SUBGRUP
Order Grup
Order Grup
Order
Elemen
Order
Definisi:
•
Banyaknya
anggota-anggota
suatu Grup
(terhingga atau
tak terhingga)
disebut
Order
.
•
Notasi order
G
ditulis .
•
ORDER GRUP
Contoh:
Selidiki order grup di bawah ini!
• terhadap penjumlahan
modulo 10
• U(15) terhadap perkalian
modulo 15
• terhadap penjumlahan
biasa
• terhadap komposisi fungsi
Penyelesaian:
• terhadap penjumlahan modulo 10
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10
• U(15) terhadap perkalian modulo 15
U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
8
•
ORDER GRUP
• terhadap penjumlahan biasa
= {…,-2, -1, 0, 1, 2, ….} tak terhingga
• terhadap komposisi fungsi =
8
Definisi:
• Misalkan adalah elemen pada grup . Jika
terdapat bilangan bulat positif sedemikian hingga (dalam penjumlahan menjadi ),
maka dikatakan memiliki order berhingga, dan bilangan bulat positif terkecil disebut
order dari elemen
• Untuk mencari order elemen g, kita perlu
menghitung hasil dari sampai kita menemukan identitas untuk pertama kalinya.
• Jika tidak ada yang memenuhi persamaan
di atas maka dikatakan memiliki order tak-hingga.
• Order Elemen dinotasikan dengan
•
Contoh 1:
Selidiki
U(15) terhadap perkalian
modulo 15. Tentukan order setiap
elemennya!
ORDER ELEMEN
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan
order elemen lain dari U(15)
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan
Contoh 2:
Selidiki
terhadap penjumlahan
modulo 10. Tentukan order setiap
elemennya!
Jawab:
• dapat dihitung dengan = 1 . 2 = 2
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan
order elemen lainnya dari Dengan cara
yang sama, dapat ditentukan
order elemen lainnya dari
Contoh 3:
Selidiki terhadap penjumlahan biasa. Tentukan !
Jawab:
Dst.
Tidak muncul 0 tak terhingga
•
ORDER ELEMEN
setiap elemen tidak nol
mempunyai order tak terhingga,
karena a, 2a, 3a, …. tidak muncul 0 dimana a ≠ 0 setiap elemen tidak nol
mempunyai order tak terhingga,
Selidiki order grup dan order setiap elemen
dari:
1. terhadap penjumlahan modulo 12
2. U(20) terhadap perkalian modulo 20
3. terhadap komposisi fungsi
•
Pembahasan:
1. terhadap penjumlahan modulo 12
•
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
12
•
LATIHAN SOAL
Pembahasan:
2. U(20) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}
8
•
LATIHAN SOAL
= 1
= 4
= 4
= 2
= 2
= 4
= 4
= 2
Pembahasan: Alternatif 1
3. terhadap komposisi fungsi
Misalkan =
dirotasikan
Sehingga = 1
•
LATIHAN SOAL
Pembahasan:
= Rotasi (counterclockwise)
•
LATIHAN SOAL
Setelah dirotasikan sebanyak 4x kali, kembali
menjadi atau identitas, sehingga
= 4
Pembahasan:
= Rotasi (counterclockwise)
•
LATIHAN SOAL
1 2
Setelah dirotasikan sebanyak 2x kali, kembali
menjadi atau identitas, sehingga
= 2
Pembahasan:
= flip secara horizontal
•
LATIHAN SOAL
Setelah diflip sebanyak 2x kali, kembali menjadi atau
Pembahasan: Alternatif 2
Ada cara lain, yaitu dengan pemetaan =
dapat ditulis identitas
•
LATIHAN SOAL
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
Pembahasan:
Misalkan
Misalkan
•
LATIHAN SOAL
dapat ditulis
dapat ditulis
Pembahasan:
Misalkan
•
LATIHAN SOAL
dapat ditulis
Pembahasan:
Misalkan
•
LATIHAN SOAL
Pembahasan: Alternatif 3
= dapat ditulis =
= = =
= =
•
LATIHAN SOAL
Pembahasan:
= = =
= 4
•
Pembahasan:
= dapat ditulis
=
= = = 2
•
LATIHAN SOAL
LATIHAN SOAL
Dengan cara yang sama diperoleh
= 1
= 4
= 2
= 4
= 2
= 2
= 2
= 2
•
Himpunan B adalah
subset dari himpunan A
dinotasikan dengan atau
•
digunakan untuk kondisi
tetapi
•
Review Subset
1.Tentukan subset
dari
2.Tentukan subset
dari Z!
