SUBGRUP
�
-NORMAL DAN SUBRING
�
�-MAX
Kristi Utomo1, Nikken Prima Puspita2, R. Heru Tjahjana3,
Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
ABSTRACT. For any group ,∗ , subgroup of is called �-normal subgroup if there
exist a normal subgroup � of such that ∗ � = and ∩ � ≤ � where � is maximal
normal subgroup of which is contained in . On the other side, for each ring �, +,∙ ,
subring of � is called �-max subring if there exist an ideal � of � such that + � = �
and ∩ � ≤ � where � is maximal ideal of � which is contained in . Subgroup normal
of is �-normal subgroup if and only if is maximal normal subgroup and ideal of � is
�-max subring if and only if is maximal ideal. Every group and ring is �-normal
subgroup and �-max subring of itself.
Keywords: maximal normal subgroup, �-normal subgroup, maximal ideal, �-max subring.
I. PENDAHULUAN
Teori grup dan ring merupakan dua struktur aljabar yang paling banyak dipelajari. Dalam perkembangannya muncul berbagai konsep baru yang telah dikemukakan oleh para
ilmuwan. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong , dengan suatu operasi biner ∗
yang memenuhi kondisi: (1) memenuhi sifat asosiatif, (2) eksistensi elemen identitas, (3)
eksistensi elemen invers [1]. Ring merupakan himpunan tak kosong � dengan dua operasi
biner, yaitu penjumlahan + dan perkalian ∙ , dan memenuhi kondisi: (1) � merupakan
grup abelian terhadap operasi penjumlahan, (2) � merupakan semigrup terhadap operasi
perkalian, (3) memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian [2]. Beberapa konsep yang merupakan pengembangan dari teori
grup dan ring adalah subgrup �-normal dan subring �-max.
Konsep subgrup �-normal pertama kali dipopulerkan oleh Yanming Wang [3] pada
tahun 1994. Subgrup disebut subgrup �-normal dari grup , jika terdapat subgrup normal
� dari sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ �, dengan � merupakan subgrup
normal maksimal dari yang termuat di dalam .
Konsep subgrup �-normal pada grup menjadi dasar pemikiran terbentuknya struktur
pada ring yang disebut subring �-max yang dikemukakan oleh Yildiz Aydin dan Ali Pancar
[4]. Subring disebut subring �-max, jika terdapat ideal � atas � sedemikian sehingga
+ � = � dan ∩ � ≤ �, dengan � merupakan ideal maksimal atas � yang termuat di
II. HASIL DAN PEMBAHASAN
2.1 Subgrup �-normal
Subgrup �-normal merupakan bentuk khusus dari subgrup yang diperoleh dari
pengaitan antara subgrup dan subgrup normal dari suatu grup.
Definisi 2.1.1 [3] Diberikan grup ,∗ dan subgrup dari . Subgrup disebut subgrup �
-normal dari grup asalkan terdapat subgrup -normal � dari grup sedemikian sehingga
∗ � = dan ∩ � ≤ �, dimana � adalah suatu subgrup normal maksimal dari
yang termuat dalam .
Setiap subgrup normal maksimal merupakan subgrup �-normal, seperti yang
diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 2.1.2 Diberikan grup ,∗ dan subgrup normal dari . Subgrup normal
merupakan subgrup �-normal dari jika dan hanya jika merupakan subgrup normal
maksimal dari .
Bukti:
Diketahui merupakan subgrup �-normal dari , maka terdapat subgrup normal � dari
sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ �. Oleh karena � adalah subgrup normal
maksimal dari yang termuat di dalam , maka haruslah � = . Dengan demikian
merupakan subgrup normal maksimal dari . Sebaliknya, diketahui adalah subgrup normal
maksimal dari . Oleh karena � merupakan subgrup normal maksimal dari yang termuat
di dalam , maka = �. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa terdapat subgrup
normal � = sedemikian sehingga ∗ = dan ∩ ≤ = �. Jadi terbukti bahwa
merupakan subgrup �-normal dari . ∎
Berikut ini diberikan akibat dari Teorema 2.1.2 yang menerangkan subgrup normal
sebagai subgrup �-normal dan grup grup faktornya:
Akibat 2.1.3 Diberikan grup ,∗ dan merupakan subgrup normal dari . Subgrup
normal merupakan subgrup �-normal dari jika dan hanya jika grup faktor ⁄ adalah grup simple.
