MAKALAH
“ ISU-ISU PEMBELAJARAN MATEMATIKA”
MENGGANGGU IDENTITAS MATEMATIKA REMAJA BERBAKAT DENGAN KEKACAUAN EPISTEMOLOGIS
Diterjemahkan oleh:
JUNAINI
(P2A917024)
Dosen Pengampu Mata Kuliah:
Dr. Drs. Syaiful, M.Pd
Dr. Jefri Marzal, M.Sc., D.I.TPROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS JAMBI
SEMESTER GANJIL TAHUN 2017/2018
DENGAN KEKACAUAN EPISTEMOLOGIS
Paul Betts, Universitas Winnipeg, Kanada Laura Mc.Master, Miles Macdonell Collegiate, Kanada
Abstrak
Matematika secara luas dianggap sebagai disiplin universal dan tidak terbantahkan, bertentangan dengan filosofi literatur matematika. Peneliti lain telah mempertimbangkan peran potensial filsafat di sekolah, tapi ada sedikit kerja sama dengan siswa berbakat terlibat dengan isu-isu yang menyangkut sifat matematika. Kami mengembangkan sebuah filosofi dari unit matematika dimaksudkan untuk memperbesar persepsi siswa berbakat tentang sifat matematika dengan mengekspos rendering matematika yang tidak kritis dan rapi di sekolah, matematika dengan menggunakan metodologi naratif, kami menghadiri cerita siswa - siswa berbakat yang berhubungan dengan matematika, berdasarkan pada premis bahwa hubungan seseorang dengan matematika terjalin erat dengan identitas mereka. Dalam tulisan ini, kita akan fokus pada pengalaman tiga remaja berbakat selama filosofi matematika kita satuan. Kami menemukan bahwa siswa-siswa ini terganggu dan dikelompokkan di sekolah mereka. matematika dan filsafat pengalaman dan keyakinan matematika. Kami menyimpulkan itu pengalaman substantif dengan sifat matematika harus menjadi komponen reguler matematika di sekolah.
Kata kunci : filsafat matematika, siswa SMA berbakat, identitas matematis, naratif
PENGANTAR
Bagi saya, saya tidak menyukai kelabu dalam matematika. Saya menganggap matematika sebagai benar atau salah ( Dorothy, siswa SMA dalam program IB ).
Sudah diketahui bahwa matematika dianggap universal dan tidak diragukan lagi sebagai tubuh pengetahuan. Pemosisian sifat matematika di masyarakat luas tercermin dalam dokumen kurikuler dan dalam pengajaran matematika. sepengetahuan kita kurikulum direkomendasi, tidak pernah mengacu pada kemungkinan berbasis filosofis tujuan atau hasil belajar (lihat, misalnya, Dewan Guru Nasional Indonesia Matematika, 2000; Protokol Kanada Barat dan Utara, 2006; Manitoba Pendidikan, 2008). Secara massal guru percaya bahwa matematika itu mutlak, dan mereproduksi kepercayaan ini kepada siswa mereka (Philipp, 2007).
Bertentangan dengan posisi populer matematika di sekolah matematika dan yang lebih luas masyarakat, para filsuf telah memperdebatkan status epistemologis matematika. Perdebatan ini berkisar seputar pertanyaan tentang matematika sebagai sebuah tubuh mutlak pengetahuan dan jauh dari terselesaikan. Berbagai posisi fallibilist yang dimiliki telah dikembangkan oleh matematikawan (misalnya Davis & Hersh, 1981), pendidik matematika (mis., Ernest, 1998), filsuf (misalnya Lakatos, 1976), dan ilmuwan kognitif (mis.,
George Lakoff & Nunez, 2000).
berbakat bekerja dengan susah payah untuk memahami matematika sebagai sesuatu yang berantakan.
Filsafat berbasis program studi untuk anak-anak dan dewasa muda bukanlah ide baru. Misalnya, program Filsafat untuk Anak (P4C) dimulai di tahun tujuh puluhan oleh Lipman, didasarkan oleh gagasan bahwa anak-anak dan orang dewasa muda dapat berpikir secara filosofis, dan karena itu filsafat tidak boleh terdegradasi ke studi tingkat perguruan tinggi. (Lipman, Sharp, & Oscanyan, 1980). Program ini juga cenderung untuk berbagi kualitas, berikut ini: (1) pedagogi berakar pada dialog terbuka, di mana konteks, seperti sebuah cerita (misalnya, Lipman, 1988;), atau sebuah cerita yang dimulai (misalnya, Matthews, 1984) digunakan untuk memicu seorang guru-memfasilitasi diskusi tentang isu filosofis; dan (2) konten biasanya terfokus pada isu filosofis umum seperti moral, etika, kebenaran, dan jarang menganggap disiplin - isu berbasis efek dari program ini dan telah terdokumentasi dengan baik. Secara umum, program ini memperbaiki pemikiran (misalnya, Naji & Ghazinezhad, 2008) dan keterampilan siswa berbasis kurikulum lainnya (mis., Trickey & Topping, 2004).
Masalah khusus muncul saat mempertimbangkan untuk mengekspos anak-anak dan orang dewasa muda dari ide-ide filosofi matematika. Mengingat bahwa matematika dianggap sebagai (secara dangkal) absolut dalam matematika sekolah dan oleh masyarakat luas, apa yang harus didiskusikan secara filosofis? misalnya Daniel menggunakan model P4C untuk mengembangkan filosofi program matematika (disebut P4CM) untuk anak-anak dan orang dewasa muda (Daniel, Lafortune,Pallascio, & Schleifer, 1999). Cerita dengan konten matematika digunakan untuk memicu dialog terbuka tentang filsafat matematika. Mereka menemukan berbagai macam bukti bahwa partisipasi dalam P4CM bermanfaat; Misalnya, sikap negatif terhadap matematika berkurang (Lafortune, Daniel, Pallascio, & Schleifer, 1999). Lainnya telah berhasil menerapkan variasi pada P4CM. Misalnya, saat bekerja dengan siswa SMP, Martin (2008) menggunakan sebuah cerita yang mengangkat isu pembuatan sebuah kubus yang sempurna memicu percakapan tentang apakah sebuah kubus benar-benar ada; gagasan dalam percakapan para siswa ini konsisten dengan pandangan ontologis Aristoteles dan Plato.
Untuk semua program filosofis ini, pertanyaan tetap mengenai proses pengembangan pemikiran siswa yang meningkat. Secara khusus, saat berpartisipasi dalam dialog filosofis terbuka, para siswa akan secara individual memahami masalah filosofis. Mungkin akan ada perubahan dalam filosofi pribadi mereka yang informal dan implisit. Perubahan macam apa yang mungkin terjadi dan bagaimana hal itu terjadi? Pertanyaan-pertanyaan ini berlaku untuk populasi siswa yang berbakat dan umum. Secara khusus, tidak jelas bagaimana siswa berbakat akan menanggapi satu unit kegiatan yang berfokus pada isu-isu mengenai filsafat matematika. Misalnya, kami menemukan berbagai posisi siswa berbakat menuju filosofi unit matematika, termasuk kebingungan, perlawanan dan keterlibatan (McMaster & Betts, 2007).
menyesuaikan diri dengan gangguan yang dipicu oleh rendering "berantakan" dari sifat matematika. Kami akan menyarankan agar para siswa menavigasi gangguan ini dengan mengelompokkan pengalaman mereka, yang mana memungkinkan mereka untuk melindungi identitas mereka dalam kaitannya dengan matematika.
