GRUP MATHIEU M11, M12, M22, M23 DAN M24
Oleh Angga Wijaya
1017031001
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
GRUP MATHIEU M11, M12, M22, M23 DAN M24
Oleh
ANGGA WIJAYA
Grup sederhana merupakan grup yang tidak memiliki subgrup normal sejati selain
subgrup trivial. Grup Mathieu Mi(untuk i bilangan asli) merupakan subgrup dari
grup simetri Si dengan aturan sistem Steiner . Penelitian ini bertujuan
untuk membuktikan bahwa grup Mathieu M11, M12, M22, M23 dan M24 adalah grup
sederhana. Dalam pembahasan dibuktikan bahwa setiap grup aksi faithfully dan
-transitif yang stabilizer satu titiknya adalah grup sederhana, merupakan
grup sederhana atau memiliki subgrup normal reguler . Sementara itu dengan
teorema Sylow subgrup dibuktikan M11 adalah grup sederhana. Dari hasil
penelitian diperoleh bahwa M22 yang memiliki stabilizer satu titik , M23
yang memiliki stabilizer satu titik M22, M24 yang memiliki stabilizer satu titik M23,
M12 yang memiliki stabilizer satu titik M11 dan M11 adalah grup sederhana.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK ... i
HALAMAN JUDUL ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA ... v
RIWAYAT HIDUP ... vi
MOTTO ... viii
PERSEMBAHAN ... ix
SANWACANA ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR SIMBOL ... xiv
I. PENDAHULUAN ... 1
1.1Latar Belakang ... 1
1.2Tujuan Penelitian ... 3
1.3Manfaat Penelitian ... 3
1.4Batasan Masalah ... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA ... 4
2.1Teori Grup ... 4
2.2Grup Permutasi ... 15
2.3Teori Grup Aksi ... 17
2.4Grup Sylow ... 19
xiii
2.6Sistem Steiner dan Grup Mathieu ... 24
III. METODE PENELITIAN ... 27
3.1Waktu dan Tempat Penelitian ... 27
3.2Metode Penelitian ... 27
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 29
V. SIMPULAN DAN SARAN ... 51
5.1Simpulan ... 51
5.2Saran ... 51
DAFTAR PUSTAKA
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Grup merupakan salah satu struktur aljabar dengan satu himpunan yang
dilengkapi satu operasi biner yang memenuhi aksioma asosiatif, terdapat elemen
identitas dan setiap elemennya memiliki invers terhadap operasi biner tersebut.
Jika berlaku sifat komutatif pada suatu grup, maka grup tersebut dinamakan grup
Abel (grup komutatif). Berdasarkan banyaknya elemen di dalamnya, grup dibagi
menjadi grup tak berhingga dan grup berhingga.
Teori grup dan aplikasinya semakin berkembang setelah pertengahan abad ke-19.
Pada saat itu, ide grup masih dianggap baru. Berkaitan dengan grup berhingga,
metode sederhana yang pertama untuk mengkonstruksi grup berhingga adalah
dengan mengamati grup permutasi. Informasi dan klasifikasi tentang grup
berhingga secara khusus ditulis dalam buku Atlas of Finite Group salah satunya
adalah tulisan J. Conway ilmuwan Matematika dari Inggris. Banyak ilmuwan
Matematika yang tertarik pada penelitian tentang grup berhingga, khususnya grup
berhingga sederhana (finite simple group). Grup sederhana (simple grup) adalah
grup yang hanya memiliki subgrup normal trivial dan dirinya sendiri.
Grup berhingga sederhana diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis, antara lain
2
sederhana dan 26 grup khusus yang disebut grup sporadik. Kelima grup Mathieu
yang terdiri dari dan adalah grup sporadik pertama yang
ditemukan. Mathieu menemukan grup ini saat ia sedang mengidentifikasi multi
transitivitas pada suatu grup dan sebelumnya ia tidak mengetahui bahwa grup ini
adalah grup sederhana. Penelitian dilanjutkan oleh Ernest Witt pada tahun 1930
dalam pembahasan mengenai sistem Steiner . Dari penelitian ini
diperoleh bahwa grup Mathieu terbesar merupakan automorfisme grup dari
sistem Steiner tersebut.
