para kutub dari fungsi transfer, , adalah akar dari polinomial penyebut, yaitu nilai-nilai s yang seperti . Kedua nol dan kutub mungkin kompleks dihargai (memiliki kedua bagian real dan imajiner). Sistem Gain adalah .
(11)
(13)
(14)
(15) (12) Mechanical Systems
Hukum gerak Newton menjadi dasar untuk menganalisis sistem mekanis. hukum kedua Newton , Persamaan. (11), menyatakan bahwa jumlah gaya yang bekerja pada tubuh sama dengan yang kali massa percepatan. hukum ketiga Newton , untuk tujuan kita, menyatakan bahwa jika dua badan yang terhubung, maka mereka mengalami kekuatan sama besarnya bertindak dalam arah yang berlawanan.
Ketika menerapkan persamaan ini, yang terbaik adalah untuk membangun sebuah diagram bebas tubuh (FBD) dari sysetm yang menunjukkan semua kekuatan diterapkan.
Contoh: Massa-Spring-Damper Sistem
Diagram benda bebas untuk sistem ini ditunjukkan di bawah ini. Gaya pegas sebanding dengan perpindahan massa, dan gaya redaman viskos sebanding dengan kecepatan massa, . Kedua pasukan menentang gerakan massa dan karenanya ditampilkan dalam negatif -direction. Perhatikan juga, bahwa sesuai dengan posisi massa ketika musim semi adalah teregang.
Sekarang kita lanjutkan dengan menjumlahkan kekuatan dan menerapkan hukum kedua Newton, Persamaan. (11), di setiap arah dari masalah. Dalam hal ini, tidak ada gaya yang bekerja di -direction; Namun, dalam -direction kita miliki:
Persamaan ini, yang dikenal sebagai persamaan yang mengatur , benar-benar mencirikan keadaan dinamis dari sistem. Kemudian, kita akan melihat bagaimana menggunakan ini untuk menghitung respon dari sistem untuk setiap input eksternal, serta menganalisis sistem properti seperti stabilitas dan kinerja.
Untuk menentukan representasi negara-ruang sistem massa-pegas-peredam, kita harus mengurangi urutan kedua yang mengatur persamaan untuk satu set dua persamaan diferensial orde pertama. Untuk tujuan ini, kita memilih posisi dan kecepatan sebagai variabel negara kita.
Perhatikan juga bahwa variabel status tersebut sesuai dengan energi potensial di musim semi dan energi kinetik dari massa masing-masing. Seringkali ketika memilih variabel negara akan sangat membantu untuk mempertimbangkan unsur-unsur penyimpanan energi independen dalam sistem.
Persamaan negara dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
Jika, misalnya, kami tertarik dalam mengendalikan posisi massa, maka persamaan output sebagai berikut:
Memasuki Negara-Space Model ke MATLAB
(17) (16)
m massa .0 kg
k pegas konstan ,0 N / m
b redaman konstan 0, Ns / m
F masukan kekuatan ,0 N
Buat baru m-berkas dan masukkan perintah berikut.
m = ; k = ; b = 0, ; F = ;
A = [0 ; -k / m -b / m]; B = [0 / m] '; C = [ 0]; D = [0];
sys = ss A, B, C, D
sys =
a = x x x 0 x - -0.
b = u x 0 x
c = x x y 0
d = u y 0
Continuous-time model negara-ruang.
Transformasi Laplace untuk sistem ini dengan asumsi kondisi awal nol adalah
dan oleh karena itu fungsi transfer dari kekuatan input ke output perpindahan adalah
Memasuki Model Fungsi Transfer ke MATLAB
Sekarang kami akan menunjukkan cara memasukkan fungsi transfer diturunkan di atas ke dalam MATLAB. Masukkan perintah berikut ke dalam
m-file yang di mana Anda mendefinisikan parameter sistem.
s = tf 's' ;
sys = / m * s ^ + b * s + k
(18)
--- s ^ + 0, s +
fungsi transfer Continuous-waktu.
