« Teori Evolusi (Bagian 2) : Manusia Purba memang ADA Analogi Warna »
Penarikan Kesimpulan: Modus Ponens dan Modus Tollens
Posted by Taufiq Hidayat on April 28th, 2010
Tulisan-tulisan di kategori Logika Matematika ini hanya ditujukan untuk mereka yang sedang belajar hal-hal dasar tentang Logika Matematika. Akan jarang ditemui hal-hal yang baru di sini. Semoga bermanfaat.
Saat mengajar kuliah Pemrograman Non Prosedural (terutama bagian Pemrograman Logika), saya banyak menemui mahasiswa yang belum memahami kegunaan logika matematika, terutama dalam kehidupan sehari-hari. Padahal tujuan utama semua ilmu adalah membantu kehidupan manusia. Demikian juga dengan logika matematika. Salah satu manfaatnya adalah membantu membuat (menarik) kesimpulan yang benar. Tulisan ini akan membahas tentang teknik penarikan kesimpulan dasar, yaitu Modus Ponens dan Modus Tollens.
Agar cakupannya tidak meluas, jenis logika yang saya pakai di tulisan ini adalah logika proposisi (propositional logic). Dalam logika proposisi, sebuah kalimat dinyatakan dengan sebuah simbol (yang mungkin berindeks).
p → q ¬ q ———
Kesimpulan: ¬ p
Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“. Sedangkan Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ¬q, maka bisa ditarik kesimpulan
¬p“. Contoh 2:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Saya makan di kelas. Apakah saya minum di kelas?
Solusi:
Menggunakan Contoh 1 di atas, kita memperoleh kalimat matematika:
p → q p
Menggunakan Modus Ponens, maka kita bisa menarik kesimpulan q, yang artinya saya minum di kelas.
—————- [] Contoh 3:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Saya tidak minum di kelas. Apakah saya makan di kelas?
Solusi:
Menggunakan Contoh 1 di atas, kita memperoleh kalimat matematika:
p → q ¬q
Menggunakan Modus Tollens, maka kita bisa menarik kesimpulan ¬p, yang artinya saya tidak makan di kelas.
—————- [] Contoh 4:
Solusi: Misalkan:
p : saya makan di kelas
q : saya minum di kelas
r : ruangan kelas menjadi kotor
maka, cerita sederhana tersebut dapat dinyatakan dengan 1: p → q
2: q → r
3: p
Menggunakan Modus Ponens untuk kalimat 1 dan kalimat 3, maka kita bisa menarik kesimpulan
q, yang artinya saya minum di kelas. Kalimat-kalimat matematikanya bisa kita ubah menjadi: 1: p → q
2: q → r
3: p
4: q
Dengan menggunakan Modus Ponens untuk kalimat 2 dan 4, kita memperoleh kesimpulan r, yang artinya ruangan kelas menjadi kotor.
—————- [] Contoh 5:
Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan maka saya tidak belajar. Jika televisi sedang mati maka saya belajar. Saat ini, televisi sedang mati. Apakah saya sedang makan?
Solusi: Misalkan:
p : saya makan
q : saya belajar
r : televisi mati
maka, cerita sederhana tersebut dapat dinyatakan dengan 1: p → ¬q
2: r → q
Kesimpulan dengan Modus Ponens untuk kalimat 2 dan kalimat 3: q.
Dengan menggunakan Modus Tollens untuk kalimat 1 dan kalimat 4, kita peroleh kesimpulan
¬p, yang artinya saya tidak makan. —————- []
Cerita di contoh-contoh di atas adalah sederhana. Namun bukan berarti contoh yang lebih kompleks tidak bisa diselesaikan dengan teknik ini. Berikut adalah contoh dengan cerita yang lebih kompleks.