Bukti:
Diketahui subgrup normal merupakan subgrup �-normal dari . Berdasarkan Teorema 3.2,
maksimal, maka grup faktor ⁄ adalah grup simple. Sebaliknya, diketahui grup faktor ⁄
adalah grup simple, maka merupakan subgrup normal maksimal dari . Oleh karena
merupakan subgrup normal maksimal, maka berdasarkan Teorema 2.1.2, merupakan
subgrup �-normal dari . ∎
Berikut ini diberikan lemma mengenai pengaitan antara beberapa subgrup dari suatu grup dan grup faktor:
Lemma 2.1.4 [4] Diberikan grup ,∗ dan , , merupakan subgrup dari . Jika ≤ ,
maka ∩ ∗ = ∗ ∩ .
Lemma 2.1.5 [4] Diberikan grup ,∗ dan adalah subgrup dari sedemikian sehingga
� ≤ ≤ dengan � adalah subgrup normal dari yang memenuhi � ≤ � ≤ dimana �
adalah subgrup normal dari . Grup = ∗ � jika dan hanya jika ⁄ =� ⁄� ∗
� �⁄ .
Berikut ini diberikan teorema mengenai grup faktor dan subgrup �-normal dari grup
faktor:
Teorema 2.1.6 [3] Diberikan grup ,∗ , subgrup dari dan � adalah subgrup normal
dari yang memenuhi � ≤ . Subgrup merupakan subgrup �-normal dari jika dan
hanya jika ⁄� adalah subgrup �-normal dari ⁄�.
Bukti:
Diketahui merupakan subgrup �-normal dari , maka terdapat subgrup normal � dari
sedemikian sehingga = ∗ � dan ∩ � ≤ �. berdasarkan Lemma 2.1.5 diperoleh
�
⁄ = ⁄� ∗ � ∗ � �⁄ . Berdasarkan Lemma 2.1.4 diperoleh ∩ � ∗ � ⁄ =�
� ∗ ∩ � ⁄ ≤ � ∗� � ⁄� dengan � ∗ � ⁄� merupakan subgrup normal maksimal
dari ⁄� yang termuat di dalam ⁄�. Dengan demikian diperoleh ⁄� � �⁄ =
� ∗ � ⁄� sedemikian sehingga ⁄� ∩ � ∗ � �⁄ ≤ ⁄� � �⁄ . Jadi, terbukti bahwa
�
⁄ adalah subgrup �-normal dari ⁄�. Sebaliknya diketahui ⁄� adalah subgrup �
-normal dari ⁄�, maka terdapat ideal � �⁄ sedemikian sehingga ⁄ =� ⁄� ∗ � �⁄
dan ⁄� ∩ � �⁄ ≤ ⁄� � �⁄ . Dari Lemma 2.1.5 diperoleh = ∗ �. Oleh karena
�
⁄ ∩ � �⁄ ≤ ⁄� � �⁄ , diperoleh ∩ � ≤ �. Jadi, terbukti bahwa adalah
subgrup �-normal dari . ∎
Selanjutnya diberikan definisi dan teorema mengenai grup yang tidak memiliki
Definisi 2.1.5 [1] Diberikan grup ,∗ . Grup disebut �-simple asalkan tidak mempunyai
subgrup �-normal kecuali {�} dan sendiri.
Teorema 2.1.6 [1] Diberikan grup ,∗ . Grup merupakan �-simple jika dan hanya jika adalah grup simple.
Bukti:
Diketahui adalah grup �-simple, maka subgrup �-normal dari hanya {�} dan sendiri.
Oleh karena subgrup �-normal dari hanya {�} dan sendiri, maka {�} merupakan subgrup
normal maksimal dari . Oleh karena {�} merupakan subgrup normal maksimal, maka tidak
ada subgrup normal lain yang memuat {�} kecuali dan {�} sendiri. Dengan demikian
subgrup normal dari hanya {�} dan sendiri. Jadi terbukti bahwa adalah grup simple.
Sebaliknya, diketahui merupakan grup simple. Oleh karena adalah grup simple, maka {�}
merupakan satu-satunya subgrup normal maksimal dari . Misalkan bukan grup �-simple,
maka terdapat subgrup �-normal dari dengan {�} < < . Terdapat subgrup normal
� = , sedemikian sehingga ∗ � = dan ∩ � ≤ � dengan � merupakan subgrup
normal maksimal dari yang termuat di dalam . Oleh karena satu-satunya subgrup normal
maksimal dari hanyalah {�}, maka � = {�}. Oleh karena � = {�} ≤ dan ∩ � =
∩ = ≤ {�}, maka = {�}. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa bukan �
-simple grup. Jadi terbukti bahwa adalah �-simple grup. ∎
2.2 Subring ��-max
Subring �-max merupakan merupakan bentuk khusus dari subring dari suatu ring
yang diperoleh dari pengaitan antara subring dengan ideal.