Perhatikan bahwa kita telah menggunakan simbolis s variabel di sini untuk menentukan model fungsi transfer kami. Kami merekomendasikan penggunaan metode ini sebagian besar waktu; Namun, dalam beberapa situasi, misalnya dalam versi MATLAB atau ketika berinteraksi dengan SIMULINK, Anda mungkin perlu untuk menentukan model fungsi transfer menggunakan pembilang dan penyebut koefisien polinomial langsung. Dalam kasus ini, gunakan perintah berikut:
num = [ ]; den = [mbk]; sys = tf num, den
sys =
--- s ^ + 0, s +
fungsi transfer Continuous-waktu.
Sistem Listrik
Seperti hukum Newton dalam sistem mekanis, hukum sirkuit Kirchoff adalah alat analisis dasar dalam sistem listrik. Hukum Kirchoff saat ini (KCL) menyatakan bahwa jumlah arus listrik masuk dan keluar node dalam sebuah rangkaian harus sama. Hukum tegangan Kirchoff (KVL )
menyatakan bahwa jumlah perbedaan tegangan sekitar setiap loop tertutup di sirkuit adalah nol. Ketika menerapkan KVL, tegangan sumber biasanya diambil sebagai positif dan tegangan beban diambil sebagai negatif.
Contoh: RLC Circuit
Kami sekarang akan mempertimbangkan kombinasi seri sederhana dari tiga unsur listrik pasif: resistor, induktor, dan kapasitor, yang dikenal sebagai Sirkuit RLC .
Karena rangkaian ini adalah loop tunggal, setiap node hanya memiliki satu input dan output; Oleh karena itu, penerapan KCL hanya menunjukkan bahwa saat ini adalah sama di seluruh sirkuit pada waktu tertentu, . Sekarang menerapkan KVL sekitar loop dan menggunakan konvensi tanda yang ditunjukkan dalam diagram, kita sampai pada persamaan pemerintahan berikut.
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24) Representasi negara-ruang ditemukan dengan memilih muatan dan arus sebagai variabel negara.
di mana,
Oleh karena itu, persamaan state adalah:
Kami memilih saat ini sebagai ouput sebagai berikut:
Representasi fungsi transfer dapat ditemukan dengan mengambil Transformasi Laplace seperti yang kita lakukan untuk massa-pegas-peredam atau dari persamaan state-space sebagai berikut:
RLC negara-ruang dan mentransfer model fcuntion dapat dimasukkan ke dalam MATLAB menggunakan prosedur yang sama seperti yang dibahas untuk sistem massa-pegas-peredam atas.
Sistem Identifikasi
Pada bagian ini, kita telah melihat bagaimana model sistem yang menggunakan prinsip-prinsip fisika dasar; Namun, seringkali hal ini tidak mungkin baik karena parameter sistem tidak pasti, atau proses yang mendasari hanya tidak diketahui. Dalam kasus ini, kita harus mengandalkan pengukuran eksperimental dan teknik statistik untuk mengembangkan model sistem, proses yang dikenal sebagai sistem identifikasi.
Identifikasi sistem dapat dilakukan baik menggunakan waktu-domain atau data frekuensi-domain, lihat Pendahuluan: Sistem Identifikasi halaman.
Juga mengacu pada MATLAB Sistem Identifikasi Toolbox untuk informasi lebih lanjut mengenai hal ini.
Konversi sistem
Kebanyakan operasi di MATLAB dapat dilakukan baik pada fungsi transfer, model negara-ruang, atau bentuk zero-tiang-gain. Selain itu, sederhana untuk mentransfer antara jika bentuk lain dari representasi diperlukan. Jika Anda perlu belajar bagaimana mengkonversi dari satu representasi yang lain, lihat Pendahuluan: Sistem Konversi halaman.
Diterbitkan dengan MATLAB 7.14