METODE PENELITIAN
Dalam proyek penelitian ini, tujuan kami adalah untuk memperluas apresiasi siswa IB kami tentang matematika. Untuk mendeteksi tujuan ini, kami menggunakan metodologi naratif ( Clandinin & Connelly, 2000) - kami berusaha untuk mendeteksi cerita identitas siswa sehubungan dengan matematika. Narasi mengasumsikan bahwa kita menggunakan cerita untuk memahami pengalaman dan pengalaman itu bertingkat (Clandinin & Connelly, 2000). Oleh karena itu, kami mencari cerita siswa yang menyarankan bagaimana mereka memposisikan diri mereka dalam kaitannya dengan gagasan yang disajikan selama filosofi unit matematika kami.
Pendekatan naratif sesuai dengan sifat pertanyaan penelitian kami. Ini Makalah merupakan hasil dari sebuah proyek awal mengenai posisi siswa berbakat dan lain-lain yang dipicu oleh pengalaman dengan sifat matematika. Kita kurang peduli dengan apa yang siswa ketahui atau pelajari tentang matematika atau sifat matematika. Sebaliknya, kami berusaha memahami peran identitas mereka (sebagai peserta didik dan siswa berbakat) saat mereka berjuang dengan gagasan baru mengenai sifat matematika. Fokus kami adalah pada pengalaman dan identitas; maka penggunaan pendekatan naratif. Berikut ini, kami menjelaskan peserta dan konteks mereka untuk studi ini, metode pengumpulan dan analisis data, dan filosofi unit matematika berdasarkan kekacauan epistemologis.
Peserta dan konteks
Para siswa yang bekerja sama dengan kami terdaftar penuh waktu dalam program Baccalaureate Internasional (IB), dan di tahun terakhir sekolah menengah mereka. Kami menganggap para siswa ini berbakat karena berkinerja tinggi secara akademis dan bermotivasi tinggi untuk menjadi sukses. Program IB adalah " menuntut kurikulum dua tahun yang memenuhi kebutuhan siswa yang sangat termotivasi "(International Baccalaureate Organization, 2005-2009c), dan oleh karena itu dianggap sebagai program studi penempatan lanjutan, menarik siswa dengan nilai tertinggi dalam studi reguler. Paling tidak, semua siswa berpendidikan akademis dewasa sebelum waktunya, berdasarkan nilai. Ketiga siswa yang kami fokuskan dalam makalah ini adalah yang terbaik dalam program IB di sekolah ini. Dorothy adalah atlet multi olahraga dengan nilai tinggi di semua mata pelajaran, dan mencetak 15% teratas dalam bahasa Inggris di antara semua program IB di dunia. Mary secara konsisten menerima nilai tertinggi dalam semua mata pelajaran di antara semua siswa dalam program IB di sekolahnya. John mendapat nilai tinggi di semua mata kuliah, dan dianggap cemerlang dalam matematika dan sains oleh gurunya.
gagasan umum (misalnya, Bentuk Plato, estetika) jika tersedia untuk diterapkan pada kasus disiplin matematika tertentu.
Pengumpulan d an Analisis Data
Cerita identitas siswa dalam kaitannya dengan matematika dibangun dari data yang dikumpulkan sebelum, selama dan setelah filsafat unit matematika. Sebelum memulai unit, kami mewawancarai setiap peserta, berusaha untuk membangun apresiasi dan sikap mereka tentang matematika. Wawancara ini mengungkapkan apa yang kita harapkan: matematika itu mutlak dan mengapa perlu mempertimbangkan aspek filosofis matematika. Dengan demikian, kami tahu di awal unit yang akan cenderung di derita siswa pengalaman dengan narasi seperti "matematika tidak dapat diakses" dan "matematika itu hitam dan putih." Kami menduga bahwa cerita-cerita ini terkait erat dengan perasaan mereka tentang ide - ide. Misalnya, Formulir Plato dapat mendukung identitas siswa "iya, matematika tidak dapat diakses." Kami juga menduga bahwa siswa perlu menegosiasikan ketegangan antara gagasan yang dikembangkan selama unit dan pengalaman hidup mereka dengan matematika yang didominasi oleh satu visi matematika saja. , yaitu, matematika adalah badan pengetahuan yang sempurna dan tidak terbantahkan.
Selama unit, kami meminta siswa menulis jurnal reflektif di akhir masing-masing kelas. Ini menjadi tujuan pedagogis: mereka memberi kita wawasan tentang pemikiran siswa untuk tujuan penilaian, memungkinkan kami memberi umpan balik kepada siswa dengan tujuan untuk mendorong penjabaran lebih lanjut dari gagasan mereka, dan digunakan untuk menampilkan gagasan siswa di kelas berikutnya. Jurnal juga digunakan untuk tujuan penelitian. Mereka menjadi sumber data untuk mendeteksi cerita identitas siswa dalam kaitannya dengan matematika. Kami juga menyimpan catatan lapangan dari percakapan menarik yang terjadi selama di kelas, yang juga berfungsi sebagai sumber data.
Setelah unit selesai, kami memilih sepuluh siswa untuk berpartisipasi secara mendalam wawancara. Kami menggunakan dua kriteria untuk memilih kandidat. Pertama, kami mencari kandidat yang sepertinya menampilkan bakat luar biasa. Meskipun hal ini cenderung berkorelasi dengan nilai, Kami mencari siswa yang menunjukkan pemikiran luar biasa selama di kelas, seperti kemampuan untuk mengembangkan ide atau ketepatan gagasan mereka. Kedua, berdasarkan jurnal dan catatan lapangan, kami mencoba memilih kandidat dengan reaksi berbeda terhadap unit. Misalnya, John secara agresif menerima Formalisme meski mulai mempertimbangkan Perwujudan di akhir unit, sedangkan Mary diam-diam memeluk Platonisme selama wawancara, sementara Dorothy tampak ragu-ragu selama wawancara tapi mempertimbangkan sementara Bukti dan Pengembalian (lihat subbagian berikut untuk deskripsi filosofis ini posisi). Wawancara terakhir berlangsung sekitar satu jam, sudah berakhir, dan fokus mendorong dan menantang siswa untuk menggambarkan dan mengembangkan pandangan mereka mengenai sifat matematika.
