295
IDEAL c-MAKSIMAL DARI RING BERHINGGA
AL. Mujtahiddin
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya E-mail: al.mujtahiddin4@gmail.com
Abstrak. Ideal adalah salah satu teori yang berkaitan dengan ring. Ideal didefinisikan sebagai himpunan tak kosong dari ring
yang merupakan subgrup dari grup dengan operasi penjumlahan dan memenuhi untuk setiap elemen ideal dan elemen ring maka pergandaan antara elemen tersebut merupakan elemen ideal. Suatu ideal disebut maksimal jika ideal tersebut tidak sama dengan ring dan tidak terdapat ideal lain sedemikian sehingga ideal tersebut hanya termuat di dalam ring. Sedangkan suatu ideal dari ring berhingga disebut c-maksimal jika terdapat ideal N dari R sedemikian sehingga penjumlahan antara ideal H dan N sama dengan R dan irisan ideal H dan N adalah subring dari ideal maksimal pada R yang termuat di H. Setiap Ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal. Setiap ideal dari ring dan ideal dari subring adalah ideal c-maksimal dari subring. Ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal dari ring faktornya dan ideal dari ring faktor adalah ideal c-maksimal dari ringnya.
Kata Kunci: Ideal, Ideal c-Maksimal, Ring Berhingga
1. PENDAHULUAN
Teori yang berkaitan dengan ring adalah ideal. Ideal didefinisikan sebagai himpunan bagian tak kosong dari ring yang merupakan subgrup dari grup dengan operasi penjumlahan dan memenuhi untuk setiap elemen ideal dan elemen ring maka pergandaan antara elemen ideal dengan elemen ring merupakan elemen ideal. Suatu ideal dikatakan maksimal jika hanya jika ideal tidak termuat dalam ideal lain selain di ring.
Konsep ideal mengalami banyak perkembangan. Dalam paper Y. Wang (1996) yang berjudul
“c-Normality of Group and Its Properties” memperkenalkan konsep c-subgrup normal yang menjadi inspirasi bagi Mohammad Tashtousht (2008) untuk mengembangkannya dalam paper yang berjudul
“Weakly c-Normal and Cs-Normal Subgroups of Finite Groups”. Selanjutnya Mohammad Tashtoush dan Musa Jawarneh (2011) memperkenalkan konsep ideal c-maksimal dari ring berhingga dalam paper yang berjudul “c-Maximal Ideal of Finite Ring”. Dalam paper tersebut, diberikan adalah ring dengan ideal-idealnya. Ideal dikatakan ideal c-maksimal jika memenuhi syarat-syarat tertentu.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Misalkan adalah himpunan bagian tak kosong dari ring . disebut ideal kiri (kanan) dari R jika memenuhi:
(i) untuk setiap berlaku ,
(ii) untuk setiap dan berlaku disebut ideal kanan (kiri).
Ideal dikatakan ideal dua sisi jika memenuhi dan setiap ideal adalah subring (Rotman, 2009).
Contoh 1. Diberikanring , maka adalah ideal
kanan.
Definisi 2. Misalkan adalah ring. adalah ideal dari disebut maksimal jika ideal dan tidak terdapat ideal dari sedemikian sehingga (Grillet, 2007).
Contoh 2. Diberikan ring . adalah ideal maksimal dari .
Teorema 1. Misalkan adalah ring dengan subring . Jika , maka (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Akan dibuktikan artinya ditunjukkan bahwa (i)
296
(i) Diketahui bahwa , misalkan artinya dan
Pandang , karena maka . Karena dan adalah
subring, berlaku tertutup terhadap pergandaan sehingga dan maka . Oleh karena
itu, . Jadi terbukti bahwa .
(ii) Misalkan artinya dan . Karena , maka dengan
dan . Akan ditunjukkan Karena maka artinya , sehingga
dengan dan maka Karena dan Oleh karena itu,
dengan dan maka sehingga . Jadi terbukti bahwa
. ■
Contoh 3. Diberikan ring dengan masing-masing subringnya adalah sebagai berikut.
, . Jadi terbukti
.
Teorema 2. Misalkan adalah ring. Jika dan adalah ideal dari maka adalah ideal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: (i) Misalkan maka dengan dan dan
dengan dan , sehingga
dengan dan . Jadi (ii) Misalkan maka
dan sehingga untuk dan
dengan karena adalah ideal dan karena adalah ideal. Oleh karena itu, dan .
Berdasarkan (i) dan (ii) jadi adalah ideal dari . ■
Contoh 4. Diberikan ring dengan dan adalah ideal dari . Jadi
adalah ideal .