Berdasarkan survei mengenai grup sporadik yang ditulis oleh Luis J. Boya, bahwa
grup sporadik diklasifikasikan menjadi tiga level yaitu 5 grup Mathieu (level 1), 7
grup tipe Lie (level 2), dan 8 grup tipe Monster (level 3). Ketiga level grup
sporadik ini memiliki hubungan sebagai subkuosien dari Monster, sehingga
kumpulan grup ini disebut “The happy family” oleh Robert Griess, penemu grup
Monster. Selain grup “The happy family”, terdapat 6 grup sporadik yang tidak
memiliki hubungan subkuosien dengan Monster. Keenam grup ini disebut grup
Pariah.
Demi proses pembelajaran dan penelitian yang maksimal, penulis memilih topik
“Grup Mathieu dan ” sebagai pengkajian awal tentang
grup sporadik dan klasifikasinya. Dalam penelitian ini akan diberikan bukti bahwa
1.2 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan bahwa dan
adalah grup sederhana.
1.3 Manfaat
Manfaat dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan mengenai grup
berhingga sederhana khususnya grup Mathieu.
1.4 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah grup Mathieu dan
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung
proses penelitian.
2.1 Teori Grup
Definisi 2.1.1 Operasi Biner
Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah fungsi yang memetakan dari
ke . Untuk setiap , dinotasikan sebagai di
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.2
Diberikan himpunan bilangan komposit (himpunan bilangan bulat yang lebih
besar dari 1 dengan banyaknya faktor positif lebih dari 2), dilengkapi dengan
operasi pangkat dengan untuk setiap didefinisikan . Himpunan dan operasi merupakan contoh himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner.
Bukti.
adalah bilangan prima yang berbeda, sehingga memiliki faktor
positif sebanyak , maka dengan , memiliki faktor positif sebanyak
. Akibatnya
merupakan bilangan komposit. Jadi operasi tertutup dalam ,
sehingga merupakan operasi biner dalam .
Operasi biner yang diperlengkapi pada suatu himpunan akan menjamin
ketertutupan operasi elemen – elemen dalam himpunan tersebut. Lebih lanjut jika
memenuhi aksioma – aksioma berikut, maka akan membentuk suatu struktur
aljabar yang disebut grup.
Definisi 2.1.3 Grup
Suatu grup adalah himpunan , tertutup atas operasi biner , sedemikian sehingga memenuhi aksioma – aksioma :
1. Untuk semua , berlaku
(sifat asosiatif operasi ).
2. Terdapat suatu elemen identitas sedemikian sehingga
untuk semua , berlaku
(identitas atas operasi ).
3. Untuk setiap , terdapat suatu elemen di sedemikian sehingga
6
Jika suatu himpunan dan operasi binernya hanya memenuhi aksioma 1, maka
disebut semigrup. Suatu semigrup yang memenuhi aksioma 2 disebut monoid
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.4
Himpunan string dengan panjang minimal 1 digit yang dibentuk dari {0,1},
dilengkapi dengan operasi biner didefinisikan sebagai gabungan dua string adalah contoh semigrup.
Bukti.
Untuk sebarang dengan dan ,
{ } dan , berlaku
dengan panjang string , sehingga sifat
tertutup operasi terpenuhi. Misalkan dengan , { }
, sehingga
.
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi. Akibatnya, himpunan dengan operasi biner
Contoh 2.1.5
Himpunan kuasa dari himpunan , dilengkapi dengan operasi biner irisan himpunan merupakan monoid. Elemen identitas dalam monoid ini adalah .
Bukti.
Diberikan sebarang . Oleh karena itu, . Sehingga, . Akibatnya, (sifat tertutup terpenuhi). Selanjutnya,
akan ditunjukkan sifat asosiatif, yaitu . Diberikan sebarang
dan
dan
dan
sehingga . Dengan cara yang serupa, diperoleh
.
Akibatnya, (sifat asosiatif terpenuhi). Pilih , oleh karena untuk setiap , berlaku
dan maka
.
Akibatnya, merupakan elemen identitas di terhadap operasi . Jadi, himpunan kuasa dari himpunan dengan operasi irisan himpunan
8
Contoh 2.1.6
Himpunan matriks berorde dengan entri bilangan riil yang memiliki invers,
, yang dilengkapi dengan operasi biner “perkalian matriks” adalah
grup.
Bukti.
Diberikan sebarang sehingga .
Oleh karena , maka . Akibatnya, invertibel. Dengan kata lain (sifat tertutup terpenuhi). Sifat asosiatif jelas terpenuhi sebab . Jelas bahwa matriks merupakan elemen identitas dalam . Oleh karena untuk setiap
, terdapat invers dari yaitu sedemikian sehingga
, maka setiap elemen di memiliki invers di .