Definisi 2.2.1 [5] Diberikan ring �, +,∙ dan subring dari �. Subring disebut subring
�-max dari ring � asalkan terdapat ideal � dari ring � sedemikian sehingga + � = �
dan ∩ � ≤ �, dimana � adalah ideal maksimal dari � yang termuat dalam .
Setiap ideal maksimal dari suatu ring merupakan subring �-max, seperti yang
diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 2.2.2 [5] Diberikan ring �, +,⋅ dan sebagai ideal dari ring �. Ideal
merupakan subring �-max dari � jika dan hanya jika adalah ideal maksimal dari �.
Bukti:
Diketahui ideal merupakan subring �-max dari ring �, maka terdapat ideal � dari �
dari � yang termuat di dalam maka haruslah � = . Jadi terbukti bahwa adalah ideal
maksimal dari �. Sebaliknya, diketahui adalah ideal maksimal dari �. Oleh karena �
merupakan ideal maksimal dari � yang termuat di dalam , maka � = . Selanjutnya
terdapat ideal � sedemikian sehingga + � = � dan ∩ � ≤ �. Jadi, terbukti bahwa
merupakan subring �-maxdari ring �. ∎
Berikut ini diberikan beberapa akibat dari Teorema 2.2.2 yang menerangkan
hubungan ideal, ring faktor dan subring �-max:
Akibat 2.2.3 [5] Jika �, +,⋅ merupakan ring dengan elemen satuan, maka setiap ideal dari
� termuat di dalam subring �-max dari �.
Bukti:
Diketahui � ring dengan elemen satuan, maka � memiliki minimal dua ideal trivial. Oleh
karena setiap ideal dari � termuat dalam suatu ideal maksimal dan berdasarkan Teorema
2.2.2 setiap ideal maksimal dari � adalah subring �-max dari �, maka ideal dari � termuat
di dalam subring �-max. Jadi terbukti bahwa setiap ideal dari � termuat di dalam subring
�-max dari �. ∎
Akibat 2.2.4 [5] Diberikan ring �, +,⋅ dan merupakan ideal dari �. Ideal merupakan
subring �-max dari � jika dan hanya jika ring faktor �⁄ adalah ring simple.
Bukti:
Diketahui ideal merupakan subring �-max dari �, maka berdasarkan Teorema 2.2.2
adalah ideal maksimal dari �. Oleh karena adalah ideal maksimal, maka �⁄ merupakan
lapangan. Oleh karena �⁄ lapangan, maka ideal dari �⁄ hanya {0} dan �⁄ . Jadi
terbukti bahwa �⁄ merupakan ring simple. Sebaliknya, diketahui �⁄ adalah ring simple,
maka ideal dari �⁄ hanya � �⁄ = {�̅} dan �⁄ . Oleh karena ideal dari �⁄ hanya � �⁄ =
{�̅} dan �⁄ , maka �⁄ merupakan lapangan. Oleh karena �⁄ adalah lapangan, maka
merupakan ideal maksimal dari �. Berdasarkan Teorema 2.2.2, merupakan subring �
-max dari �. ∎
Berikut ini diberikan beberapa lemma mengenai pengaitan subring dengan subring, subring dengan ideal, dan ring faktor:
Lemma 2.2.5 [4] Diberikan ring �, +,⋅ dan , , adalah subring dari �. Jika ≤ ,
Lemma 2.2.6 [4] Diberikan ring �, +,⋅ . Jika adalah subring di � dan suatu ideal di �,
maka ∩ adalah ideal dari .
Lemma 2.2.7 [4] Diberikan ring �, +,⋅ dan adalah subring dari � sedemikian sehingga
� ≤ ≤ � dengan � adalah ideal yang memenuhi � ≤ � ≤ � dimana � adalah ideal dari
�. Ring � = + � jika dan hanya jika � �⁄ = ⁄� + � �⁄ .
Berikut ini diberikan teorema mengenai subring �-max dari suatu ring dan suatu
local subring:
Teorema 2.2.8 [5] Diberikan ring �, +,⋅ . Diketahui subring dari � dan � adalah local
ring yang memenuhi ≤ � ≤ �. Jika adalah subring �-max dari �, maka adalah
subring �-max dari �.