Kami memutuskan untuk menggambarkan kisah tiga siswa, Dorothy, Mary dan John. Kita percaya bahwa masing-masing siswa ini sangat berbeda, dan diambil secara keseluruhan mencerminkan keragaman kelas. Mereka juga termasuk yang paling berbakat dari para siswa yang berpartisipasi. Namun, terlepas dari keragaman yang menandakan sampel kecil kami, kami menemukan tema umum dalam cerita mereka, yaitu navigasi gangguan identitas mereka dalam kaitannya dengan matematika. Pada bagian selanjutnya, kami akan mencoba untuk mengilustrasikan cerita-cerita ini ke dalam navigasi gangguan.
kemudian melalui proses dialog dan pemeriksaan ulang terhadap data, kami mencapai kesepakatan mengenai setiap cerita. Perspektif kita yang berbeda seperti biasa, guru, murid dan peneliti dari luar sekolah itu saling melengkapi, dan kami percaya, menambah kepercayaan kami pada interpretasi. Dari cerita ini, kami memilih tiga untuk dianalisis lebih lanjut. Kami kemudian mencari tema cerita dari tiga kasus peserta. Pada fase kedua inilah kami sepakat mengenai tema gangguan, dan saat kami mulai mengorientasikan cerita mereka sebagai salah satu gangguan navigasi.
Sebuah Epistemologis Berantakan Filsafat Unit Matematika
Banyak matematikawan telah menggambarkan pekerjaan yang mereka lakukan dengan menggunakan metafora perjalanan atau proses, yang mendustakan presentasi matematika yang rapi yang ditemukan di sebagian besar teks ekspositori, termasuk buku teks matematika sekolah. Sebagai contoh.
Ketika ditanya bagaimana rasanya membuktikan sesuatu, matematikawan disamakan dengan membuktikan sebuah teorema untuk melihat puncak gunung dan mencoba mendaki di atasnya. Yang satu membentuk sebuah base camp dan mulai menaiki puncak gunung itu, menghadapi rintangan di setiap belokan, sering kali menapak langkahnya dan berjuang setiap kaki dari perjalanan. Akhirnya saat puncak tercapai, satu berdiri memeriksa puncak, mengambil pemandangan pedesaan sekitarnya dan kemudian mencatat jalan mobil ke sisi lain! (Kleinhenz, 2007)
Apa yang dijelaskan dalam buku teks matematika dan diajarkan di kelas matematika sekolah adalah "jalan mobil ke sisi lain," yang jelas menyembunyikan sebagian besar dari apa artinya melakukan matematika. Namun, jika siswa menghargai matematika (tujuan yang ditemukan dalam semua dokumen kurikulum yang kita sadari), maka mereka harus mengalami proses matematika. Kutipan di atas mulai mempertanyakan rendering rapi dalam melakukan matematika ada frustrasi, mulai salah, kembali pelacakan, dan banyak pencapaian dan kemunduran lainnya di sepanjang jalan. Paling tidak, pemecahan masalah lebih dari sekadar urutan langkah linier, dan selalu ada yang harus dilakukan bahkan setelah masalah dipecahkan. Ini adalah titik awal untuk mengenali sekolah itu. Pengalaman matematika menyembunyikan isu-isu filosofis. Dengan penolakan kerahasiaan ini dalam representasi matematika sekolah yang kita gunakan sebagai titik awal sifat matematika ternyata berantakan.
Kami ingin bersikap kritis terhadap visi yang rapi mengenai sifat matematika yang tampaknya ada disebarkan secara universal oleh matematika sekolah. Matematika sebagai sempurna dan tidak terbantahkan. Badan pengetahuan adalah posisi yang rapi - tidak ada ketidakpastian dan karenanya tidak berantakan. Tapi banyak filsuf mempertanyakan kepastian matematika. Misalnya, Davis dan Hersh (1981), yang matematikawan, mengemukakan bahwa matematika adalah manusia usaha, dan karenanya tunduk pada fallibilisme yang sama seperti usaha manusia lainnya. Ernest (1998) mengembangkan posisi fallibilist dengan memanfaatkan perspektif konstruktivis sosial. Meski matematika sekolah tidak secara eksplisit menyajikan filosofi matematika rapi, Ketetapan biasanya menimbulkan posisi absolutis dangkal di antara filosofi kerja pribadi siswa.
keliru). Kami kemudian mengembangkan dua posisi contoh untuk setiap kategori luas: Platonisme dan Formalisme untuk Absolutisme, dan Bukti dan Pengabaian dan Perwujudan untuk Humanisme.
Kami secara bertahap mengembangkan masing-masing posisi ini melalui serangkaian kegiatan, setiap aktivitas biasanya dibangun dari konteks matematika SMA tertentu namun diperiksa dari sebuah perspektif filosofis dan dengan sedikit perhatian untuk mengajar matematika terlibat (kami memastikan bahwa konsep matematika yang dieksplorasi sangat familiar bagi siswa). Sebuah rendisi yang berantakan untuk sifat matematika muncul dalam dua cara: masing-masing. Posisi filosofis dengan sendirinya membawa banyak kesempatan untuk mengkritik kerapihan matematika sekolah, dan ketersediaan beberapa posisi untuk sifat matematika adalah kesempatan untuk memahami filsafat matematika sebagai badan yang diperebutkan pengetahuan. Berikut ini, kami memberikan penjelasan singkat tentang masing-masing posisi, dan satu contoh aktivitas, untuk menggambarkan isi filosofi unit matematika kita [lihat Betts (2007) dan McMaster & Betts (2007) untuk deskripsi lebih rinci tentang filosofi unit matematika kita.
Platonisme adalah posisi absolutis berdasarkan "alegori gua" Plato dan "Formulir" Plato (Govier, 1997). Bentuk adalah ideal - representasi universal dari rincian yang dapat diakses oleh manusia. Alegori gua menunjukkan bahwa manusia hanya melihat bayangan kesempurnaan -menjadi bentuk dan dirantai, tidak dapat terbebas dari gua untuk mengalami kesempurnaan. Jadi, khususnya, konsep matematis, seperti fraksi ½ dan gambar garis, hanyalah representasi Formulir yang tidak sempurna untuk sebuah konsep. Matematika sekolah berpura-pura mempresentasikan gagasan seolah ideal. Garis digambar seolah-olah Ini adalah garis "sempurna", bukan sebagai representasi dari garis yang cukup baik untuk tujuan argumen matematis saat ini. Platonisme dapat memicu kritik terhadap kerapuhan matematika sekolah karena manusia tidak dapat mengakses ideal - Formulir - dan karenanya harus memperhitungkan ketidaksempurnaan representasi manusia dari sebuah gagasan matematis. Erdos, salah satu matematikawan paling produktif yang pernah ada, adalah pendukung Platonisme (Hersh, 1997).
Formalisme juga merupakan posisi Absolutis, dan didasarkan pada premis bahwa kesalahan masuk ke dalam matematika ketika gagasannya dioperasionalkan dalam konteks manusia (Hersh, 1997). Misalnya, paradoks Russell muncul karena diwakili menggunakan bahasa, dan karena itu tunduk pada fallibilitas bahasa. Matematikawan seperti Hilbert bertekad untuk memformalisasikan matematika sebagai sistem simbolis yang independen terhadap bahasa (Mancosu, 1998). Intinya, matematika adalah seperangkat simbol dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini, yang tidak memiliki makna di dunia nyata. Menurut ahli matematika Hardy saja Matematika murni, matematika yang tidak peduli dengan penerapan di dunia nyata, adalah matematika nyata (Hardy, 1992). Siswa dapat terlibat dengan gagasan bahwa matematika tidak hadir dalam paket yang sempurna; Sebaliknya, matematikawan telah bekerja keras untuk menghilangkan kesalahan dari matematika. Hardy berpendapat bahwa matematika sekolah bukanlah matematika yang sebenarnya, yang dapat mengarahkan siswa untuk mempertanyakan rendemen rapi matematika sekolah sebagai sesuatu yang menyesatkan.
logika, seperti estetika. Kedua, sebuah teorema dapat selalu mendapat sorotan, meskipun telah dikenali sebagai kebenaran oleh matematika masyarakat dengan kata lain, kita tidak akan pernah 100% yakin bahwa dugaan dan pembuktiannya benar karena sanggahan lain mungkin timbul di masa depan.