Jadi, membentuk grup dengan operasi biner perkalian matriks.
Operasi biner dalam grup memiliki kemungkinan bersifat komutatif, yaitu
untuk setiap berlaku . Hal ini yang mendasari didefinisikannya grup Abel sebagai berikut.
Definisi 2.1.7 Grup Abel (komutatif)
Suatu grup dikatakan grup Abel (komutatif) jika dan hanya jika operasi biner
Contoh 2.1.8
Himpunan didefinisikan sebagai himpunan matriks diagonal berorde
yang invertibel dengan entri bilangan riil, yang dilengkapi dengan operasi
biner “perkalian matriks” merupakan contoh grup Abel.
Bukti.
Diberikan sebarang dengan dan berturut – turut adalah entri matriks dan . Sehingga, untuk , diperoleh dan .
Sementara itu, untuk , diperoleh dan . Misalkan adalah entri matriks dengan ∑ .
Sehingga, untuk :
jika maka tetapi , sehingga , jika maka tetapi , sehingga , jika dan maka , sehingga .
Jadi, untuk dapat disimpulkan ∑ . Untuk :
jika dan maka dan , sehingga ,
jika dan maka , sehingga . Jadi, untuk dapat disimpulkan ∑ .
Akibatnya, (sifat tertutup terpenuhi).
10
Jelas bahwa matriks merupakan elemen identitas dalam .
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di dalam memiliki
invers. Untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga
, dengan entri matriks adalah
. Jadi, telah
ditunjukkan bahwa adalah grup.
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat komutatif dalam . Diberikan sebarang
dengan entri matriks dan entri matriks , dan
untuk . Misal entri matriks dan entri matriks , dengan
∑ ∑ . Sehingga, . Akibatnya berlaku
sifat komutatif pada . Jadi, dengan operasi biner perkalian matriks merupakan grup Abel.
Definisi 2.1.9 Grup Abel Dasar
Grup Abel dasar adalah grup Abel berhingga dengan setiap elemen tak nol
memiliki orde prima (Dummit, 2004).
Contoh 2.1.10
Diberikan { } dengan operasi biner * penjumlahan modulo 2, maka adalah grup Abel dasar.
Himpunan bagian dari suatu grup belum tentu memenuhi keempat aksioma –
aksioma grup. Jika himpunan bagian tersebut memenuhinya maka disebut subgrup
Definisi 2.1.11 Subgrup
Jika suatu himpunan bagian dari grup tertutup atas operasi biner dari dan
adalah grup dengan operasi biner tersebut, maka adalah subgrup dari yang
dinotasikan dengan atau (Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.12
Diketahui { } merupakan grup dengan operasi biner penjumlahan modulo 6. Misalkan { }. Jelas bahwa . Dengan operasi biner yang sama , akan membentuk grup sehingga .
Dalam teori himpunan telah dikenal istilah himpunan bagian sejati dan himpunan
bagian trivial. Oleh karena grup dibentuk dari suatu himpunan, maka dapat
didefinisikan subgrup sejati dan subgrup trivial sebagai berikut.
Definisi 2.1.13 Subgrup Sejati dan Trivial
Jika adalah grup, maka sendiri adalah subgrup tak sejati dari . Semua
subgrup yang lainnya dari disebut subgrup sejati. Dengan kata lain, adalah
12
Contoh 2.1.14
Diberikan adalah grup, dengan { }.
Misal { }. Dengan operasi , akan membentuk grup. Sehingga adalah subgrup dari . Karena , maka adalah subgrup sejati dari atau .
Dalam suatu grup, terdapat subgrup khusus seperti subgrup normal, karena
memiliki kriteria tertentu seperti pada definisi berikut.
Definisi 2.1.15 Subgrup Normal
Diberikan subgrup dari grup , dikatakan subgrup normal jika dan hanya jika
untuk setiap , dinotasikan (Dummit, 2004).
Contoh 2.1.16
Diberikan grup simetri . Jelas bahwa { , (1 3 2)} adalah subgrup dari . Sehingga, adalah subgrup normal dari atau .
Definisi 2.1.17 Normalizer
Diberikan suatu grup dan himpunan bagian dari , disebut normalizer dari dalam grup jika dan hanya jika { }
(Dummit,2004).