Bukti:
Misalkan merupakan subring �-max dari � dan ≤ � ≤ �, maka terdapat ideal � dari
� yang memenuhi + � = � dan ∩ � ≤ �. Oleh karena � ≤ �, maka berdasarkan
Lemma 2.2.5 diperoleh � = � ∩ � = � ∩ + � = + � ∩ � . Oleh karena � subring
dan � ideal dari �, maka berdasarkan Lemma 2.2.6 � ∩ � merupakan ideal dari � dan ∩
� ∩ � = ∩ � ∩ � ≤ �∩ �. Oleh karena � lokal, maka terdapat ideal maksimal
tunggal � dari �. Oleh karena ≤ � ≤ �, maka ∩ � ∩ � = ∩ � ∩ � = ∩ � ≤
�. Oleh karena � adalah ideal maksimal tunggal dari �, maka ∩ � ∩ � ≤ �∩ �≤
�. Dengan demikian � merupakan ideal maksimal dari � yang termuat di dalam . Jadi
terbukti bahwa merupakan subring �-max dari �. ∎
Selanjutnya diberikan teorema mengenai sifat subring �-max pada ring faktor
sebagai berikut:
Teorema 2.2.9 [5] Diberikan ring �, +,⋅ , subring dari � dan � adalah ideal dari �
sedemikian sehingga � ≤ . Subring adalah subring �-max dari � jika dan hanya jika
�
⁄ adalah subring ⁄� � �⁄ -max dari � �⁄ .
Bukti:
Diketahui adalah subring �-max dari �, maka terdapat ideal � dari � sedemikian
sehingga � = + � dan ∩ � ≤ �. Oleh karena � = + � dan ∩ � ≤ �, maka
berdasarkan Lemma 2.2.7 diperoleh � �⁄ = ⁄� + � + � �⁄ dan berdasarkan
Lemma 2.2.5 diperoleh ∩ � + � ⁄ = � +� ∩ � ⁄ ≤ � +� � ⁄� dimana
diperoleh ⁄� � �⁄ = � + � ⁄�, sedemikian sehingga ⁄� ∩ � + � �⁄ ≤ �
⁄ � �⁄ . Jadi, terbukti bahwa ⁄�adalah subring ⁄� � �⁄ -maxdari � �⁄ . Sebaliknya,
diketahui ⁄�adalah subring ⁄� � �⁄ -maxdari� �⁄ , maka terdapat ideal � �⁄ dari � �⁄
sedemikian sehingga � �⁄ = ⁄� + � �⁄ dan ⁄� ∩ � �⁄ ≤ ⁄� � �⁄ . Oleh
karena � �⁄ = ⁄� + � �⁄ , maka diperoleh � = + �. Oleh karena ⁄� ∩
� �⁄ ≤ ⁄� � �⁄ , diperoleh ∩ � ≤ �. Jadi, terbukti bahwa adalahsubring �-max
dari�. ∎
III. KESIMPULAN
Dari pembahasan dalam subbab sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa subgrup disebut
subgrup �-normal, asalkan terdapat subgrup normal � dari sedemikian sehingga ∗ � =
dan ∩ � ≤ �, dengan � merupakan subgrup normal maksimal dari yang termuat di
dalam . Subgrup normal merupakan subgrup �-normal dari jika dan hanya jika
merupakan subgrup normal maksimal dari dan grup faktor ⁄ adalah grup simple.
Subgrup yang memenuhi � ≤ dengan � ⊴ merupakan subgrup �-normal dari jika
dan hanya jika ⁄� adalah subgrup �-normal dari ⁄�. Grup yang hanya mempunyai
subgrup �-normal {�} dan dirinya sendiri disebut grup �-simple.
Subring disebut subring �-max dari ring � asalkan terdapat ideal � dari � sedemikian
sehingga + � = � dan ∩ � ≤ �, dimana � merupakan ideal maksimal dari � yang
termuat di dalam . Ideal merupakan subring �-max dari � jika dan hanya jika
merupakan ideal maksimal dari � dan ring faktor �⁄ merupakan ring simple. Setiap ideal
termuat dalam subring �-max dari �. Jika merupakan subring �-max dari � yang
memenuhi ≤ � ≤ �, dimana � adalah local subring dari �, maka merupakan subring
�-max dari �. Subring yang memenuhi � ≤ dengan � adalah ideal dari merupakan
subring �-max dari � jika dan hanya jika ⁄�adalah subring ⁄� � �⁄ -max dari� �⁄ .
IV. DAFTAR PUSTAKA
[1] Fraleigh, John B. 2003. A First Course In Abstract Algebra, Seventh Edition. University
of Rhode Island. United State.
[2] Gilbert, Jimmie and Linda Gilbert. 1984. Element of Modern Algebra. Prindle. Webel and
[3] Yanming Wang. 1994. -Normality of Groups and Its Properties. Journal of Algebra. 180: 954-965.
[4] T. W. Hungerford. 1973. Algebra. Springer-Verlag Press. New York.
[5] Yildiz Aydin and Ali Pancar. 2012. On Subrings of Rings. International Journal of