Posisi humanis lainnya, yang kita sebut Perwujudan, didasarkan pada gagasan Lakoff dan Nunez. Pembaca harus berkonsultasi dengan penulis lain untuk penjelasan lebih rinci tentang kognisi yang diwujudkan secara umum (misalnya, G. Lakoff & Johnson, 1999) dan yang berkaitan dengan matematika (misalnya, George Lakoff & Nunez, 2000). Prinsip utama adalah matematika Ide dimulai dari pengalaman kami sebagai manusia dan dibangun melalui serangkaian pemetaan metaforis. Misalnya, gagasan kontinuitas garis bilangan sebenarnya berasal dari kita pengalaman gerak. Nomor sebenarnya adalah kumpulan angka diskrit dan tak terbatas, namun juga digambarkan sebagai garis kontinyu. Kita dapat mengatur realisasi bilangan real ini karena kita dapat mengalami gerakan terus menerus antara dua titik, yang juga merupakan perjalanan dari sejumlah titik diskrit yang tidak terbatas (mis., Titik tengah). Pengalaman gerak yang diwujudkan dari A ke B secara metaforis dipetakan ke dalam pengertian interval bilangan real, seperti bilangan real 0 sampai 1. Visi matematika yang diwujudkan berantakan karena gagasan bahwa matematika itu universal,dan terlepas dari kemanusiaan benar-benar ditolak.
Salah satu kegiatan yang kami gunakan di dekat awal unit melibatkan lingkaran. Kami meminta siswa untuk memberikan lebih dari satu jawaban atas pertanyaan berikut, dan untuk dapat membenarkan jawaban mereka: Berapa banyak sisi yang dimiliki lingkaran? Kita mengetahui 5 jawaban yang berbeda dan matematis terhadap pertanyaan ini, yang mana kita akan menjelaskan tiga hal: (1) tidak ada sisi karena sisi lurus dan lingkaran melengkung; (2) satu sisi, yaitu tepi pergi sepanjang jalan di sekitar lingkaran; dan (3) tak terbatas banyak, karena lingkaran adalah kasus pembatas dari bentuk n-sisi biasa karena n mendekati tak terbatas (dalam batas, ada jumlah sisi yang tak terbatas, masing-masing memiliki panjang 0). Setelah menghasilkan daftar jawaban yang tampaknya benar secara matematis dan mencoba untuk membenarkan jawaban mana yang bisa / harus menjadi jawaban yang benar, kami meminta siswa untuk merefleksikan dan mendiskusikan apa arti situasi ini bagi sifat matematika.
Kegiatan ini memungkinkan kami mengembangkan beberapa isu filosofis, berdasarkan pada gagasan siswa. Jika, misalnya, kita memilih satu jawaban, bagaimana kita tahu dengan pasti bahwa hal itu benar, yang memungkinkan kita menunjukkan perbedaan yang luas antara Absolutisme dan Humanisme. Perbedaan muncul karena potensi untuk memilih jawaban yang itu ternyata ditolak -apakah ini berarti bahwa matematikawan akhirnya dapat menghapus semua kesalahan dengan analisis yang cermat, atau apakah matematika merupakan usaha manusia sehingga harus menjadi Keliru pengetahuan. Masalah lain muncul terkait ketidaktepatan yang harus muncul dalam menggambar lingkaran, yang mengarah ke gagasan lingkaran sempurna dan Bentuk Plato. Akhirnya, dalam perdebatan tentang jawaban mana yang harus diterima, masalah untuk menyetujui definisi sisi muncul, mengarah pada diskusi tentang heuristik Lakatos, di mana kita mempertimbangkan penolakan gagasan melalui kontra sebuah definisi.
jumlah tak terbatas dari sisi panjang nol. Tapi kita bisa mengalami lingkaran sebagai garis melengkung yang terus menerus yang berputar kembali ke dirinya sendiri, yang secara metaforis dipetakan ke definisi definisi lingkaran yang membatasi.
Contoh di atas juga menggambarkan prinsip pedagogis yang digunakan untuk menerapkannya filosofi kami tentang unit matematika. Kami mengikuti ide pengajaran yang digunakan dalam model P4C. Secara khusus, kami berusaha membangun lingkungan dimana dialog terbuka mengenai sifat matematika difasilitasi. Kami mendorong siswa untuk menyatakan dan mempertahankan posisi filosofis. Kami menolak keinginan untuk memberi tahu siswa tentang filosofi posisi orang lain atau untuk menyarankan posisi "terbaik". Kami menganggapnya sama dengan jumlah siswa yang tidak menganggap kami sebagai guru, sebagai arbiter terakhir dari posisi atau argumen filosofis yang benar. Sebaliknya, kami mencari peluang untuk memvalidasi pemikiran siswa oleh seorang siswa berpendapat bahwa contoh lingkaran di atas menunjukkan bahwa hasil matematika berubah Seiring waktu, kami menyarankan agar posisi mereka serupa dengan Lakatos. Siswa didorong untuk dan mulai mengembangkan posisi filosofis pribadi mereka mengenai sifat matematika, dan bukan sekadar mereproduksi gagasan dari kita. Penekanan pedagogis kita pada dialog dan penolakan untuk memberi sanksi pada satu posisi filosofis sebagai mahasiswa yang benar memimpin untuk memikirkan secara mendalam implikasi filosofis dari konteks matematis yang kami eksplorasi dan tentang peran mereka sendiri. pengalaman dengan matematika Siswa tidak memiliki kesulitan menerapkan pada kasus ide matematika yang sebelumnya dikembangkan dalam kursus filsafat mereka. Kami melihat siswa menunjukkan bahwa estetika merupakan pertimbangan penting, yang mengarah ke interogasi bukti sebagai satu-satunya penengah kebenaran matematika. Siswa juga sempat kritik aspek matematis dari konteks yang kita sajikan. Gagasan bahwa kita harus memutuskan makna sisi selama aktivitas lingkaran di atas dikemukakan oleh siswa tanpa disuruh dari kita, membantu siswa melihat penggunaan superfisial Humanisme dan Absolutisme. Mereka, misalnya, mulai mengenalinya bahwa falliblisme tidak sama dengan solipsisme. Yang paling penting adalah pemikiran kritis yang melekat pada pertanyaan siswa: Bagaimana kita mendapatkan pengetahuan tentang Formulir jika kita hanya bisa mengakses yang tidak sempurna - jika kita terjebak dalam gua? Mengapa tidak mungkin hasil matematis bisa dipastikan meski muncul dari pengalaman manusia? Pertanyaan-pertanyaan ini masing-masing mewakili kritik Platonisme dan sintesis Absolutisme dan Perwujudan. Para siswa, pada umumnya, terlibat dengan filosofis ide, kritik kerapihan matematika sekolah, dan mulai menghargai filosofi matematika sebagai badan pengetahuan yang diperebutkan [lihat McMaster & Betts (2007) untuk rincian lebih lanjut].