1.Tentukan subset
dari
2.Tentukan subset
dari Z!
DEFINISI SUBGRUP
Jika
H
subset grup
G
, dan
H
merupakan
grup di bawah operasi
G
, kita dapat
mengatakan
H
subgrup
G
.
Notasi Subgrup:
H ≤ G (H subgrup tidak sejati )
H < G (H subgrup sejati)
Subgrup {e} disebut
subgrup trivial
dari G
Subgrup selain {e} disebut
subgrup
DEFINISI SUBGRUP
Diketahui (G, *) grup, H G, H ≤ G jhj
1) H ≠
2) H tertutup terhadap *
3) H bersifat asosiatif terhadap *
4) elemen identitas di H
5) elemen di H mempunyai invers
CONTOH 1
Tunjukkan bahwa 2Z adalah suatu subgrup dari grup Z dibawah operasi penjumlahan!
1. Karena 0 2.0 = 0 . ≠Ø.
2. Ambil sebarang Misal dan
Akan ditunjukkan .
=
Karena maka . Karena maka .
Jadi, tertutup terhadap penjumlahan.
CONTOH 1
3. Operasi di 2Z asosiatif jika Ambil sebarang .
Misal: dimana
Akan ditunjukkan +
Karena grup maka operasi di adalah asosiatif. berlaku
CONTOH 1
maka
+
+
Diperoleh , ,
operasi di 2Z asosiatif.
CONTOH 1
4.
Karena maka Sehingga
Misal dimana
Akan ditunjukkan
Diperoleh
mempunyai identitas
CONTOH 1
5.
Ambil sebarang misal , dimana Pilih
Akan ditunjukkan
Diperoleh
mempunyai invers
Berdasarkan 1,2,3,4,dan 5 memenuhi definisi subgrup, merupakan subgrup
Diberikan grup terhadap operasi penjumlahan modulo 6. Selidiki apakah subgrup dari
1. S
2. Berdasarkan tabel Caley sedemikian sehingga
tidak tertutup
3. Ambil sebarang akan ditunjukkan bahwa
S berlaku sifat Asosiatif
•
CONTOH 2
+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3
1 1 2 3 4
2 2 3 4 5
mempunyai identitas
yang tidak mempunyai invers
Berdasarkan 1,2,3,4,5: 2 dan 5 tidak memenuhi definisi subgrup,
•
CONTOH 3
Misal didefinisikan sebagai . Tunjukkan bahwa yang tertutup terhadap perkalian!
1. Karena , 2. Setiap
Ambil sebarang
Misal dan , dimana Akan ditunjukkan
CONTOH 3
=
Karena maka Karena maka
Jadi tertutup terhadap perkalian
CONTOH 3
3. Operasi di asosiatif jika . Ambil sebarang Misal , dimana , ,
Akan ditunjukkan =, dimana
=
=
CONTOH 3
= = =
berlaku sifat Asosiatif
4.
Karena Sehingga
CONTOH 3
Misal A =,
Akan ditunjukkan ==, =
=
Diperoleh ==,
mempunyai identitas
CONTOH 3
5. ,
Ambil sebarang A , misal , Pilih ,
Akan ditunjukkan
CONTOH 3
Diperoleh
mempunyai invers
Berdasarkan 1,2,3,4,5 memenuhi definisi subgrup adalah subgrup