Teorema 3. Misalkan adalah ring dengan subring . Jika adalah ideal dari maka adalah ideal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti. (i) Misalkan artinya dan berlaku dan ,
sehingga . (ii) Misalkan artinya dan dan untuk , berlaku
dan sehingga . Berdasarkan (i) dan (ii) jadi adalah ideal dari . ■
Contoh 5. Diberikan ring dengan adalah subring dan adalah
ideal, maka adalah ideal dari .
Teorema 4. Misalkan adalah ring dengan subring dan serta ideal sedemikian sehingga
dan . jika dan hanya jika
(Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti. Diketahui sehingga dengan , , dan . Akan
dibuktikan bahwa artinya akan ditunjukkan bahwa
dan . Ambil untuk setiap .
297
maka untuk setiap dan . Serta jika
maka .
Jadi terbukti bahwa .
Diketahui . Akan ditunjukkan bahwa . Untuk setiap
terdapat , dan sedemikian sehingga .
Karena maka dengan dan . Dan untuk setiap
maka kerena dan untuk setiap maka karena . Jadi
sehingga dengan . Oleh karena itu, . ■
Contoh 6. Diberikan ring dengan subringnya yaitu dan
serta adalah ideal dari . Jadi jika dan hanya jika .
Definisi 3. Misalkan adalah ring berhingga dengan adalah ideal dari . disebut ideal
c-maksimal jika terdapat ideal dari sedemikian sehingga dan dengan
adalah ideal maksimal dari yang termuat di (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Contoh 7. Diberikan ring dengan , maka ideal adalah ideal c-maksimal dari .
Contoh 8. Diberikan ring . adalah ideal c-maksimal dari .
Teorema 5. Misalkan adalah ring. Jika adalah ideal di ring maka adalah ideal c-maksimal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Diketahui adalah ideal dari . Ditunjukkan bahwa adalah ideal c-maksimal dari . Oleh
karena adalah ideal dari dirinya sendiri maka dan . Sehingga adalah
ideal c-maksimaldari . ■
Contoh 9. Diberikan ring dan adalah setiap ideal dari .Jadi adalah ideal c-maksimal dari .
Teorema 6. Misalkan adalah ring. dan adalah subring dari . Jika adalah ideal c-maksimal dari dengan , maka adalah ideal c-maksimal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Diketahui adalah ideal c-maksimal dari . Berdasarkan Definisi 3 terdapat ideal
sedemikian sehingga dan . Akan ditunjukkan adalah ideal c-maksimal
dari . Oleh karena , berdasarkan Teorema 1 dengan
adalah ideal dari berdasarkan Teorema 3, serta
karena adalah ideal dari , sehingga . ■
Contoh 10. Diberikan ring . dan adalah subring dari . Jika
adalah ideal c-maksimal dari maka adalah ideal c-maksimal dari .
Teorema 7. Misalkan adalah ring. dan adalah masing-masing ideal dari dimana . adalah ideal c-maksimal dari jika hanya jika adalah ideal c-maksimal dari (Tashtoush dan Jawarneh, 2011).
Bukti: Diketahui adalah ideal c-maksimal dari . Berdasarkan Definisi 3 terdapat ideal dari
sedemikian sehingga dan Akan dibuktikan bahwa adalah ideal
298
adalah ideal di . .
Oleh karena itu, adalah ideal c-maksimal .
Diketahui adalah ideal c-maksimal dari . Maka terdapat dari sedemikian
sehingga dan . Akan dibuktikan adalah
ideal c-maksimal. BerdasarkanTeorema 4, maka dan . Oleh karena itu,
adalah idealc-maksimal dari . ■
Contoh 11. Diberikan ring dengan dan adalah ideal dari
. Jadi adalah ideal c-maksimal dari jika dan hanya jika adalah ideal c-maksimal dari .
3. KESIMPULAN
Misalkan adalah ring beringga dengan adalah ideal dari . disebut ideal c-maksimal jika
terdapat ideal sedemikian sehinga dan dengan adalah ideal maksimal
yang termuat di . Serta berdasarkan pembahasan yang telah disajikan, maka dapat disimpulkan bahwa 1. setiap ideal dari ring berhingga adalah idealc-maksimal,2. ideal dari ring berhingga dan ideal dari subringnya adalah ideal c-maksimal dari subring, 3. ideal dari ring berhingga adalah ideal c-maksimal dari ring faktornya dan sebaliknya ideal dari ring faktor adalah ideal c-maksimal dari ringnya.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Bambang Sugandi, Ibu Ari Andari dan Ibu Vira Hari Krisnawati atas bimbingan, saran, ilmu serta kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
5. DAFTAR PUSTAKA
Grillet, P.A, (2007), Abstract Algebra 2nd, Springer, New York.
Rotman, J. J, (2003), Advance Modern Algebra, Prentice Hall, New Jersey.