Hasil- Menjelaskan Setiap Siswa Cerita Navigasi Gangguan
tulisan ini, kami berfokus pada deskripsi yang lebih dalam tentang bagaimana tiga siswa mengarahkan gangguan identitas mereka dalam kaitannya dengan matematika. Setiap siswa memulai unit percaya bahwa matematika itu rapi dan tidak terbantahkan, dan kepercayaan ini secara implisit ditantang oleh aktivitas selama unit. Untuk setiap kasus, kami mencoba membuat kronologi untuk setiap cerita, berdasarkan identitas mereka sebelum filosofi unit matematika (sesuai pra-wawancara), selama unit (jurnal dan observasi di kelas), dan setelah unit (sebagai per post-interview)
DOROTHY
Sebelum filosofi unit matematika dimulai, Dorothy mengungkapkan kegembiraannya belajar secara umum dan matematika pada khususnya. Dia mengungkapkan kepuasan nyata dalam memperolehnya jawaban yang benar dalam matematika, itulah perasaan yang dia hargai sejak awal sekolah dasar. Dia lebih memilih cabang matematika tertentu, seperti aljabar dan trigonometri, yang lainnya seperti probabilitas, karena dia tidak suka memiliki apa yang dia sebut "pilihan" dalam probabilitas. Dia juga menyukai proses kerja melalui urutan langkah yang tepat, Dimana proses itu jelas dan linier, sebuah proses yang dia gambarkan sebagai "persis bagaimana segala sesuatu jatuh ke tempatnya." Dia ingin tahu cara kerjanya, tapi hanya menginginkannya bekerja dengan satu cara. Satu jawaban yang benar adalah apa yang dia inginkan. Pada akhir wawancara pra ini, dia menyatakan, meskipun tidak kasar, bahwa dia hanya ingin "berhenti berbicara soal matematika." Dorothy hanya tertarik bisnis melakukan matematika yang melibatkan sampai pada jawaban yang benar, dan menemukannya tidak nyaman dan bingung untuk menyelidiki masalah filosofis yang menyertainya. Dorothy membawa rendering yang rapi tentang sifat matematika: hasilnya salah atau benar, ada satu metode untuk memecahkan setiap masalah, dan setiap metode pada dasarnya adalah sebuah algoritma. Filosofi pribadi implisit Dorothy tentang matematika adalah bentuk absolutisme yang dangkal, didukung oleh kesuksesannya dengan melakukan matematika sekolah.
Selama filsafat unit matematika, Dorothy dengan bebas mengekspresikan perasaan kebingungan. Dia jelas tidak nyaman dengan perasaan ini, dan cenderung mencari simplistik resolusi untuk isu-isu yang disajikan di kelas. Misalnya, dalam sebuah jurnal awal dia menulis: "Lebih mudah menerima apa yang kita katakan daripada membantahnya." Dia sama sekali tidak ingin memasuki perdebatan ini, tapi karena dia diharuskan untuk melakukannya, dia menganjurkan untuk matematika yang sederhana dan bermanfaat dalam sebuah jurnal kemudian, dia setuju dengan posisi Humanis karena sederhana, tidak hanya dari sudut pandang matematis, tapi dari sudut pandang manusia. Dia menulis: "Kita harus membuat penyesuaian terhadap konsep matematika untuk kesederhanaan hidup belaka." Dia keberatan mendiskusikan masalah ini. Diskusi ini membuat dia frustrasi karena dia tidak melihat tujuannya. Kami percaya ini karena dia telah diindoktrinasi menjadi sasaran yang sangat berorientasi, bukan untuk melihat nilai dari diskusi berantakan yang kita lakukan di kelas.
yang berbeda dapat memanggil berbagai isu yang berbeda namun tidak berarti bahwa ada lebih dari satu jawaban atas masalah yang diminta untuk dipecahkan di kelas matematika. Dorothy tampaknya bisa mengkompartemental matematika untuk membuat diskusi ini terasa aman baginya; Artinya, kita bisa membicarakan filosofi matematika asalkan tidak mencegahnya untuk bisa mendapatkan jawaban yang benar untuk masalah matematika.
Sepanjang wawancara pasan pewawancara menantang Dorothy untuk mempertimbangkan posisinya lebih kritis, terutama kecenderungannya untuk setuju dengan Absolutisme dan Humanisme sebagai filsafat matematika yang dapat diterima. Misalnya, dia ingin matematika selalu menghasilkan satu jawaban yang benar (Absolutisme), tapi dia juga ingin matematika menjadi pribadi, di bawah kendali orang yang melakukan matematika, dan menggambarkan evolusi pengetahuan matematika dalam istilah humanis. Dia menjadi sadar bahwa posisinya tidak dapat dipertahankan, tapi ini tidak cukup baginya untuk mengubah posisinya. Kami percaya ini menggambarkan betapa dalamnya gagasannya tentang matematika.
Ketika ditantang lebih jauh untuk mempertahankan posisinya, rasa aman Dorothy, bersumber dalam mengikuti peraturan, prosedur, menggunakan rumus, dan mendapatkan jawaban yang benar, adalah terancam. Sepanjang wawancara, dia berulang kali mengganti topik pembicaraan, tertawa, menggoda, menunjukkan bahwa dia tidak peduli dengan isu yang diangkat, dan mencoba menyingkirkan pewawancara.
Sebagai contoh:
Pewawancara: Jadi tidak ada interpretasi atau pendapat dalam matematika? Dorothy: tidak [tertawa].
Pewawancara: Meski begitu Anda berbicara tentang kelabu yang masuk ke dalam filosofi matematika?
Dorothy: Ahhh oke [tertawa]. Pewawancara: giliran Anda
Dorothy: Noooo [tertawa] seharusnya tidak menjadi giliranku!
Mengingat frekuensi pertukaran ini, kami tidak yakin komentar ini acak-Dorothy sangat tidak nyaman. Pada satu titik, dia bahkan membuat batas komentar tidak pantas (i.e., "Men!") yang menargetkan pewawancara. Kami melihat ini sebagai Bukti tambahan tentang usahanya untuk keluar dari tempat yang ketat dimana dia menemukan dirinya sendiri. Selain itu, dia melihat diskusi itu sendiri bersifat agresif, bahkan mengatakan pada satu hal kepada pewawancara "You win". Muridnya tidak nyaman, defensif, dan hampir kasar. Sebuah proses yang dia temukan memuaskan dan memberi konsep dirinya matematika, proses penargetan dan kemudian mendapatkan jawaban yang benar, ditantang dengan serius, dan dia mencari cara untuk menyelamatkannya. Keinginannya untuk menghindari masalah sama sekali berhubungan erat dengan kebutuhan Dorothy untuk kontrol. Jika filosofi matematika itu Diintegrasikan ke dalam pengalaman matematisnya, dia merasa kehilangan kendali, dan secara harfiah tidak tahu harus berbuat apa. Sumber besar perasaan keberhasilan akademisnya menjadi terancam, dan konsep dirinya bersamaan dengannya. Dia mencoba untuk menghindari masalah dari filsafat matematika agar tetap terpisah dari pengalaman matematika sekolahnya.