Contoh 6:
Diketahui cerita berikut: Pak Ali biasa ke kantor menggunakan mobil. Tentu saja jika mobilnya tidak mengalami masalah. Kalau mobilnya punya masalah, dia akan menggunakan angkutan umum. Biasanya dia mengetahui bahwa mobilnya punya masalah saat mau berangkat,
menyebabkan dia terlambat tiba di kantor. Tetapi dia juga bisa terlambat meskipun naik mobil karena jalannya macet. Gara-gara terlambat, dia tidak bisa menghabiskan kopinya, yang sudah disediakan di dapur kantor. Pagi ini terlihat kopinya sudah habis. Pertanyaan:
a. Apakah mobil pak Ali bermasalah? b. Apakah jalanan macet?
Solusi: Misalkan:
p : mobil Pak Ali bermasalah
q : Pak Ali ke kantor naik mobil
r : Pak Ali ke kantor naik angkutan umum
s : Pak Ali terlambat
t : Jalanan macet
u : Kopinya Pak Ali habis.
maka, cerita tersebut dapat dinyatakan dengan 1: p → r
2: ¬p → q
3: r → s
5: s → ¬u
6: u
Kesimpulan yang bisa diambil: 7: ¬s {Modus Tollens dari 5 dan 6} 8: ¬r {Modus Tollens dari 3 dan 7} 9: ¬p {Modus Tollens dari 1 dan 8}
Arti kalimat 9: mobil Pak Ali tidak bermasalah (Jawaban untuk pertanyaan a). Kesimpulan untuk menjawab pertanyaan b:
10: q {Modus Ponens dari 2 dan 9} 11: ¬(q Λ t) {Modus Tollens dari 4 dan 7} 12: ¬q V ¬t {Hukum de Morgan untuk 11} 13: q → ¬t {Ekuivalensi implikasi dengan 12} 14: ¬t {Modus Ponens dari 10 dan 13}
Kalimat 14 berarti Jalanan tidak macet (Jawaban untuk pertanyaan b). —————- []
Catatan Tambahan:
Hukum de Morgan:
¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q) ¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q) Ekuivalensi implikasi:
(p → q) ≡ (¬p V q)
http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/06/silogisme-modus-ponens-dan-modus-tollens.html
Modus Ponens
Modus ponen adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (argumentasi) yang paling sederhana dan dibenarkan secara kaidah logika dan mungkin adalah yang paling sering kita gunakan. Dia bekerja berdasarkan premis kalimat majemuk jika p maka q.
Contoh :
Kesimpulan : Sekarang hari libur
Premis adalah suatu pernyataan yang diketahui kebenarannya, atau dianggap benar. Dalam matematika modus Ponen dinyatakan sbb:
p→q
p
∴q
Modus Tollen
Modus Tollens adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (argumentasi) yang dibenarkan secara kaidah logika. Cara ini bekerja berdasarkan Premis berbentuk jika p maka q. Dengan mengambil kesimpulan jika tidak q maka tidak p. Modus Tollens juga disebut aturan
kontrapositif.
Kalau dituliskan dalam rumus, maka jika kita memiliki 2 premis, yaitu:
p→q
q
∴ p
Berikut contoh
Premis1 : Jika minuman keras maka minuman itu haram. Premis2 : Minuman ini tidak haram
Kesimpulan : Ini bukan minuman keras
Kesalahan Umum
Kesalahan yang sering terjadi yang saya lihat dalam diskusi-diskusi adalah sebagai berikut: Premis1 : Jika p maka q
Premis2 : Tidak p
Dalam contoh minuman keras di atas, adalah salah jika kita mengambil kesimpulan kalau itu bukan minuman keras maka tidak haram. (daging babi bukan minuman keras tetapi haram) Contoh lainnya:
Premis1 : Jika harga minyak dunia naik maka harga BBM subsidi naik. Premis2 : Harga minyak dunia turun
Kesimpulan : Harga BBM subsidi harusnya tidak naik (salah!)
Dari pernyataan jika p maka q, kita tidak bisa menarik kesimpulan kalau tidak p maka tidak q! Contoh lain:
Premis1 : Jika hujan maka tanaman basah. Premis2 : Hari ini tidak hujan
Kesimpulan : Tanaman tidak basah. (salah! mungkin saja basah karena disiram pakde) Selain modus ponen dan tollens, cara lain penarikan kesimpulan yang sah adalah dengan
silogisme, deduksi dan induksi