Contoh 2.1.18
Definisi 2.1.19 Centralizer
Diberikan suatu grup dan , centralizer dari elemen dalam grup adalah himpunan semua elemen yang komutatif dengan , dinotasikan .
Jadi, { }.
Diberikan subgrup dari , centralizer dari subgrup dalam grup adalah
himpunan semua elemen yang komutatif dengan semua elemen dalam
himpunan , dinotasikan . Jadi, { } (Dummit,2004).
Contoh 2.1.20
Diberikan suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bernilai riil yang
berbentuk , dengan operasi biner komposisi fungsi. Misal , maka
{ }, dengan adalah fungsi identitas dan fungsi invers dari .
Definisi 2.1.21 Center
Diberikan suatu grup, center dari grup adalah himpunan semua elemen
yang komutatif dengan semua elemen , dinotasikan .
Jadi, { }. Ekuivalen dengan irisan dari semua centralizer elemen grup (Dummit,2004).
Contoh 2.1.22
Jika suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bijektif bernilai riil, maka
{ }, dengan adalah fungsi identitas sedemikian sehingga untuk
14
Grup Mathieu merupakan grup berhingga. Dalam ruang lingkupnya, dibutuhkan
Teorema Lagrange sebagai berikut.
Teorema 2.1.23 Teorema Lagrange
Jika suatu subgrup dari grup berhingga , maka orde dari habis membagi
orde dari (Fraleigh,1999).
Definisi 2.1.24 Subgrup Maksimal
Diberikan suatu grup. subgrup sejati dari dikatakan subgrup maksimal dari
jika dan hanya jika tidak ada subgrup yang memuat .
Definisi 2.1.25 Grup Siklik dan Subgrup Siklik Jika adalah suatu grup dan , dapat dituliskan
{ }
disebut subgrup siklik dari yang dibangun oleh .
Suatu grup disebut siklik jika terdapat sedemikian sehingga , dalam hal ini elemen disebut elemen pembangun (Rotman, 2002).
Contoh 2.1.26
merupakan grup siklik dengan elemen pembangunnya adalah 1 dan -1.
Tujuan penelitian ini untuk menunjukkan beberapa grup Mathieu adalah grup
Definisi 2.1.27 Grup Sederhana
Grup sederhana adalah grup yang subgrup normalnya hanya subgrup trivial dan
dirinya sendiri (Dummit,2004).
Contoh 2.1.28
Grup siklik merupakan grup sederhana, sebab tidak memiliki subgrup normal
sejati selain subgrup trivial.
2.2 Grup Permutasi
Contoh lain grup yaitu grup permutasi. Grup ini erat kaitannya dengan grup
Mathieu, sebab grup Mathieu merupakan subgrup dari grup permutasi. Akan
didefinisikan dahulu permutasi dari suatu himpunan.
Definisi 2.2.1 Permutasi
Suatu permutasi dari himpunan adalah suatu fungsi bijektif dari ke dirinya
sendiri (Rotman, 2002).
Contoh 2.2.2
Diketahui { }. Semua permutasi dari antara lain : { }, { }, { }, { }, { }, dan { }
Misalkan terdapat himpunan semua permutasi dari suatu himpunan. Oleh karena
permutasi merupakan fungsi bijektif, maka dua permutasi dapat dikomposisikan
menjadi suatu fungsi bijektif. Sehingga, komposisi fungsi merupakan operasi
biner pada himpunan semua permutasi dari suatu himpunan. Karena operasi
16
semigrup. Pada himpunan permutasi ini terdapat permutasi identitas yaitu fungsi
identitas yang memetakan suatu elemen ke dirinya sendiri. Akibatnya, terdapat elemen identitas pada semigrup sebelumnya. Dengan kata lain, himpunan
permutasi tersebut akan membentuk monoid. Oleh karena fungsi bijektif selalu
mempunyai invers, yang tentunya merupakan fungsi bijektif, maka terdapat
permutasi invers dalam himpunan permutasi tersebut. Dapat disimpulkan bahwa
himpunan semua permutasi dari suatu himpunan akan membentuk grup yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.3 Grup Simetri
Himpunan dari semua permutasi dari himpunan , dinotasikan sebagai ,
disebut grup simetri pada . Jika { } maka dinotasikan dengan dan disebut grup simetri pada objek (Rotman, 2002).
Setelah mengetahui definisi grup permutasi, selanjutnya akan didefinisikan
tentang stabilizer.
Definisi 2.2.4 Stabilizer
Diberikan suatu grup permutasi pada himpunan dan adalah elemen .
Stabilizer dari adalah himpunan semua permutasi dalam yang menghasilkan
Contoh 2.2.5
Diberikan grup dan titik tetap . { }
{ }.
Diberikan suatu himpunan tak kosong . Sehingga, dapat dibentuk grup
simetri . Misalkan subgrup dari . Sehingga, orbit pada grup yang
dinotasikan sebagai , merupakan himpunan relasi ekuivalensi pada dengan , untuk setiap jika dan hanya jika untuk suatu
dan . Stabilizer titik pada grup merupakan himpunan semua
yang menetapkan titik . Sehingga, dapat dirumuskan Teorema
Orbit-Stabilizer sebagai berikut.
Teorema 2.2.6 Orbit-Stabilizer
Diberikan subgrup dari grup simetri , maka untuk setiap berlaku
(Mulholland, 2011).
Dari suatu grup dan suatu himpunan tak kosong, dapat dibentuk suatu fungsi yang
menghubungkan keduanya. Dengan kata lain, grup tersebut beraksi pada
himpunan. Sehingga, dapat didefinisikan grup aksi sebagai berikut.
18
2.3 Teori Grup Aksi Definisi 2.3.1 Grup Aksi
Diberikan suatu himpunan dan suatu grup. Suatu aksi dari pada adalah
pemetaan sedemikian sehingga
1. ; dan
2. , untuk setiap dan .
Dengan kondisi ini, disebut -set (Fraleigh, 1999).
Contoh 2.3.2
Diberikan adalah grup simetri orde dan himpunan , maka beraksi pada dengan fungsi permutasi.
Dalam grup aksi dikenal istilah kernel sebagai berikut.
Definisi 2.3.3 Kernel Grup Aksi
Diberikan suatu grup beraksi pada himpunan tak kosong . Kernel dari aksi ini
didefinisikan sebagai { } (Dummit,2004).
Definisi 2.3.4 Aksi faithful
Suatu aksi dari suatu grup disebut faithful jika kernelnya adalah elemen identitas
(Dummit, 2004).
Contoh 2.3.5
Diberikan adalah grup simetri orde beraksi pada himpunan tak kosong .
Definisi 2.3.6 Aksi Transitif
Diberikan grup beraksi pada himpunan tak kosong . Aksi grup pada
disebut transitif jika untuk setiap , maka terdapat sedemikian sehingga (Dummit, 2004).
Definisi 2.3.7 -admisibel
Diberikan adalah grup aksi transitif dan misalkan adalah relasi ekuivalensi pada . adalah -admisibel jika dan hanya jika untuk setiap
berakibat untuk setiap (Biggs,1979).
Definisi 2.3.8 Relasi Δ
Relasi Δ adalah relasi ekuivalensi dengan jika dan hanya jika
(Biggs, 1979).
Definisi 2.3.9 Grup Reguler
Suatu grup aksi disebut regular jika dan hanya jika stabilizer pada suatu titik
adalah subgrup trivial (Dummit, 2004).
Definisi 2.3.10 Grup Primitif
Suatu grup aksi transitif disebut grup primitif jika dan hanya jika stabilizer pada
20
2.4 Grup Sylow
Definisi 2.4.1 -grup dan -subgrup
Suatu grup adalah -grup jika setiap elemen di mempunyai orde sebesar
pangkat dari . Suatu subgrup dari grup adalah -subgrup dari jika subgrup
tersebut merupakan -grup (Fraleigh,1999).
Contoh 2.4.2
Diberikan grup , { }. Jelas bahwa . Karena setiap elemen tak nol dari memiliki orde prima , maka adalah -subgrup dari . Dengan demikian, adalah -grup.
Definisi 2.4.3 Sylow -subgrup
Suatu Sylow -subgrup dari grup adalah -subgrup maksimal dari , yaitu
-subgrup yang tidak termuat dalam -subgrup yang lebih besar (Fraleigh,1999).
Teorema 2.4.4
Diberikan dan adalah Sylow -subgrup dari grup berhingga , maka dan
adalah konjugat subgrup dari (Fraleigh, 1999).
2.5 Homomorfisme dan Isomorfisme
Dari dua grup dengan masing – masing operasi binernya, dapat dibentuk suatu
hubungan berbentuk fungsi yang sifatnya mempertahankan operasi dari grup yang
pertama pada grup yang kedua. Sehingga, dapat didefinisikan homomorfisme
Definisi 2.5.1 Homomorfisme
Suatu homomorfisme dari grup ke grup adalah pemetaan dari ke ,
sedemikian sehingga untuk semua (Grillet,2000).
Contoh 2.5.2
Diberikan grup bilangan riil dengan operasi penjumlahan biasa dan grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa. Didefinisikan fungsi
dengan , untuk setiap . Sehingga, untuk setiap
berlaku . Oleh karena itu, merupakan homomorfisme.
Definisi 2.5.3 Monomorfisme dan Epimorfisme
Monomorfisme adalah suatu homomorfisme yang bersifat injektif. Epimorfisme
adalah suatu homomorfisme yang bersifat surjektif (Grillet,2000).
Contoh 2.5.4
Diberikan grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan riil dengan operasi penjumlahan biasa. Didefinisikan
fungsi dengan untuk setiap .
22
Contoh 2.5.5
Diberikan grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan bulat modulo dengan operasi penjumlahan modulo .
Diberikan fungsi dengan , untuk setiap . Misal sebarang dengan dan , sehingga
.
Sehingga merupakan homomorfisme. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
bersifat surjektif. Untuk setiap maka terdapat sedemikian sehingga dengan . Oleh karena itu, adalah suatu epimorfisme.
Definisi 2.5.6 Isomorfisme dan Isomorfik
Suatu isomorfisme grup adalah suatu homomorfisme grup yang bersifat bijektif.
Dua grup dan adalah isomorfik jika terdapat isomorfisme dari pada ,
hubungan ini dinotasikan (Grillet,2000).
Contoh 2.5.7
Diberikan grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan riil positif dengan operasi perkalian biasa. Didefinisikan
Misal sebarang sehingga , diperoleh adalah suatu homomorfisme. Selanjutnya, akan ditunjukkan
bersifat injektif.
Diberikan sebarang dengan , maka
Sehingga, terbukti bahwa bersifat injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa bersifat surjektif.
Untuk setiap maka terdapat sedemikian sehingga atau
. Akibatnya, bersifat surjektif. Oleh karena itu, merupakan
isomorfisme.
Definisi 2.5.8 Endomorfisme dan Automorfisme
Suatu endomorfisme dari grup adalah suatu homomorfisme dari ke . Suatu
automorfisme dari grup adalah suatu isomorfisme dari ke (Grillet,2000).
Contoh 2.5.9
Diberikan suatu grup dengan elemen identitas . Didefinisikan fungsi dengan , untuk setiap . Misal sebarang maka
24
Contoh 2.5.10
Diberikan suatu grup dan adalah fungsi konjugasi dalam , yaitu untuk suatu elemen tetap dan untuk setiap fungsi didefinisikan dengan .
Untuk setiap , berlaku
.
Sehingga, adalah homomorfisme.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa bersifat injektif. Diberikan sebarang
dengan , sehingga,
(dioperasikan dari kanan, dan dari kiri)
.
Oleh karena itu, terbukti bahwa bersifat injektif.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa bersifat surjektif. Untuk setiap diperoleh . Sehingga, terbukti bahwa bersifat surjektif. Jadi, telah dibuktikan bahwa merupakan automorfisme.
Dalam mengkonstruksi Mathieu dan , yang merupakan subgrup dari grup simetri dengan aturan yang disebut sistem Steiner sebagai
2.6 Sistem Steiner dan Grup Mathieu Definisi 2.6.1 Sistem Steiner
Suatu sistem Steiner terdiri dari himpunan berhingga dan merupakan koleksi himpunan bagian dari yang memenuhi :
1. ,
2. setiap memiliki elemen sebanyak .
3. sebarang yang memiliki elemen sebanyak , termuat tepat satu dalam .
Elemen dari sistem Steiner disebut blok. Elemen dari himpunan berhingga
disebut titik (Nickerson,2002).
Contoh 2.6.2
Elemen – elemen dari sistem Steiner adalah {1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7}, {2,4,6}, {2,5,7}, {3,4,7}, dan {3,5,6}.
Definisi 2.6.3 dan
Grup Mathieu dan didefinisikan sebagai berikut.
{ untuk setiap }.
{ untuk setiap }.
{ untuk setiap }.
{ untuk setiap }.
{ untuk setiap }.
Banyaknya elemen grup sebagai berikut :
26
(Rubinstein, 2011).
Misalkan suatu himpunan matriks berukuran dengan entri – entrinya elemen dari suatu lapangan berorde . Himpunan bagian dari yang semua elemennya memiliki determinan 1 disimbolkan sebagai . Himpunan ini merupakan grup atas operasi perkalian matriks. Center dari grup ini
yang dinotasikan sebagai merupakan grup atas operasi perkalian matriks. Sehingga, dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.6.4 atau
Diberikan adalah ruang vektor berdimensi atas lapangan berorde .
didefinisikan sebagai ) (Biggs, 1979).
Definisi 2.6.5
Diberikan adalah ruang vektor berdimensi atas lapangan berorde .
Misalkan relasi ekuivalensi pada { }, dengan jika dan hanya jika
untuk suatu { }, untuk setiap { }.
didefinisikan sebagai himpunan kelas – kelas ekuivalensi dari
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 yang
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur
yakni dengan mempelajari buku dan jurnal tentang grup khususnya grup
Mathieu.
Dalam penelitian ini dibutuhkan beberapa teorema yang harus dibuktikan,
antara lain sebagai berikut.
Teorema 3.1
Diberikan suatu grup yang beraksi faithfully dan -transitif (k ≥ 2) pada suatu himpunan dengan . Misalkan stabilizer dari suatu elemen tunggal adalah suatu grup sederhana maka satu dari kemungkinan di bawah
ini akan terpenuhi :
1. adalah grup sederhana
2. dan adalah suatu pangkat dari bilangan prima
28
4. , bukan suatu pangkat dari 2 dan isomorfik dengan
Teorema 3.2
Diberikan suatu prima, dan diberikan suatu subgrup transitif dari .
Diberikan adalah banyaknya Sylow p-subgrup dan adalah indeks dari
Sylow -subgrup dalam normalizer-nya.
Sehingga :
1. memiliki Sylow -subgrup siklik
2.
3. adalah residu positif terkecil dari 4. Jika maka
Setelah membuktikan Teorema 3.2 maka akan dibuktikan bahwa dan
adalah grup sederhana.
Tahapan – tahapan pembuktian dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Membuktikan Teorema 3.1.
2. Menggunakan Teorema 3.1 untuk membuktikan grup M22, M23 dan M24
adalah grup sederhana karena masing – masing memiliki stabilizer satu
titik yang merupakan grup sederhana.
3. Membuktikan Teorema 3.2.
4. Menggunakan Teorema 3.2 untuk membuktikan grup M11 adalah grup
sederhana.
5. Menggunakan Teorema 3.1 untuk membuktikan M12 adalah grup
sederhana karena memiliki stabilizer satu titik yang merupakan grup
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa grup Mathieu
dan merupakan grup sederhana. Kelima grup ini
merupakan subgrup dari grup simetri berhingga. Sehingga, kelima grup ini adalah
grup berhingga. Lebih jauh lagi, bahwa grup berhingga yang sekaligus merupakan
grup sederhana disebut dengan grup sporadik. Kelima grup Mathieu ini adalah
grup sporadik terkecil dari 26 grup sporadik yang telah ditemukan.
5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya membahas grup Mathieu dan yang telah terbukti merupakan grup sederhana. Pada penelitian selanjutnya,
disarankan untuk membahas grup Mathieu lain atau ekstensi grup Mathieu yang
DAFTAR PUSTAKA
Biggs, N.L. 1979. Permutation Groups and Combinatorial Structures.Cambridge
University, London. 140 hlm.
Boya, Luis J. 2011. Introduction to Sporadic Groups.SIGMA.2011.009. 18 hlm.
Dummit, David S. 2004. Abstract Algebra.John Wiley and Sons Inc.United States.
932 hlm.
Fraleigh, J.B. 1999. Abstract Algebra. Addison Wesley Longman Inc. North
America. 533 hlm.
Grillet, Piere. 2000. Abstract Algebra. Springer. New Orleands. 669 hlm.
Mulholland, Jamie. 2011. Symetry and Counting I : The Orbit-Stabilizer
Theorem. Spring 2011.Math 302. 12 hlm.
Nickerson, Simon. 2002. Sporadic Simple Groups. 42 hlm.
Rotman, Joseph. 2002. The Theory of Groups. Prentice Hall. New Jersey.
342 hlm.