MARY
dia lakukan di kelas matematika (dan dalam semua kursus). Dia menerima pengetahuan tentang instruktur dengan nilai nominal dan tanpa pertanyaan - matematika yang diajarkan di sekolah dikembangkan oleh para matematikawan di masa lalu dan benar tanpa pertanyaan. Tidak perlu mempertanyakan hasilnya matematika. Mary senang dengan keadaan ini karena mudah untuk mengetahui tanggapan apa yang benar, sehingga dia bisa sukses dalam hal nilai dan merasa baik tentang kerja kerasnya. Mary menganggap hasil matematis sebagai benar atau salah, yang disetujui oleh para guru sebagai komunikator karya matematikawan. Ini adalah rendering yang rapi dari sifat matematika karena hubungan sederhana antara guru dan matematikawan dan penerimaan yang tidak diragukan lagi tentang kebenaran universal dan akhir dari matematika yang dipelajari di sekolah. Bagi Mary, keyakinan tentang matematika sekolah ini mencakup semua matematika.
Konsepsi Mary tentang matematika ditantang selama filsafat unit matematika Kami mempresentasikan gagasan bahwa matematika mungkin tidak mutlak dan itu Manusia mungkin terlibat secara tak terpisahkan dengan apa yang dianggap benar dalam matematika. Sekarang, Mary harus menghadapi kemungkinan bahwa kanon matematika, yang memang demikian berhasil bereproduksi pada tes matematika, mungkin tidak begitu yakin. Dia menghadapi kemungkinan itu bahwa sifat matematika melibatkan ketidakpastian, yang menyebabkan masalah baginya keinginan untuk mendeteksi dan mereproduksi jawaban yang benar.
Mary menyesuaikan diri dengan ketidaknyamanan yang disebabkan oleh kekacauan epistemologis dalam dua cara. Pertama, dia terus matematika di lengan panjang. Misalnya, saat wawancara terakhir, dia berkata:
Saya juga setuju dengan fakta bahwa matematika selalu ada dan tidak diciptakan oleh manusia atau orang lain Saat kita, sebagai manusia, cari tahu yang baru Konsep matematis, kita benar-benar hanya menemukan sesuatu yang selalu ada
Kutipan ini mewakili posisi Mary dalam dua cara. Dia jarang menggunakan "aku" untuk menyatakan posisinya, dan saat dia melakukannya, dia kembali ke "kita" (yang jauh lebih umum), seperti jika menjauhkan diri dari posisi tersebut. Selanjutnya, kutipan tersebut mewakili keyakinan Mary bahwa matematika ada di mana-mana - itu adalah "di mana-mana." Mary dengan sengaja menempatkan matematika di luar Pengalaman pribadinya, dan satu-satunya alasan dia mengalami matematika adalah karena "kita" tidak dapat membantu menabraknya - dibutuhkan "kami" untuk "bertahan hidup." Menjaga matematika di Panjang lengannya nyaman bagi Mary. Hal ini memungkinkan dia untuk menjaga matematika sebagai tujuan dan terpisah dari kita, yang melindungi penerimaannya yang nyaman terhadap absolutisme matematika.
Cara kedua Mary menyesuaikan ketidaknyamanannya selama unit ini menjadi lambat berkomitmen untuk menjawab atau duduk di pagar. Misalnya, di jurnal pertama dia menulis: Bisa dibantah apakah matematika itu mandiri dan bisa bertindak sendiri atau jika dibutuhkan bahasa untuk eksis. Dalam jurnal terakhir, ketika diminta untuk memilih salah satu dari empat kamp tersebut, dia menulis: Filosofi matematika saya adalah Platonisme, karena ini adalah filosofi matematika yang membuat Yang paling masuk akal bagiku. Saya merasa bahwa sebenarnya tidak ada satu filsafat matematik benar sekali.
karena dia sedang mencari jawaban yang tepat untuk direproduksi oleh sekolah. Teori dari Kursus pengetahuan memperkuat gagasan bahwa pengetahuan tidak pernah pasti. Mary sedang melakukan Apa yang diajarkan sekolah kepadanya, yaitu untuk mereproduksi jawaban yang benar.
Saat Mary memang berkomitmen pada posisi itu karena ada emosi yang kuat koneksi ke zona kenyamanan dengan matematika. Di jurnal akhir, saat merenung tentang apakah matematika sekolah telah mempengaruhi keyakinannya, dia menulis:
Meskipun matematika SMA telah menjadi pengaruh besar pada keyakinan saya Platonisme, menurut saya sifat pribadi saya dan cara saya berpikir juga berkontribusi pada pandangan Platonis saya. Saya suka hal-hal yang hitam dan putih yang memberi saya pasti jawaban. Saya tidak ingin ditangkap di tanah seorang pria, karena saya tidak tahu harus berbuat apa lakukan karena saya tidak akan tahu apa hal yang benar untuk dilakukan. Platonisme mengatakan itu padaku konsep memiliki jawaban pasti Inilah yang membuat saya bahagia karena saya akan melakukannya tahu apa yang saya lakukan, dan dapat mengetahui apakah saya melakukan hal yang benar.
Pandangan Platonis tentang matematika adalah selimut keamanan untuk Mary. Selama final Wawancara, saat ditekan soal ini, dia mengakuinya. Formalisme ditolak Karena matematika kehilangan sifat sebenarnya di alam (dia mungkin khawatir bahwa matematika formal sangat abstrak sehingga dia tidak bisa lagi memahaminya) – ini adalah keselamatan menjaga matematika agak jauh. perwujudan ditolak karena matematika tidak terpisah dari manusia, dan sebagainya dia tidak bisa mempertahankan hubungan impersonal dengan matematika. Bukti dan Refutations dilindung nilai dengan kemungkinan menemukan jawaban atau penjamin bahwa "kami" tidak pernah bisa memastikan. Ini adalah posisi yang sangat emosional, dalam arti dia merasa kuat tentang menjaga matematika secara impersonal dan terpisah. Dia memilih Platonisme karena dia merasa sangat ingin merasa senang mengetahui ada yang benar jawaban bahwa dia bisa bereproduksi dengan benar.
JOHN
Sangat baik dalam mencapai 100% pada tes matematika dan ujian. Dia juga salah satu dari sedikit peserta yang menyatakan cinta sejati matematika. Selama Pra-wawancara, dia berkata, "Saya suka kenyataan bahwa dalam matematika Anda bisa mendapatkan jawaban dan jawaban.Tentu saja ... "Dia mengagumi karya matematikawan, dan merasakan kenikmatan bila kemampuannya menjadi satu-satunya di kelas matematika yang bisa memecahkan masalah yang menantang posisinya sebagai "matematikawan" dari kelas. Kata kunci yang digunakan dalam pra-wawancara adalah "nyaman." Ia menyukai matematika karena membuatnya merasa nyaman. Dia tahu apa harus dilakukan, dia pandai melakukannya, dan dia mengalami kepuasan atas pencapaiannya, jawaban unik Matematika adalah pusat dari konsep dirinya; Dia sebenarnya mengklaim hal itu terjadi di pusat "segalanya." John telah menyederhanakan sifat matematika dengan mengacaukan apa dia mengerjakan matematika di sekolah dengan karya matematikawan. Dia melihat dirinya sebagai pemecah masalah, dan keberhasilannya dalam tes matematika membuat persepsi tentang matematika ini - dia nyaman dengan persepsinya. Kenyamanan dengan sekolah matematika menghasilkan kelemahan dalam mengali potensi perbedaan antara bagaimana matematika yang diberikan disekolah dan bagaimana matematikawan memberikan pengalaman matematika.
menurut matematikawan. Dalam jurnal berikutnya, kita menemukan bukti adanya peningkatan kekhawatiran tentang matematika Kemudian di unit yang dia tulis:
Saya belajar tentang gagasan perwujudan hari ini. Saya, bagaimanapun, tidak membelinya. aku percaya bahwa kita sebagai manusia, terlepas dari pembatasan yang kita miliki dalam kenyataan dimana kita hidup, mampu mengekstrapolasi pengetahuan kita ke dalam area dan dimensi tidak dapat dibuktikan dengan kemampuan kita saat ini. Saya masih percaya dengan absolutisme.
Kata "bagaimanapun" dalam kalimat dua dan "tegas" dalam kalimat terakhir tidak diperlukan oleh John untuk mengemukakan idenya. Kehadiran mereka menunjukkan betapa pentingnya. John merasakannya untuk menekankan posisinya, dan karenanya semakin meningkatnya perhatiannya terhadap gagasan yang dipresentasikan.
Bagian dari ketidaknyamanannya berakar pada rasa hormatnya terhadap matematika dan matematikawan. Selama diskusi kelas, kita belajar bahwa John membaca tentang matematika dan matematika dari bunga ( tidak wajib sekolah membaca). Dalam salah satu jurnalnya dia menulis: "Kami punya masalah. Dan seorang matematikawan harus [penekanan tidak ditambahkan] dapat menerimanya. "Dia mengagumi matematika hebat, tetapi menemukan unsur menjadi seorang matematikawan yang berada di luar zona nyamannya. Ketidaknyamanannya dengan gagasan yang disajikan selama kegiatan kelas meningkat. Kami percaya ini karena dia telah memberikan kepadanya bukti bahwa matematika yang dia rasa nyaman tidak begitu rapi dan bersih. Jawaban yang benar dia pasti ada untuk setiap masalah dan mengambilnya Kesenangan dalam menemukan telah ditantang.
John juga menghargai pemikiran kritis - dia penasaran dengan gagasan tapi juga skeptis. Kami menemukan ini terbukti dalam sikap bertanya dan menantangnya di kelas diskusi. Kami juga menemukan ini terbukti dalam entri jurnal. Misalnya dari dua jurnalnya:
Saya merasa bahwa ini adalah topik yang sangat dalam, yang membutuhkan penjelasan lebih lanjut, dan lihatlah maju untuk menjelajahinya lebih jauh. Dan selalu ada pengecualian abstrak untuk matematika. Memang menarik untuk bertanya-tanya tentang hal itu dan menganalisa, menyadari bahwa kita mungkin tidak pernah benar-benar bisa mendapatkan sebuah jawaban. Ini adalah proses berpikir yang membuat semuanya berharga.
John menghargai pemikiran demi pemikiran. John percaya bahwa sebuah ide harus tahan terhadap kritik sebelum diterima, dan dia ingin terlibat dalam proses pemikiran kritis semacam itu. Dia menemukan kesenangan dalam terlibat dengan gagasan. Jadi, saat dia menemukan idenya untuk ditantang, dia menganggap serius tantangan ini karena dia menghargai pemikiran kritis.
Selama wawancara terakhir, penjelasan John tentang gagasannya berlanjut, didasarkan pada kegembiraannya untuk terlibat dengan gagasan. Dia melihat Mewujudkan Absolutisme sebagai proyek filosofis sebuah eksperimen pemikiran, di mana masalahnya menentukan apa yang mutlak dan apa yang diwujudkan. Misalnya, John berpendapat bahwa meskipun kesalahan mungkin timbul karena Persepsi, dan ini karena perwujudan kita, konsep yang dirasakan masih mutlak. Ketika ditantang pada gagasan ini, dia mengakui bahwa dia mungkin salah tentang "di mana Absolutisme berhenti dan perwujudan dimulai." Wawancara posnya terfokus pada pengakuannya bahwa masih ada pemikiran untuk dilakukan pada filosofinya, dan dia bersedia dan bahagia.
Kesenangan John dengan matematika sangat erat kaitannya dengan kenyamanan / kesenangannya dengan pemikiran, di mana pemikiran yang dia hargai berorientasi oleh keingintahuan tentang pemikiran murni dan oleh skeptisisme semua gagasan. Tapi absolutisme adalah satu-satunya gagasan, setidaknya pada tingkat ontologis, yang tidak dapat ditantang - pasti ada yang absolut. Misalnya, dia mencatat bahwa "... fakta bahwa kita diwujudkan ... adalah mutlak." Pada awal dari wawancara pasca, dia menggambarkan gagasan itu sebagai sesuatu yang menarik (kata yang digunakan beberapa kali di jurnalnya juga). Filosofi matematika telah menjadi otak sebuah permainan, tapi dia suka memainkan permainan pemikiran semacam ini, jadi penghiburannya dengan memikirkan gagasan "untuk bersenang-senang" melindungi dia dari gangguan kenyamanannya dengan matematika sekolah. Matematika sekolah menjadi terkotak -pengalamannya dengan matematika sekolah tetap terpisah dan terlindungi dari pemikirannya tentang sifat matematika.
KESIMPULAN
Singkatnya, Dorothy memulai dari kenyamanannya dengan absolutisme matematika, dan kemudian kekacauan filsafat matematika mengganggu kenyamanan ini. Untuk menangani Ketidaknyamanan ini, dia mencari jawaban sederhana. Misalnya, dia mencoba secara simultan setuju dan tidak setuju dengan posisi Humanis. Dia mencoba menghindari filosofi masalah matematika sama sekali Kegilaan epistemologis menggagalkan apa yang sangat disukainya tentang matematika, apa yang dia gambarkan sebagai kurangnya "kelabu." Dorothy mengalami pengalaman yang dalam ketidaknyamanan, dan untuk melindungi rasa identitasnya dalam kaitannya dengan matematika, dia kompartementalizes filsafat matematika agar tetap terpisah dari pengalamannya dengan matematika sekolah.
Mary ingin mempertahankan identitasnya dengan matematika sebagai badan pengetahuan objektif dan terpisah yang dengannya dia tidak perlu memikirkan atau merasakan secara pribadi. Bila matematika di mana-mana, objektif dan absolut yang dia senangi (karena dia bisa berhasil mereproduksinya untuk gurunya) ditantang, dia merasa tidak nyaman. Dia tidak ingin menghadapi prospek bahwa sifat matematika, yang dia senangi, mungkin tidak mewakili matematika. Dia melindungi rasa identitasnya dengan menjadi tidak komit, memenuhi syarat jawabannya, atau menjaga gagasan dari jarak jauh dari keyakinan pribadinya. Hal ini memungkinkan dia untuk mempertahankan rasa sukses - jika dia tidak melakukan, dia tidak perlu menghadapi kesalahan. Ketika dia melakukan komitmen, itu adalah untuk menjaga dan melindungi hubungan emosional yang kuat dengan matematika - yaitu, bahwa dia bahagia dengan matematika dan itu akan memungkinkannya untuk mempertahankan hubungan yang tidak pribadi dengan matematika.
kegembiraannya akan pemikiran murni membawanya untuk mensintesis perwujudan kepastian. Hal ini memungkinkan dia untuk akhirnya melindungi identitasnya dalam kaitannya dengan matematika sekolah karena pada akhirnya, ini adalah pemikiran murni yang penting dan bernilai. Matematika didasarkan pada pemikiran murni. Descartes akan bangga.
Kami ingin menyoroti beberapa fitur dari tiga kisah gangguan navigasi ini. Pertama, sebuah cerita tentang identitas dalam kaitannya dengan matematika secara intrinsik dan fundamental terikat dengan sebuah cerita identitas pada umumnya. Sifat Dorothy yang keluar adalah kisah tentang rasa tidak percayanya dalam hal filsafat matematika itu kami disajikan Ketenangan Mary adalah caranya dari mencari jawaban yang akan diam-diam merangkul dan diberikan kesempatan mereproduksi dalam ujian jika jawabannya adalah kurikulum-sanksi jawaban yang benar. Skeptisisme John adalah fundamental bagi penolakan penolakannya terhadap gagasan namun juga pengakuan akhirnya atas skeptisisme Posisi perwujudan.
Kedua, kami percaya bahwa para siswa ini mengelompokkan gangguan mereka. Teori Pengetahuan (ToK) tentu saja adalah permainan mental. Bagi Dorothy, permainannya tidak terlalu penting. Bagi Mary, dia dengan tenang memainkan permainan dengan mencari jawaban yang benar, yang absolut di kelas matematika dan "tidak ada jawaban yang benar" di ToK. John suka memainkan permainan mental untuk memperdebatkan gagasan, tapi saat di kelas matematika, dia mengerti prosedur yang disajikan dan marah pada dirinya sendiri saat dia membuat kesalahan "bodoh" pada sebuah uji - skeptisisme TofK tidak terbawa ke kelas matematika. Kami percaya ini Kompartementasi penting untuk menjaga identitas koheren dalam kaitannya dengan matematika bagi siswa-siswa ini. Jika mereka tidak mengkompartasikan pengalaman mereka tentang filosofi unit matematika kami yang berantakan, pengalaman mereka di luar unit juga akan terganggu, yang berpotensi merusak status mereka sebagai "cerdas" (matematika) siswa sebagai sanksi oleh guru mereka.
Dari hasil proyek ini, kami membuat beberapa rekomendasi. Tampaknya filosofi kita tentang unit matematika gagal memperkaya keyakinan siswa berbakat tentang sifat matematika - keyakinan mereka hanya terganggu yang menyebabkan kompartementalisasi matematika sekolah dan filsafat matematika. Tapi kami Filosofi unit matematika hanya dua minggu intervensi dibandingkan dengan 12 tahun enkulturasi menjadi visi matematika yang sempit dan rapi. Siswa berbakat ini fokus untuk mempertahankan kesuksesan mereka (nilai baca) dalam program IB. Secara khusus, guru matematika IB tahan terhadap gagasan yang dieksplorasi di unit kami, jadi "geografi" kursus matematika sekolah dan kursus TOK mungkin telah berkontribusi pada kompartementalisasi yang kami amati Mengingat lingkungan sosial dari proyek kami, mungkin matematika sebagai berantakan terlalu asing bagi siswa berbakat ini untuk kadang-kadang berubah dalam hubungan mereka dengan atau persepsi tentang matematika. Terjemahan matematika lainnya bisa digunakan untuk memperkaya framing berantakan kita tentang sifat matematika, seperti Byers (2007), yang menggunakan konsep seperti misteri dan ambiguitas untuk menggambarkan proses kunci dalam pengembangan gagasan matematis. Mungkin aktivitas itu bisa dibuat berdasarkan Misteri / ambiguitas yang beresonansi, bukannya mengganggu, sambil tetap berpeluang lebih kaya konsepsi matematika di antara siswa berbakat ini.
kurikulum mencoba menunjukkan kekayaan matematika melalui daftar proses matematis (mis., pemecahan masalah, penalaran) yang seharusnya dilakukan diresapi sepanjang pengajaran semua keterampilan dan konsep. Tapi daftar ini mudah dibingkai dengan visi sempit tentang matematika. Kami percaya bahwa dokumen kurikulum harus mendukung proses matematika penting "kritis, yang memberi sinyal tentang guru, beberapa kekacauan matematika. Tujuannya adalah kesempatan bagi siswa untuk mengalami beberapa kekacauan dalam matematika secara teratur sebagai pemecahan masalah dan selama program matematika sekolah mereka selama 12 tahun. Proses matematika pertunangan kritis dapat disahkan di seluruh sekolah selama 12 tahun, sehingga anak-anak / guru tidak mengenkulturasi / mengenkulturasi visi matematika yang sempit dan rapi.
Kami juga percaya bahwa gangguan dan kompartementalisasi dialami oleh Siswa berbakat ini adalah isu kurikuler. Semua kurikulum matematika, sepengetahuan kita, Keadaan tujuan utama adalah agar siswa menghargai produk dan proses matematika. Namun, eksplorasi yang lebih kaya tentang sifat matematika dengan sekolah tinggi berbakat siswa mengganggu identitas pribadi mereka dalam kaitannya dengan matematika. Ini adalah Karena kurikulum matematika, seperti yang diberlakukan di kelas matematika, sangat sempit visi matematika yang rapi. Sebagian besar kurikulum mencoba menunjukkan kekayaan matematika melalui daftar proses matematis (mis., pemecahan masalah, penalaran) yang seharusnya dilakukan, diresapi sepanjang pengajaran semua keterampilan dan konsep.
Tapi daftar ini mudah dibingkai" dengan visi sempit tentang matematika. Kami percaya bahwa dokumen kurikulum harus mendukung proses matematika penting "kritis, yang memberi sinyal tentang guru beberapa kekacauan matematika. Tujuannya adalah kesempatan bagi siswa untuk mengalami beberapa kekacauan dalam matematika secara teratur sebagai pemecahan masalah dan selama program matematika sekolah mereka selama 12 tahun. Proses matematika pertunangan kritis dapat disahkan selama 12 tahun, sehingga anak-anak / guru tidak mengenkulturasi / mengenkulturasi visi matematika yang sempit dan rapi.
