Pengertian fungsi dalam matematika
Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu
himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu
himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari
relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:
- Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan
D
f.
- Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan
K
f.
- Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f
dilambangkan dengan Rf.
SIFAT-SIFAT FUNGSI
1. FUNGSI INJEKTIF
Disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu
fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada
dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah
fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a
= b.
2. FUNGSI SURJEKTIF
Fungsi f: A → B disebut
fungsi kepada
atau
fungsi surjektif
jika dan hanya jika untuk
sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga
berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya
(range).
3. FUNGSI BIJEKTIF
Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan
surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam
korespondensi satu-satu”.
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0
disebut fungsi linear
2. FUNGSI KONSTAN
Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya
jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.
3. FUNGSI IDENTITAS
Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika
range f = kodomain atau f(A)=B.
4. FUNGSI KUADRAT
Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0
disebut fungsi kuadrat.
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi ?
A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)}
B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)}
C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)}
Jawab:
2a + b = 9 ……. (2)
Eliminasikan 1 dan 2 diperoleh:
-4a + b = -3
2a + b = 9
--6a = – 12
a = 2,
substitusi nilai a = 2 ke 2a + b = 9
2.(2) + b = 9
4 + b = 9
b = 5
Jadi fungsinya f(x) = 2x + 5
3. Diketahui, jika :
A = {2, 3, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}
Tuliskan domain, kodomain, range dari relasi diatas?
jawab :
Domain = {2, 4, 6}
Pasangan terurut
Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah: {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)} Diagram panahnya:
Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil) Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas: Domain = Df = {1, 2, 3, 4}
Range = Rf = {2, 4}
Menentukan Daerah Asal Fungsi
Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.
1. Fungsi di dalam akar
2. Fungsi pecahan
3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar
4. Fungsi logaritma
Contoh:
Daerah asal untuk fungsi
adalah: x2 + 3x – 4 > 0 (x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}
Aljabar Fungsi
Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4.
Daerah asalnya:
Df+g, Df–g, Df×g = Df ∩ Dg (irisan dari Df dan Dg) Df/g = Df ∩ Dg dan g(x) ≠ 0
Komposisi fungsi Notasi:
f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”) (f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:
Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0 Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x
Contoh 1:
f(a) = 3a + 2
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna (g(x) + 1)2 – 1 + 5 = 4x2 – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b (ax + b)2 + 2(ax + b) + 5 = 4x2 – 8x + 8
a2x2 + 2abx + b2 + 2ax + 2ab + 5 = 4x2 – 8x + 8 a2x2 + (2ab + 2a)x + (b2 + 2ab + 5) = 4x2 – 8x + 8 Samakan koefisien x2 di ruas kiri dan kanan: a2 = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan: untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f–1 (x)
Contoh: Jika f(2) = 1 maka f–1(1) =2 Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x
Sifat-Sifat Invers Fungsi:
1. (f–1)–1(x) = f(x)
2. (f o f–1)(x) = (f–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
3. (f o g)–1(x) = (g–1 o f–1)(x)
Ingat: (f o g–1)(x) ¹ (f o g)–1(x)
Mencari invers fungsi
1. Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
2. Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f–1(y)
3. Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f
Contoh 1:
Contoh 2:
Cara Cepat!
Contoh 3:
